Table Of ContentE u c l i dEs
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
j u l i
0 8 8
n r
j a a r g a n g 8 3
Wiskundeprogramma’s
veranderen, wiskunde B
Wiskunde scholen
Prijs 2007
Wiskunde in VOcl
Wiskunde in scenario 5
deel 3
WwF: een school in
Brokopondo
Beroepsregister
Jaarvergadering/
studiedag 2008
Euclides en de hbs
aflevering 3
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
colofon
j u l i
0 8 8
n r
j a a r g a n g 8 3
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Joke Verbeek
inzendingen bijdragen Nederlandse Vereniging lidmaatschap
van Wiskundeleraren
Artikelen/mededelingen naar de Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
hoofdredacteur: Marja Bos, Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
Koematen 8, 7754 NV Wachtum - leden: € 52,50
E-mail: [email protected] Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50
Richtlijnen voor artikelen
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Tel. (070) 390 63 78 - leden van de VVWL: € 35,00
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
Zie voor nadere aanwijzingen: secretaris geven bij de ledenadministratie.
www.nvvw.nl/euclricht.html Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
Realisatie Tel. (038) 444 70 17 Abonnementen niet-leden
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
en mailingservices nummer.
De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. ledenadministratie Niet-leden: € 55,00
Veenendaal, www.dekleuver.nl Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
Tel. (0321) 31 25 43 Betaling per acceptgiro.
s E-mail: [email protected]
E
d Advertenties en bijsluiters
Helpdesk rechtspositie De Kleuver bedrijfscommunicatie bv:
i
NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. Ada Valkenburg
l
Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal
c Tel. (0345) 531 324 Tel. (0318) 555 075
u E-mail: [email protected]
E
EE uu ccLLii ddEEss
K I
ort vooraf nhoud
[ Marja Bos ]
Vakantienummer
Zo aan het begin van de zomervakantie valt er ineens een extra dik nummer van Euclides in uw
brievenbus, een nummer om lekker lui te lezen op de camping, in het hotel of gewoon thuis.
365 Kort vooraf
Bovendien zijn op deze manier de hoge stapels (zeer lezenswaardige!) kopij op onze virtuele redactie-
[Marja Bos]
tafel ‘met ere’ weggewerkt, en kan de redactie na de zomer met een schone lei beginnen.
366 Euclides en de hbs vóór de Tweede
Maar… lekker lui lezen?! Veel van de artikelen in dit nummer zijn niet eens zo heel erg ‘licht en
Wereldoorlog, aflevering 3
verstrooiend’ van karakter; er zit nogal wat stevige kost bij… Ach, we moeten als redactie onze lezers [Martinus van Hoorn]
toch een beetje scherp zien te houden en ze in deze periode beschermen tegen ál te veel versuffende 372 Wiskundeprogramma’s veranderen;
rust en ontspanning, nietwaar. wiskunde B voor havo en vwo
[Jenneke Krüger]
Wiskunde zonder boek 377 Ik las en dacht…
Een thema dat in diverse artikelen in dit nummer aan de orde komt, is het onderwerp ‘wiskunde [Klaske Blom]
380 Wiskunde in scenario 5, deel 3
zonder boek’.
[Monica Wijers e.a.]
In de eerste plaats is daar het project met de gelijknamige titel van Wim Grosheide, wiskunde-
385 Wiskunde zonder boek
docent aan het Hermann Wesselink College te Amstelveen. Zijn school was met dit project één van
[Dédé de Haan, Wim Grosheide]
de winnaars van de Wiskunde Scholen Prijs 2007. Het wiskundeonderwijs op deze school krijgt vorm
390 MathAdore - ervaringen, conclusies
met behulp van de computer en/of aan de hand van projecten.
en bijstellingen
In een ander artikel rapporteert Johan Gademan over de ervaringen met MathAdore, een concept [Johan Gademan]
waarbij de inzet van een papierloze webversie mogelijk is. Op dit moment lijkt de combinatie papier/ 393 Feiten en meningen
digitaal nog steeds de voorkeur van leerlingen te hebben boven een volledig digitale aanpak, maar [Pauline Vos]
tegelijkertijd levert de wendbaarheid van digitale methoden geweldige winst op in vergelijking met 395 Wiskunde in VOCL
puur papieren methoden. [Hans Kuyper, Greetje van der Werf]
Een bijdrage die weliswaar onder het kopje ‘wiskunde mét boek’ valt, maar tegelijkertijd in de categorie 402 Lerarenopleidingen in de eerste
helft van de 19e eeuw
‘wiskunde zonder modern boek’, is het interview dat voorzitter Sjaak Schoen van het Wereldwiskunde
[Harm Jan Smid]
Fonds hield met directeur Pokie van een school voor 12- tot 16-jarigen in Brokopondo, Suriname.
406 Alzheimer en rankings
Zijn leerlingen werken nog steeds uit de eerste druk van Moderne wiskunde, uit 1968.
