Table Of Content(cid:19)
Etale Kohomologie
Prof. Dr. Uwe Jannsen
Sommersemester 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
2 Grothendieck-Topologien/Siten 2
3 Konstruktionen fu(cid:127)r Pr(cid:127)agarben und Garben 4
4 Die abelschen Kategorien der Garben und Pr(cid:127)agarben 14
4.A Darstellbare Funktoren, Limiten, und Colimiten 17
4.B Filtrierte Kategorien 31
5 Kohomologie auf Siten 33
6 Spektralsequenzen 38
7 Der (cid:19)etale Situs 51
8 Der (cid:19)etale Situs eines K(cid:127)orpers 59
9 Henselsche Ringe 64
10 Beispiele von (cid:19)etalen Garben 74
11 Der Zerlegungssatz 82
12 C(cid:20)ech-Kohomologie 87
13 Vergleich von Siten 95
14 Abstiegstheorie und die multiplikative Gruppe 99
15 Schemata der Dimension 1 106
1 Einleitung
In der Mathematik sucht man oft Invarianten, mit denen man die betrachteten Objekte
charakterisieren oder klassi(cid:12)zieren kann. H(cid:127)au(cid:12)g werden solche Invarianten durch Kohomo-
logiegruppen gewonnen.
Am (cid:127)altesten ist diese Vorgehensweise in der Topologie, wo man zum Beispiel die singul(cid:127)aren
Kohomologiegruppen Hi(X;Q) eines topologischen Raums X betrachtet, die durch expli-
zite ‘Zykel’ und ‘R(cid:127)ander’ de(cid:12)niert werden. Sie genu(cid:127)gen zum Beispiel, um das sogenannte
Geschlecht g einer (kompakten) Riemannschen Fl(cid:127)ache X zu charakterisieren: Sieht X topo-
logisch wie eine Kugel mit g Henkeln aus:
g=1 g=2
so ist dim H1(X;Q) = 2g. Diese Kohomologiegruppen kann man auch als Garbenkohomo-
Q
logie (der konstanten Garbe) beschreiben.
Riemannsche Fl(cid:127)achen k(cid:127)onnen auch als komplexe algebraische Kurven aufgefasst werden, also
alsalgebraischeKurvenu(cid:127)berdemK(cid:127)orperCderkomplexenZahlen.Fu(cid:127)rbeliebigealgebraische
Variet(cid:127)aten X u(cid:127)ber einem beliebigen K(cid:127)orper k (oder beliebige Schemata) kann man ebenfalls
eine Garbenkohomologie betrachten, bezu(cid:127)glich der Zariski-Topologie, und diese ist nu(cid:127)tzlich
fu(cid:127)r koh(cid:127)arente Garben, zum Beispiel bei der Grothendieck-Serre-Dualit(cid:127)at und dem Satz von
Riemann-Roch.
Die Zariski-Kohomologie einer algebraischen Variet(cid:127)at X u(cid:127)ber C liefert aber nicht die sin-
gul(cid:127)are Kohomologie des topologischen Raums X(C); dies liegt daran, dass die letztere Topo-
logie viel feiner als die Zariski-Topologie ist. Weiter m(cid:127)ochte man auch eine analoge Topologie
fu(cid:127)r Variet(cid:127)aten u(cid:127)ber beliebigen K(cid:127)orpern k haben. Fu(cid:127)r K(cid:127)orper positiver Charakteristik zeigte
Serreaber,dasseskeineKohomologietheorieH(cid:3)((cid:0);Q)gibt,sodassH1(X;Q)dieDimension
2g fu(cid:127)r eine glatte projektive Kurve von Geschlecht g hat. Eine solche Theorie war aber von
Weil gefordert worden, um die Weil-Vermutungen fu(cid:127)r Variet(cid:127)aten u(cid:127)ber endlichen K(cid:127)orpern zu
zeigen, mittels einer Fixpunktformel wie man sie aus der Topologie kennt.
