Table Of ContentTHE(cid:18)SE
pr(cid:19)esent(cid:19)ee par
Lu
REBILLARD
pour obtenir le grade de DOCTEUR
de l'INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE GRENOBLE
(Arr^et(cid:19)e minist(cid:19)eriel du 30 mars 1992)
(sp(cid:19)e
ialit(cid:19)e : Math(cid:19)ematiques Appliqu(cid:19)ees)
Etude th(cid:19)eorique et algorithmique des s(cid:19)eries de Chebyshev
solutions d'(cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles holonomes
Date de soutenan
e : 6 juillet 1998
Composition du Jury :
P.-J. LAURENT (pr(cid:19)esident)
A. RONVEAUX (rapporteur)
J. VAN ISEGHEM (rapporteur)
C. CHAFFY (examinateur)
J. DELLA DORA (examinateur)
Th(cid:18)ese pr(cid:19)epar(cid:19)ee au sein du Laboratoire LMC-IMAG
A la m(cid:19)emoire de
Jean-Christophe Blan
3
Remer
iements
Je remer
ie Jean Della Dora, mon dire
teur de th(cid:18)ese, pour la
on(cid:12)an
e qu'il m'a
a
ord(cid:19)ee, pour le re
ul qu'il m'a apport(cid:19)e par ses judi
ieuses remarques et pour la bonne
humeur qui l'a
ompagne en permanen
e.
ClaudineCha(cid:11)yapropos(cid:19)elesujetde
etteth(cid:18)ese, elleasuivietsoutenumaprogression
ave
une grande attention, elle a (cid:19)et(cid:19)e, en(cid:12)n et surtout, d'un
onstant soutien moral. De
tout
ela, je lui suis in(cid:12)niment re
onnaissant.
Moulay Barkatou m'a(cid:19)et(cid:19)e d'une aide pr(cid:19)e
ieuse par ses
onnaissan
es surles op(cid:19)erateurs
aux di(cid:11)(cid:19)eren
es, l'asymptotique Gevrey et la th(cid:19)eorie de la resommation. Je l'en remer
ie
haleureusement.
Monsieur Pierre-Jean Laurent m'a fait l'honneur immense d'^etre mon pr(cid:19)esident de
jury. Cet honneur est (cid:18)a la hauteur de l'estime et de l'admiration que j'ai pour lui.
Mes remer
iements vont aussi (cid:18)a mes rapporteurs. J'exprime ma gratitude envers Ma-
dameJeannetteVanIseghemquia
onsentidegrandse(cid:11)ortspourseplier(cid:18)ades
ontraintes
de dates et d'horaires tr(cid:18)es in
onfortables. Je remer
ie Monsieur Andr(cid:19)e Ronveaux pour sa
rele
ture experte de mon m(cid:19)emoire, ses
onseils avis(cid:19)es et le soutien qu'il a apport(cid:19)e (cid:18)a mon
enthousiasme pour l'appro
he hyperg(cid:19)eom(cid:19)etrique des polyn^omes orthogonaux
lassiques.
En(cid:12)n, je remer
ie tous les membres de l'(cid:19)equipe Cal
ul Formel au sein de laquelle j'ai
b(cid:19)en(cid:19)e(cid:12)
i(cid:19)e de
onditions de travail id(cid:19)eales en termes de
omp(cid:19)eten
es, d'(cid:19)e
oute et d'en
ou-
ragements.
