Etude théorique des fluctuations de courant de l'admittance et de la densité d'états d'un nano ...

190 Pages·2017·2.62 MB·French

by  Redouane Zamoum

Etude théorique des fluctuations de courant de
l’admittance et de la densité d’états d’un nano-système
en interaction
Redouane Zamoum
To cite this version:
Redouane Zamoum. Etude théorique des fluctuations de courant de l’admittance et de la densité
d’états d’un nano-système en interaction. Autre [cond-mat.other]. Aix-Marseille Université, 2013.
Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-00881571￿
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abroad, or from public or private research centers. publics ou privés.
THE`SE DE DOCTORAT DE
l’UNIVERSITE´ D’AIX-MARSEILLE
Sp´ecialit´e
Physique Th´eorique
Ecole doctorale physique et science de la mati`ere (Marseille)
Pr´esent´ee par
Redouane ZAMOUM
Pour obtenir le grade de
DOCTEUR de l’UNIVERSITE´ D’AIX-MARSEILLE
Sujet de la th`ese :
Etude th´eorique des fluctuations de courant, de l’admittance
et de la densit´e d’´etats d’un nano-syst`eme en interaction.
Date de soutenance : 27 septembre 2013
devant le jury compos´e de :
Mme. Adeline Cr´epieux Directrice de th`ese
Mme. Julia Meyer Rapporteure
M. Pascal Simon Rapporteur
M. Fr´ed´eric Pierre Examinateur
M. Thierry Martin Pr´esident du jury
A mes parents
A mes fr`eres et sœures
A mon ´epouse
II
Remerciements
Avant tout, je tiens `a remercier toutes les personnes qui m’ont un jour aid´e, par un
mot, un geste, un encouragement ou une critique. Aussi bien les gens que je connais et
ceux que j’ai juste rencontr´e.
Mes premiers remerciements s’adressent `a Adeline Cr´epieux. D’abord pour m’avoir
accept´e en stage du master II et ensuite pour la th`ese. Grˆace `a toi j’ai appris beaucoup de
choses qu’un jeune chercheur a besoin de savoir. En plus des connaissances scientifiques
du domaine, j’ai bien compris qu’un chercheur doit ˆetre patient en permanence, qu’il doit
tomber pour se remettre debout et qu’il doit faire des erreurs pour avancer.
Pendant ces trois ann´ees, tu as su ˆetre patiente avec moi. Tu m’as permis d’avoir
plus d’initiatives et d’audace scientifique, quoique des fois je me plantais dans des calculs
et que je donnais des interpr´etations compl`etement bizarres. Il faut noter aussi que ton
optimisme, chose quimemanquait desfois et quinous apermisdecroire ennos approches
et d’arriver `a des r´esultats. Merci pour tout, et si un jour j’aurais `a encadrer quelqu’un
j’esp`ere me comporter comme toi.
Je remercie ensuite Thierry Martin, d’abord pour avoir accept´e de faire partie du
jury de th`ese, mais surtout pour le cours de th´eorie quantique du solide que j’ai suivi
en master II. Ce cours repr´esente une vraie initiation `a la nanophysique th´eorique ainsi
qu’une motivation principale pour faire une th`ese dans ce domaine.
Je remercie les membres du jury, Julia Meyer, Pascal Simon et Fr´ed´eric Pierre, pour
avoir lu le manuscrit et de m’avoir questionn´e sur son contenu, ainsi que pour les sugges-
tions qui m’ont permis d’am´eliorer la forme.
Je remercie les collaborateurs avec qui nous avons travaill´e : In`es Safi, Cristina Bena
et Marine Guigou dontles conseils ont´et´e pr´ecieux pourla pr´eparation dela pr´esentation.
Grˆace `a ces collaborateurs j’ai appris le sens du travail en groupe et l’´echange des id´ees.
Je remercie les membres de l’´equipe nanophysique du CPT, Thibaut Jonckheere,
Pierre Devillard, J´erˆome Rech, Claire Wahl et Denis Chevallier. Je remercie ´egalement le
personnel technique et administratif du Centre de Physique Th´eorique, pour leur dispo-
nibilit´e et leur gentillesse : V´eronique Esposito, Catherine Levet, Vincent Bayle, Beatrice
Rolland, Magatte Sarr, Brigitte Guarnieri et tous ceux que je n’ai pas cit´es.
