Euclides, jaargang 69 // 1993-1994, nummer 7

36 Pages·1993·2.5 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

j
-
±LJ
jaargang 69 1993 994 apri
• Euclides • •. • •
Redactie Artikelen/mededelingen
Drs. H. Bakker
Drs. R. Bosch Artikelen en mededelingen worden in drievoud ingewacht bij
Drs. J.H. de Geus drs. M.C. van Hoorn, Noordersingel 12
Drs. M.C. van Hoorn (hoofdredacteur) 9901 BP Appingedam. Zij dienen machinaal geschreven te
J. Koekkoek zijn en bij voorkeur te voldoen aan:
N.T. Lakeman (beeldredacteur) • ruime marge
D. Prins (secretaris) • regelafstand van 1,5
W. Schaafsma • maximaal 47 aanslagen per regel
Ir. V.E. Schmidt (penningmeester) • eenzijdig beschreven papier
Mw. Y. Schuringa-Schogt (eindredacteur) • met de tekst bijgeleverd op diskette (3,5 of 5,25 inch) in
Mw. drs. A. Verweij WP 5.1, of eventueel in ASCII-files
A. van der Wal en liefst voorzien te zijn van (genummerde) illustraties
Drs. G. Zwaneveld (voorzitter) • die gescheiden zijn van de tekst
• aangeleverd in zo origineel mogelijke vorm
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging van • waar nodig voorzien van bijschriften
Wiskundeleraren. Het blad verschijnt 9 maal per cursusjaar De ruimte die een artikel of mededeling bij plaatsing in beslag
neemt kan worden bepaald door Uit te gaan van 48 tekstregels
perkolom bij een kolomhoogte van 20 cm; aan de hand
hiervan kan ook het ruimteheslag van illustraties worden
Nederlandse Vereniging van bepaald.
De auteur van een geplaatst artikel ontvangt kosteloos 2
Wiskundeleraren
exemplaren van het nummer waarin het artikel is opgenomen.
Voorzitter Dr. J. van Lint, Spiekerbrink 25,
8034 RA Zwolle, tel. [phone].
Abonnementen niet-leden
Secretaris Drs. J.W. Maassen, Traviatastraat 132,
2555 VJ Den Haag.
Abonnementsprijs voor niet-leden f 66,00. Een collectief
Ledenadministratie F.F.J. Gaillard, Jorisstraat 43,
abonnement (6 ex. of meer) kost per abonnement f 43,00.
4834 VC Breda, tel. [phone]; fax. [phone].
Niet-leden kunnen zich abonneren bij:
Giro: 143917 t.n.v. Ned. Ver. v. Wiskundeleraren te
WoltersgroepGroningen b.v., afd. Verkoopadministratie,
Amsterdam.
Postbus 567, 9700 AN Groningen, tel. [phone].
ABN-AMRO 44 60 67 105.
De contributie bedraagt f 60,00 per verenigingsjaar;
Abonnees wordt dringend verzocht te wachten met betalen
studentleden en Belgische leden die ook lid zijn van de
tot zij een acceptgiro hebben ontvangen. -
V.V.W.L. f42,50; contributie zonder Euclides f35,00.
Abonnementen gelden telkens vanaf het eerstvolgend
Adreswijziging en opgave van nieuwe leden (met
nummer. Reeds verschenen nummers zijn op aanvraag
vermelding van evt. gironummer) aan de ledenadministratie.
leverbaar na vooruitbetaling van het verschuldigde bedrag.
Opzeggingen vôör 1juli.
Annuleringen dienen minstens één maand voor het einde
van de jaargang te worden doorgegeven.
Losse nummers! 11,50 (alleen verkrijgbaar na vooruit-
Advertenties betaling).
Advertenties zenden aan:
ACQUI MEDIA, Postbus 2776, 6030 AB Nederweert.
Tel. [phone]. Fax. [phone]. ISSN 01.65-0394
•Inhoud•••••
Recreatie 213
Bijdragen 213
Agnes Verweij Droog en eenzijdig 214
Bij de prijsuitreiking van de wiskunde-olympiade
bleek dat maar weinig winnaars wiskunde gingen
studeren.
