Étude géométrique et structures différentielles généralisées sur les algèbres de Lie quasi

149 Pages·2009·2.25 MB·French

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS

DEPARTAMENTO DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA

TESIS DOCTORAL

Étude géométrique et structures
différentielles
généralisées sur les algèbres de Lie quasi-
filiformes complexes et réelles

MEMORIA PARA OPTAR AL GRADO DE DOCTOR

PRESENTADA POR

Lucía García Vergnolle

Bajo la dirección del doctor:

José María Ancochea Bermúdez

Madrid, 2010

ISBN: 978-84-693-3179-8
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
Facultad de Ciencias Matem´aticas
Departamento de Geometr´ıa y Topolog´ıa
´
UNIVERSITE DE HAUTE ALSACE
Facult´e de Sciences et Techniques
Laboratoire de Math´ematiques,
Informatique et Applications
´
Etude g´eom´etrique et structures diff´erentielles
g´en´eralis´ees sur les alg`ebres de Lie quasi-filiformes
complexes et r´eelles
Memoria presentada por Luc´ıa Garc´ıa Vergnolle
para optar, en r´egimen de cotutela, al t´ıtulo de Doctor en Ciencias Matem´aticas
por la Universidad Complutense de Madrid y la Universit´e de Haute Alsace.
Dirigida por Jos´e Mar´ıa Ancochea Bermu´dez (UCM) y Michel Goze (UHA).
Remerciements
Je voudrais avant tout t´emoigner ma gratitude `a Messieurs les Professeurs J. M. Ancochea Bermu´dez
et M. Goze de m’avoir accueillie dans leurs ´equipes, suivie et soutenue tout au long de ces ann´ees de
pr´eparation de ma th`ese.
Je tiens par ailleurs `a exprimer toute ma reconnaissance envers les membres du Laboratoire de
Math´ematiques,InformatiqueetApplications,ainsiqu’aupersonneladministratifdel’Universit´edeHaute
Alsace qui m’ont si gentiment aid´ee et acueillie lors de mon s´ejour en France.
JeremercieaussilaFondationRam´onAreces(Madrid)pourlaboursepr´e-doctoraleainsiquelespro-
jets de recherche MTM2006-09152 du M.I.C.I.N.N., CG07-UCM/ESP-2922 et GR58-08/4120818-920920
du UCM-BSCH.
1
Introduction
Le premier probl`eme qui se pose naturellement lors de l’´etude des alg`ebres de Lie nilpotentes est la
classification de celles-ci en petite dimension. La classification des alg`ebres de Lie nilpotentes complexes
a ´et´e compl´et´ee jusqu’en dimension 7. Pour les dimensions inf´erieures ou ´egales `a 6, il n’existe, sauf iso-
morphismes, qu’un nombre fini d’alg`ebres de Lie nilpotentes complexes. Dans [2], on classifie les alg`ebres
de Lie nilpotentes complexes selon leur suite caract´eristique. On obtient ainsi, une liste plus´etendue qui
contient des familles d’alg`ebres de Lie non isomorphes entre elles.
On envisage alors d’´etudier les alg`ebres de Lie nilpotentes selon leur nilindice, en commen¸cant par celles
quiontunnilindicemaximal,c’est-`a-dire,lesalg`ebresdeLiefiliformes.D`es1970,Vergneainiti´el’´etude
desalg`ebresdeLiefiliformes[51].Elleamontr´equesuruncorpsayantuneinfinit´ed’´el´ements,iln’existe,
sauf isomorphismes, que deux alg`ebres de Lie filiformes naturellement gradu´ees de dimension paire 2n,
nomm´ees L et Q , et une seule en dimension impaire 2n+1, appel´ee L avec n∈N.
2n 2n 2n+1
Plus r´ecemment, Sˇnobl et Winternitz [48] ont d´etermin´e les alg`ebres de Lie ayant comme nilradical
l’alg`ebre L sur le corps des complexes et des r´eels. Afin de compl´eter cette classification `a toutes les
n
alg`ebres de Lie filiformes naturellement gradu´ees, nous allons proc´eder de mˆeme avec les alg`ebres Q .
2n
Nous d´emontrons ensuite que si une alg`ebre de Lie ind´ecomposable de dimension finie poss`ede un nilra-
dical filiforme alors elle est forc´ement r´esoluble. Les alg`ebres de Lie filiformes ne pr´esentent donc aucun