Je remercie Mossadek Talby et Serge Lazzarini, les deux responsables du master qui
ont toujours ´et´e pr´esents pour leurs ´etudiants pendant et mˆeme apr`es le master.
Jesouhaiteaussiremercier mesamisducentredephysiqueth´eorique :Lo¨ıcdeGuille-
bon,toujoursl`apoursoutenir,conseiller etdiscuterinconditionnellement. JordanFranc¸ois
et C´edric Fournel pour les nombreuses pauses-caf´e, les discussions et les id´ees ´echang´ees.
Tapio Salminen qui partage le bureau avec moi. Je remercie ´egalement : Julien Maurer,
Florent Marmol et Heinrich Steigerwald. Je remercie´egalement mon ami Mosbah Difallah
pour ses conseils et ses encouragements.
Je tiens `a remercier aussi tous ceux que j’ai connus ici `a Marseille et qui m’ont aid´e
de pr`es ou de loin : Abdallah, Abderraouf, Sa¨ıd, Mouad, Farid et Sofiane.
Ungrandmercis’adresse`amesamispourtoujours:Abdelwahab,Abderrahim,Hous-
sam, Mahdi, Hafid, Kamel, Yacine, ainsi qu’`a tous mes amis que j’ai connus `a l’universit´e
III
d’Alger. J’adresse un remerciement tr`es sp´ecial `a mon meilleur ami Hmimed ainsi qu’`a
tous les potes et les amis d’enfance du quartier `a Alger : Mohamed, Nabil, Hakim, Samir
et les autres, je n’oublierai jamais les moments partag´es ensemble, et je vous dis : les gars,
j’ai vraiment besoin d’un match de foot.
Que faire pour remercier mes parents? Certes, les mots ne suffisent pas. Toujours l`a
depuis ma naissance, j’esp`ere rendre au moins une petite partie de ce que vous avez fait
pour moi. Mes fr`eres et sœurs, toujours l`a pour me soutenir par tous les moyens, merci
`a vous tous, et merci `a mes neveux et ni`eces. Merci aussi pour ma belle-famille qui m’a
soutenu. Enfin, merci `a toi ma ch`ere ´epouse pour m’avoir soutenu et surtout support´e
dans des moments tr`es importants.
IV
Table des mati`eres
Introduction 1
1 Conduction dans les syst`emes m´esoscopiques 4
1.1 Conduction dans les m´etaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Th´eorie des ´electrons de conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Th´eorie du champ moyen : Approximation de Hartree-Fock . . . . . 6
1.1.3 Le ph´enom`ene d’´ecrantage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Th´eorie des liquides de Fermi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Notion de quasi-particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Fonction de distribution, ´energie et temps de vie des quasi-particules 8
1.2.3 Fonction de Green d’une quasi-particule . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Blocage de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Echelle d’´energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Exemple de dispositif : transistor `a un ´electron . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Th´eorie P(E) de la diffusion d’un ´electron dans un environnement dissipatif 16
1.4.1 Taux de diffusion d’un ´electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 Propri´et´es de la fonction P(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Caract´eristiques courant-tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.4 Cas d’un environnement Ohmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Th´eorie de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Description du syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Courant moyen et conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Bruit et corr´elations de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.1 Origine du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.2 Bruit poissonien : formule de Schottky . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Bruit dans la limite quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.4 Bruit `a fr´equence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6.5 Bruit `a fr´equence finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Th´eorie des liquides de Luttinger chiraux 33
2.1 Effet Hall quantique fractionnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Liquide de Luttinger chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Th´eorie hydrodynamique de Wen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Th´eorie des champs effective pour un liquide de Luttinger chiral
incompressible complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.3 Caract´eristique courant-tension et transmission ´electronique entre
deux´etatsdeborddansler´egimedel’effetHallquantiquefractionnaire 42
V
2.3 Refermionisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Refermionisation par r´esolution des ´equations du mouvement . . . . 47
2.3.2 Refermionisation par diagonalisation du Hamiltonien . . . . . . . . . 49
2.4 Exp´eriences importantes sur les liquides de Luttinger chiraux . . . . . . . . 50
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Fluctuations de courant et admittance dans le r´egime de l’effet Hall
quantique fractionnaire 55
3.1 Admittance quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Description th´eorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Description exp´erimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Description du syst`eme et mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3 Expression des corr´elations de courant et de l’admittance en terme d’am-
plitude de transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 Auto-corr´elations et corr´elations crois´ees . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 Admittance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Relations entre les fluctuations du courant et l’admittance . . . . . . . . . . 63
3.4.1 Auto-corr´elations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.2 Corr´elations crois´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.1 Limite de faible temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.2 Limite de faible r´etrodiffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.3 Limite de haute temp´erature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Conducteur `a un canal dans un environnement Ohmique 71