J. van de Craats Kijk en zie! 216
De schoonheid van het meetkundevraagstuk van
P.A. Hoogendoom in het januarinumrner kan nog
vergroot worden.
R. Dijxhoom Te veel jongens! 216
Kiezen te veel jongens wiskunde B?
Bijdragen 194 40 jaar geleden 217
Victor Schmidt Studiedag en jaarvergadering 194
Een verslag van de studiedag op 13 november 1993. Bijdrage 218
Bert Zwaneveld Joop van Dormolen emigreert 197 Verantwoording
F. van der Blij Een boeiende vraag (II) 198 Over het afbreken van de serie 'Ontwikkelingen in
De kettmgbreuk uit het voorafgaande artikel heeft de didactiek'.
iets te maken met de differentievergelijking die nu
nader bekeken wordt. Verenigingsnieuws 219.
Harm Bakker Kanttekeningen bij de Fermat- Marian Kollenveld Van de bestuurstafel 219
dag 202 Jaarrede 1993 220
Verslag van het symposium over FLT. Examenbesprekingen mei 1994 222
Serie 'Rekenen in W12-16' 205 Adressen van auteurs 224
Mieke Abels Procenten-test
Kalender 224
Bijdrage 206
Jan Koekkoek Rekentrainer - Wiskunde voor de
Basisvorming
Boekbesprekingen 207,218
Werkbladen 208
Bijdrage 210
Heleen Verhage Kwartielbepaling
Problemen bij het bepalen van boxplot-getallen kun-
nen opgelost worden met een paar afspraken.
Verschenen 211
Mededelingen 201, 207, 211, 224
Interview 212
Martinus van Hoorn 'Met geduld kun je veel berei-
ken' Fermat
Euclides Inhoud 193
• Bijdrage • • • •
Studiedag en
jaarvergadering
Victor Schmidt
'De basis gevormd ... en dan?' dat bleek een vraag
die ongeveer tweehonderd leraren wiskunde vol-
doende relevant achtten om op zaterdag 13 novem- Voorzitter van Lint spreekt de jaarrede uit
ber jongstleden de jaarlijkse studiedag van de
NVvW te bezoeken. De studiedag had vooral
betrekking op de invoeringsproblematiek van het
nieuwe leerplan wiskunde in de onderbouw. Tevens
zou er aandacht zijn voor de uitstraling van dat leer-
plan naar andere onderwijssectoren zoals boven-
bouw en vervolgopleidingen.
De organisatie van de dag was in handen gegeven
van het APS. De deelnemers werden verwelkomd
met informatie over de faciliteiten die het APS biedt
ten aanzien van nascholing. Ook werd hen een
publikatie van de vereniging en het APS met als titel
'Bladeren in de nieuwe schoolboeken wiskunde' ter
hand gesteld.
Huishoudelijk gedeelte
De vorm van de dag was als vanouds. Ook dit jaar
had het bestuur het Nieuwe Lyceum in Bilthoven
gekozen als plaats van handeling. Er waren twee
sprekers ingehuurd en er was een elftal werkgroepen
gevormd. De dag zou beginnen en eindigen met de
statutaire jaarvergadering van de vereniging. De
jaarrede* van voorzitter Van Lint vormt een mo-
Hans Wisbrun verdedigt zijn amendement
194 Euclides Bijdrage
ment van terug- en vooruitzien in het verenigings-
jaar. De voorzitter memoreert een aantal gebeurte-
nissen van het afgelopen jaar en spreekt voornemens
van het nieuwe bestuur uit. Zo zal de NVvW zich
het komend jaar nadrukkelijk bezig houden met pro-
blemen rond de invoering van de basisvorming.
Discussie ontstond naar aanleiding van de oproep
'Wij eisen contributieverhoging' (zie Euclides num-
mer 3). De opstellers bleken de oproep als amende-
ment te beschouwen bij het bestuursvoorstel de con-
tributie volgend jaar te verhogen. Na enig heen en
weer gepraat werd besloten aan het einde van de dag
de leden een compromis voor te leggen tussen
bestuursvoorstel en amendement.
