Espaces de Hilbert et analyse de Fourier (L3)

173 Pages·2013·1.1 MB·French

Espaces de Hilbert et Analyse de Fourier
Licence de Math(cid:19)ematiques (Parcours Math. Fond)
2007-2011 : UE MHT613
2011-2014 : UE MA6012 1
Alain Yger
5 d(cid:19)ecembre 2013
1. Cesnotesdecourscorrespondent(cid:18)aunenseignementdispens(cid:19)e(cid:18)al’origineauPrintemps
2008 dans le cadre de l’UE MHT613, dont l’UE MA6012 a pris la rel(cid:18)eve dans la nouvelle
habilitation 2011-2015. Une liste d’exercices corrig(cid:19)es (en relation avec le chapitre 2 de
ce polycopi(cid:19)e) accompagnent le texte; il s’agit d’exercices initialement propos(cid:19)es sur la
plateforme Ulysse (transf(cid:19)er(cid:19)ee depuis septembre 2013 sur Moodle). Les guides d’activit(cid:19)e
illustrant ce cours seront dans le courant du semestre remis (cid:18)a disposition des (cid:19)etudiants
sous Moodle au titre d’annales. Le contenu de l’UE MA6012 de l’habilitation 2011-2015
reprend pour l’essentiel le programme de l’ex-UE MHT613, comme celui de l’UE MA5012
reprenait celui de l’ex-UE MHT512 de l’habilitation 2007-2011. Les annales de 2012-2013
accompagnent ce polycopi(cid:19)e.
ii
Table des mati(cid:18)eres
1 Espaces de Hilbert 1
1.1 Rappel : l’espace euclidien Rn et l’espace hilbertien Cn . . . . . . . . 1
1.2 Le saut de la dimension (cid:12)nie (cid:18)a la dimension in(cid:12)nie . . . . . . . . . . 7
1.3 Les notions d’espace de Hilbert (r(cid:19)eel ou complexe) . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Le cadre Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Un formulaire g(cid:19)eom(cid:19)etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Les exemples majeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 Les exemples Rn et Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.2 Les espaces l2(I) et l2(I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
R C
1.4.3 Les espaces L2(U;dx), U partie mesurable de Rn, K = R ou C 15
K
1.4.4 Les espaces L2((cid:10);T ;P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
K
1.5 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de projection orthogonale sur un convexe ferm(cid:19)e . . . . . 20
1.6 Syst(cid:18)emes orthonorm(cid:19)es, (cid:28) frames (cid:29); exemples . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7 Espaces de Hilbert s(cid:19)eparables; notion de base hilbertienne . . . . . . 31
1.8 Le cas des espaces de Hilbert non s(cid:19)eparables . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 Exemples de bases hilbertiennes dans le cas s(cid:19)eparable . . . . . . . . . 35
1.9.1 Densit(cid:19)e des classes de fonctions polyn^omiales dans L2(U;dx)
K
pour U mesurable born(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.9.2 Densit(cid:19)e des classes de polyn^omes trigonom(cid:19)etriques dans L2(Tn) 36
K
1.9.3 A propos des polyn^omes de Hermite . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de dualit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.10.1 Quelques pr(cid:19)eliminaires (cid:18)a propos des formes lin(cid:19)eaires continues
sur un Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.10.2 L’(cid:19)enonc(cid:19)e du th(cid:19)eor(cid:18)eme de dualit(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.11 Op(cid:19)erateurs de H dans H; notion d’adjoint . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.1 Pr(cid:19)eliminaires sur les op(cid:19)erateurs lin(cid:19)eaires continus de H dans H 42
1.11.2 La notion d’op(cid:19)erateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.11.3 L’int(cid:19)er^et de la prise d’adjoint; deux exemples pratiques . . . . 47
1.12 Un proc(cid:19)ed(cid:19)e algorithmique : le matching . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 L’analyse de Fourier et ses applications 57
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Transformation de Fourier dans le cadre discret . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 La transformation de Fourier discr(cid:18)ete . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2 La transform(cid:19)ee de Fourier sur l1(Z) . . . . . . . . . . . . . . . 64
C
2.2.3 La transform(cid:19)ee de Fourier sur l2(Z) . . . . . . . . . . . . . . . 67
C
2.3 Transformation de Fourier sur les espaces de fonctions 2(cid:25)-p(cid:19)eriodiques 70
2.3.1 La transformation de Fourier sur L2(T) . . . . . . . . . . . . 71
K
2.3.2 La transformation de Fourier sur L1(T) . . . . . . . . . . . . 73
K
iii
(cid:18)
iv TABLE DES MATIERES
2.3.3 Les th(cid:19)eor(cid:18)emes de Dirichlet et de Fej(cid:19)er . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4 La transformation de Fourier des classes de fonctions int(cid:19)egrables sur
Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4.1 D(cid:19)e(cid:12)nition, exemples, et premi(cid:18)eres propri(cid:19)et(cid:19)es . . . . . . . . . . 87
2.4.2 La relation avec l’optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.3 Fourier et la convolution dans L1(Rn;dx) . . . . . . . . . . . . 94
K
2.4.4 La formule d’inversion dans le cadre L1 . . . . . . . . . . . . . 95
2.4.5 L’inversion locale et la formule sommatoire de Poisson . . . . 99
2.5 La transformation de Fourier dans L2(Rn;dx) . . . . . . . . . . . . . 103
C
2.5.1 Une isom(cid:19)etrie de G dans lui-m^eme (pour la norme L2) . . . . 103
2.5.2 Extension (cid:18)a L2(Rn;dx) et formule de Plancherel . . . . . . . . 104
C
2.5.3 Fourier versus la d(cid:19)erivation; le principe d’incertitude d’Hei-
senberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.5.4 Fonctions L2 (cid:18)a spectre born(cid:19)e; le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Shannon . . . . 110
2.6 L’outil Fourier coupl(cid:19)e avec l’analyse hilbertienne; deux exemples . . . 112
2.6.1 Un premier exemple; l’inversion de transformations int(cid:19)egrales
et le CAT-Scanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.6.2 Un second exemple : l’extrapolation des signaux de spectre
born(cid:19)e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Chapitre 1
Espaces de Hilbert
1.1 Rappel : l’espace euclidien Rn et l’espace hil-
bertien Cn
LeR-espacevectorieldedimension(cid:12)nieRn estleprototyped’unespace euclidien
dans lequel on peut envisager la g(cid:19)eom(cid:19)etrie fond(cid:19)ee sur le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Pythagore.