Die L(cid:127)osung hierfu(cid:127)r fand Grothendieck, indem er, zusammen mit M. Artin, die(cid:19)etale Kohomo-
logie entwickelte. Diese liefert fu(cid:127)r jedes ℓ ̸= char(k) Kohomologiegruppen Hi(X;Q ), die die
ℓ
von Weil geforderten Eigenschaften besitzen, und mit denen Deligne dann auch schlie(cid:25)lich
die Weilvermutungen beweisen konnte.
1
2 Grothendieck-Topologien/Siten
Grothendiecks Ansatz fu(cid:127)r die (cid:19)etale Kohomologie (und seitdem fu(cid:127)r viele andere Theorien)
war, sich von topologischen R(cid:127)aumen zu l(cid:127)osen. Er bemerkte, dass man nur den Begriff
‘U(cid:127)berdeckungen’ mit gewissen Eigenschaften ben(cid:127)otigt, um Garben und ihre Kohomologi-
en zu de(cid:12)nieren, wobei man ‘offene Menge’ durch ‘Objekt in einer Kategorie’ ersetzt.
De(cid:12)nition 2.1 Sei X eine Kategorie und C eine weitere Kategorie. Eine Pr(cid:127)agarbe auf X
mit Werten in C ist ein kontravarianter Funktor
P : X ! C:
Morphismen von Pr(cid:127)agarben sind Morphismen von Funktoren.
(Wir ignorieren dabei {tats(cid:127)achlich nicht-triviale { mengentheoretische Probleme, indem wir
annehmen, dass die Kategorie X klein ist). Ist C die Kategorie Ab der abelschen Gruppen
(bzw. Rg der Ringe, bzw. ...), so spricht man von Pr(cid:127)agarben von abelschen Gruppen [kurz:
abelsche Pr(cid:127)agarben] (bzw. von Ringen, bzw. ...).
Beispiel 2.2 Sei X ein topologischer Raum. Diesem kann man die folgende Kategorie X
zuordnen:
Objekte sind die offenen Mengen U (cid:18) X. Morphismen sind die Inklusionen V (cid:18) U. Dann
sieht man, dass eine Pr(cid:127)agarbe auf X in Grothendiecks Sinn genau eine klassische Pr(cid:127)agarbe
ist: Fu(cid:127)r jede Inklusion V (cid:18) U hat man wegen der kontravarianten Funktorialit(cid:127)at einen Pfeil
P(U) ! P(V), und die Funktoreneigenschaften liefern gerade die Pr(cid:127)agarben-Eigenschaften
fu(cid:127)r diese ‘Restriktionen’ res .
U;V
De(cid:12)nition 2.3 Sei X eine Kategorie.
(a): Eine Grothendieck-Topologie auf X besteht aus einer Menge T von Familien (U !φi
i
U) von Morphismen in X, genannt U(cid:127)berdeckungen von T , so dass gilt:
i2I
(T1) Ist (U ! U) in T und V ! U ein Morphismus in X, so existieren alle Faserprodukte
i i2I
U (cid:2) V, und (U (cid:2) V ! V) ist in T .
i U i U i2I
(T2)Ist (Ui ! U)i2I inT und(Vij ! Ui)j2Ji inT fu(cid:127)ralle i 2 I,so istdie durchKomposition
der Morphismen entstehende Familie
(V ! U)
ij i;j
in T .
(T3) Ist φ : U′ ! U ein Isomorphismus, so ist (U′ !φ U) in T .
(b) Ein Situs ist ein Paar S = (X;T ) mit einer Kategorie X und einer Grothendieck-
Topologie T auf X. Man bezeichnet die unterliegende Kategorie X auch mit Cat(S) und die
Topologie auch mit Cov(S), also S = (Cat(S);Cov(S)). Manchmal wird auch (X;T ) eine
Grothendieck-Topologie genannt.
Beispiel 2.4 Nimmt man im Beispiel 2.2 die u(cid:127)blichen U(cid:127)berdeckungen (Ui)i2I von offe-
nen Mengen U (cid:18) X, so bilden die zugeh(cid:127)origen Familien (Ui ,! U)i2I eine Grothendieck-
Topologie auf X. Beachte: Das Faserprodukt von offenen Mengen U (cid:18) X;V (cid:18) X ist der
Durchschnitt U \V.