Bert Zwaneveld over het nieuwe Euclides
Kees Hoogland had de leiding over een werkgroep
die de algebralijn tot onderwerp had. Hij betoogde
hoe de algebralijn door het hele voortgezet onder-
wijs loopt en zou moeten lopen. Kern van zijn
betoog was dat algebraïsche vaardigheden niet los
van de analyse (bijvoorbeeld het functiebegrip)
geleerd moesten worden. In de discussie achteraf
Stemming over amendement Wisbrun
uitte een deelnemer haar zorg over de aansluiting
van het nieuwe leerplan op dit gebied met het overi-
Werkgroepen ge wiskunde-onderwijs. Andere deelnemers bleken
het met haar eens te zijn. In de middageditie bleef
Het organisatiecomité had voor een ruime keuze aan de discussie wat uit, mede omdat de werkgroep toen
werkgroepen gezorgd. In de meeste werkgroepen bezocht werd door een aantal professionals op het
kwam een aspect van de invoering van het nieuwe gebied van leerplanontwikkeling. Jammer.
leerplan aan de orde. Actueel was de werkgroep
onder leiding van Boertien van het Cito over de Veel positieve reacties waren te horen na afloop van
afsluiting van de basisvorming. Er werden voorbeel- de werkgroep van prof. Does. Deze inleider hield
den getoond van mogelijke toetsen. Tevens deed een verhaal over de beheersing van produktieproces-
Boertien kond van het systeem waarin alle leerlin- sen met behulp van statistische technieken. Zulke
gen drie toetsen van elk een uur en opklinimend qua technieken worden overal ter wereld gebruikt, zoals
moeilijkheidsgraad worden aangeboden. Ook maak- in de auto-industrie en in de procesindustrie.
te hij melding van het feit dat er een getuigschrift Simpelweg door goed te kijken blijkt het mogelijk
komt, mogelijk voorzien van een cijferscorelijst. flink te besparen.
Euclides Bijdrage 195
S aan de hand van toepassingen behandeld moeten
worden. Als mogelijke nieuwe onderwerpen werden
numerieke wiskunde, geschiedenis van de wiskunde
en discrete wiskunde genoemd.
Voordrachten
De sessies in de werkgroepen werden afgewisseld
met spreekbeurten van Aad Goddijn van het
Freudenthal instituut en Hans Pouw van het APS.
De eerste spreker hield een betoog over meetkunde
in de basisvorming. Aan de hand van leerboeken,
proefexamens en het historisch archief gaf Goddijri
zijn gehoor een beeld van de meetkunde in het nieu-
we curriculum. De voordracht was bijzonder onder-
houdend, hoewel de actualiteitswaarde van de
inhoud te wensen overliet.
Hans Pouw vond 'de basisvorming af' en vroeg zich
af 'wat nu?'. Voor leerplanontwikkelaars is het
pauze; de kloof tussen het realistisch rekenen in de
basisschool en HEWET en HAWEX in de boven-
bouw is door het nieuwe programma overbrugd.
In welke lokalen moet ik zijn?
Voor docenten begint het werk nu pas. Het project-
team invoering basisvorming zal evenmin stil zitten.
Wiskunde B in het vwo De problematiek van de afsluitende toetsen dient
bevredigend opgelost te worden, leerboekauteurs
De zitting van de werkgroep Wiskunde B in het vwo verdienen begeleiding en ondersteuning, de aanslui-
had veel weg van een hearing. De herzieningscom- ting met de bovenbouw moet aandacht krijgen en er
missie onder leiding van De Lange bood de gelegen- moet over de invulling van het individueel beroeps-
heid mee te denken over aanpassingen van het exa- onderwijs worden nagedacht.
menprogramma wiskunde B. Daar bleek ruime Veel werk moet er in de scholen worden verricht.
belangstelling voör te zijn. De Lange gaf resultaten De scholen, en daarbinnen de vaksecties, zijn ver-
van een onder vwo-docenten wiskunde gehouden antwoordelijk voor de invoering van de basisvor-
enquête. Tevens wist hij een aantal nieuwigheden ming. Daartoe krijgt elke school een nascholings-
over de doorstroomprofielen in het vwo en de plaats budget van f 700 per voltijds personeelslid. Met een
van de wiskundevakken in elk van de profielen te gedeelte van dit budget kan een vaksectie nascho-
noemen. ling op maat kopen.