L’espace Rn peut ^etre en e(cid:11)et (cid:19)equip(cid:19)e de la forme quadratique d(cid:19)e(cid:12)nie positive1
Xn
x 7(cid:0)! kxk2 := x2
j
j=1
d(cid:19)erivant du produit scalaire canonique
Xn
hx; yi = hy; xi = x y ;
j j
j=1
ou(cid:18) (x ;:::;x ) (resp. (y ;:::;y )) d(cid:19)esignent les coordonn(cid:19)ees de x (resp. y) dans la base
1 n 1 n
canonique de Rn.
Le C-espace vectoriel de dimension (cid:12)nie Cn est, lui, le prototype d’un espace hilber-
tien2 dans lequel on peut envisager (cid:19)egalement la g(cid:19)eom(cid:19)etrie fond(cid:19)ee sur le th(cid:19)eor(cid:18)eme
de Pythagore. L’espace Cn peut^etre en e(cid:11)et lui aussi(cid:19)equip(cid:19)e de la forme hermitienne
Xn
z 7(cid:0)! kzk2 := jz j2
j
j=1
d(cid:19)e(cid:12)nie positive3 d(cid:19)erivant de la forme sesquil(cid:19)enaire canonique pr(cid:19)esentant la sym(cid:19)etrie
hermitienne hw; zi = hz; wi, (cid:18)a savoir le produit scalaire canonique
Xn
hz; wi = z w ;
j j
j=1
1. On rappelle (voir le cours d’Alg(cid:18)ebre 2 au Semestre 3) que dire qu’une forme quadratique
Q : Rn (cid:0)! R est positive signi(cid:12)e que Q(x) (cid:21) 0 pour tout x 2 Rn et que dire qu’elle est d(cid:19)e(cid:12)nie
signi(cid:12)e Q(x)=0()x=0.
2. En r(cid:19)ef(cid:19)erence au g(cid:19)eom(cid:18)etre allemand David Hilbert, 1862-1943; on parle aussi, pour quali(cid:12)er
un tel espace, d’espace hermitien, en r(cid:19)ef(cid:19)erence aux travaux du th(cid:19)eoricien des nombres fran(cid:24)cais
Charles Hermite, 1822-1901, qui mania aussi l’outil (cid:28)produit scalaire(cid:29) dans le cadre complexe.
3. On rappelle (voir encore le cours d’Alg(cid:18)ebre 2 en S3) que dire qu’une forme hermitienne
H : Cn (cid:0)! R est positive signi(cid:12)e que H(z) (cid:21) 0 pour tout z 2 Cn et que dire qu’elle est d(cid:19)e(cid:12)nie
signi(cid:12)e H(z)=0()z =0.
1
2 Espaces de Hilbert
ou(cid:18) (z ;:::;z ) (resp. (w ;:::;w )) d(cid:19)esignent les coordonn(cid:19)ees de z (resp. w) dans la
1 n 1 n
base canonique de Cn. Ce produit scalaire est lin(cid:19)eaire en le premier bloc de variables
(z), antilin(cid:19)eaire en le second (w), ce qui est pr(cid:19)ecis(cid:19)ement la d(cid:19)e(cid:12)nition de la propri(cid:19)et(cid:19)e
de sesquilin(cid:19)earit(cid:19)e.