5
6
Table des mati(cid:18)eres
Index des notations 11
Introdu
tion 13
I Appro
he algorithmique des s(cid:19)eries orthogonales 17
1 S(cid:19)eries orthogonales 19
1.1 Op(cid:19)erations formelles sur les s(cid:19)eries de fon
tions . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.1 Exemple introdu
tif : les s(cid:19)eries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.2 Op(cid:19)erateurs aux di(cid:11)(cid:19)eren
es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 S(cid:19)eries formelles de fon
tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.4 La transformation de Mellin formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2 Polyn^omes orthogonaux
lassiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.1 Rappels sur les polyn^omes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Polyn^omes hyperg(cid:19)eom(cid:19)etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Polyn^omes hyperg(cid:19)eom(cid:19)etriques et orthogonalit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . 31
1.2.4 Identi(cid:12)
ation des polyn^omes hyperg(cid:19)eom(cid:19)etriques . . . . . . . . . . . . 31
1.2.5 Relations di(cid:11)(cid:19)eren
es-di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.3 Des polyn^omes aux s(cid:19)eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 A
tion d'un op(cid:19)erateur di(cid:11)(cid:19)erentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.2 Appli
ation :
onstru
tion de r(cid:19)e
urren
es . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.4 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 Outils informatiques pour les s(cid:19)eries orthogonales 53
2.1 Repr(cid:19)esentation des s(cid:19)eries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.1 S(cid:19)eries : la stru
ture OS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.2 S(cid:19)eries partielles : la stru
ture OSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Op(cid:19)erations sur les s(cid:19)eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.1 Op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les s(cid:19)eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2.2 Op(cid:19)erations (cid:19)el(cid:19)ementaires sur les s(cid:19)eries partielles . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Autres op(cid:19)erations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 S(cid:19)eries de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7
II Etude th(cid:19)eorique et pratique des s(cid:19)eries de Chebyshev 63
3 S(cid:19)eries de Chebyshev et (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles 65
3.1 Introdu
tion : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Equations di(cid:11)(cid:19)erentielles holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 S(cid:19)eries de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Approximation uniforme par les s(cid:19)eries de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1 S(cid:19)eries de Chebyshev sur un segment [a;b℄ . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 S(cid:19)eries de Chebyshev et op(cid:19)erateurs di(cid:11)(cid:19)erentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Le s
h(cid:19)ema g(cid:19)en(cid:19)eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Utilisation de la relation de stru
ture. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.4 Autres propri(cid:19)et(cid:19)es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.1 Produit de polyn^omes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4.2 Int(cid:19)egration des s(cid:19)eries de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.3 D(cid:19)erivation dans la base de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.4 Composition de polyn^omes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4 Etude de la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev 97
4.1 Cara
t(cid:19)eristiques de la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.1.1 Remarques pr(cid:19)eliminaires sur la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev . . . . . . . 98
4.1.2 Propri(cid:19)et(cid:19)es des op(cid:19)erateurs (cid:19)el(cid:19)ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.3 Un regard nouveau sur d'autres m(cid:19)ethodes . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.4 Forme polynomiale de la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev . . . . . . . . . . 108
4.2 Divers travaux autour de la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1 Fa
torisation des r(cid:19)e
urren
es de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.2 Inversion de la r(cid:19)e
urren
e de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.3 S(cid:19)eries de Chebyshev Holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Solutions de Chebyshev formelles d'une EDO 125
5.1 Introdu
tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.1 Cas des fra
tions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.2.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.3 Etude des solutions formelles : appro
he indire
te . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.3.1 Equations aux di(cid:11)(cid:19)eren
es-Equations di(cid:11)(cid:19)erentielles . . . . . . . . . . 130
5.3.2 Polygone de Newton d'un op(cid:19)erateur di(cid:11)(cid:19)erentiel . . . . . . . . . . . . 131
5.3.3 Un th(cid:19)eor(cid:18)eme de Ramis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.3.4 Appli
ation aux s(cid:19)eries de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3.5 En r(cid:19)esum(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4 Polygone de Newton-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.1 Transform(cid:19)ee de Mellin de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4.2 Polygone de Newton de L^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4.3 D(cid:19)e(cid:12)nition du polygone de Newton-Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 142
5.5 Forme expli
ite de solutions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.6 Resommation de s(cid:19)eries de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8
5.6.1 Resommation par prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6.2 Resommation par le pro
(cid:19)ed(cid:19)e de Borel-Lapla
e . . . . . . . . . . . . . 150
5.7 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 Appli
ation (cid:18)a la r(cid:19)esolution num(cid:19)erique des (cid:19)equations di(cid:11)(cid:19)erentielles 155
6.1 Une m(cid:19)ethode de r(cid:19)esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1.1 La (cid:28)-m(cid:19)ethode de Lan
zos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.1.2 Analyse d'erreur a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1.3 Convergen
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.1.4 Remarques sur la m(cid:19)ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.2 Appli
ations et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.1 Int(cid:19)egration sur un
hemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.2.2 Syst(cid:18)emes di(cid:11)(cid:19)erentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.3 Singularit(cid:19)es irr(cid:19)eguli(cid:18)eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.2.4 Equations non-lin(cid:19)eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.3 Probl(cid:18)eme de Cau
hy et approximation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.1 Approximant global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3.2 Approximation rationnelle : les (cid:28)-fra
tions . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.4 Con
lusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Con
lusion 185
9
10