4.1 Concepts importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Anomalie de point z´ero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 Le mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 R´esultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 Courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Le bruit non-sym´etris´e `a fr´equence finie . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3 Le bruit `a fr´equence nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3.4 La conductance `a fr´equence finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4.1 Conductance diff´erentielle et bruit `a fr´equence nulle . . . . . . . . . 78
4.4.2 Conductance `a fr´equence finie et bruit non-sym´etris´e `a fr´equence finie 82
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Th´eorie des liquides de Luttinger non chiraux 87
5.1 Lin´earisation du spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2 Bosonisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.1 Champs bosoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2.2 Expression du Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2.3 Expression du Lagrangien et de l’action . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3 Exp´eriences sur des liquides de Luttinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.3.1 Les nanotubes de carbone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
VI
5.3.2 Fractionalisation de la charge dans les liquides de Luttinger non-
chiraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6 Densit´e d’´etats dans un fil quantique connect´e `a deux ´electrodes 99
6.1 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.1 Cadre de la th´eorie de la r´eponse lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.1.2 Cadre de la th´eorie de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.1.3 Formalisme de Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1.4 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Propri´et´es d’un fil quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Expression de la fonction de Green retard´ee fermionique . . . . . . . 106
6.2.2 Densit´e d’´etats d’un fil quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.3 Fil quantique en pr´esence d’impuret´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.1 Cas d’une seule impuret´e en interaction . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.3.2 Cas de deux impuret´es sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 Fil quantique connect´e `a deux ´electrodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.4.1 Mod`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4.2 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.4.3 Solution de l’´equation de Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.5 R´esultats : densit´e d’´etats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.1 Param`etre d’interaction uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.5.2 Param`etre d’interaction d´ependant de la position . . . . . . . . . . . 122
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Perspectives 124
A Calcul de courant, bruit non-sym´etris´e `a fr´equence finie et conductance128
A.1 Courant moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.2 Bruit non-sym´etris´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.3 Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.4 Bruit `a fr´equence finie : comparaison avec la th´eorie de la diffusion . . . . . 134
B Relationentrecorr´elationsdecourantetadmittancecalcul´eesparr´etrodiffusion
dans le r´egime de l’effet Hall quantique fractionnaire 136
C Solution de l’´equation de Dyson de l’article de Song et coll. 142
D Validit´e de l’´equation de Dyson pour un fil quantique connect´e `a deux
´electrodes 143
E D´erivation et r´esolution de l’´equation de Dyson 147
E.1 Equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E.2 Transform´ee de Fourier de l’´equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . 149
E.3 Solution de l’´equation de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
VII
F Fonctions de Green bosoniques et fermioniques pour un fil quantique
inhomog`ene 153
F.1 Fonctions de Green bosoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
F.1.1 Fonctions de Green bosoniques quand x = L/2 . . . . . . . . . . . 156
′
−
F.1.2 Fonctions de Green bosoniques quand x = +L/2 . . . . . . . . . . . 158
′
F.1.3 Les autres fonctions de Green bosoniques . . . . . . . . . . . . . . . 159
F.2 Fonction de Green retard´ee fermionique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
F.2.1 Fonction de Green gR ( L/2, L/2;ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
r,r ± ±
F.2.2 Fonction de Green gR ( L/2, L/2;ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
r,r ± ∓
F.2.3 Fonction de Green gR (x, L/2;ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
r,r ±
F.2.4 Fonction de Green gR ( L/2,x,ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
r,r ±
F.2.5 Fonction de Green gR (x,x;ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
r,r
VIII
Introduction
Le cadre g´en´eral de cette th`ese est la physique de la mati`ere condens´ee. Plus pr´ecis´e-
ment, la physique m´esoscopique qui ´etudie les propri´et´es d’un solide de petite dimen-
sion. De nombreux outils ´emanants de nombreuses th´eories, ont tent´e de comprendre et
de d´ecrire les ph´enom`enes qui caract´erisent cette ´echelle m´esoscopique. De nombreuses
exp´eriences ont ´et´e r´ealis´ees pour les mˆemes buts. Une des caract´eristiques importante
d’un ´echantillon m´esoscopique, est le fait que sa taille doit ˆetre inf´erieure `a la longueur de
coh´erence de phase des ´electrons. Elle correspond `a la longueur moyenne sur laquelle la
phase de la fonction d’onde ´electronique est inchang´ee.