2
De(cid:12)nition 2.5 Sei S = (X;T ) ein Situs, und sei C eine Kategorie mit Produkten (also z.B.
die Kategorie der Mengen oder der abelschen Gruppen). Eine Pr(cid:127)agarbe
F : X ! C
hei(cid:25)t Garbe (bezu(cid:127)glich T ), wenn fu(cid:127)r jede U(cid:127)berdeckung (Ui ! U)i2I in T das Diagramm
∏ ∏
F(U) !(cid:11) F(U )⇒(cid:11)1 F(U (cid:2) U )
i i U j
i (cid:11)2 i;j
exakt ist, wobei rechts der Pfeil (cid:11) von den ersten Projektionen U (cid:2) U ! U und der Pfeil
1 i U j i
(cid:11) von den zweiten Projektionen U (cid:2) U ! U induziert wird (Dies bedeutet, dass (cid:11) der
2 i U j j
Differenzkern von (cid:11) und (cid:11) ist, siehe Alg. Geo. II, 1.A.18). Morphismen von Garben sind
1 2
Morphismen der unterliegenden Pr(cid:127)agarben.
Bemerkung 2.6 Sei C die Kategorie der Mengen. Be∏zeichnen wir fu(cid:127)r s 2 F(U) die Kom-
ponente von (cid:11)(s) in F(U ) mit sj und fu(cid:127)r (s ) 2 F(U ) die Bilder von s und s in
i Ui i i i j
i
F(Ui (cid:2)U Uj) mit sijUi(cid:2)UUj bzw. sjjUi(cid:2)UUj so erhalten wir w(cid:127)ortlich dieselben Bedingungen
wie bei u(cid:127)blichen Garben auf topologischen R(cid:127)aumen, au(cid:25)er dass wir U \U durch U (cid:2) U
i j i U j
ersetzen: Die Bedingungen sind:
(i) Sind s;t 2 F(U) und ist sj = tj fu(cid:127)r alle i, so ist s = t.
∏ Ui Ui
(ii) Ist (si)i2I 2 F(Ui) mit sijUi(cid:2)UUj = sjjUi(cid:2)UUj fu(cid:127)r alle i;j 2 I, so gibt es ein s 2 F(U)
i
mit sj = s fu(cid:127)r alle i 2 I.
Ui i
De(cid:12)nition 2.7 (a) Ein Morphismus f : (X′;T ′) ! (X;T ) von Siten ist ein kovarianter
Funktor f0 : X ! X′ (!), welcher die folgenden Eigenschaften hat:
(S1) Ist (U (cid:0)φ!i U) in T , so ist (f0(U ) f(cid:0)0(!φi) f0(U)) in T ′.
i i
(S2) Ist (U ! U) in T und V ! U ein Morphismus in T , so der kanonische Morphismus
i
f0(U (cid:2) V) ! f0(U )(cid:2) f0(V)
i U i f0(U)
ein Isomorphismus fu(cid:127)r alle i.
Beispiel 2.8 Ist f : X′ ! X eine stetige Abbildung von topologischen R(cid:127)aumen, so erhalten
wir einen Morphismus f : S(X′) ! S(X) der zugeh(cid:127)origen Siten (Beispiel 2.4) durch
f(cid:0)1 : X ! X′
U 7! f(cid:0)1(U):
3
3 Konstruktionen fu(cid:127)r Pr(cid:127)agarben und Garben
Fu(cid:127)r eine Kategorie X sei Pr(X) die Kategorie der abelschen Pr(cid:127)agarben auf X.
De(cid:12)nition 3.1 (Push-forward) Sei f : (X′;T ′) ! (X;T ) ein Morphismus von Siten und sei
P′ : X′ ! Ab eine abelsche Pr(cid:127)agarbe. Dann ist das direkte Bild/Push-forward f P′ von P′
P
de(cid:12)niert als die Pr(cid:127)agarbe
f P′ = P′f0 : X !f0 X′ !P′ Ab:
P
Explizit ist also (f P′)(U) = P′(f0(U)) fu(cid:127)r U in X und f (φ) = P′(f0(φ)) : P′(f0(U )) !