int´erˆet dans l’´etude des alg`ebres de Lie non r´esolubles.
Ce r´esultat n’est plus vrai pour les alg`ebres de Lie quasi-filiformes dont leur nilradical est abaiss´e d’une
unit´e par rapport aux filiformes. En effet, en cherchant toutes les alg`ebres de Lie dont le nilradical est
quasi-filiforme naturellement gradu´e [27], on a trouv´e des alg`ebres de Lie non r´esolubles ayant un nilra-
dical quasi-filiforme.
Ce mˆeme contre-exemple, r´ev`ele aussi des diff´erences entre la notion de rigidit´e dans R et dans C. La
classification des alg`ebres de Lie rigides complexes ayant ´et´e d´ej`a faite jusqu’`a dimension 8 [8], on est
alors amen´e `a trouver cette classification dans le cas r´eel.
Parailleurs,onad´etermin´elesalg`ebresdeLiequasi-filiformesayantuntorenonnul,onobtientuneliste
beaucoup plus riche que pour le cas filiforme [29]. Cette liste nous permet de prouver la compl´etude des
alg`ebres de Lie quasi-filiformes. Rappelons que toutes les alg`ebres de Lie filiformes sont aussi compl`etes
[3].
Finalement, on s’int´eresse `a l’existence de structures complexes associ´ees aux alg`ebres de Lie filiformes
et quasi-filiformes. Dans [30], on a d´emontr´e que les alg`ebres filiformes n’admettaient pas ce type de
structure. Depuis une approche diff´erente, nous allons red´emontrer ce r´esultat et nous allons voir qu’il
existe par contre des alg`ebres de Lie quasi-filiformes munies d’une structure complexe, mais seulement
en dimension 4 et 6.
2
Table des mati`eres
1 G´en´eralit´es sur les alg`ebres de Lie 6
1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Alg`ebres de Lie r´esolubles et nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Le th´eor`eme de L´evi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Sommes et repr´esentations d’alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Plus grands id´eaux nilpotents et r´esolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Alg`ebres de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4 Le th´eor`eme de L´evi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Alg`ebres de Lie nilpotentes gradu´ees naturellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Tores de d´erivations des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Cohomologie des alg`ebres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 La vari´et´e des lois d’alg`ebres de Lie L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
n
1.7.1 Contractions dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
n
1.7.2 D´eformations formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8 Structures g´eom´etriques d’une alg`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.1 Formes de Maurer-Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.2 Structures symplectiques et de contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8.3 Structures complexes sur une alg`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.9 Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Classification des alg`ebres dont le nilradical est Q 20
2n
2.1 Alg`ebres r´esolubles ayant un nilradical donn´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 D´erivations de l’alg`ebre Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2n
2.3 Alg`ebres de Lie r´esolubles ayant Q pour nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2n
2.4 Invariants de Casimir G´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Propri´et´es g´eom´etriques des alg`ebres de Lie r´esolubles dont le nilradical est Q . . . . . . 28
2n
3 Inexistence d’alg`ebres de Lie ind´ecomposables non r´esolubles ayant un radical associ´e
