\'Etude de l'omnipr\'esence des propri\'et\'es petit- monde et sans-\'echelle

0.35 MB·

by  Vincent Labatut

Étude de l’omniprésence des propriétés petit-
5
monde et sans-échelle
1
0
2

n
a
J VincentLabatut

7
UniversitéGalatasaray,Çırag˘ancad.n˚36,Ortaköy34357,I˙stanbul,Turquie

] LIA,Universitéd’Avignon,AgroparcBP1228,84911AvignonCedex9,France
O
[email protected]
H
.
h RÉSUMÉ. Les propriétés petit-monde et sans-échelle ont été identifiées dans les réseaux com-
t
a plexesréelsàlafindesannées90.Leurétudeapermisdefaireprogresserlacompréhension
m decertainssystèmes,etellesontfaitl’objetdetrèsnombreuxtravaux.Peut-êtrepourcetterai-
[ son,onrencontretrèsfréquemmentdanslalittératurel’idéequ’ils’agiraitdepropriétésquasi-

universelles,valablespourpresquetouslesréseauxcomplexes.Or,ànotreconnaissance,au-
1
cuneétudeàgrandeéchellen’aétémenéepourvéritablementrépondreàcettequestion.Dans
v
3 cetravail,noustironsparti,d’unepart,delagrandequantitédedonnéesquiestmaintenant
9 disponibleenlignepourconstituerunelargecollectionderéseauxcomplexes,etd’autrepart
4 d’outilsd’analysedéfinisrécemment,pouréprouverobjectivementcettehypothèsed’omnipré-
6
sence.Ilressortquesiunelargemajoritédesréseauxtraitésestbienpetit-monde,cen’esten
0
revanchepaslecaspourlapropriétésans-échelle,puisqueledegréd’uneproportionsignifica-
.
2 tivedecesréseauxn’estpasdistribuéselonuneloidepuissance.
0
5 ABSTRACT.Thesmall-worldandscale-freepropertieswereidentifiedinreal-worldcomplexnet-
1 worksattheendofthe90s. Theiranalysisledtoabetterunderstandingofthedynamicsand
: functioningofcertainsystems,andtheywerestudiedinmanysubsequentworks.Thismightbe
v
i thereasonwhyonefrequentlyfinds, inthecomplexnetworksliterature, assertionsregarding
X
theirubiquity,theirvalidityforalmostallcomplexnetworks.Yet,thementionedseminalworks
r wereconductedonaverylimitednumberofnetworks, and, tothebestofourknowledge, no
a
large-scalestudyhasbeenconductedtoanswerthisquestion.Inthiswork,wetakeadvantage,
ontheonehand,ofthemanydatasetsnowavailableonline,toconstitutealargecollectionof
networks,andontheotherhand,ofrecentanalysistools,tocheckthevalidityofthishypothesis
ofubiquity. Itturnsoutalargemajorityofthestudiednetworksareindeedsmall-world,how-
everthisisnotthecaseforthescale-freeproperty,sincethedegreedistributionofasignificant
proportionofournetworksdoesnotfollowapower-law.
MOTS-CLÉS:Réseauxcomplexes,propriétéstopologiques,petit-monde,sans-échelle.
KEYWORDS:Complexnetworks,topologicalproperties,small-world,scale-free.
2 MARAMI2014.
1. Introduction
Destravauxfondateursréalisésautourdesannées2000onpermisd’identifierdans
lesréseauxcomplexesdespropriétéstopologiquespermettantdemieuxcomprendrele
fonctionnementdessystèmesmodélisés.Lesdeuxplusimportantessontcertainement
lapropriétépetit-monde,étudiéeparWatts&Strogatz[WAT98],etlapropriétésans-
échelle, traitée par Barabási & Albert [BAR99], qui seront toutes les deux décrites
plusloin.