P P 2
P′(f0(U )) fu(cid:127)r φ : U ! U in X). Fu(cid:127)r einen Morphismus : P′ ! P′ von abelschen
1 1 2 1 2
Pr(cid:127)agarben auf X erh(cid:127)alt man einen Morphismus
(3:1:1) f : f P′ ! f P′
P P 1 P 2
wie folgt: Fu(cid:127)r U in X de(cid:12)niere
(f ) : (f P′)(U) ! (f P′)(U)
P U P 1 P 2
q q q
: P′(f0(U)) ! P′(f0(U))
f0(U) 1 2
Man sieht leicht, dass dies einen Morphismus von Pr(cid:127)agarben (3.1.1) gibt und dass man so
einen Funktor
f : Pr(X′) ! Pr(X)
P
P′ 7! f P′
P
7! f
P
erh(cid:127)alt.
Proposition 3.2 Der Funktor
f : Pr(X′) ! Pr(X)
P
besitzt ein Linksadjungiertes
fP : Pr(X) ! Pr(X′):
Fu(cid:127)r Pr(cid:127)agarben P 2 Pr(X) und P′ 2 Pr(X′) gilt also
(3:2:1) HomX′(fPP;P′) (cid:24)= HomX(P;fPP′);
funktoriell in P und P′. Fu(cid:127)r eine Pr(cid:127)agarbe P auf X hei(cid:25)t fPP das Urbild/Pull-back von P.
Beweis von 3.2: Fu(cid:127)r U′ in X′ betrachte die folgende Kategorie IU′: Objekte sind Paare
(U; ), wobei U ein Objekt in X und
: U′ ! f0(U)
4
ein Morphismus in X′ ist. Ein Morphismus (U ; ) ! (U ; ) ist ein Morphismus φ : U !
1 1 2 2 1
U in X, fu(cid:127)r den das Diagramm
2
(3:2:2) f0(U )
;; 1
xx xx1xxxxx
U′FFFFFFFFF f0(φ)
2 ## (cid:15)(cid:15)
f0(U )
2
kommutativ ist. Dann haben wir einen Funktor
P : Iop ! Ab
U′
(U; ) 7! P(U)
φ 7! P(φ)
(wobei Iop die zu I duale Kategorie bezeichnet) und de(cid:12)nieren
U′ U′
(3:2:3) (fPP)(U′) = lim P(U)
!
(U; )2IUop′
als den induktiven Limes (Die Idee ist, dass (fPP)(U′) der induktive Limes aller Schnitt-
mengen P(U) ist, fu(cid:127)r die \U′ in f0(U) enthalten ist", siehe unten, Beispiel 3.4).
Ist φ′ : U′ ! V′ ein Morphismus in X′, so erhalten wir einen Funktor
I ! I ;
V′ U′
indem wir einem Objekt (V;V′ ! f(V)) in I das Objekt (V;U′ !φ′ V′ ! f(V)) zuordnen,
V′
und einem Morphismus φ : V ! V denselben Morphismus.
1 2
Dies liefert einen Morphismus
(fPP)(V′) = limP(U) ! limP(U) = (fPP)(U′):
! !
IVop′ IUop′
Hierdurch wird fPP zu einem kontravarianten Funktor
fPP : X′ ! Ab;
also zu einer abelschen Pr(cid:127)agarbe auf X′.
Wir zeigen nun die Adjunktion. Sei P′ eine abelsche Pr(cid:127)agarbe auf X′ und
(3:2:4) v : fPP ! P′
ein Morphismus von abelschen Pr(cid:127)agarben. Fu(cid:127)r jedes U in X hat man dann den Homomor-
phismus
(3:2:5) v : (fPP)(f0(U)) ! P′(f0(U)) = (f P′)(U):
f0(U) P
5
Weiter ist das Paar (U;id ) ein Objekt von I , und wir erhalten den kanonischen
f0(U) f0(U)
Homomorphismus
(3:2:6) P(U) ! lim P(V) = (fPP)(f0(U));
!
