Estatística Aplicada

313 Pages·2004·1.43 MB·Portuguese

ESTATÍSTICA APLICADA
Edite Manuela da G.P. Fernandes
Universidade do Minho, Braga, 1999
ESTATÍSTICA APLICADA
Edite Manuela da G.P. Fernandes
com a colaboração de
A. Ismael F. Vaz
na realização dos gráficos, figuras e tabelas
Universidade do Minho, Braga, 1999
Título: Estatística Aplicada
Autor: Edite Manuela da G.P. Fernandes
Composição: Texto preparado em LATEX pela autora e por A. Ismael F. Vaz
Impressão da capa e colagem: Serviços de Reprografia e Publicações da Universidade
do Minho
Capa: A. Ismael F. Vaz
TEX é uma marca registada da American Mathematical Society.
300 exemplares em Janeiro de 1999
4
Conteúdo
Prefácio ix
1 Teoria da amostragem 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Amostra aleatória simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Distribuição amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Erros no processo de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Outros tipos de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Experimentação 13
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 O planeamento da experiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Medição de variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Precisão das medições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Escalas de medição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Organização dos dados 23
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Tabela de frequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 Estatística descritiva 37
4.1 Medidas centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Distribuição normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Medidas de associação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4.1 Coeficiente de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.2 Coeficiente de determinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.4.3 Associação, predição e causa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
i
ii CONTEÚDO
4.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5 Distribuições de probabilidade 55
5.1 Teoria das probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1.1 Espaço da amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.2 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.1.3 Operações com acontecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.4 Funções de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1.5 Distribuição de funções de variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Esperança Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Funções de distribuição discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Tentativas de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 Distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.3 Distribuição binomial negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.4 Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.5 Aproximação de Poisson à distribuição binomial . . . . . . . . . . . 74
5.4 Funções de distribuição contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.1 Distribuição uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.2 Distribuição exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4.3 Distribuição gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4.4 Distribuição normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.5 Aproximação normal à distribuição binomial . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.6 Distribuição normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.4.7 Distribuição Qui-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.8 Distribuição t-Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.9 Distribuição F. Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Estimação de parâmetros 93
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Estimação pontual de parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.1 Média do quadrado do erro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2.2 Tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Eficiência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2.4 Consistência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Estimador de máxima verosimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3.1 Estimador da média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.3.2 Estimador da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.3.3 Estimador para a proporção binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4 Estimação por intervalos de confiança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.1 Intervalo para a média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4.2 Intervalo para a diferença entre duas médias . . . . . . . . . . . . . 102
6.4.3 Intervalo para a variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
CONTEÚDO iii
6.4.4 Intervalo para a razão entre duas variâncias . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.5 Intervalo para a proporção binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Testes às médias das distribuições 111
7.1 Hipóteses estatísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.1.1 Função potência. Nível de significância. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.2 Hipóteses simples e composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.1.3 Testes unilaterais e bilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.2 Teste à média de uma distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3 Teste à diferença de duas médias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Teste às médias de k distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4.1 Análise da variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.2 Planeamento completamente aleatório . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.3 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos aleatórios . . . . . 122
7.4.4 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos incompletos . . . . 126