Àlasuitedecestravaux,l’idées’estprogressivementrépanduedanslalittérature
quecespropriétésétaientprésentesdanslaplupartdesréseauxreprésentantdessys-
tèmesréels[BOC06].Pourtant,cettehypothèsed’omniprésencepeutsemblerfragile,
pour deux raisons. Tout d’abord, les études qui se sont attachées à vérifier la préva-
lence de ces propriétés sont basées sur un très faible nombre de réseaux. Ainsi, les
travauxfondateurscitésprécédemmentconsidèrenttouslesdeuxseulement3réseaux
[WAT98, BAR99]. Les publications plus récentes utilisent des collections à peine
plus grandes, constituées de 5 [LAT01], 7 [AMA00], 9 [BOC06], 11 [WAN03],
15 [NEW02], 27 [NEW03], 30 [ALB02], 33 [HUM08] réseaux. Ceci est princi-
palement dû au fait qu’à cette époque, ce type de données était extrêmement rare,
etleuraccèsdifficile.Lasecondecritiqueportesurlesméthodesd’analyseutilisées,
enparticulierpourdéterminerlaprésencedelapropriétésans-échelle,quireposesur
l’observation que le degré du réseau est distribué selon une loi de puissance. L’opé-
rationconsistantàidentifiercettedistributionestcouranteensciencesexpérimentales
[NEW05, NEW11]. Des travaux méthodologiques récents ont montré qu’elle était
généralementréaliséedefaçoninappropriée,enraisondel’utilisationd’outilsstatis-
tiquesinadaptéset/ouappliquésdefaçonincorrecte[NEW05,CLA09].
Ilestaujourd’huipossibledecontournercesdeuxlimitations.Eneffet,avecledé-
veloppementdenotrechampderecherche,descentaines,voiredesmilliersderéseaux
différents sont maintenant accessibles via le Web, à travers les sites des chercheurs,
laboratoires et journaux. Le problème principal qui se pose est de rassembler, nor-
maliser et classifier ces données hétérogènes et éparpillées, de manière à constituer
une base de données exploitable de façon automatique. Du point de vue méthodolo-
gique,làaussi,lesoutilspermettantd’identifierladistributiondudegrédansunréseau
complexeexistent,etlaprocédureàsuivreaétéclairementétablie[CLA09].
Danscetarticle,nousnousproposonsd’éprouverl’hypothèsed’omniprésencedes
propriétés petit-monde et sans-échelle dans les réseaux complexes représentant des
systèmes réels. Nous constituons d’abord une large collection de réseaux, puis nous
l’étudionsaumoyendeméthodesd’analyseadéquates.Danslasectionsuivante,nous
rappelonsbrièvementcequesontcesdeuxpropriétésquinousintéressent.Puis,dans
lasection3,nousdécrivonscommentnousavonsconstituénotrecollectionderéseaux,
avant d’aborder en section 4 les méthodes d’analyse que nous avons utilisées pour
l’étudier. Les résultats obtenus sont présentés dans la section 5. Ce travail peut-être
considéré comme la première étape d’un projet à plus long terme, pour lequel nous
donnonsquelquespistesàexplorerenguisedeconclusion.
Propriétéspetit-mondeetsans-échelle 3
2. Propriétéstopologiques
Denombreusespropriétéstopologiquessontaujourd’huiétudiéespourcaractéri-
serdessystèmesréels,tellesquelacorrélationdudegré,lastructuredecommunautés
ou différents types de centralité décrivant aussi bien les nœuds que les liens. Nous
nousconcentrons,danscetteétude,surlesdeuxpropriétéshistoriquescitéesdansl’in-
troduction:lapropriétépetit-mondeetlapropriétésans-échelle,quenousdécrivons
brièvementdanscettesection.
2.1. Petit-monde
Lapropriétépetit-mondeaétédéfinieparWatts&Strogatzensebasantsurdeux
mesures topologiques [WAT98]. D’une part, la distance géodésique moyenne, une
caractéristiqueglobaleduréseauquireprésenteleniveaudeséparationtypiqueentre
deux nœuds. D’autre part, le coefficient de transitivité (ou coefficient de clustering),
quiestlocaletcorrespondauniveaud’interconnexiondanslevoisinaged’unnœud.
Watts & Strogatz ont calculé ces mesures pour différents réseaux réels, et les ont
comparées à celles attendues pour les deux principaux modèles du moment : d’un
côté les structures de treillis, qui constituent une forme de graphes réguliers, et qui
sont qualifiés ici de complètement ordonnés; et de l’autre les réseaux aléatoires de
type Erdo˝s-Rényi [ERD60], qui sont décrits ici comme complètement désordonnés.
