Etude et application des alg`ebres géométriques pour le calcul de la visibilité globale dans un ...

242 Pages·2008·3.21 MB·French

Universit´e de Poitiers
D´epartement de formation doctorale en informatique E´cole doctorale SPI&A Poitiers
UFR SFA
´
Etude et application des alg`ebres
g´eom´etriques pour le calcul de la
visibilit´e globale dans un espace
projectif de dimension n 2
≥
`
THESE
pr´esent´ee et soutenue publiquement le 14 d´ecembre 2007
pour l’obtention du
Doctorat de l’universit´e de Poitiers
(sp´ecialit´e informatique)
par
Sylvain Charneau
Composition du jury
Pr´esident : Dominique Michelucci (Professeur, Universit´e de Bourgogne, Dijon)
Rapporteurs : Dominique Michelucci (Professeur, Universit´e de Bourgogne, Dijon)
Claude Puech (Professeur, INRIA Paris-Rocquencourt)
Examinateurs : Leo Dorst (Assistant Professor, Amsterdam University)
Xavier D´ecoret (Charg´e de recherche, INRIA Rhˆone-Alpes)
Pascal Lienhardt (Professeur, Universit´e de Poitiers, directeur de th`ese)
Laurent Fuchs (Maˆıtre de Conf´erence, co-directeur de th`ese)
Lilian Aveneau (Maˆıtre de Conf´erence, co-directeur de th`ese)
Laboratoire Signal Image Communications — EA 4103
Misenpageaveclaclassethloria.
Étude et application des algèbres géométriques pour le calcul de la
visibilité globale dans un espace projectif de dimension n 2
≥
Résumé
Cettethèse propose une étude des algèbres de Grassmann etde Clifford, dupoint de vue deleur défini-
tionmathématique,puisdeleurapplicationàl’informatiquegraphique,afindedéfiniruncadrethéorique
et pratique pour le calcul de la visibilité globale dans un espace projectif de dimension n 2. En effet,
≥
le calcul d’une information de visibilité est un des problèmes majeurs depuis les débuts de la synthèse
d’images.L’émergencedeproblèmespluscomplexesdansdiversesdisciplinesnécessiteuneinformation
devisibilité globale, c’est-à-dire depuistoutpointdel’espace.
Dans un premier temps, l’étude des algèbres apporte des connaissances essentielles sur leurs structures
mathématiques,ainsiqu’unmeilleurreculvis-à-visdeleursméthodesd’applicationàlagéométrie.Dans
un second temps, la définition d’une théorie algébrique de la visibilité procure une meilleure connais-
sance du problème et une meilleure façon de raisonner, de formuler les opérations géométriques et de
démontrer leur consistance. Elle permet ensuite de proposer une méthode algorithmique très efficace et
trèsrobuste, pourcalculer unereprésentation delavisibilité globale dansl’espace tridimensionnel, etla
premièresolution àcecalculdansdesespacesdedimensions supérieures àtrois.
Mots-clés: Informatique graphique, algèbres géométriques, algèbre de Grassmann, visibilité globale,
géométrieprojective, espacededroites.
Study and application of geometric algebras to the global visibility
computation in a projective space of dimension n 2
≥
Abstract
This thesis proposes a study of the Grassmann and Clifford algebras, from the mathematical definition
and the computer graphics applications points of view, in order to define a theoretical and applicative
framework to compute a global visibility information in aprojective space of dimension n 2. Indeed,
≥
the computation of a visibility information is one of the major problems since the beginnings of the
image synthesis. The emergence of more complex problems in various fields require a global visibility
information, thatistosayaninformation fromanypointinspace.
Firstly,thestudyofthealgebrascontributes toessential knowledgeontheirmathematicalstructures and
an original way to explain their meaning and their applications to geometry. Secondly, the definition of
an algebraic theory of visibility offers a better knowledge of the problem and a better way to reason,
to express geometric operations and to prove their consistency. It then allows to propose a robust and
efficient method to compute a representation of the global visibility in three dimensional space and the
firstsolution tothiscalculation inspacesofdimensions greaterthanthree.
Keywords: Computer graphics, geometric algebra, Grassmann algebra, global visibility, projective ge-
ometry,linespace.

iii
Remerciements
Il y a un certain nombre de personnes que j’aimerai remercier ici, pour l’aide immense qu’ils m’ont
apportée, aucoursdecestroisannées, etquifutindispensable àl’achèvement decetravail.
Je tiens tout d’abord à remercier Pascal LIENHARDT, premièrement pour m’avoir accueilli au sein du
laboratoireSIC,deuxièmementpouravoiracceptéd’êtremondirecteurdethèsesurunsujetassezéloigné
desesthèmesderechercheshabituels,etenfinpourm’avoirfaitconfiance,alorsquelesujetinitialn’était
pasaudépartprioritaire.
