Table Of ContentESPACIOS DE HILBERT
(Geometría, Operadores, Espectros)
Lorenzo Abellanas
Catedrático de Métodos Matemáticos
en la Universidad Complutense
Alberto Galindo
Catedrático de Mecánica Cuántica
en la Universidad Complutense
EUDEMA
EUDEMA UNIVERSIDAD: MANUALES
Cubierta: José María Cerezo
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte
de este libro, puede reproducirse o transmitirse por ningún
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(Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.)
® Lorenzo Abellanas y Alberto Galindo
EUDEMA, S. A. (Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.), 1987
Fortuny, 53. 28010 Madrid
Depósito legal: M 41.685-1988
ISBN: 84-7754-035-7
Printed in Spain
Imprime: Anzos, S. A. -Fuenlabrada (Madrid)
Índice
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
l. Espacios lineales y aplicaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Espacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Subespacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bases de Hamel. Dimensión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Suma directa de subespacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Aplicaciones lineales y antilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Gráfico de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Isomorfismos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Soluciones a los ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Espacios lineales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Relación norma-distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Compleción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Sumas infinitas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Apéndice: Desigualdades de Minkovski y Holder (para sumas) . . . . . 37
Ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Soluciones a los ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3. Espacios LP .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 49
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
· Borelianos y funciones borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
·Integral de Lebesgue. Espacio !f'1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 55
Propiedades «c.d.». Espacios L1 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 59
Espacios LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Otras propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Comparación con la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Espacios U(!Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Soluciones a los ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO
4. Espacios Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Espacios con producto escalar (pre-Hilbert, Hilbert) . . . . . . . . . . . . . 75
Propiedades geométricas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Norma inducida por el producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Ejemplos de espacios con producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Relación norma-producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Espacios de Hilbert. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Complementos ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Soluciones a los ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5. Bases de Hilbert. Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 10 l
Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · 102
Espacios de Hilbert separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Teorema del isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Bases ortonormales y bases lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Algunas bases ortonormales importantes de funciones . . . . . . . . . . . ll O
Bases ortonormales en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ll4
Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Soluciones a los ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6. Operadores lineales acotados. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Acotación y continuidad de operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Sobre el dominio de los operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Existencia del inverso en d(H1, H2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 126
Estructura de d (H 1, H 2) • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 127
Algunos operadores interesantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Soluciones a los ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Funcionales lineales continuos. Espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Topología débil sobre H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
Topologías útiles sobre d(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Apéndice: Principios básicos del análisis lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Ejercicios del capítulo 7 .............. : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Soluciones a los ejercicios del capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8. Algunos tipos importantes de operadores lineales acotados . . . . . . . . . 167
~operador adjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Operadores autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0
Operadores (autoadjuntos) positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Proyectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
La transformación de Fourier como operador unitario sobre L2 • • • • 188
Isometrías parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
ESPACIOS DE HILBERT 9
Operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Apéndice (familias sumables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9. Operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Operadores de la clase Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Operadores de clase de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10. Espectro y resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Propiedades topológicas de u(A) y p(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Comparación de los espectros de A y A+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Rango numérico y espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
11. Espectro de unitarios y autoadjuntos en .s;/(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Espectro de operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Espectro de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Espectro de isométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Espectro de autoadjuntos en d(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Espectro de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12. Espectro y forma canónica de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . 229
Espectro de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Descomposición espectral de los operadores compactos normales 232
Forma canónica de un compacto arbitrario ................... · 234
Triangulación de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13. Introducción a las ecuaciones integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Operadores integrales. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Ecuaciones integrales de tipo compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
Ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Propiedades espectrales de los operadores integrales de tipo compacto . 248
Núcleo resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Resolución del caso degenerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Método iterativo (Serie de Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
El método de los determinantes de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Ecuaciones de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Ecuaciones integrales con núcleo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
14. Descomposición espectral de operadores normales acotados . . . . . . . . . 265
Cálculo funcional continuo con un operador autoadjunto acotado 265
Cálculo funcional boreliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Los proyectos espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
Familias espectrales y medidas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Integración respecto de una medida espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Descomposición espectral de autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . 280
Relación entre u(A) y {Et} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
10 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO
Representación espectral de operadores autoadjuntos acotados con es-
pectro simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Descomposición espectral de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Descomposición espectral de normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Matriz asociada a un operador lineal en A" . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Traza y determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Producto directo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Tipos importantes de matrices en Mn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
Espectro y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Cálculo variacional de a(A), A autoadjunta . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Localización de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Polinomio mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Cálculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Caso particular: Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
lndice analítico 311
Biblíografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
1n troducción
· La teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert se halla situada en una
de esas curiosas confluencias entre la Física y la Matemática, que sólo por hábito
dejan de provocar sorpresa. En los últimos cincuenta años, la Física ha recurrido a
una teoría matemática basada en espacios de dimensión iriflnita, dotados de una
estructura geométrica de tipo euclídeo, para formular sus propios problemas y
esquemas de trabajo. Y no es menos cierto que ha devuelto generosamente el favor,
tanto por las contribuciones de algunos fisicos a temas de carácter estrictamente
matemático como por el planteamiento continuo de nuevos problemas que, a su vez,
acaparan la atención y el esfuerzo de los matemáticos, cerrando así un ciclo de
intercambios que actúa de catalizador sobre el desarrollo de ambos campos.