Les premiers possèdent une transitivité et une distance moyenne élevées, alors que
pour les seconds, ces deux mesures sont petites. L’analyse a montré que les réseaux
réelssesituentquelquepartentrecesdeuxextrêmes.Leurdistancemoyenneestpetite,
dumêmeordredegrandeurquecelleobtenuepourdesréseauxaléatoires,etbienen-
deçàdecelledestreillis.Leurtransitivitéestélevée,dumêmeordredegrandeurque
celle d’un treillis, et bien au-delà de celle des graphes aléatoires. C’est la présence
simultanéedecesdeuxcaractéristiquesqueWatts&Strogatzontqualifiéedepropriété
petit-monde.
Lapropriétépetit-mondeauneffetsurlesprocessusprenantplacedanslesystème
modélisé.Watts&Strogatzontillustréempiriquementqu’ellefacilitelesmécanismes
de propagation dans le réseau. Par la suite, Latora & Marchiori ont montré de façon
théoriquequelesréseauxpetit-mondesonteffectivementtrèsefficacesdansletrans-
portd’information,àlafoisauxniveauxlocaletglobal[LAT01].Ceciadesconsé-
quencesdirectesurlefonctionnementdusystème,quidépendentdesanature.Ainsi,
lavitessedepropagationd’uneépidémiedansunepopulationaugmente;lacapacité
calculatoired’unréseaud’automatescellulairess’accroît;unensembled’oscillateurs
sesynchroniseplusrapidement,ouoscilledefaçonpluscohérente;l’apparitiond’une
propriétéémergentetellequelacollaborationdansunepopulationdejoueursdevient
plus probable; etc. [WAT98, LAG00, LI03]. L’étude de cette propriété constitue
doncunpointimportantdel’analysed’unsystèmeréel.
4 MARAMI2014.
2.2. Sans-échelle
Dansleurétudebienconnue[BAR99],Barabási&Albertontobservéqueledegré
k mesurésurplusieursréseauxréelsestdistribuéselonuneloidepuissanceP(k) ∼
k−α.Autrementdit,lenombredenœudsdedegrékestproportionnelàunepuissance
dek.Ilsontqualifiélesréseauxconcernésdesans-échelle,enraisondelapropriété
qu’a cette fonction de conserver la même forme quand son paramètre est multiplié
paruneconstante.Cependant,ilfautnoterquel’invarianced’échelleconsidéréedans
cette étude ne concerne que le degré, et pas forcément les autres mesures que l’on
peutcalculerpourdécrireunréseau(contrairementàcequel’expressionréseausans-
échellepourraitlaissercroire).
Comme pour la propriété petit-monde, les modèles classiques du moment n’ex-
pliquentpascettedistribution:danslesgraphesréguliers,ledegréestpardéfinition
le même pour tous les nœuds (loi dégénérée), alors que pour les graphes aléatoires,
il est distribué selon une loi de Poisson [ERD60]. Dans les deux cas, il existe donc
une valeur caractéristique pour le degré, ce qui n’est pas le cas avec la loi de puis-
sance. Or, la propriété sans-échelle a été observée sur des réseaux modélisant des
systèmes réels très différents : grille électrique, Web, réseau d’interactions sociales,
Internet,etc.[BAR99,NEW03].Pourl’expliquer,Barabási&Albertutilisentdeux
mécanismesabsentsdesdeuxmodèlesclassiques:lacroissancedusystèmeetl’atta-
chement préférentiel. Le premier implique que le réseau soit construit itérativement,
paradditiondenouveauxnœuds.Lesecondstipulequecesnouveauxnœudsontten-
danceàseconnecteràdesnœudsdéjàexistantsdedegréélevé.Ilfautcependantnoter
qued’autresmodèlestrèsdifférentsontétéproposéspourproduiredesréseauxsans-
échelle [BOC06], ce qui laisse supposer qu’il existe plusieurs mécanismes distincts
amenantàl’apparitiondecettepropriétédansdessystèmesréels.
Lapropriétésans-échelleauneffetdirectsurlastructureduréseau:unegrande
majorité de nœuds est très faiblement connectée, alors qu’un nombre réduit possède
un degré très élevé, et sont considérés comme des pivots (hubs). Par comparaison,
danslesmodèlesdontladistributiondudegréestplushomogène,laprobabilitéd’ap-
paritiondecesvaleursextrêmesestparticulièrementfaible.Grâceàl’existencedeces
pivots,lesréseauxsans-échelleopposentunemeilleurerésistanceauxattaquesaléa-
toires,consistantàtenterdepartagerleréseauensupprimantdesnœudsauhasard.En
revanche,ilssontplusvulnérablesauxattaquesconcertées,quiseconcentrentsurces
pivots[ALB02].Entermesdepropagation,lesréseauxsans-échellesmodélisantdes
systèmesréelsontunseuilépidémiologiquetrèsbas[BOC06],cequisignifiequ’une
épidémiepeutysurvivretrèslongtemps.Commepourlapropriétépetit-monde,l’effet
delapropriétésans-échellesurlefonctionnementduréseaujustifielagrandeimpor-
tancequiluiestdonnéedanslalittérature.