Je tiens également à exprimer toute ma reconnaissance à Laurent FUCHS et Lilian AVENEAU, qui ont
étépourmoibienplusquedescodirecteurs dethèse.Laurent,pourcommencer, avecquij’aiprisplaisir
à partager ses nombreuses discussions, souvent scientifiques et en tout cas toujours très intéressantes.
Lilian,ensuite,quim’abeaucoupapprisenprogrammation.Lesdeuxenfin,pourm’avoirsupportétoutes
cesannées,enparticulierquandjen’étaispasd’accord,oùilm’arrived’êtreunevraietêtedemule.Mais
jesaisaussireconnaître mestorts...lapreuve.
J’adresse mes plus sincères remerciements àClaude PUECH, Dominique MICHELUCCI, Léo DORST et
XavierDÉCORET,toutd’abordpouravoiracceptédefairepartiedemonJurydethèse,ensuitepourlevif
intérêtqu’ilsontexprimépourmestravaux etleursnombreuses questions etremarques pertinentes. Ces
remerciements concernent enparticulier Claude PUECH etDominique MICHELUCCI, quiontaccepté la
tâcheôcombieningratederapporteur.IlsvontégalementàLéoDORST,quiaacceptédelirelemémoire
dansuntempstrèscourtetdansunelanguequiluiestpeufamilière:ThankyouverymuchLeo,foryour
deep knowledge of geometric algebras and your helpful remarks about my work. Enfin, j’exprime ma
plus sincère amitié à Xavier DÉCORET, avec qui ce fut un réel plaisir de discuter et de collaborer. Son
engagementetsonambitionfurentpourmoitrèsenthousiasmants.
Au cours de mes trois années de labeur (quoique je ne regrette rien, bien au contraire), mon point de
vue sur les algèbres géométriques a beaucoup évolué. Je pense avoir acquis un certain recul que je
n’aurais jamais pu accomplir sans mes rencontres avec différents mathématiciens et avec lesquels j’ai
eu l’immense plaisir de discuter. J’aimerai donc exprimer ma plus grande admiration à Pierre ANGLÈS
quejeneremercierais jamaisassezdem’avoirconseilléAlbert CRUMEYROLLE etClaude CHEVALLEY
(«page forty two!»); Pol VANHAECKE, pour sa gentillesse, sa disponibilité, et bien sûr son aide sur la
décomposition desmultivecteurs dansl’algèbre deGrassmann;Rupert YU,pouravoir eulecourage (et
lapatience!)d’accepter dediscutertouteuneaprès-midi avecunpetitinformaticien;Isabelle VAN DEN
BOOM,pourm’avoirdonnégoûtauxalgèbres alorsquejen’étais qu’unjeuneétudiant.
Je souhaite également exprimer ma sympathie pour les différentes personnes que j’ai eu le plaisir de
rencontrer au cours de colloques ou conférences, dont principalement Pierre MACÉ, Dietmar HILDEN-
BRAND, Elsa ARCAUTE, Nabil ANWER, Daniel FONTIJNE, Joan LASENBY, Tiffany GASBARRINI et
MarcFOURNIER,dontlacompagnie auBrésilfutd’ungrandsecours.
Enfin,jeremercietrèschaleureusementlessecrétairesSylvie,Françoise,FrançoisebisetAnnepourleur
disponibilité etleurbonnehumeur, ainsiquemescollègues et/ouamis:Bruno,Fred(quim’abeaucoup
aidé au début, pour comprendre les subtilités du calcul de la visibilité globale), Carine, Patoche, Loé,
Hondjack,Patience,OlivierI(miam!),OlivierII,Windu,Hung(coucouàtoiquiestmaintenantsiloin),
Chimène, Karim, Yvonne, Sadouanouan, Osgu, Dilek, Ahmed, Kamel et tous les collègues du CIES
Centre (ainsi que son directeur Frédéric Badawi, pour son écoute et ses conseils). Tous ces gens ont
indéniablement contribué au bon déroulement de ma thèse, dans un cadre des plus agréables. Enfin, je
remerciebienévidemmentmafamille,Antoine,l’équipedePED,ÉliseetJean-Calude,pourleursoutien
iv
ouleur amitié:ceux-là m’ontbeaucoup aidéàm’aérerl’esprit, cequifutparfois indispensable pour ne
paspasserducôtéobscur.
J’en oublie certainement beaucoup d’autres; je leur présente toutes mes excuses et en profite pour leur
adresser égalementtoutemonamitié.