De aanwezigen werd gevraagd welke problemen ze
ervaren met het huidige B-programma. Genoemd
werden het overladen karakter van het curriculum, Rondkijken
het feit dat (te) veel leerlingen het vak kiezen, de
onduidelijke afbakening van de ruimtemeetkunde en De lunchpauze was aan de korte kant. Er was gele-
het onderwerp differentiaalvergelijkingen als zoda- genheid tot het bezichtigen van de winnende bijdra-
nig. Wensen werden geuit op het terrein van hulp- ge van de didactiekprijsvraag, die door de NVvW en
middelen als de grafische rekenmachine en een de NVORWO jaarlijks wordt uitgeschreven. De
simpel formuleblad op het examen. Differentiaalver- helaas enige inzenders hadden een spel bedacht
gelijkingen zouden ôf niet, ôf beter, bijvoorbeeld waarin in een soort ganzebord elementen verzameld
196 Euclides Bijdrage
moeten worden, waarmee een ruimtelijke figuur van dend en geanimeerd. De organisatie stak, zoals elk
tekening af gebouwd kan worden. De bouwelemen- jaar, goed in elkaar. Anderzijds beginnen de studie-
ten worden uitgekeerd na beantwoording van een dagen steeds meer op elkaar te lijken. Dat betreft
vraag. De vakjury vond het spel fraai van uitvoe- niet zozeer de vorm, maar met name ook de inhoud.
ring. Ook bood het ruimte aan de spelleider de De vereniging biedt professionals op het gebied van
regels aan te passen en uit te breiden. leerplanontwikkeling of -begeleiding op zo'n dag
alle en misschien zelfs te veel ruimte. Zelf beperkt
ze zich tot het beschikbaar stellen van tijd, geld en
een podium. Het ware te overwegen om in de toe-
komst de studiedag te gebruiken om over één of
meer thema's een verenigingsstandpunt in te nemen.
Dat daarbij een beroep wordt gedaan op de genoem-
de professionals ligt voor de hand. Hun bijdragen
zullen dan echter, meer dan het vertonen van eigen
kunnen, uitgangspunt van discussie zijn.
* Zie bladzijde 220
Prijsuitreiking metselspel
De informatiemarkt werd bevolkt door educatieve
uitgevers, producenten van elektronica en organisa-
ties die nascholing aanbieden. In een hoekje stond
een aantal fraaie meetkundige modellen, die door Joop van Dormolen
een werkproject uit Amsterdam op de markt ge- emigreert
bracht worden.
Uw correspondent was erg enthousiast over het op Bert Zwaneveld
de studiedag uitgebrachte softwarepakket PC-Gra-
fiek. Dit pakket wordt onder auspiciën van de ver-
eniging de leden aangeboden tegen een geringe ver- In de loop van 1994 zal Joop van Dormolen, de hui-
goeding van f 15,00 + f 2,50 aanmaakkosten. Een dige nestor van de didactiek van de wiskunde, met
aanrader. zijn vrouw zich metterwoon in Israel vestigen. Op
28 januari namen zijn Nederlandse collega's, vakdi-
dactici, bestuur NVvW, leden van de Samenwer-
Conclusie kingsgroep, medewerkers van het Freudenthal insti-
tuut en mede-auteurs afscheidvan hem.
Op de-terugreis naar huis is er ruimte voor een eva- De redactie van Euclides sluit zich graag aan bij de
luatie van de dag. Twee gedachten dringen zich bij die avond veel gehoorde wens: Joop, het ga je goed
mij op. Enerzijds was de studiedag erg onderhou- en in ieder geval tot ziens.
Euclides Bijdrage 197
•
Bijdrage
• • • • Dit dringt vooral als we ons realiseren wat het ver-
band van deze differentievergelijking met de ket-
tingbreuk uit het vorige artikel is.
Daarom daar eerst iets over.
We bewezen in het vorige artikel dat de ketting-
breuk
+
1 + 1
de waarde e - 2 heeft.