[Jean Paul Van Bendegem] 5
Tot slot leest u in de derde aflevering uit onze serie ‘Wiskunde in scenario 5’ een beschrijving van 6
407 Scholenprijs van de Nederlandse
3
de vernieuwende (min of meer ‘boekloze’) aanpak van de wiskundesectie op het Vathorst College te
Wiskunde Olympiade
Amersfoort. Dat gaat met vallen en opstaan, jazeker, maar geleidelijk aan krijgt deze aanpak steeds [Freek van Megen]
beter vorm. De invloed van de Vathorst-aanpak op de motivatie van de leerlingen is duidelijk positief. 408 Boekbespreking / Philosophical
Dimensions in Mathematics
Leren, sprak zij, gaat van ‘au’ Education
Vallen en opstaan, is dat niet de manier waarop wiskunde geleerd kán en misschien zelfs geleerd moet [Ger Limpens]
worden? Hobbels inbouwen, zodat er eerst gestruikeld wordt? Voor de meer consumptiegerichten 410 Gemiddelde rijen
[Dick Klingens]
onder u heb ik nog wel een andere metafoor. Hapklare, vóórgegaarde brokken die zonder te kauwen
414 Een school in Brokopondo
weggeslikt kunnen worden - ze hebben me nooit erg ‘voedend’ (vormend) geleken. Een diepgaande
[Sjaak Schoen]
verwerking van de leerstof kan volgens mij niet plaatsvinden zonder eerst (bijna) te struikelen, of
417 Doorlopende leerlijnen Rekenen en
zonder erop te kauwen… uiteraard wél onder goede en zorgvuldige begeleiding, en in een prettige en
Wiskunde, deel 1
stimulerende sfeer. Maar, eerlijk is eerlijk, enige onderbouwing van deze beweringen lever ik u er niet
[Anne van Streun]
bij! Zijn er tegenvoorbeelden? Of is mijn vermoeden toch ‘hard bewijsbaar’? 421 Leerlingen bij de les 8
[Kees Alkemade] |
Examenprogramma’s 2013 havo/vwo 422 De opzet van een beroepsregister
3
Voor velen van u inmiddels oud nieuws, maar toch goed om hier kort te vermelden: naar aanleiding voor wiskundeleraren
van de ingreep van het ministerie in de cTWO-programmavoorstellen voor 2013 heeft op 30 mei [Marianne Lambriex e.a.] 8
een gesprek plaatsgevonden tussen OCW en cTWO. Besloten werd, inhoudelijk advies te vragen aan 425 Truus Dekker neemt afscheid van
het Freudenthal instituut
de VSNU (de vereniging van universiteiten) en de HBO-raad. In dat advies zal meegewogen worden
[Joke Verbeek]
wat redelijkerwijs van het voortgezet onderwijs en van wiskundeleraren gevraagd kan worden ‘in het
427 Vaardigheden en inzicht
perspectief van zowel de doorlopende leerlijnen als de algemene vorming’. Verder is besloten dat de
[Monica Wijers e.a.]
examenpilots pas een jaar later van start gaan. Wordt vervolgd!
432 Verschenen s
433 Jaarvergadering / Studiedag 2008 E
d
Nieuwe hoofdredacteur [Marianne Lambriex e.a.]
Met ingang van 1 augustus a.s. krijgt Euclides een nieuwe hoofdredacteur: Klaske Blom neemt het stokje 434 Recreatie i
L
dan van mij over. Ik heb dit werk gedurende de afgelopen zeven jaar overigens met bijzonder veel plezier [Frits Göbel] c
gedaan. Graag wil ik daarom iedereen met wie ik in dit verband te maken heb gehad, van harte bedanken 436 Servicepagina
u
voor de prettige contacten en de plezierige samenwerking. En ik weet zeker dat Euclides onder Klaskes
E
inspirerende leiding de komende jaren een prachtige en interessante voortzetting zal krijgen…
Euclides en de hbs vóór
de Tweede Wereldoorlog
afLEvErInG 3
[ Martinus van Hoorn ]
In de vorige afleveringen werd de rol van de hbs geschetst, alsmede de totstand- In de lijst vallen jongere auteurs op zoals
koming van het tijdschrift Euclides. Daarna werden discussies over het Gerretsen en Wansink, maar ook komen
wiskundeonderwijs aan de hbs’en opgevoerd. In deze slotaflevering passeren met oudere auteurs voor. Zo was J. Kors reeds
name artikelen uit Euclides de revue. Soms zijn daaruit trends af te leiden met in 1903 overleden; zijn boeken werden
betrekking tot het wiskundeonderwijs aan de hbs’en, soms niet. In de laatste verzorgd door O. Postma [44]. Volgens
paragrafen (3.9 en 3.10) staat een resumé, waarmee deze verhandeling over Wansink zat er in de boeken niet of nauwe-
Euclides en de hbs wordt afgesloten. Bewust wordt niets gezegd over de periode lijks didactische vernieuwing.[45] Het zou
vanaf 1940, waardoor deze aflevering ietwat abrupt eindigt. aardig zijn de schoolboeken van Wansink
uit die tijd eens te vergelijken met andere.