Table des matières
Introduction 1
I Nouvelleapproche didactique des Algèbres Géométriques
1 Introductionàlastructuredesalgèbres géométriques 13
1.1 L’algèbretensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Propriétésimmédiatesetautresdéfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.3 Contraction detenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 L’algèbredeGrassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Intuition etavantages del’algèbre deGrassmann . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Propriétésimmédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Décomposabilité desmultivecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Lacontraction dansl’algèbre deGrassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.6 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 L’algèbredeClifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
v
vi Tabledesmatières
1.3.1 Intuition etavantages del’algèbre deClifford . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Propriétésimmédiates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.4 Définitiond’uneconjonction de (E)et (E) . . . . . . . . . . . . . . . . 32
C
1.3.5 Unenouvelleapproche del’orthoVgonalité dansE . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.6 GroupesdeClifford,inversibilité etgroupedesisométries . . . . . . . . . . 36
1.3.7 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Applicationdesalgèbresgéométriques:présentation etanalyse 43
2.1 Application desalgèbresengéométrie:lesmodèlesd’interprétation . . . . . . . . . 43
2.1.1 Utilisationdesstructures algébriques engéométrie . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.2 Lestroismodèlesd’interprétation géométrique usuels . . . . . . . . . . . . 45
2.1.3 Réflexionssurl’utilisation desmodèlesd’interprétation . . . . . . . . . . . 52
2.2 Programmationdesalgèbres géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1 Intuition del’implantation desalgèbres géométriques . . . . . . . . . . . . 53
2.2.2 Bibliothèques decalculsdanslesalgèbres géométriques . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Réflexionssurlaprogrammation desalgèbres géométriques . . . . . . . . . 63
2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Conclusionssurl’approchedidactiquedesalgèbresgéométriques 67
3.1 Synthèsesurl’utilisation desalgèbresgéométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Discussions etpositionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
II Calculexactde lavisibilitéglobaleen dimensionquelconque
vii
4 Introductionàlavisibilitéglobale 77
4.1 Étudeglobaledelavisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.1 Caractérisation duphénomène devisibilité parlesévènements visuels . . . 78
4.2 Travauxprécédents surlecalculdevisibilité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3 Lescoordonnées dePlückeretlecalculdevisibilitéglobale . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.1 Principesgénéraux ducalculd’occultation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Lesméthodesdecalculd’occultation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.3 Limitesdesméthodesactuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.2 Discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5 Théoriealgébriquedelavisibilitéglobale 101
5.1 Formulationalgébrique delavisibilité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1.1 Introduction àl’étude delavisibilité globale n-dimensionnelle . . . . . . . 102
5.1.2 Rappelssurl’interprétation del’algèbre (Rn+1)dansPn . . . . . . . . . . 106
V
5.1.3 L’espacedesdroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.4 Classification desdroites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.5 Définiruncalculdevisibilité avecl’algèbre deGrassmann . . . . . . . . . 117
5.2 Lepolytope minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2.1 Caractérisation dupolytope minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.2.2 Démonstration duthéorème5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3 Discussions etpositionnement avecl’existant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3.1 Avantages desalgèbres deGrassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.2 Lasolutiondupolytope minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.1 Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
viii Tabledesmatières
6 Approchesalgorithmiquesproposées 133
6.1 Hypothèses etreprésentation générale delavisibilité globale . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.1 Hypothèses surl’interprétation del’espace G . . . . . . . . . . . . . . . . 133
n
6.1.2 Représentation despointsetdeshyperplans dansD . . . . . . . . . . . . . 134
n
6.1.3 Représentation générale delavisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Calculetreprésentation delavisibilité globaleentredeuxfacesconvexes . . . . . . 138
6.2.1 Vued’ensemble desalgorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.2 Calculdupolytopeminimalinitial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2.3 Intersection d’unpolytope avecunhyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.2.4 Insertion desocculteurs dansl’arbredevisibilité . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2.5 Classification euclidienne robuste desdroitesdansl’espace euclidien . . . . 146
6.3 Utilisation dessilhouettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.1 Définitiondelasilhouette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.2 Vued’ensemble dutraitementdelasilhouette . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.3 Intuition géométrique duproblèmedessingularités . . . . . . . . . . . . . . 153
6.3.4 Définitionetcaractérisation générale dessingularités danslasilhouette . . . 155
6.3.5 Conséquences dessingularités surlecalculdevisibilité . . . . . . . . . . . 158
6.3.6 Rejeterdanslecasdessingularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.7 Traitementdelasilhouette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3.8 Détectiondesocculteurs prédominants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.4 Discussions etévaluation denotreapproche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.1 Différencesetaméliorations denotreapproche . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2 Méthodesd’évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.4.3 Résultatsetcomparaisons pratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7 Conclusionsurlecalculdevisibilitéglobale 179
7.1 Motivations initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.2 Contributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180