Een boeiende vraag (II)*
Stellen we nu
F van der Blij 1
t(k-1)= k
k+1
In de brief van de heer Maas werd opgemerkt dat de 1+
1 + . . .
kettingbreuk, die we in het eerste artikel bestudeer-
den, iets te maken had met de differentieverge- dan geldt
lijking: t(k) = -1
+ k t(k- 1) k
t(k-1)=
1 + t(k)
We vroegen u al om bij verschillende beginwaarden
voor t(0) met rekenmachine of computer een aantal en dit is juist de bovengenoemde differentievergelij-
termen t(k) uit te rekenen. Ik vermoed dat u wel ont- king.
dekt heeft dat voor enkele ongelukkig gekozen Het aardige is dat we direct zien dat alle t(k) in dit
beginwaarden het proces stopt omdat we op een geval positief zijn en dat de limiet van de rij t(k) ge-
deling door nul stuiten. Maar voor andere begin- lijk aan 0 is.
waarden nadert de rij t(k) snel tot -1. Daarbij is de beginwaarde t(0) bij de differentiever-
Dit verbaast ons niet want als de rij t(k) een limiet T gelijking dus juist de waarde van de kettingbreuk.
heeft moet, omdat Er is dus wel degelijk een beginwaarde t(0) te
vinden zodat de rij t(k) tot nul nadert! Aardig is het
t(k) . t(k - 1) + t(k - 1) = 1- om nu direct met de rekenapparatuur het verloop
k
van de rij na beginwaarde
gelden: t(0) = e - 2 = 0.718281818459 te onderzoeken.
= 0 We vinden:
T2 + T
en dus t(1) = 0.3922111912
TOOfT = -1.
We merken op dat als zekere t(k) negatief is de vol- = 0.0745774903
gende t(k + 1) kleiner dan -1 is zodat na een nega- = 0.03 14516699
tieve term alle volgende termen kleiner dan -1 zijn, = 1.271058153
en als er een limiet bestaat deze dus -1 moet zijn. = - 0.9475502623
We vragen ons af of het voor kan komen dat alle = - 1.065959562
termen positief zijn, en of er een beginwaarde te = - 1.055183641
vinden is zodat de limiet 0 wordt.
198 Euclides Bijdrage
en nu nadert t(k) snel naar -1. Wellicht heeft u, dit We proberen nu een oplossing van de gedaante
controlerend, heel andere waarden voor de getallen k+ 2
t(k) = - + s(k) te vmden.
t(k) gevonden. Het zijn namelijk de afrondfouten die
dit alles veroorzaken, die willen nog al eens ver- Invullen geeft ons de relatie
schillen per machine. Maar ook in uw geval zal de
+ E(k) + i].[_ t_i: + e(k - 1)] =
rij t(k) tot -1 naderen. Dan maar even anders te
werk gaan, we starten met t(0) = p en onderzoeken
en dus
voor welke waarde van p de termen positief blijven. 1
j--e(k)+ -jE(k 1)=E(k) . (k 1).
t(i)_i_L t(i)>0 voor0<p<1 Opnieuw een niet-lineaire differentievergelijking.
p
Maar met een kleine kunstgreep kunnen we over-
2
t(2)>0 voor gaan op een lineaire vergelijking. Schrijven we
namelijk
8-lip 8
t(3)>0voor 2- <P<-j-j-
e(k)
=
t(4) - 38 t(4) >0 voor 38 <p < 8
32 - dan zien we dat 6(k) voldoet aan:
222 - 309p t(5)>0 voor 38 <p< 222 1) + —1--6(k)= 1.
265p- 190
2119p- 1522 222 We herinneren ons iets van lineaire differentiaalver-
«6>0 voor 1522 <
i332-1854p gelijkingen en gaan eerst de homogene vergelijking
11986 - 16687p 1522 11986 oplossen.
t(7) t(7) >0 voor
14833p - 10654 -j-j- <° < 16687 Van
= - ---6(k - 1)
We merken terloops even op dat
is
1522
= 0.718263. .en = 0.718283 (_1)k. (k+ 1) (k+ 1)' C
de oplossing. We passen nu het principe van variatie
Dit verbaast ons niet, e - 2 is immers de kritieke van constanten toe en zoeken van
waarde.