3. Donnéesetprétraitement
Comme nous l’avons mentionné dans l’introduction, le Web permet aujourd’hui
d’accéderàunetrèsgrandequantitéderéseauxcomplexesreprésentantdessystèmes
Propriétéspetit-mondeetsans-échelle 5
réels. Cependant, différents problèmes compliquent fortement la constitution d’une
collectionderéseauxdegrandetaille,quiestunprérequisàl’étudeàgrandeéchelle
quenousvoulonsréaliserici.
Tout d’abord, la très grande majorité des ces données librement accessibles est
extrêmementdispersée,cequirendleurexploitationdifficile.Onlestrouveprincipa-
lementsurlespagespersonnellesdeschercheursquilesontcollectéesouanalysées,
ou bien sur les sites de certains éditeurs offrant la possibilité d’héberger des fichiers
annexes que les auteurs peuvent associer à leurs articles. Certains groupes ont en-
trepris de constituer leurs propres collections de réseaux, ce qui permet de limiter
ce problème. On peut ainsi trouver des jeux de test sur les sites de logiciels dédiés
à l’analyse de réseaux, tels que Pajek1 ou Gephi2. Plus récemment, des groupes de
rechercheontcollectéetorganisédesdonnéespourlesmettreàdispositiondelacom-
munautés, donnant naissance à des dépôts librement accessibles, tels que Stanford
LargeNetworkDatasetCollection3 ouKoblenzNetworkCollection4.Cependant,ces
collectionsrestentdetaillerelativementlimitée,del’ordredelacentainederéseaux.
Outre la difficulté pratique de la tâche consistant à rechercher des réseaux épar-
pilléssurl’ensembleduWeb,desproblèmesd’ordrelégalempêchentaussilaconsti-
tution de grandes collections. En effet, les données ne sont pas toutes protégées par
les mêmes licences d’utilisation, et l’incompatibilité de certaines d’entre elles rend
impossible l’utilisation d’une licence couvrant l’ensemble de la collection. De plus,
certains auteurs ou institutions refusent que leurs données soient hébergées ailleurs
quesurleurpropresite.
Enfin,ledernierproblèmeesttechnique:iln’existepasdeformatstandardpourla
représentationdesréseaux.Ouplutôt,ilenexisteungrandnombre,chacunavecces
spécificités.Leformatleplussimple,souventappeléedgelist,consisteàreprésenter
la liste des liens du réseau, sous la forme de paires de nœuds. Cependant, ce format
nepermetpasdereprésenteruneinformationriche,commeparexempledesattributs
nodaux,ouladimensiontemporelle.Pourrésoudrecetypedelimitation,chaqueoutil
proposedoncsonpropreformat,commeparexempleGexfpourGephi,voireplusieurs
formats différents, comme c’est le cas pour Pajek. En raison de cette hétérogénéité,
la constitution d’une collection requiert, en plus du travail de collecte, d’effectuer
unenormalisationduformatdestockagedesdonnées,afindepouvoirleurappliquer
ensuiteuntraitementautomatisé.
En raison des trois difficultés invoquées précédemment, nous avons décidé dans
unpremiertempsdeconstituerunecollectionlimitée,quiseraensuiteenrichieitéra-
tivement,etdontl’organisationseraéventuellementmodifiéeenfonctiondesretours
issus de son utilisation. Lors de cette première passe, nous avons recueilli un total
de611réseaux,entirantprincipalementpartidescollectionsmentionnéesci-dessus,
1. http://pajek.imfm.si/
2. https://gephi.org/
3. http://snap.stanford.edu/data/
4. http://konect.uni-koblenz.de/
6 MARAMI2014.
et en complétant avec des données éparses. En ce qui concerne le stockage de ces
données, nous avons opté pour deux formats. Pour des réseaux que nous qualifions
debasiques,danslesensoùilssontseulementdécritsparleurstructuremême,avec
éventuellementdesliensorientés,nousavonsutiliséleformat.netdePajek,quiest
compact mais suffisant. Pour des réseaux plus riches, possédant par exemple des at-
tributsnodaux,deslienspondérés,oubiendestypesdenœudsoudeliensdistincts,
nous avons utilisé Graphml, qui est un dialecte XML beaucoup plus verbeux que le
format de Pajek, mais dont le pouvoir expressif est en contrepartie bien plus grand.