La fabrication des conducteurs de petite taille a permis d’observer un certain nombre
de ph´enom`enes nouveaux. Le ph´enom`ene de blocage de Coulomb nous a int´eress´e en par-
ticulier. Il caract´erise des dispositifs construits `a base de jonctions. Ce ph´enom`ene est
engendr´e par la quantification des niveaux d’´energie [1]. Son ´etude permet de comprendre
la conduction dans de nombreux dispositifs. Ceci peut se faire en mesurant le courant
en fonction de la tension appliqu´ee. Cependant, certaines conditions peuvent affecter le
profil du courant. A noter, les charges parasites et l’environnement ext´erieur. L’´etude de
ce dernier point se fait par la th´eorie P(E) qui permet de calculer le courant en fonction
de la tension appliqu´ee en tenant compte de l’influence de l’environnement ext´erieur [2].
Le ph´enom`ene de conduction n’est pas restreint aux jonctions. D’une mani`ere plus
g´en´erale, la conduction a fait l’objet de nombreux travaux th´eoriques et exp´erimentaux
sur divers syst`emes depuis le d´ebut du si`ecle dernier. Au d´ebut, on s’int´eressait `a l’´etude
du courant moyen. Plusieurs approches th´eoriques ont tent´e d’expliquer le comportement
collectif des porteurs de charge, allant des mod`eles classiques, semi-classiques jusqu’aux
mod`eles quantiques. L’un des mod`eles qui d´ecrit bien le transport dans les syst`emes
m´esoscopiques est celui de Landauer. Il permet en effet de calculer le courant moyen
et la conductance en se basant sur une approche de diffusion pour un fil connect´e `a des
r´eservoirs[3,4].Lespr´edictionsth´eoriquesdecemod`eleont´et´ev´erifi´eesexp´erimentalement.
A noter l’observation de la quantification de la conductance qui augmente par palier de
2e2/h [5].
Un autre aspect tr`es important du transport est le bruit. Celui-ci repr´esente les fluc-
tuations temporelles du courant autour de sa valeur moyenne. Dans le pass´e on cherchait
`a ´eradiquer le bruit, qui des ann´ees apr`es s’av`ere tr`es utile. En effet, l’analyse de son com-
portement permet d’acc´eder `a des informations sur la physique du syst`eme. Un des plus
importants r´esultat est lad´etermination delacharge desporteurspourdiff´erents syst`emes
`atraverslarelationdeSchottky[6].Cetteformulea´et´ed´eriv´eeinitialementpourunm´etal.
Elle montre que le bruit qui r´esulte d’une source de particules est proportionnel au cou-
rant moyen et `a la charge des porteurs de courant. Cette expression peut ˆetre ´etendue `a
d’autres syst`emes en ´ecrivant : S = 2e I , ou` e est la charge effective. Elle varie suivant
∗ ∗
h i
les syst`emes ´etudi´es. Par exemple, pour une jonction m´etal-supraconducteur e = 2e, cor-
∗
respondant aux paires de Cooper [7]. Plusieurs travaux th´eoriques et exp´erimentaux ont
1