(V; )2Iop
f0(U)
durch Komposition von (3.2.6) und (3.2.5) also einen Homomorphismus
(3:2:7) P(U) ! (f P′)(U);
P
der offenbar funktoriell in U ist, also einen Morphismus von abelschen Pr(cid:127)agarben auf X
(3:2:8) w : P ! f P′:
P
Sei umgekehrt ein Morphismus w wie in (3.2.2) gegeben, und sei U′ 2 ob(X′). Dann hat man
fu(cid:127)r jedes Objekt (U; : U′ ! f0(U)) in IU′ den Homomorphismus
P(U) (cid:0)w!U (f P′)(U) = P′(f0(U)) P(cid:0)′!( ) P′(U′):
P
Dieser ist funktoriell in (U; ) und liefert daher einen Homomorphismus (universelle Eigen-
schaft des induktiven Limes)
(fPP)(U′) = lim P(U) ! P′(U′);
!
(U; )2IUop′
der seinerseits funktoriell in U′ ist und somit einen Morphismus
v : fPP ! P′
von abelschen Pr(cid:127)agarben auf X′ ergibt.
Schlie(cid:25)lich zeigt man leicht, dass die Zuordnungen v 7! w und w 7! v zueinander invers sind.
Bemerkung 3.3 Dasselbe gilt fu(cid:127)r Pr(cid:127)agarben mit Werten in einer Kategorie C, falls in C
beliebige direkte Limiten existieren, also z.B. C = Set;Rg;:::.
Beispiel 3.4 Sei f : X′ ! X eine stetige Abbildung topologischer R(cid:127)aume und
f : S(X′) ! S(X); U 7! f(cid:0)1(U);
der zugeh(cid:127)orige Morphismus von Siten. Dann sind
f : Pr(X′) ! Pr(X); fP : Pr(X) ! Pr(X′)
P
die u(cid:127)blichen Funktoren. Dies ist klar fu(cid:127)r f : Es ist (f P′)(U) = P′(f(cid:0)1(U)). Aber auch fu(cid:127)r
P P
fP erh(cid:127)alt man die u(cid:127)bliche Konstruktion: fu(cid:127)r U′ (cid:18) X′ ist IU′ die geordnete Menge (!) der
offenen Mengen U (cid:18) X mit f(U′) (cid:18) U, also U′ (cid:18) f(cid:0)1(U), und fPP(U′) = lim P(U).
!
f(U′)(cid:18)U
Fu(cid:127)r einen Situs (X;T ) sei Sh(X;T ) die Kategorie der abelschen Garben (bezu(cid:127)glich T ) auf
X. Wir haben eine volltreue Einbettung
i = i : Sh(X;T ) ,! Pr(X):
T
6
Satz 3.5 Die Einbettung i besitzt ein Linksadjungiertes
a = a : Pr(X) ! Sh(X;T ):
T
Es gibt also fu(cid:127)r alle Pr(cid:127)agarben P und alle Garben F Isomorphismen, funktoriell in P und
F,
Hom (P;iF) !(cid:24) Hom (aP;F):
Pr Sh
Fu(cid:127)r eine Pr(cid:127)agarbe P hei(cid:25)t aP die (bezu(cid:127)glich T ) assoziierte Garbe.
Zum Beweis brauchen wir einige Vorbereitungen.
De(cid:12)nition 3.6 Eine Verfeinerungsabbildung
(V ! U) ! (U ! U)
j j2J i i2I
von U(cid:127)berdeckungen von U ist eine Abbildung " : J ! I der Indexmengen und eine
Familie (f ) von U-Morphismen f : V ! U .
j j2J j j "(j)
MitdenVerfeinerungsabbildungenalsMorphismen,unddenoffensichtlichenKompositionen,
erhalten wir die Kategorie T (U) der U(cid:127)berdeckungen von U (bezu(cid:127)glich der Topologie T ).
De(cid:12)nition 3.7 Sei U in X und P eine abelsche Pr(cid:127)agarbe auf X.