7.4.5 Análise de dois factores. Planeamento factorial com uma replicação.
Planeamento factorial com r replicações . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.4.6 Planeamento factorial a dois níveis, 22 e 23 . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4.7 Planeamentos baseados em quadrados latinos e greco-latinos . . . . 140
7.4.8 Inferência não-paramétrica. Dados ordinais. Graduação das obser-
vações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.4.9 Amostras independentes. Teste de Kruskal-Wallis. . . . . . . . . . . 146
7.4.10 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos. Teste de Quade. . 148
7.4.11 Amostras relacionadas. Planeamento com blocos incompletos. Teste
de Durbin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8 Testes às proporções 163
8.1 Teste às proporções de duas binomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.1.1 Teste à proporção p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
1
8.1.2 Teste à diferença de duas proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.2 ’Estatística’ dos testes do Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.3 Tabelas de Contingências de duas Entradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.3.1 Teste de independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.2 Teste de homogeneidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
9 Testes de ajuste de distribuições 175
9.1 Teste do Qui-Quadrado para grandes amostras . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.1.1 Distribuição completamente especificada na hipótese nula . . . . . . 176
9.1.2 Distribuição não totalmente especificada. Estimação de parâmetros 176
9.2 Testes do tipo Kolmogorov para pequenas amostras . . . . . . . . . . . . . 177
iv CONTEÚDO
9.2.1 Distribuição empírica. ’Estatística’ de máxima distância vertical . . 178
9.2.2 Distribuição completamente especificada na hipótese nula. Teste de
Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
9.2.3 Famílias de distribuições. Estimação de parâmetros . . . . . . . . . 180
9.3 Testes às distribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.3.1 Teste a duas distribuições. Amostras independentes. Teste de Smirnov183
9.3.2 Teste a k distribuições. Amostras independentes. Teste unilateral
de Smirnov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
9.4 Testes às variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.4.1 Teste à variância σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9.4.2 Teste à razão de duas variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
10 Testes de regressão 193
10.1 Regressão linear e simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
10.2 Regressão linear e múltipla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.3 Regressão não-linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.4 Análise dos resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.4.1 Tipos de resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.4.2 Verificação das condições dos erros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.4.3 Modelo mal especificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
10.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11 Testes de independência estocástica 211
11.1 Coeficiente de correlação linear da amostra. Teste de Pearson . . . . . . . 211
11.2 Teste de Spearman baseado em graduações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
A Tabelas Estatísticas 217
B Quadrados latinos 291
C Quadrados greco-latinos 295
Lista de Figuras
1.1 Roda [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tabela das etiquetas [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Mapa da freguesia do Forno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Distribuições amostrais [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 População de supermercados da cidade [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 O planeamento mais simples [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Planeamento com dois grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 P.c.a. com 4 grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Tabela de frequências [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Tabela de dados bivariados [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Gráfico de linhas [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.4 Gráfico de barras [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5 Gráficos de barras com figuras [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.6 Gráfico de pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Histograma [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8 Distribuição amostral [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 Valor central das alturas [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Distribuições não simétricas e simétricas [2] . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Distribuição normal [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.4 Diferentes associações entre variáveis [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Casos com diferentes coeficientes de determinação [12] . . . . . . . . . . . . 46
4.6 Factores que originam associação entre duas variáveis A e B [12] . . . . . . 47
4.7 Regressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1 Probabilidades [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Gráfico da função das probabilidades [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 Gráfico das probabilidades acumuladas [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Exemplo de função de distribuição acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Histograma de uma distribuição de Bernoulli [5] . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.6 Distribuição das probabilidades binomiais e probabilidades acumuladas [5] 72
5.7 Histograma de uma distribuição binomial [5] . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
v
vi LISTA DE FIGURAS
5.8 Histograma da distribuição de Poisson com λ = 2.8 [5] . . . . . . . . . . . 74
5.9 Distribuição uniforme com a = 1 e b = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.10 Distribuição exponencial com β = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.11 Distribuições gama com β = 1 e α = 1, 2.5, 5, e 10 . . . . . . . . . . . . . 78
5.12 Distribuição normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.13 Aproximação à normal (p = 1) [8] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2
5.14 Distribuição normal bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.15 Distribuições Qui-quadrado com r = 2, 5 e 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.16 Distribuições t-student com r = 2, 5 e 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.17 Distribuição F com r = 10 e r = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1 2
6.1 Estimador T tendencioso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
(cid:1)
6.2 Estimadores T e T para o parâmetro φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Distribuição do estimador X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1 Pontos críticos da distribuição da ’estatística’ Z. Região de rejeição do teste. 115
7.2 Efeitos entre níveis de factores (a) sem interacção; (b) com interacção . . . 134
9.1 A função F∗(x) da hipótese nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
9.2 As duas distribuições S(x) e F∗(x) e a ’estatística’ T . . . . . . . . . . . . 179
10.1 Intervalo de valores usados na experiência. Perigos da extrapolação. . . . . 196