3 de jaren ’30
3.1 Meer nadruk op begrip functie) en bepaalde en onbepaalde integraal. 3.3 Nieuwe wetenschappelijke
In Euclides domineerden Dijksterhuis, De rekentechniek moet pas in de tweede plaats ontwikkelingen
Wijdenes en Schogt, met Dijksterhuis als komen; het aantal van buiten te leren regels Wetenschappelijke ontwikkelingen gingen
intellectuele leider. Zij uitten soms ernstige moet tot een minimum beperkt worden. Het onverminderd voort. Soms gaven hoog-
kritiek. In Euclides werd zeer openlijk onderwijs mag niet ontaarden in mechanisch leraren een exposé in Euclides. Het leerplan
gediscussieerd. en begriploos differentiëren en integreren.’ veranderde er niet door, dat zou zo snel ook
Voordrachten gehouden voor Wimecos, niet kunnen.
de vereniging van leraren aan middelbare 3.2 Leerboeken Eén van de grote figuren in het debat
scholen in wiskunde, mechanica en kosmo- In Euclides werden leerboeken niet systema- over de grondslagen was L.E.J. Brouwer.
grafie, werden vaak in Euclides opgenomen. tisch onderzocht. Dat zou ook moeilijk zijn; Zijn strijd met Hilbert is legendarisch.[46]
Maar over verenigingsaangelegenheden van Euclides werd uitgegeven door Noordhoff, Wezenlijk was Brouwer’s afwijzing van het
06
06 Wimecos was in Euclides niets te vinden; die zelf leerboeken uitgaf. Een overzicht principe van de uitgesloten derde, waarmee
03
daar stak Wijdenes, die Euclides onafhanke- van de hbs-boeken voor beschrijvende hij Hilbert’s existentiebewijzen trof. In 1933
lijk van Wimecos wilde houden, een stokje meetkunde laat zien hoeveel leerboeken er nam Euclides een stuk van Brouwer op
voor, ook al was zijn mederedacteur Schogt voor dat ene vak al waren. onder de titel Willen, weten, spreken.[47]
de eerste jaren secretaris van Wimecos. Brouwer schreef: ‘Het is in het bijzonder
De groep Liwenagel van gymnasium- en bij de exactwetenschappelijke theorieën, dat
lyceumleraren telde veel minder wiskunde- het verschijnsel van het heuristisch karakter
leraren dan Wimecos. In 1931 mocht haar van wetenschappelijke hypothesen aan de dag
voorzitter Verrijp een overzicht van tien jaar treedt […]’, waarmee hij zijn visie op
Liwenagel in Euclides publiceren. heuristisch denken weergaf. Later werd
Een trend in het denken over het wiskunde- de openbare les De ontwikkeling van de
onderwijs was dat het begrijpen van de intuïtionistische wiskunde van Brouwer’s
leerstof meer aandacht kreeg. Te zeer was leerling A. Heyting opgenomen.[48]
8 de nadruk gelegd op het reproduceren van In 1931 publiceerde Kurt Gödel zijn
theorie en het maken van sommen. Dat had onvolledigheidsstelling, waardoor een
|
niet de begripsvorming gediend; daarom mooie, consistente rekenkunde een illusie
3
was er onvrede over. werd. Eerder had de relativiteitstheorie het
8
In 1932 schreef W.C. Post uit Purmerend belang van niet-euclidische meetkunde
in Euclides over differentiaal- en integraal- aangetoond en de positie van klassieke
rekening. Hij veronderstelde dat deze mechanica aangetast. Nieuwe resultaten
stof eens zou worden ingevoerd, en had werden weliswaar niet opgenomen in
hierover op 29 december 1931 gesproken leerplannen, maar indirecte invloed was
voor Wimecos. Post was intussen Schogt mogelijk, in de vorm van twijfel omtrent
ss
EE opgevolgd als secretaris van Wimecos. degelijk geachte grondslagen.
dd
Vanuit Purmerend kon hij gemakkelijk naar
ii Wijdenes in Amsterdam reizen. 3.4 Dijksterhuis en mevrouw Ehrenfest
LL
cc Post schreef: ‘[…] heb ik mij op het stand- tien jaar later in Euclides
punt geplaatst, dat het doel van dit onderwijs Dijksterhuis publiceerde geregeld in
uu
vooral moet zijn het bijbrengen van de De beschrijvende-meetkundeboeken in 1940 Euclides. In zijn bijdrage Epistemisch
EE
begrippen differentiaalquotiënt (afgeleide wiskunde-onderwijs uit 1934 verwees hij
naar de tien jaar oude discussie: ‘In het … zijn, weet iedereen uit eigen ervaring’, een
jaar 1924 werd de beschreven stemming start die zij geheel ongeschikt achtte voor
van depressie en defaitisme nog versterkt een zorgvuldige opbouw. Zij volgde het
door het verschijnen van een brochure van Nederlandse wiskundeonderwijs op de
Mevr. T. Ehrenfest-Afanassjewa.’ Zo toonde voet.