Cesdeuxformatsoffrentl’avantaged’êtrecompatiblesavecungrandnombred’outils
différents.
L’ensembledesfichiersobtenusconstituelaversioncomplètedenotrecollection.
Cependant,pourletravaild’analysequinousintéresseici,nousn’avonsbesoinquede
réseauxbasiques. Nousavons doncproduitune versionpartielle denotrecollection,
contenant une version de chaque réseau débarrassée de toute information superflue.
Pourlaplupartdesréseauxconcernés,ils’agissaitsimplementdesupprimerlesorien-
tationsoulespoidsdesliens.Parmilesréseauxnettoyés,unecentainesontbipartis:
nousavonsalorscalculélesdeuxprojectionspossiblesetgardélamoinsdense(pour
minimiserlefaitquecesprojectionsaboutissentàdesréseauxplusdenses).Ilexiste
égalementunecinquantainederéseauxmultiplexes:nousavonsconservéseulement
untypedeliens,enprivilégiantceluiquipermettaitd’obtenirleréseaulemoinsdense,
toutenétantconnecté.Ilfautsoulignerquecestransformationssontcritiquables,car
on peut argumenter qu’elles sont susceptibles d’affecter les propriétés topologiques
qui nous intéressent. Nous avons néanmoins décidé d’inclure ces réseaux dans nos
données, car c’est l’approche admise dans la littérature, et ce dès les travaux fonda-
teursprécédemmentmentionnés[WAT98,BAR99].Nousprojetonsd’étudierplusen
détaill’effetdecestransformationsquandlenombrederéseauxbipartis/multiplexes
dansnotrecollectionserasuffisant.Ladernièremodificationaconsistéàsupprimerles
nœudsisolés(nœudsdedegrénul),lesliensmultiples(plusieursliensentrelamême
paire de nœuds) et les boucles (lien connectant un nœud à lui-même). Enfin, nous
avonségalementfiltrélesréseauxlesplusgrands,qu’ilnousétaitimpossibledetrai-
ter pour des raisons computationnelles. Au final, notre collection nettoyée comporte
598réseauxbasiques,tousauformatPajek.
Pourlesraisonsinvoquéesprécédemment,ilnousestimpossibledeplacerdirecte-
mentcesdonnéesenligne.Cependant,lalistedesréseauxconcernés,avecunebrève
descriptionetunlienverslesdonnéesoriginales,estdisponiblesurnotresite5.
4. Évaluationdespropriétés
Depuis les deux travaux fondateurs de la fin des années 90 mentionnés précé-
demment[WAT98,BAR99],lesméthodesproposéespourcaractériserlespropriétés
petit-mondeetsans-échelleontsignificativementévolué,pourallerversplusd’objec-
5. http://bit.gsu.edu.tr/compnet
Propriétéspetit-mondeetsans-échelle 7
tivité et de fiabilité. Nous décrivons dans cette section les méthodes que nous avons
adoptéespourcetravail,etquisont,ànotreconnaissance,lesplusadéquates.