6(k) 6(k - 1) + 1
We willen de differentievergelijking nu exact oplos- = - j--
sen voor iedere beginwaarde p. een oplossing van de vorm
Uit ( 1)L'. (k+ 1) (k+ 1)! p(k).
t(k) = -1 - 1) komen we tot het ver- Substitutie voert tot
+ k «k
moeden dat p(k)-p(k- 1) = (k+ 1)!
k + 1
1 en dus
k k
k±1
p(k)-> J)+(0).
een oplossing zou kunnen zijn; deze is bijna goed. t=2 t!
Even bijstellen geeft dat We vinden dus als oplossing van de differentiever-
gelijking
t(k) = -
k+ 1 t(k) = - k + 2
-- +
een exacte oplossing is. Deze hoort bij beginwaarde
(_flk r k±1 1-1
t(0) = -2 en heeft de eigenschap L +p(Ø)
(k+ 1)(k+ 1)! [ r=2 t!
lirnt(k) = -1 met een constante die we kunnen bepalen door een
beginwaarde voor de rij te kiezen.
Euctides Bijdrage 199
aanleiding geeft tot twee lineaire differentievergelij-
kingen van de tweede orde
Tk=akTkl + bkTk2; T 1 = 1, T0 =O
Bij beginwaarde t(0) = p hoort Nk=akNk.l +bkNk2;N l = O,NO = 1
en als
p(Ø) = _ L_
Tk
p + 2 li m-
k-.= Nk
We zien dat voor alle k de beginwaarde
k+1 t bestaat, deze de waarde van de kettingbreuk geeft.
+F
p= -2 De vergelijking
t.
Lt=2 Xk = akXk -1 + bkXk -2
tot een rij voert die onderweg afbreekt omdat we op
kunnen we omschrijven als
een deling door nul stuiten.
Voor andere b eginwaarden ongelijk aan XXkkl = a + bk —XXkk2l
1-,
2+ en schrijven we
[ (-t!11 t(k) = - -Xk-
geldt dat de rij t(k) de limiet -1 heeft.
Voor beginwaarde
dan vinden we
t(0)=-2+1 > —(Tl)-]-1 =- 2+e t(k) = - bk
+ t(k - 1)'
is het moeilijker te zien wat er gebeurt. We vullen
voor p(0) nu in en voor a,,, = 1 en bk = is dit juist de bestudeerde
differentievergelijking.
1 -' (_1)t
= L en vmde n dan
p+2 t=2 t! Gaan we anderzijds uit van
t(k)=-ak+ t(k-1)
t(k) = - k+2
+
en voeren we
1)-1
( 1) [(k+ 1) (k+ 1)! ( -
r=tk±2 ] t(k) = B(k)
en na enkele herleidingen
+ F r 00 in, dan vinden we
t(k)= —k 2.I -1+I1+(k+2)!'
k+1 [ L t! j 4Ç= bkB(k-1)
+
en omdat 00 B(k) A(k- 1)
lim(k+2)! •t 110
k - o t=±3 t! en dus
volgt dat de rij tot nul nadert. A(k)=akA(k- 1)+bkB(k- 1),
Met de rekenmachine hadden we dit nooit kunnen B(k)=A(k- 1),
ontdekken door de instabiliteit van het rekenproces. A(k)=akA(k- 1)+bkA(k-2).
Iedere kleine afronding is fataal. We hebben uit de differentievergelijking de bij de
kettingbreuk behorende lineaire vergelijkingen weer
Tenslotte nog iets over het verband tussen de ket-
terug gekregen.
tingbreuk uit het eerste artikel en de differentiever-
gelijking uit het tweede artikel.
Natuurlijk hadden we eerst de bibliotheek in kunnen
We zagen dat de kettingbreuk
gaan en in de literatuur naar de oplossing van onze
12 problemen kunnen zoeken.
al + b2 De eerste greep is al raak. In het klassieke boek van
a2+ 0. Perron: Die Lehre von den Kettenbruechen, Band
b
a3 + II, pag. 19 (Stuttgart, 1957, derde druk) vind ik de
a4 formule
200 Euclides Bijdrage