Dijksterhuis zich cultuurfilosoof. Zijn Mevrouw Ehrenfest had respect verworven,
epistemisch wiskundeonderwijs - de term wat niet wil zeggen dat zij steun kreeg. In
epistemisch ontleende hij aan Plato - 1937 schreef zij in Euclides over de ontwik-
betekende ‘dat de leerling op ieder ogenblik keling van het getalbegrip. ‘De herkomst
in staat moet zijn zichzelf en anderen reken- van het getal- en operatiebegrip ligt in
schap te geven van de betekenis van de termen onze praktijkervaring’, schreef zij. In een
die hij gebruikt en van de motivering van de voetnoot verwees zij naar een vraag die
methoden die hij toepast.’ Dijksterhuis eiste Ehrenfest, haar overleden man, in 1910 in Bartel Leendert van der Waerden
het volledig begrijpen van elke stap. Sint Petersburg had gesteld, en wel over het (1903-1996). In 1927 privaatdocent te
Dijksterhuis mocht idealistisch zijn, hij geldig blijven van commutatieve, associa- Göttingen, in 1928 hoogleraar te Groningen,
ondervond ook steun in zijn opvattingen, tieve en distributieve wetten bij uitbreiding in 1931 te Leipzig, in 1947 te Baltimore,
zoals blijkt uit het volgende citaat, afkom- van een getallensysteem. Haar man dacht in 1948 te Amsterdam, in 1951 te Zurich.
stig van de voormalig hbs-directeur net zo over de invoering van elementaire Beroemd door zijn Algebra (twee delen,
D.J. Kruijtbosch: ‘Wanneer een leerling cos begrippen als zij. Zij hadden elkaar altijd 1930-1931), later Moderne Algebra genoemd.
(270° – α) moet herleiden […] en daartoe de gestimuleerd.
volgende herleiding uitvoert: Tussen Dijksterhuis en mevrouw Ehrenfest
cos (270° – α) = cos 270° cos α + bleven grote verschillen. Beiden meenden Later schreef Van der Waerden De logische
sin 270° sin α= -sin α; echter dat niet de specifieke kennis van grondslagen der Euklidische meetkunde
dan verraadt hij daarmede, dat hij zich liever eigenschappen voorop moest staan, (1937). Dit boek werd in Euclides
tot formuleslaaf verlaagt, dan te vertrouwen maar daarentegen het zorgvuldig werken besproken door Dijksterhuis, die zich
op zijn begrip en voorstellingsvermogen.’[49] aan juiste begripsvorming. Dat zou de afvroeg of zekere axioma’s op school streng
Een duidelijk voorbeeld - wie zou het ermee leerlingen vormen. Zo onderscheidden zij konden worden behandeld. Van der
27
oneens kunnen zijn? zich van degenen die wiskunde als instru- Waerden stelde daartegenover: ‘De belang- 36
33
Maar het gaat hier over een klein onderdeel menteel (hulp)vak beschouwden. stelling van leerlingen en studenten, zelfs van
van de stof. In 1936 verscheen Kruijtbosch’ degenen, die een zekere wiskundige aanleg
boek Avontuurlijk wiskunde-onderwijs, 3.5 Dijksterhuis terechtgewezen door bezitten, is in ’t algemeen veel meer gericht
waarin hij zich uitsprak tegen standaard- Van der Waerden op nieuwe feiten, vooral van aanschouwelijke
voorbeelden. Volgens Schogt, in een Al vóór zijn dertigste beroemd was B.L. aard, en op constructies en formules, dan op
recensie in Euclides, onderschatte de van der Waerden. Deze schreef in 1932 de logische samenhang tussen die feiten en
schrijver de betekenis van systematische in Euclides ‘De onmeetbare verhoudingen formules.’
oefening. in de elementaire meetkunde’. Hij gaf hierin En even verderop:[51] ‘Hoe abstracter men het
een historisch exposé, stelde vast welke wiskundeonderwijs maakt, d.w.z. hoe meer
moeilijkheid nog opgelost moest worden, men zich van tastbare en voor concrete toepas-
gaf zijn opvatting over drie leerboekauteurs sing vatbare resultaten verwijdert ter wille
(Reindersma, Schogt en Haalmeijer) van de studie der abstracte logische relaties,
[50] die tot een aanvaardbare oplossing des te meer versterkt men de haat tegen de 8
kwamen maar oneindige processen hadden wiskunde, die grote categorieën van leerlingen
|
ingesluisd, en gaf een heldere uiteenzetting bezielt.’
3
over een behandeling zonder oneindige Van der Waerden was in tegenstelling tot
8
processen. Van der Waerden deed dit door Dijksterhuis geen voorstander van een strikt
(1e) een definitie van onderling meetbare logisch-deductieve aanpak.