aux alg`ebres filiformes 30
4 Alg`ebres de Lie complexes ayant un nilradical quasi-filiforme 34
4.1 Alg`ebres de Lie complexes ayant L ⊕C comme nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . 34
n−1
4.2 Alg`ebres de Lie complexes ayant Q ⊕C comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2n
4.3 Alg`ebres de Lie complexes ayant L comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
n,r
3
4.4 Alg`ebres de Lie complexes ayant Q comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
n,r
4.5 Alg`ebres de Lie complexes ayant T comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
n,n−3
4.6 Alg`ebres de Lie complexes ayant T comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
n,n−4
4.7 Alg`ebres de Lie complexes ayant E comme nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7,3
4.8 Alg`ebres de Lie complexes ayant E1 comme nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
9,5
4.9 Alg`ebres de Lie complexes ayant E2 comme nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9,5
4.10 Alg`ebres de Lie complexes ayant E3 comme nilradical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
9,5
4.11 D´emonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Classification des alg`ebres ayant un nilradical isomorphe `a L 46
5,3
5.1 Alg`ebres de petite dimension ayant L comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5,3
5.2 Alg`ebres ayant L comme nilradical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5,3
5.3 Invariants de Casimir G´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Sur les alg`ebres de Lie r´esolubles r´eelles alg´ebriquement rigides 59
6.1 Syst`eme lin´eaire de racines d’une alg`ebre de Lie rigide r´esoluble complexe . . . . . . . . . 59
6.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.3 La classification des alg`ebres de Lie rigides r´esolubles r´eelles jusqu’`a dimension 8 . . . . . 61
6.4 Invariants de Casimir G´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.5 Les alg`ebres de Lie r´esolubles rigides r´eelles ne sont pas n´ecessairement compl`etement
r´esolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Sur les alg`ebres de Lie quasi-filiformes admettant un tore de d´erivations 76
7.1 Ant´ec´edents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
7.2 Alg`ebres de Lie quasi-filiformes et bases adapt´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.3 Classification des alg`ebres de Lie quasi-filiformes de rang non nul . . . . . . . . . . . . . . 79
8 Sur les alg`ebres de Lie quasi-filiformes compl´etables 88
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.2 Alg`ebres de Lie quasi-filiformes compl´etables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Surledeuxi`emegroupedecohomologiedesalg`ebresdeLieayantunnilradicalquasi-filiforme 91
9 Structures complexes sur les alg`ebres de Lie quasi-filiformes 93
9.1 Structures complexes g´en´eralis´ees sur une alg`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.1.1 D´efinitions et lien avec les Structures Complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.1.2 Approche Spinorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.1.3 Cas des alg`ebres de Lie nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2 Etude des structures complexes sur les alg`ebres quasi-filiformes . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2.1 Classification des alg`ebres quasi-filiformes gradu´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.2.2 Structures complexes sur les alg`ebres de Lie quasi-filiformes . . . . . . . . . . . . . 99