En estas notas pretendemos dar una visión a la vez autocontenida, concisa y
bastante completa de la teoría de operadores lineales acotados en espacios de Hilbert.
Tras unos capítulos preliminares sobre espacios lineales normados, se introducen
los espacios LP de Lebesgue. Su definición en el capítulo tercero se presenta por un
método más rápido que el clásico en teoría de la medida (u-álgebras, etc.), esperando
que su dificultad se vea, con ello, muy atenuada.
Después de un análisis relativamente detallado de los aspectos más elementales
de la geometría de los espacios de Hilbert y de las aplicaciones lineales continuas,
se recogen algunas cuestiones relacionadas con los operadores lineales acotados que
son de gran importancia, tanto teórica como práctica. Nos hemos reducido al análisis
de operadores acotados con el fin de mantener la exposición a un nivel adecuado
para sus finalidades docentes en el primer ciclo de la Licenciatura. De hecho, el
análisis aquí presentado facilitará enormemente al lector interesado la incursión en
problemas lineales no acotados.
Entre los tipos más importantes de operadores acotados que quedan englobados
en el alcance de estas notas destacan en primer lugar los unitarios, autoadjuntos y
proyectores ortogonales, todos ellos casos particulares de los llamados operadores
normales. A ellos se dedica el capítulo octavo. Otra familia de gran interés, la de
los operadores compactos, ha sido aislada en el capítulo noveno, por gozar de
propiedades muy peculiares.
Los Capítulos JO, 11 y 12 presentan las nociones básicas de espectro y
resolvente, sus propiedades generales y la estructura especifica del espectro de las
familias antes citadas.
Como aplicación inmediata de los Capítulos 9 y 12, en el Capítulo 13 se analizan
algunos aspectos básicos en la teoría de ecuaciones integrales.
Finalmente, el Capítulo 14 contiene el cálculo funcional para operadores auto-
12 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO
adjuntos (más generalmente, normales) acotados, en sus versiones continua y
boreliana, así como la descomposición espectral y tópicos con ella relacionados.
Se ha intentado a lo largo de estas notas preservar en lo posible un equilibrio
conveniente entre los resultados teóricos dt!l libro y algunos ejemplos ilustrativos
intercalados en el texto a tal efecto. Lo cual no significa que se abrume al lector
con una sarta de ejercicios monótoname11te repetidos, meramente mecánicos. Bien al
contrario, hemos procurado escoger un muestrario de ejemplos, a veces bajo el título
de ejercicios, suficientemente representativos y, siempre que ha sido posible, dentro
de los operadores que con mayor frecuencia aparecen en la práctica (transformación
de Fourier, matrices densidad, operador posición [acotado], operadores integrales ... ).
Sólo en un equilibrio adecuado entre el estudio de la teoría abstracta y la
resolución de ejemplos y ejercicios puede lograrse un dominio razonable del análisis
lineal en espacios de Hilbert.