lijnstukken en hun verhoudingen, (2e)
het bewijzen van de hoofdstelling over 3.6 Een voorbeeld van parate kennis
Paul Ehrenfest (1880-1933), rechts, de evenredigheden bij snijding van twee Vanaf zijn pensionering werden in Euclides
met Einstein en Zeeman rechten door drie (of vier) parallellen in het ‘Didactische causerieën’ gepubliceerd door
ss
meetbare geval, en (3e) het bewijzen van D.P.A. Verrijp, de oud-voorzitter van EE
dd
In 1935 schreef mevrouw Ehrenfest Een het bestaan van onmeetbare lijnstukken Liwenagel. Hij liet dan zijn licht schijnen
en ander over de definities in Euclides. Zij (met het voorbeeld van de rechthoekige over een actueel onderwerp, bijvoorbeeld ii
LL
stelde dat ‘quasi-definities’ van meetkun- gelijkbenige driehoek). een hbs-examenopgave die discussie had cc
dige grondbegrippen uit de schoolboeken opgeroepen. Zo ook in 1936; zie het
uu
begonnen te verdwijnen, maar dat nu soms fragment. Verrijp betreurde dat bepaalde
EE
teksten voorkwamen als: ‘… wat A, B, C, parate kennis verdween.
scheiding van deze twee onderwerpen is even
erg in strijd met het wezen van de wiskunde
als de scheiding van rekenkunde en algebra.’
Beth liet zich niet uit over een axiomatische
behandeling van de meetkunde. Kennelijk
was de wens daartoe op het tweede plan
gekomen. Een meer pragmatische aanpak
had de voorkeur gekregen.
Hoe kon dit gebeuren? Heel zeker hadden
velen bij berekeningen aan driehoeken
al graag goniometrische verhoudingen
gebruikt. In toepassingen had niemand er
bezwaar tegen. Maar dit was allang zo. Het
belangrijkst was vast dat men uitgekeken was
op de trigonometrie.
Verrijp zag geen kwaad in een door hem
besproken examenopgave. Dat kwam hem
op een krachtige reactie van Schogt te staan:
‘Het trainen der leerlingen in het verzinnen
Fragment van een artikel van Verrijp. De tekenaar vergat de letter C. van dergelijke, hoogst gekunstelde, oplossingen is
mijns inziens onmogelijk en bovendien geens-
dus een (klein) deel werd opgenomen in de zins wenselijk.’
euclidische planimetrie. Het karakter van de Schogt besloot met: ‘Ik vind het betreurens-
planimetrie veranderde erdoor. Ten tweede waardig, dat examenopgaven worden gesteld,
werd een axiomatische behandeling van de bij welker oplossing wiskundige aanleg een
planimetrie, zoals Dijksterhuis voorstond, hinderpaal vormt, maar tevens, dat zulks door
bemoeilijkt. De toevoeging van een stukje wiskundigen wordt verdedigd.’ Schogt stond
048
046 trigonometrie had aldus een principiële kant. hierin beslist niet alleen, de trigonometrie in
023
Tegelijk werden de rechtstreekse gonio- haar bewerkelijke vorm had afgedaan.
tafels ingevoerd, dus zonder logaritmen,
naar de zin van Wijdenes, Van Hiele en
Van Andel (zoals eerder gesignaleerd). Beth
schreef in 1937 in Euclides over het nieuwe
hbs-leerplan: ‘Men zal opgemerkt hebben, dat
het leerplan op verschillende plaatsen duidelijk
wijst in de richting van samensmelting van de
planimetrie met de trigonometrie. De gangbare
Trigonometrie, opgave 1, examen hbs-B 1935
D.P.A. Verrijp (1869-1937)
8
Verrijp was lange tijd gymnasiumleraar
|
geweest. In een in Euclides gevoerde
3
discussie met Schogt merkte hij op dat hij
8
de hbs had bezocht en ook nog hbs-leraar
was geweest. Met andere woorden, men
moest hem serieus nemen. Maar hij was een
roepende in de woestijn.
3.7 De val van de trigonometrie
sss
EEE In het nieuwe hbs-leerplan van 1937 waren
ddd
de sinus- en cosinusregel bij de plani-
iii metrie ondergebracht. Dit was om twee
LLL
ccc redenen opmerkelijk. Ten eerste behoorden
de sinus- en de cosinusregel vanouds tot
uuu
de trigonometrie of driehoeksmeting.
EEE
Trigonometrie was een rekenvak, waarvan nu
wiskundig denken, de psychische functies, die
daarbij tot uiting komen, en de ontwikkeling
daarvan bij het kind.’ E.W. Beth meende
dat een onderscheid tussen een logische en
een psychologische richting in de didactiek
der wiskunde een verkeerde indruk vestigde
en praktisch niet door te voeren was. Hij
citeerde daarbij de commissie-Beth (zijn
vader dus): ‘Het spreekt echter vanzelf, dat
men de strengheid der redenering niet te hoog
mag opvoeren.’ De psychologische factor
moest serieus meewegen. E.W. Beth stelde
bovenal de heersende selectieve cultuur aan
de hbs’en aan de kaak.
