Table Of ContentMATHEMATICS FOR COMPUTER GRAPHICS
John Vince
Mathematics for
Computer Graphics
SecondEdition
With175Illustrations
JohnVince,MTech,PhD,DSc,FBCS,CEng
MediaSchool,
UniversityofBournemouth,TalbotCampus,FernBarrow,PooleBH125BB,UK
LibraryofCongressControlNumber:2005928172
ISBN-10:1-84628-034-6
ISBN-13:978-1-84628-034-4
ISBN1-85233-380-41stedition
Printedonacid-freepaper.
(cid:1)c Springer-VerlagLondonLimited2006
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PrintedintheUnitedStatesofAmerica. (SPI/MVY)
9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Dedication
I dedicate this book to my wife Annie, who has had to tolerate a year of me
reading math books in bed, on planes, boats, trains, in hotels, in the garden,
in the bath, on holiday, and probably in my sleep!
Contents
Preface xiii
1 Mathematics 1
1.1 Is Mathematics Difficult? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Who should Read this Book?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Aims and Objectives of this Book . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Assumptions Made in this Book . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 How to Use the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Numbers 5
2.1 Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Prime Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Rational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5 Irrational Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.6 Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.7 The Number Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.8 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Algebra 11
3.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Algebraic Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.1 Associative Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Commutative Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2.3 Distributive Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Solving the Roots of a Quadratic Equation . . . . . . . . . . . 14
viii MathematicsforComputerGraphics
3.4 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.1 Laws of Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.4.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Further Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4 Trigonometry 17
4.1 The Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Inverse Trigonometric Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Trigonometric Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.5 The Sine Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.6 The Cosine Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.7 Compound Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.8 Perimeter Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Cartesian Coordinates 23
5.1 The Cartesian xy-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.1.1 Function Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1.2 Geometric Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.3 Polygonal Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.1.4 Areas of Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.1.5 Theorem of Pythagoras in 2D . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 3D Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.1 Theorem of Pythagoras in 3D . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.2 3D Polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.3 Euler’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6 Vectors 31
6.1 2D Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.1 Vector Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1.2 Graphical Representation of Vectors. . . . . . . . . . . 32
6.1.3 Magnitude of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 3D Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2.1 Vector Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.2.2 Multiplying a Vector by a Scalar . . . . . . . . . . . . 36
6.2.3 Vector Addition and Subtraction . . . . . . . . . . . . 36
6.2.4 Position Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2.5 Unit Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2.6 Cartesian Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2.7 Vector Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2.8 Scalar Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Contents ix
6.2.9 Example of the Dot Product . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2.10 The Dot Product in Lighting Calculations . . . . . . . 42
6.2.11 The Dot Product in Back-Face Detection . . . . . . . 43
6.2.12 The Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2.13 The Right-Hand Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.3 Deriving a Unit Normal Vector for a Triangle . . . . . . . . . 47
6.4 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.4.1 Calculating 2D Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Transformation 51
7.1 2D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.2 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.1.3 Reflection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2.1 Systems of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.2 The Determinant of a Matrix . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3 Homogeneous Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.3.1 2D Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.2 2D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.3.3 2D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3.4 2D Shearing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3.5 2D Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3.6 2D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.3.7 2D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3.8 2D Rotation about an Arbitrary Point . . . . . . . . . 65
7.4 3D Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.1 3D Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.2 3D Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.4.3 3D Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.4.4 Gimbal Lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.4.5 Rotating about an Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.4.6 3D Reflections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5 Change of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.5.1 2D Change of Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.6 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.6.1 Positioning the Virtual Camera . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.2 Direction Cosines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.6.3 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.7 Rotating a Point about an Arbitrary Axis . . . . . . . . . . . 83
7.7.1 Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.7.2 Adding and Subtracting Quaternions . . . . . . . . . 91
7.7.3 Multiplying Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.7.4 The Inverse Quaternion . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
x MathematicsforComputerGraphics
7.7.5 Rotating Points about an Axis . . . . . . . . . . . . 92
7.7.6 Roll, Pitch and Yaw Quaternions . . . . . . . . . . . 95
7.7.7 Quaternions in Matrix Form . . . . . . . . . . . . . . 96
7.7.8 Frames of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.8 Transforming Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.9 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.10 Perspective Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.11 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8 Interpolation 107
8.1 Linear Interpolant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2 Non-Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.1 Trigonometric Interpolation . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.2 Cubic Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Interpolating Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4 Interpolating Quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Curves and Patches 123
9.1 The Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 The Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.3 B´ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3.1 Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3.2 Quadratic B´ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.3.3 Cubic Bernstein Polynomials . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 A recursive B´ezier Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5 B´ezier Curves Using Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.5.1 Linear Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.6 B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.1 Uniform B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.6.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
9.6.3 Non-Uniform B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.6.4 Non-Uniform Rational B-Splines . . . . . . . . . . . 141
9.7 Surface Patches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.1 Planar Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.7.2 Quadratic B´ezier Surface Patch . . . . . . . . . . . . 142
9.7.3 Cubic B´ezier Surface Patch . . . . . . . . . . . . . . 144
9.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10 Analytic Geometry 147
10.1 Review of Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1.1 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.1.2 Intercept Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10.1.3 Golden Section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.1.4 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Contents xi
10.1.5 Centre of Gravity of a Triangle . . . . . . . . . . . . 150
10.1.6 Isosceles Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
10.1.7 Equilateral Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.8 Right Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.1.9 Theorem of Thales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.10 Theorem of Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.11 Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
10.1.12 Trapezoid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.13 Parallelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.14 Rhombus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.1.15 Regular Polygon (n-gon) . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.1.16 Circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.2 2D Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2.1 Equation of a Straight Line . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2.2 The Hessian Normal Form . . . . . . . . . . . . . . 158
10.2.3 Space Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.2.4 The Hessian Normal Form from Two Points . . . . 160
10.3 Intersection Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.3.1 Intersection Point of Two Straight Lines . . . . . . 161
10.3.2 Intersection Point of Two Line Segments . . . . . . 161
10.4 Point Inside a Triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4.1 Area of a Triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4.2 Hessian Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.5 Intersection of a Circle with a Straight Line . . . . . . . . . . 168
10.6 3D Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
10.6.1 Equation of a Straight Line . . . . . . . . . . . . . . 170
10.6.2 Point of Intersection of Two Straight Lines . . . . . 171
10.7 Equation of a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
10.7.1 Cartesian Form of the Plane Equation. . . . . . . . 174
10.7.2 General Form of the Plane Equation. . . . . . . . . 176
10.7.3 Parametric Form of the Plane Equation . . . . . . . 176
10.7.4 Converting From the Parametric to the General
Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
10.7.5 Plane Equation from Three Points . . . . . . . . . . 179
10.8 Intersecting Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.8.1 Intersection of Three Planes . . . . . . . . . . . . . 184
10.8.2 Angle between Two Planes . . . . . . . . . . . . . . 186
10.8.3 Angle between a Line and a Plane . . . . . . . . . . 187
10.8.4 Intersection of a Line with a Plane. . . . . . . . . . 189
10.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
11 Barycentric Coordinates 193
11.1 Ceva’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.2 Ratios and Proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.3 Mass Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