En este mismo orden de ideas, y pese a que la teoría de matrices es requisito
previo para unos conocimientos de base en teoría general de operadores lineales,
hemos creído aconsejable resumir en un apéndice las propiedades más destacables
de las matrices finitas, con el doble fin de que el lector pueda consultarlas
directamente, y además pensando en que le sirvan como almacén para autoproponer
se ejercicios simples en conexión con las ideas del texto.
Queremos agradecer a M. A. Iglesias su esmero en el mecanografiado del original
de estas notas.
Deseamos asimismo agradecer a M.a Ángeles Solano y Daniel Montanya, de
Eudema, su inestimable colaboración en la edición y producción de esta obra.
1
Espacios lineales y aplicaciones lineales
1.1. ESPACIOS LINEALES
Un espacio lineal (o vectorial) sobre un cuerpo A (que tomaremos= IR ó C) es
una tema (L, +, ·) formada por un conjunto no vacío L y dos aplicaciones
L x L ~ L, A x L -+ L llamadas suma y producto por escalares, respectivamente,
que satisfacen:
i) (L, +) es un grupo aditivo
ii) A.· (x+y)=A. · x+A. ·y
iii) A. · (fJ · x) = (A.fJ) · x Vx, yEL
iv) (A+fJ) · X=A · X+fJ · x VA., !JEA
V) } • X=X
Corrientemente, escribiremos L en lugar de (L, +, ·), sobreentendiendo fijadas
las aplicaciones ( +, ·) . Y simplificaremos A. · x escribiendo A.x sencillamente,
convenio que no induce a error debido a las condiciones (ii-v) precedentes.
Los elementos de L se llaman vectores; los de A, escalares.
Notaciones
Sea L un espacio lineal sobre A, y sean A, B, dos subconjuntos de L.
Definimos:
A+B={x+ylxEA, yEB} , A+<l>=A
A.A::: { A.xix E A} , A.<l>::: <l>
U
AA= A.A
AEA
14 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO
Ejercicios
J. Sea Mn(A) el conjunto de matrices n x n sobre A. Definase una
estructura de espacio lineal en Mn(A) mediante las operaciones usuales
con matrices.
2. Probar que el conjunto C[a,b] de funciones continuas complejas
definidas sobre [a, b] e IR es un espacio lineal, con las operaciones
habituales de suma de funciones, etc.
3. Todo espacio lineal L sobre C puede ser considerado como espacio
lineal sobre R
4. Sea N el conjunto de n-plas {aJ~ =(a¡, a2, ••• , an) con ocie A, dotado
de las operaciones {aiH+{Pi}~={ai+Pi}~; A.{ai}~={A.aiH· Probar
que es un espacio lineal sobre A.
1.2. SUBESPACIOS LINEALES
Un subconjunto no vacío M de un espacio lineal L se dice subespacio lineal
deL si M+McM, AMcM.
Es elemental probar que:
n
i) Si {M Cl} «e A es una familia de subespacios lineales de L, entonces M Cl lo
Cl
es también.
ii) Si M1, M2, ••• , Mn, son subespacios lineales deL, entonces M1 +M2+ ··· +Mn
también lo es.
En todas estas afirmaciones, L y sus subespacios lineales se consideran sobre
el mismo A.
Dado un subconjunto (no vacío) X del espacio lineal L, se llama envolvente
lineal de X al mínimo subespacio lineal que contiene a X. Se denotará por lin(X).
Como consecuencias inmediatas de esta definición:
n
i) lin(X)= M, donde M es subespacio lineal de L.
M=>X
ii) lin(X)={xeLix=A. x +A. x + ··· +A.nxn, A.ieA, xieX}.
1 1 2 2
Haciendo hincapié en este último punto, hagamos constar explícitamente antes
de entrar a discutir conceptos tales como independencia lineal, etc., que el adjetivo
«lineal» lleva siempre implícita la idea de sumas finitas exclusivamente. Así pues,
por ejemplo, Iin(X) consta tan sólo de aquellos vectores en L que son alcanzables
a partir de los del conjunto generador X mediante producto por escalares y sumas
finitas. ¡Independientemente de que el conjunto X fuera finito o no!
Ejercicio
ao tn
Sea X:={l, t, t2, ••• , tn, ... }cC[O, 1). Hallar Iin(X). ¿Es e'=}:o-- n-¡. un
elemento de lin(X)?