3.9 De positie van Euclides
Uitwerking van opgave 1d door Verrijp Door verschillende oorzaken was de koers
van Euclides gewijzigd. De artikelen over
3.8 Psychologische factoren hbs-A en mms maakten nog geen reacties
De hbs-wiskunde zoals door Wijdenes, los. Maar hiermee en met de aandacht
Schogt en Dijksterhuis voorgestaan was een voor psychologische factoren sloeg Euclides
hecht doortimmerd bouwwerk. Maar dit nieuwe wegen in. De actieve Wiskunde
bouwwerk was toch niet zo sterk gebleken. Werkgroep kreeg in de persoon van
Zo waren de fundamenten minder stevig E.W. Beth toegang tot Euclides. Het moet
dan eerder gedacht. Een meer pragmatisch voor sommigen een gruwel zijn geweest,
wiskundeonderwijs, waarin euclidische een te radicale vernieuwing. Misschien
planimetrie werd vermengd met trigono- had de reputatie van H.J.E. Beth eraan
0549
metrie, kreeg de overhand. Dit moest met bijgedragen dat zijn zoon in Euclides kon 0496
0223
behoud van een zorgvuldige opbouw. De publiceren.
pragmatische insteek werd gekozen door Merkbare veranderingen in het wiskunde-
Beth en Van Andel, en ook door Wijdenes, onderwijs bracht de aandacht voor
die de sinus- en de cosinusregel opnam psychologische factoren niet. Maar naast
in latere drukken van het Leerboek der E.W. Beth (1908-1964) E.W. Beth waren er anderen. Zo werden in
Vlakke Meetkunde. Allen wilden een betere Euclides boeken besproken van
begripsvorming bewerkstelligen. H. Turkstra, die evenmin louter de leerstof
Aandacht voor leerproblemen was bepaald ning van de ruimte die voor de leerlingen centraal stelde.
niet het sterkste punt van de leidende de natuurlijke omgeving was. Zover wilde Een nieuwtje waren de succesvolle
figuren bij Euclides. Door af te stappen van Wijdenes niet gaan. ‘Korrels’. Wijdenes begon er in de jaargang
een zuiver axiomatische opzet werd een 1935-1936 mee, het waren korte stukjes
pad geëffend naar het rekening houden In de Wiskunde Werkgroep waaraan waarin iedereen kleine mededelingen,
met pedagogische argumenten en psycho- mevrouw Ehrenfest deelnam, zat ook de eigen vondsten, en ook wel domme 8
logische factoren. Dit verklaart misschien leraar Evert Willem Beth, een zoon van fouten kon weergeven. In ruim vier
|
dat in het voorjaar van 1937 artikelen in H.J.E. Beth. E.W. Beth was in 1935 gepro- jaar verschenen meer dan vijftig Korrels,
3
Euclides verschenen over het wiskunde- moveerd op Rede en aanschouwing in het waarvan de meeste overigens geschreven
8
onderwijs op hbs-A en mms. Maar ook wiskundeonderwijs, en zou nadien doorgaan werden door Wijdenes en Schogt. Toch
een heel andere kwestie speelde al een tijd: in de filosofie van de wiskunde. Vanaf werden zo meer mensen over de drempel
Euclides verkeerde in financiële problemen. 1937 deed hij in Euclides verslag van de van het auteurschap getrokken.
Wijdenes, die altijd rekening moest houden discussies binnen de Wiskunde Werkgroep. Een actievere lezerskring was vast naar
met de commerciële kant van het blad, had Psychologische factoren werden door hem Wijdenes’ zin.
waarschijnlijk de scribenten van de stukken uiterst serieus behandeld. In 1939 stelde De verhouding tot Wimecos was en
ssss
over hbs-A en mms benaderd. Artikelen die hij dat ‘een min of meer radicale hervorming bleef moeizaam. Wijdenes bewaakte de EEEE
dddd
nieuwe doelgroepen zouden aanspreken, van het onderwijs in de wiskunde’ werd onafhankelijkheid van Euclides zolang
waren gewenst. nagestreefd, vanwege: ‘(1e) de heersende hij dat kon. Maar het voortbestaan van iiii
LLLL
Mevrouw Ehrenfest wilde juist ook voor ontevredenheid over de resultaten van het Euclides werd steeds ernstiger bedreigd. cccc
zwakkere leerlingen passend wiskunde- huidige onderwijs, (2e) de nieuwere inzichten Eind 1939 besloten Wimecos en
uuuu
onderwijs. Zij propageerde een intuïtieve omtrent de wiskunde zelf, (3e) de nieuwere Liwenagel om Euclides met ingang van
inleiding tot de meetkunde, een verken- psychologische gegevens betreffende het het schooljaar 1940-1941 tot hun officiële EEEE
orgaan te verheffen. De leden stemden 3.10 De positie van de hbs Nog een klein voorbeeld. Niet naar de zin
in met een contributieverhoging. Zo kon Eind jaren ’30 was de hbs een gerespecteerd van Wijdenes en Schogt was de overstap
Euclides blijven bestaan. De hbs-leraren en schooltype met in de B-afdeling stevig van logaritmetafels in vijf decimalen naar
de - minder talrijke - gymnasiumleraren onderwijs in de exacte vakken, waaronder die in vier decimalen. De nauwkeurigheid
hoefden hún blad niet te missen. Wijdenes wiskunde. Maar er waren veranderingen van werken zou ernstig in het geding zijn.
en Schogt bleven redacteur.[52] Noordhoff opgetreden. Een zuiver axiomatische Bij Wijdenes kon hierbij een commercieel
bleef de uitgever. aanpak werd niet meer nagestreefd, behalve belang worden vermoed, want hij had
misschien door Dijksterhuis, maar die was zelf logaritmetafels op zijn naam staan.
niet onaantastbaar, dat hadden Van der Schogt organiseerde zelfs een enquête over
Waerden, en Beth en Van Andel duidelijk de overgang naar tafels in vier decimalen
gemaakt. (1939), maar hij kreeg slechts twee reacties.