4.1. Mesurepetit-monde
Commeexpliquéensection2.1,unréseauestditpetit-mondesisadistancemoyenne
etsatransitivitésontrespectivementdumêmeordredegrandeurquecellesmesurées
pour un réseau aléatoire et un treillis de dimension comparable. Pour mesurer cette
propriété,nousavonsdécidédenousbasersurlaméthodeproposéeparTelesfordet
al. [TEL11], qui consiste à comparer la distance moyenne L et la transitivité T du
réseauconsidéréG,aveclesvaleursL etT correspondantrespectivementàladis-
A T
tancemoyenneetàlatransitivitémesuréespourunréseaualéatoireG etuntreillis
A
G considérés comme comparables à G. La mesure ω quantifiant la propriété petit
T
mondeestalors[TEL11]:
L T
ω(G)= A − [1]
L T
T
Pourunréseauserapprochantd’unestructuredetreillis,onaL>L etT (cid:39)T ,
A T
donc on obtient une valeur négative. Au contraire, pour un réseau dont la distance
moyenneetlatransitivitéressemblentàcellesd’ungraphealéatoire,onaL (cid:39) L et
A
T < T , donc la valeur de ω est positive. Enfin, si le réseau est petit-monde, alors
T
on a simultanément L (cid:39) L et T (cid:39) T , et ω est proche de zéro. Il faut remarquer
A T
que le fait de combiner les deux rapports pour obtenir une mesure unique n’est pas
forcément pertinent, car d’autres combinaisons de L et T peuvent aboutir à des va-
leurssimilaires,entraînantuneinterprétationerronée.Parexemple,prenonsunréseau
régulier correspondant à une simple grille carrée en 2D. Cette structure possède une
distance moyenne très élevée, et une transitivité nulle, ce qui entraîne que les deux
rapportssontquasi-nuls,etdoncω (cid:39) 0.Or,ceréseaun’estpasdutoutpetit-monde,
bienaucontraire.Pourcetteraison,ilnousparaîtjudicieuxdeconsidérer,enplusde
lamesureω,lesdeuxtermesquilacomposent.
Il faut ajouter que les deux réseaux de référence G et G sont en fait des ap-
A T
proximationsobtenuesparrecâblagedeG,viadeuxméthodeslégèrementdifférentes
[TEL11]. Dans les deux cas, il s’agit de répéter un grand nombre de fois un traite-
ment consistant à sélectionner aléatoirement deux liens et de permuter leurs nœuds
dedestination.Laqualitédel’approximationdépenddunombred’itérations.Notons
V l’ensembledesnœudsdeGetE celuidesesliens.Considéronsdeuxliens(a,b)
et(c,d) ∈ E (oùa,b,cetd ∈ V):ceux-cideviennent(a,d)et(c,b)aprèspermu-
tation. Un filtrage adéquat des liens tirés au sort permet d’éviter de faire apparaître
desliensmultiples,oudeséparerleréseauenplusieurscomposantsdistincts.Dansle
casdutreillis,lapermutationn’estautoriséequesiellepermetderapprocherlelien
deladiagonaledanslamatriced’adjacencereprésentantleréseau.Autrementdit,en
supposant que les nœuds sont numérotés de 1 à n = |V|, on cherche à respecter la
contrainte|a−d|+|c−b|≤|a−b|+|c−d|.
8 MARAMI2014.
4.2. Distributiondudegré
L’identification de la loi théorique gouvernant la distribution de données empi-
riquesestunetâcheplusdélicatequ’iln’yparaît.Plusieurstravauxrécentsonsouli-
gnélefaitquelesméthodeslesplusrépanduesdanslalittératurenesontpastoujours
appropriées,etontaboutiàdesconclusionserronées[CLA09].Ceciestparticulière-
mentvraidelaloidepuissance,quipeutêtreconfondueavecd’autresdistributionsà
queuelourdeparcertainsoutilstraditionnellementutilisés.Deplus,certainesdonnées
peuventsuivrecetypededistributiondefaçonpartielle,i.e.seulementsurunepartie
del’intervalleconsidéré.Danslecontextedesréseauxcomplexes,lescaractéristiques
associéesàlapropriétésans-échellesontissuesdelaprobabilitérelativementélevée
de voir apparaître des pivots dans le réseau. Il est donc important de s’assurer que
le degré suit bien une loi de puissance, et non pas une distribution dont la queue est
lourdemaisdécroitplusrapidement(distributionsexponentielle,exponentielleétirée,
log-normale, loi de puissance tronquée par une coupure exponentielle), voire qui ne
possèdepasdutoutdequeuelourde(loidePoisson).Cetteremarquevautégalement
sionveutvaliderl’hypothèsequelesystèmeétudiéaétégénéréselonunmodèletel
queceluideBarabási&Albert,quiaboutitàlapropriétésans-échelle.
Pourévitercetypedeconfusion,nousutilisonslaprocédureproposéeparClauset
etal,quicomprendtroisétapes.Lapremièreconsisteàestimerlesmeilleuresvaleurs
pourlesparamètresαetx delaloi,enutilisantlaméthodedumaximumdevrai-
min
semblance.Lepremierparamètreestl’exposantdelaloi,quiadéjàétémentionnéen
section 2.2. Le second est sa borne inférieure, qui correspond à la valeur à partir de
laquelle on considère que les données analysées suivent une loi de puissance. Dans
la deuxième étape, on effectue un test d’ajustement, pour vérifier s’il est plausible
quelesdonnéesconsidéréessuiventlaloidepuissancemuniedesparamètresestimés.