9.3 L’alg`ebre de Lie n10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6
10 Conclusions 104
11 Resumen en castellano 110
12 Publications/Publicaciones 128
4
Annexe :
Contractions d’alg`ebres de Jordan en dimension 2 132
5
Chapitre 1
G´en´eralit´es sur les alg`ebres de Lie
Le but de ce m´emoire est de classifier certains types d’alg`ebres de Lie r´eelles et complexes dont
le nilradical poss`ede une structure d´etermin´ee par la graduation naturelle. Les structures nilpotentes
naturellement gradu´ees jouent un rˆole important puisque toute alg`ebre de Lie s’obtient par d´eformation
de son alg`ebre gradu´ee. Ceci nous donne une relation g´eom´etrique entre les orbites : si nous consid´erons
l’orbite d’une alg`ebre de Lie sous l’action du groupe g´en´eral lin´eaire, son alg`ebre gradu´ee est en fait
un point appartenant `a l’adh´erence de l’orbite. La classification des alg`ebres nilpotentes naturellement
gradu´ees est donc un point de d´epart qui permet d’envisager les classifications d’alg`ebres ayant une
d´ecomposition de Levi non triviale et dont le nilradical est naturellement gradu´e.
Cesderni`eresann´eesetpourdesraisonsdiff´erentes,plusieursauteursontentam´el’´etudedesalg`ebres
de Lie ayant un nilradical naturellement gradu´e. Leurs travaux englobent divers aspects de la th´eorie
de Lie : de la classification de familles d’alg`ebres en dimensions arbitraires 1 jusqu’`a la construction de
syst`emes hamiltoniens compl`etement int´egrables, en passant par la recherche de nouveaux crit`eres de
rigidit´e ou bien la formulation de th´eories gauge non ab´eliennes.
Dans ce travail, nous envisageons la classification r´eelle des alg`ebres de Lie dont le nilradical n est
naturellementgradu´eetposs`edeunesuitecaract´eristique(dimn−2,1,1).Laclassificationdesalg`ebresde
Lie nilpotentes naturellement gradu´ees de nilindice maximal (appel´ees filiformes) repr´esente un r´esultat
classique [51] qui rel`eve de l’importance dans l’´etude des composantes de la vari´et´e des lois d’alg`ebres de
Lie (les alg`ebres de Lie r´esolubles associ´ees ´etant rigides).
Pour faire un pas en avant, nous consid´erons les alg`ebres de Lie dont le nilindice est abaiss´e d’une
unit´e, c’est-`a-dire, dont la suite caract´eristique est celle d´ecrite pr´ec´edemment et qui s’appellent, par
analogie, quasi-filiformes. Contrairement au cas filiforme, pour la classification des alg`ebres de Lie ayant
un nilradical quasi-filiforme, il est indispensable de consid´erer des alg`ebres de Lie d´ecomposables ce qui
engendre une casuistique beaucoup plus riche. De toutes les alg`ebres de Lie quasi-filiformes nous prˆetons
uneattentionparticuli`ere`aunefamilled’alg`ebresdedimension5quipr´esentedespropri´et´esg´eom´etriques
int´eressantes et de possibles applications aux syst`emes dynamiques.
Danslesprochainschapitres,nousenvisageronslaclassificationsyst´ematiquedesalg`ebresdeLiedont
le nilradical est filiforme ou quasi-filiforme. Par ailleurs, nous analyserons bri`evement les invariants de
la repr´esentation co-adjointe des alg`ebres de Lie r´esolubles ayant un certain nilradical. Dans tous les
1Ilestbienconnulefaitquelaclassificationdesalg`ebrer´esolublesd`esladimension7estirr´ealisablecariln’existepas
decrit`erespermettantdeditinguerlesorbites.
6
cas, les invariants sont des fonctions des op´erateurs de Casimir de leur partie nilpotente. Ceci corobore
l’hypoth`ese´emisedans[13]surlastructuredesinvariantsdesalg`ebresdeLier´esolubles.D’autrepart,nous
´etudions la rigidit´e de certaines alg`ebres obtenues auparavant ce quiapporte des remarques int´eressantes