Expliciet werd geschreven over een Kennelijk won ook hier de roep om betere
voorzichtige invoering van begrippen, begripsvorming.
rekening houdend met de moeilijkheden Tegen 1940 waren er op hbs’en en lycea
van de leerlingen. Zij moesten de stof zo’n 45.000 hbs-leerlingen, dus veel meer
begrijpen. Het leerplan was ietwat gemoder- dan de bijna 14.000 van 1910, en de
niseerd. Reproductie behield een grote rol, stijging leek zich voort te zetten.
Het schooljaar 1939-1940 begint met maar de trigonometrie was aangetast. De economische malaise zou vast eens
63.000 leerlingen op 52 gymnasia, Differentiaal- en integraalrekening was in overgaan, en dan was er vanwege de weten-
135 hbs’en, 56 lycea, 22 mms’en en het leerplan opgenomen. Het functiebegrip schappelijke en technische vooruitgang
21 handelsscholen. Gemiddeld heb- begon op te komen. De exacte vorming voldoende werk voor hbs’ers. De scheiding
ben deze scholen 220 leerlingen. kreeg andere accenten. met het gymnasium bleef, ondanks het
000
007
003
8
|
3
8
sss
EEE
ddd
iii
LLL
ccc
uuu
EEE
succes van lycea. De toeloop naar de Verwijzingen
hbs’en baarde weliswaar zorgen vanwege De verwijzingen 1-21 staan in Euclides 83(6),
een veronderstelde aantasting van het april 2008, op de pagina’s 290 en 291;
niveau, de wiskundeleraren konden de de verwijzingen 22-43 staan in Euclides 83(7),
uitdaging aan. juni 2008, op pagina 331.
Lastig was het grote aantal gemobiliseerde N.b. In Euclides 83(7), pag. 331, is voor de
leraren (op sommige scholen meer dan verwijzingen 1-21 abusievelijk verwezen
10%), Hopelijk zou de mobilisatie niet naar Euclides 83(6), april 2007 (red.).
zo lang duren als 25 jaar eerder. Toen
kwamen leerkrachten pas na twee jaar [44] De Friese dichter Obe Postma
terug in de scholen. (1868-1963) was eveneens leraar
van Bottema (zie www.obepostma.nl).
[45] Wansink voornoemd (zie [37]).
[46] Dirk van Dalen, L.E.J. Brouwer.
Een biografie (Amsterdam, 2001).
[47] Euclides 9 (1932-1933),
pp. 177-193.
[48] Euclides 13 (1936-1937),
pp. 129-144.
[49] D.J. Kruijtbosch, De vormende
waarde van het onderwijs in
wiskunde, in: De Dordtse H.B.S.
1865-1940 (Dordrecht, 1940),
pp. 60-82.
[50] Reindersma was leraar aan het
Nederlandsch Lyceum, Haalmeijer
was medewerker van Euclides.
081
[51] Ook bij Van Berkel voornoemd 007
033
(zie [10]).
[52] Jan Maassen in: Honderd jaar
wiskundeonderwijs.
8
|
3
8
sss
EEE
ddd
Over de auteur iii
LLL
Martinus van Hoorn was hoofdredac- ccc
teur van Euclides gedurende de periode
uuu
1987-1996.
EEE
E-mailadres: [email protected]
W i s k u n d e p ro g ra m m a ’s
v e ra n d e re n
WISKundE B voor havo En vW o
[ Jenneke Krüger ]
Moet een leerling in vwo, profiel N&T, die in 2009 eindexamen doet, een limiet van ‘Symmetrie en transformaties’, waarvan de
een functie kunnen berekenen? Een leerling in datzelfde profiel die in 2009 in de NVvW zegt dat ‘het weinig toevoegt’. Ook
vierde komt? Een leerling die in 2013 of later het nieuwe programma van cTWO dringt de resonansgroep aan op een verbod
gaat volgen? (Antwoorden: ja, nee, misschien.) In twee voorgaande artikelen [1] op ‘het gebruik van hulpmiddelen zoals de
heb ik getracht een overzicht te geven van de wijzigingen in de examenprogram- GR bij het CE’. De staatssecretaris neemt
ma’s wiskunde havo en vwo sinds 1998 en vooruitkijkend naar 2011/13 in het hier geen beslissing over: de CEVO beslist
algemeen en voor wiskunde A in het bijzonder. In dit artikel geef ik een overzicht over het gebruik van hulpmiddelen bij het
van de inhoudelijke wijzigingen in de examenprogramma’s voor wiskunde B, havo centraal examen.