Pour cela, on génère d’abord de nombreux jeux de données en utilisant α et x ,
min
puis on estime leurs propres paramètres. La statistique de Kolmogorov-Smirnov est
ensuite utilisée pour mesurer les distances entre les distributions empiriques de ces
jeuxdedonnéesetlesloisthéoriquescorrespondantes(chacuneétantcaractériséepar
les paramètres estimés). La valeur-p du test d’ajustement correspond à la proportion
dejeuxpourlesquelsonobtientunevaleurdecettestatistiquesupérieureàcellecalcu-
léepourlesdonnéesoriginales.Latroisièmeétapeviseàcomparerlaloidepuissance
àdesdistributionsalternatives.Cettedernièreétapeestsouventignoréedanslestra-
vaux cherchant à identifier la propriété sans-échelle, qui ne cherchent pas à vérifier
sid’autresdistributionsontaussiplausiblesquelaloidepuissance.Pourtant,même
silavaleur-pobtenueàladeuxièmeétapeestsuffisammentpetitepourquelaloide
puissance constitue une hypothèse plausible, il est possible que les données soient
aussibien,voiremieux,ajustéespard’autresdistribution.Oneffectuelacomparaison
grâceautestdurapportdevraisemblance,quiconsisteàcomparerlesvraisemblances
desdonnéesétudiées,relativementauxdeuxdistributionsthéoriquesconsidérées.Le
signe du logarithme de leur rapport indique laquelle des deux distributions doit être
privilégiée(unevaleurprochedezérocorrespondantàuneabsencedepréférence).De
plus,unevaleur-pestcalculéepourmesurerlasignificationdecerapport.Lerésultat
Propriétéspetit-mondeetsans-échelle 9
finalpeutdoncsoitprivilégierlaloidepuissanceestimée,soitidentifieruneouplu-
sieursdistributionsalternativescommeplusvraisemblables,soitnepasdépartagerla
loidepuissanceetcertainesalternatives.
5. Résultats
Commeexpliquéensection4.1,nousavonsd’abordcalculélesdistancesmoyennes
LettransitivitésT desréseauxréelsconstituantnotrecollection,ainsiquelesvaleurs
L etT deleursversionsrecâblées.Aveclabibliothèqueigraph6 ,onobtientpour
A T
les mesures des complexités en O(n(cid:104)k(cid:105)2) pour la transitivité et O(mn) pour la dis-
tance moyenne, où n = |V|, m = |E| et (cid:104)k(cid:105) dénote le degré moyen du réseau. Le
recâblage d’une paire de lien est effectué en O(m+n), cependant pour obtenir de
bonnes approximations, il doit être répété de très nombreuses fois, ce qui, en pra-
tique,aboutitàdestempsdecalculpouvantêtrerelativementlongs.Pourcesraisons
computationnelles, il ne nous a été possible de calculer ω que pour 285 réseaux de
notre collection. L’histogramme présenté dans la Figure 1 résume les résultats obte-
nus.Telesfordetal.[TEL11]considèrentquelesréseauxpourlequelsωsesituedans
[−0,5;0,5] possèdent la propriété petit-monde. Pour nos données, 65% des réseaux
traitéssontcontenusdanscetintervalle,etuntestdenormalitémontrequelamesureω
suitapproximativementuneloinormalecentréesur0.Celasignifienotammentqu’ily
aàpeuprèsautantderéseauxpenchantverslesgraphesaléatoiresqueverslestreillis.