(a) Fu(cid:127)r jede U(cid:127)berdeckung U = (U ! U) in T hei(cid:25)t
i
∏ ∏
H(cid:20)0(U;P) = ker( P(U )⇒(cid:11)1 P(U (cid:2) U ))
i i U j
i (cid:11)2 i;j
(cid:20)
die nullte Cech-Kohomologie von P bezu(cid:127)glich U. Hierbei seien (cid:11) und (cid:11) wie in De(cid:12)-
1 2
nition 2.5 de(cid:12)niert.
(b) Nenne
H(cid:20)0(U;P) = limH(cid:20)0(U;P)
!
U
(cid:20)
die nullte Cech-Kohomologie von P fu(cid:127)r U, wobei der direkte Limes u(cid:127)ber die Kategorie
T (U)op gefu(cid:127)hrt wird.
Bemerkung 3.8 Eine Pr(cid:127)agarbe P auf X ist also genau eine Garbe bezu(cid:127)glich T , wenn fu(cid:127)r
alle U in X und alle U = (U ! U) in T (U) der kanonische Homomorphismus
i
P(U) ! H(cid:20)0(U;P)
ein Isomorphismus ist. In diesem Fall ist auch P(U) ! H(cid:20)0(U;P) ein Isomorphismus.
Beweis von Satz 3.5 Sei P eine abelsche Pr(cid:127)agarbe auf X. Fu(cid:127)r U in X de(cid:12)niere
P~(U) := H(cid:20)0(U;P):
Dies liefert eine Pr(cid:127)agarbe, denn fu(cid:127)r φ : V ! U in X haben wir einen kanonischen Homo-
morphismus
(3:5:1) φ(cid:3) : H(cid:20)0(U;P) ! H(cid:20)0(V;P);
7
weil wir fu(cid:127)r jede U(cid:127)berdeckung U = (U ! U) von U die U(cid:127)berdeckung U := (U (cid:2) V ! V)
i V i U
von V erhalten, also einen induzierten Homomorphismus
(3:5:2) H(cid:20)0(U;P) ! H(cid:20)0(U ;P);
V
und durch U(cid:127)bergang zu den Limiten dann (3.5.1).
Ein Morphismus von abelschen Pr(cid:127)agarben
: P ! P
1 2
induziert einen kanonischen Morphismus von Pr(cid:127)agarben
(3:5:3) ~ : P~ ! P~
1 2
wie folgt: Fu(cid:127)r jede U(cid:127)berdeckung U = (U ! U) induziert einen Homomorphismus
i
(3:5:4) H(cid:20)0(U;P ) ! H(cid:20)0(U;P ):
1 2
Dies ist vertr(cid:127)aglich mit Verfeinerungen und ergibt im Limes u(cid:127)ber T (U)op einen Homomor-
phismus
(3:5:5) ~ : H(cid:20)0(U;P ) ! H(cid:20)0(U;P ):
U 1 2
Fu(cid:127)r jeden Morphismus φ : V ! U ist dabei das Diagramm
~ : H(cid:20)0(U;P ) //H(cid:20)0(U;P )
U 1 2
φ(cid:3) φ(cid:3)
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
~ : H(cid:20)0(V;P ) //H(cid:20)0(V;P )
V 1 2
kommutativ. Dies liefert (3.5.3). Man sieht leicht, dass dies einen Funktor
Pr(X) ! Pr(X)
P 7! P~
7! ~
ergibt.
De(cid:12)nition 3.9 Eine Pr(cid:127)agarbe P hei(cid:25)t separiert bezu(cid:127)glich T , wenn fu(cid:127)r jede U(cid:127)berdeckung
(U ! U) in T der Homomorphismus
i
∏
P(U) ! P(U )
i
i
injektiv ist. (A(cid:127)quivalent ist, dass P(U) ! H(cid:20)0((U ! U);P) injektiv ist).
i
~
Lemma 3.10 (a) Ist P eine abelsche Pr(cid:127)agarbe, so ist P separiert.
(b) Es gibt einen kanonischen Morphismus P ! P~.
(c) Ist P eine separierte abelsche Pr(cid:127)agarbe, so ist P ! P~ ein Monomorphismus und P~ eine
Garbe.
8