en vwo gedurende die zelfde periode. De besluiten van de staatssecretaris ten Bij de in dit artikel opgenomen vergelijking
aanzien van wiskunde B waren minder ingrijpend dan voor wiskunde A en C, tussen de programma’s van 2007 en 2013
mogelijk omdat aan veel wensen van de resonansgroep al tegemoet was gekomen is voor 2013 uitgegaan van de globale
door cTWO. Op het moment van schrijven (eind april) is de syllabuscommissie eindtermen en zijn de door cTWO voor-
wiskunde B bezig met onder andere het formuleren van specificaties bij gestelde specificaties niet in de beschouwing
eindtermen, maar ook met een overzicht van gewenste algebraïsche vaardigheden betrokken. Die specificaties zijn voorstellen
en nog wat zaken die in de syllabus opgenomen worden. van cTWO voor de syllabuscommissie,
waarin ook een vertegenwoordiger van
Wiskunde B; 1998-2007-2011/2013 cTWO is opgenomen. Uiteindelijk is CEVO
Door schrappen en inperken van betreft euclidisch vs analytisch onderhevig echter verantwoordelijk voor de specifica-
subdomeinen is het programma wiskunde aan een golfbeweging. ties van de globale eindtermen voor het CE.
0002
0027 B 2007 ontstaan uit wiskunde B12, zowel - Het domein ‘Vaardigheden’ krijgt een Het werk in de syllabuscommissie is op het
003
voor havo als vwo. Er werd op verzoek andere invulling. In 2007 zijn onder moment van schrijven nog niet ver genoeg
van OCW één subdomein toegevoegd: andere de historische aspecten verdwenen, gevorderd om op het niveau van specifica-
Algebraïsche vaardigheden (A5). De voor 2013 sluit cTWO aan bij de formu- ties bijzonderheden te geven. Wel kan iets
commissie Toekomst WiskundeOnderwijs lering zoals die voor alle vijf bètavakken vermeld worden over enkele onderdelen van
(cTWO) heeft voor 2013 en daarna afgesproken is. Deze formulering is al te de syllabus.
een conceptprogramma geformuleerd vinden in de examenprogramma’s 2007 Omdat de staatssecretaris heeft bepaald
dat gedeeltelijk overeenkomt met het wiskunde D (en NLT). Men onderscheidt dat alle inhoudelijke domeinen in het
programma 2007, maar daarvan verschilt drie domeinen: algemene vaardigheden, CE worden getoetst, zal een uitgebreide
in onder andere het meetkundedomein en bètaprofiel-vaardigheden en wiskundige specificatie van alle eindtermen in de
in het vaardighedendomein. De omvang vaardigheden; zie figuur 1. syllabus gepubliceerd worden. Ook zal een
blijft ook na 2013 hetzelfde als van de - cTWO streeft voor zowel havo als vwo indicatie gegeven worden van het verwachte
programma’s 2007: voor havo 360 slu, voor naar een intern sterk samenhangend beheersingsniveau voor de verschillende
8 vwo 600 slu. Wiskunde B is bestemd voor programma en wat betreft samenhang met eindtermen, toegelicht door voorbeelden.
het profiel N&T. Als de school het toestaat profielvakken met name naar afstemming Een overzicht van minimumeisen op het
|
mogen ook leerlingen uit andere profielen met natuurkunde. gebied van algebraïsche kennis, vaardig-
3
wiskunde B volgen in plaats van wiskunde - Er is de komende jaren nog gelegenheid heden en inzicht zal ook weer opgenomen
8
A (of C). om uw mening te geven over de worden. De vernieuwingscommissie
Enkele aandachtspunten: programma’s voor 2011/13. cTWO heeft aangegeven welke denkvaar-
- Algebraïsche vaardigheden krijgen meer digheden, gekoppeld aan de eindtermen
nadruk vanaf 2007; in de syllabus is gespe- De resonansgroep, door de staatssecretaris van domein A, haars inziens belangrijk
cificeerd welke algebraïsche technieken een ingesteld om te adviseren over doorstroom- zijn bij de verschillende subdomeinen (zie
leerling minimaal moet beheersen voor het relevantie van de programma’s voor 2013, Conceptexamenprogramma 2011;
ssss
EEEE centraal examen. In 2013 wordt deze lijn is over het geheel genomen tevreden met de www.ctwo.nl). Ook hieraan besteedt de
dddd
in versterkte mate voortgezet door cTWO. voorgestelde programma’s, maar wil voor havo syllabuscommissie in de syllabus aandacht.
iiii - Euclidische meetkunde is in de program- de kettingregel voor differentiëren toevoegen
LLLL
cccc ma’s van 2013 vervangen door analytische en voor vwo het subdomein ‘Oriëntatie Havo; 1998 - 2007
meetkunde, vectoren worden expliciet op analytische en synthetische methoden’ Voor wat betreft havo wiskunde B12 zijn
uuuu
genoemd in de eindtermen. De inhoud schrappen. De staatssecretaris komt aan beide er geen negatieve reacties vanuit het hoger
EEEE
van het meetkundeonderwijs lijkt wat wensen tegemoet en schrapt voor vwo ook onderwijs op het programma van 1998