LenuagedepointsprésentédanslaFigure1détaillelesvaleursdesdeuxtermes
formant ω (cf. eq. 1). Les courbes de niveaux délimitent les valeurs ω = −0,5; 0
et0,5.Lescouleursetformesreprésententlesrésultatsconcernantlapropriétésans-
échelle,quenousdiscutonsci-après.Onpeutobserversurcegraphiquequ’aucunré-
seaunecorrespondaucasparticuliermettantendéfautl’interprétationdeω(lesdeux
termesnuls),quenousavionsidentifiéensection4.1.Ungroupetrèsdenseapparait
verslacoordonnée(0,8;0),quicorrespondàunecollectionderéseauxmétaboliques
présentant une transitivité nulle en raison de leur structure quasi-arborescente. Pour
72% des réseaux, on a 0,9 ≤ L /L ≤ 1,1, ce qui signifie que les réseaux tendent
A
àavoirunedistancemoyennetrèsprochedecelledeleurversionrandomisée.Defa-
çon générale, les réseaux ont tendance à présenter une distance moyenne plus petite
(80% d’entre eux). La dispersion est plus importante pour la transitivité, puisqu’on
a 0,5 ≤ T/T ≤ 1,5 pour 67% des réseaux. Ceci indique donc une tendance plus
T
importante à s’éloigner de la transitivité obtenue sur leurs versions randomisées. On
peutaussiremarquerqu’àladifférencedeladistance,lesécartsobservéssontrépartis
defaçonrelativementsimilairedesdeuxcôtésdelavaleur1.
Lestestsconcernantladistributiondudegrésontmoinscomplexes,calculatoire-
mentparlant,etontpuêtremenéssur510réseaux.Nousavonsutilisélanomenclature
deClausetetal.[CLA09],quidistinguelessituationssuivantes:Improbable(ladis-
tributionnesuitprobablementpasuneloidepuissance),Modéré(laloidepuissance
ajustebienlesdonnées,maisc’estaussilecasd’autresdistributions),Probable(laloi
6. http://igraph.org/
10 MARAMI2014.
2.5 l
0.10
l
2.0 l l l l l
Fréquence 0.020.040.060.08 T/TT 0.51.01.5 −0 0.5 Imlprobalblellllllll llllllllllllllllllllllllll ll −0ll0.l5l.ll5 llll llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll llllll0lllllll.llllll5lllllllllllllll llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll
lModéré 0.5 l l
0.5 Probable
0.00 0.0 Coupure lllllllllllllllllllllllllllll ll l
0.7 0.8 0.9 1.0 1.1
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
ω LA/L
Figure 1 – Résultats pour la propriété petit-monde : fréquences de la mesure ω
(gauche)etvaleursdesesdeuxcomposantesL /LetT/T (droite).
A T
depuissanceestlaseuleàbienajusterlesdonnées)etCoupure(loidepuissancetron-
quée par une coupure exponentielle est la meilleure alternative). La loi depuissance
estlaseulealternativeprobablepour55%desréseauxtestés(niveauProbable),alors
que pour 1% elle est une alternative parmi d’autres (niveau Modéré). Pour 28% des
réseauxtestés,ledegrésuitprobablementuneloidepuissancetronquée(niveauCou-
pure),etlesréseauxquinesuiventprobablementpasuneloidepuissancereprésentent
16%(niveauImprobable).Autotal,onadonc44%deréseauxdontledegrépeutêtre
caractériséparuneéchelletype,etquinepossèdentdoncpaslapropriétésans-échelle.
Ce résultat est en contradiction avec l’hypothèse d’omniprésence de cette propriété
parmilesréseauxcomplexes.
Le nuage de points inclus dans la Figure 1 indique les résultats relatifs à la dis-
tribution du degré à l’aide d’un code de couleur. On peut remarquer que les réseaux
de niveau Improbable semblent groupés dans la zone du graphique comprise entre
ω = −0,5et0.5,maiscecipourraitêtredûaufaiblenombrederéseauxconcernés.
Pour les niveaux Probable et Coupure (rappelons que la propriété sans-échelle n’est
pas valide pour le second), la distribution est sensiblement similaire, avec la même
concentration autour du point (1;1). Cela semble indiquer que, sur ces données, les
propriétéspetit-mondeetsans-échellesnesontpasliées.
L’analyse de la relation entre la nature du système modélisé et la présence (ou
l’absence) des deux propriétés qui nous intéressent constitue un autre point intéres-
sant. Dans les articles portant sur l’analyse d’un nombre suffisamment important de
réseaux, il est fréquent de voir les auteurs tenter de faire des regroupements, afin de
généraliserleursrésultats.Cesgroupessontgénéralementbaséssurlessystèmesmo-
délisés. Par exemple, les réseaux ayant trait au fonctionnement des être vivants sont
regroupéssouslenomderéseauxbiologiques,lesservicesderéseautageenlignesous
le nom de réseaux sociaux, etc. [ALB02, NEW03]. Nous avons fait de même avec
nosdonnées,etlaFigure2donneunereprésentationgraphiquedesprincipalesclasses