sur la classification des alg`ebres de Lie r´eelles rigides. Nous en concluons l’invalidit´e, dans le cas r´eel, du
th´eor`eme de structure de Carles [18] et la th´eorie des syst`emes de poids de Favre [24].
1.1 Notations
Soit K un corps, en g´en´eral on consid´erera K=R ou K=C.
D´efinition 1 Soit L un K-espace vectoriel de dimension n et µ une application bilin´eaire de L×L sur
L telle que :
1. µ(X,X)=0 ∀X ∈L
2. µ(X,µ(Y,Z))+µ(Y,µ(Z,X))+µ(Z,µ(X,Y))=0 ∀X,Y,Z ∈L
(condition de Jacobi)
L’espace vectoriel L muni de la loi µ d´efinit alors une alg`ebre de Lie g sur le corps K de dimension n.
La premi`ere propri´et´e entraˆıne l’antisym´etrie de µ, c’est-`a-dire :
µ(X,Y)=−µ(Y,X) ∀X,Y ∈L
la r´eciproque n’´etant vraie, que lorsque la caract´eristique de K est diff´erente de 2.
Exemples.
1. Tout espace vectoriel peut ˆetre muni d’une structure d’alg`ebre de Lie en prenant :
µ(X,Y)=0 ∀X,Y ∈L
Cette alg`ebre de Lie est dite ab´elienne.
2. Soit A une alg`ebre associative, posons
µ(X,Y)=XY −YX ∀X,Y ∈A
AlorsAdevientunealg`ebredeLie,ditesous-jacente`al’alg`ebreA.SoitV unK-espacevectorielet
End(V)l’alg`ebredesendomorphismesdeV.L’alg`ebredeLiesous-jacente`aEnd(V)senotegl(V,K)
ou gl(V).
Rappelons quelques d´efinitions classiques.
D´efinition 2 Soient g=(µ,L) et g0 =(µ0,L0) des alg`ebres de Lie .
1. Un sous-espace vectoriel A de L est une sous-alg`ebre de g si µ(A,A)={µ(a,b)/a,b∈A}⊆A.
2. Un sous-espace vectoriel A de L est un id´eal de g si µ(A,L)={µ(a,b)/a∈A,b∈L}⊆A.
3. Le centre de l’alg`ebre de Lie g est l’id´eal ab´elien
Z(g)={X ∈L/µ(X,Y)=0∀Y ∈L}.
7
4. Un homomorphisme de g sur g0, est un homomorphisme lin´eaire Θ:L→L0 v´erifiant :
Θ(µ(X,Y))=µ0(Θ(X),Θ(Y)) ∀X,Y ∈L
De plus, si Θ est bijective, on dit que c’est un isomorphisme d’alg`ebres de Lie .
5. On appelle une d´erivation de g une application lin´eaire D :L→L telle que :
D(µ(X,Y))=µ(D(X),Y)+µ(X,D(Y)) ∀X,Y ∈L
L’ensemble Der(g) des d´erivations est une sous-alg`ebre de Lie de gl(L). Pour tout X ∈ L, on
consid`ere l’application :
ad(X): L→L
Y 7→[X,Y]
L’application X 7→ ad(X) est un homomorphisme de g dans Der(g). Les d´erivations de g de la
forme ad(X) s’appellent d´erivations int´erieures.
Remarque.
1. L’ensemble des matrices A=(a )∈ gl(n,C) de trace nulle est une sous-alg`ebre de Lie de gl(n,C).
i,j
Cette alg`ebre est appel´ee l’alg`ebre sp´eciale lin´eaire complexe, not´ee sl(n,C).
2. Si A est une sous-alg`ebre de g, on appelle normalisateur de A dans g l’ensemble N(A) = {X ∈
L/µ(X,A)⊂A}. C’est une sous-alg`ebre de Lie de g et A est un id´eal de N(A).
3. Si I et J sont deux id´eaux de l’alg`ebre de Lie g, alors I+J, I∩J et [I,J] sont aussi des id´eaux de
g.
4. Si I est un id´eal de l’alg`ebre de Lie g, l’espace vectoriel g/I est muni naturellement d’une structure
d’alg`ebre de Lie .
1.2 Alg`ebres de Lie r´esolubles et nilpotentes
Soit g une alg`ebre de Lie sur K. On pose
D0(g)=g, Di(g)=[Di−1(g),Di−1(g)], i≥1.
Par r´ecurrence, on d´efinit ainsi une suite d´ecroissante d’id´eaux, appel´ee suite d´eriv´ee de g.
On pose
C0(g)=g, Ci(g)=[Ci−1(g),g], i≥1.
On d´efinit ainsi une suite d´ecroissante d’id´eaux, appel´ee suite centrale descendante de g.
D´efinition 3 Une alg`ebre de Lie g est dite nilpotente s’il existe un entier k tel que Ck(g) = 0. Le plus
petit entier k tel que Ck(g)=0 est appel´e indice de nilpotence ou nilindice de g.
Une alg`ebre de Lie g est dite r´esoluble s’il existe un entier k tel que Dk(g)=0.
On a Di(g)⊂Ci(g) pour tout i, d’ou` la proposition suivante :
Proposition 1 Toute alg`ebre nilpotente est r´esoluble.
Le th´eor`eme d’Engel, nous donne une caract´erisation des alg`ebres nilpotentes.
8