Ces deux espaces (Rn ou Cn) peuvent (cid:19)equip(cid:19)es de la topologie associ(cid:19)ee (cid:18)a la m(cid:19)etrique
euclidienne (resp. hermitienne) d(cid:19)e(cid:12)nie dans le cas de Rn par
d(x;y) = kx(cid:0)yk
(resp. dans le cas de Cn par d(z;w) = kz (cid:0) wk). Munis respectivement de cette
topologie d’espace m(cid:19)etrique, ces deux espaces Rn et Cn sont des espaces m(cid:19)etriques
complets : toute suite de Cauchy (relativement (cid:18)a la m(cid:19)etrique) est convergente4.
Les deux r(cid:19)esultats majeurs inh(cid:19)erents au cadre de l’espace euclidien Rn sont :
{ le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Pythagore : si x et y sont deux vecteurs de Rn,
kx(cid:6)yk2 = kxk2 +kyk2 (cid:6)2hx; yi
(en particulier kx(cid:6)yk2 = kxk2+kyk2 si et seulement si x ? y, l’orthogonalit(cid:19)e
? (cid:19)etant ici entendue au sens du produit scalaire canonique);
{ l’in(cid:19)egalit(cid:19)e de Cauchy-Schwarz : si x et y sont deux vecteurs de Rn,
jhx; yij (cid:20) kxk(cid:2)kyk;
l’(cid:19)egalit(cid:19)e ayant lieu si et seulement si x et y sont R-colin(cid:19)eaires.
Ces deux r(cid:19)esultats majeurs se transposent ainsi dans le cadre de l’espace hilbertien
Cn :
{ le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Pythagore devient : si z et w sont deux vecteurs de Cn,
kz (cid:6)wk2 = kzk2 +kwk2 (cid:6)2Rehz; wi
(en particulier kz(cid:6)wk2 = kzk2+kwk2 si et seulement si z ? w, l’orthogonalit(cid:19)e
(cid:19)etant encore ici entendue au sens du produit scalaire canonique);
{ l’in(cid:19)egalit(cid:19)e de Cauchy-Schwarz devient : si z et w sont deux vecteurs de Cn,
jhz; wij (cid:20) kzk(cid:2)kwk;
l’(cid:19)egalit(cid:19)e ayant lieu si et seulement si z et w sont C-colin(cid:19)eaires.
Nous reviendrons dans la section suivante (dans un cadre (cid:19)elargi) sur ces deux pro-
pri(cid:19)et(cid:19)es (et d’autres) qui ne font intervenir que les notions alg(cid:19)ebriques li(cid:19)ees (cid:18)a la
d(cid:19)e(cid:12)nition d’une norme d(cid:19)erivant d’un produit scalaire.
Onconna^(cid:16)t5 l’int(cid:19)er^et(danslecadretantdeRn quedeCn)desoutilsquerepr(cid:19)esentent
le (cid:28) produit scalaire (cid:29), le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Pythagore et l’in(cid:19)egalit(cid:19)e de Cauchy-Schwarz.
Ces outils permettent, par exemple dans le contexte euclidien de Rn, de r(cid:19)ealiser
l’op(cid:19)eration suivante : (cid:19)etant donn(cid:19)e un R-sous-espace a(cid:14)ne D de Rn (de sous-espace
vectoriel sous-jacent F), on peut d(cid:19)e(cid:12)nir un op(cid:19)erateur de projection orthogonale sur
D, sch(cid:19)ema que le petit diagramme bien commode ci-dessous ((cid:12)gure 1.1) soutend (ici
lorsque D est une droite du plan R2) :
4. D’ailleurs, le choix de la m(cid:19)etrique, pourvu que celle ci d(cid:19)erive d’une norme, est irrelevant
puisqu’en dimension (cid:12)nie on sait que deux normes sont toujours (cid:19)equivalentes.
5. Voir le cours d’alg(cid:18)ebre de L2 (UE Alg(cid:18)ebre 2).
1.1 Rappel : l’espace euclidien Rn et l’espace hilbertien Cn 3
M D
m
(x , y )
0 0
Figure 1.1 { La projection orthogonale sur une droite D de R2 passant par (x ;y )
0 0
On a utilis(cid:19)e ici le mod(cid:18)ele de R2 pour faire un dessin, mais l’on aurait pu tout aussi
bien reproduire ce sch(cid:19)ema dans le cadre abstrait. Si
D = M +F ;
0
ou(cid:18) F (sous-espace vectoriel de Rn sous-jacent (cid:18)a D) est un sous-espace vectoriel de
dimension k engendr(cid:19)e par v ;:::;v et que (v ;:::;v ) est une base orthonorm(cid:19)ee de
1 k 1 n
Rn pour le produit scalaire canonique, la projection orthogonale sur le sous-espace
a(cid:14)ne D
M 7(cid:0)! Proj (M)
D
est l’application qui (cid:18)a M associe le point
M +(cid:24) v +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+(cid:24) v ;
0 1 1 k k
(cid:0)(cid:0)(cid:0)!
ou(cid:18) ((cid:24) ;:::;(cid:24) ;(cid:24) ;:::;(cid:24) ) sont les coordonn(cid:19)ees du vecteur M M dans la base ortho-
1 k k+1 n 0
norm(cid:19)ee (v1;:::;vn). Cette op(cid:19)eration de prise de (cid:28) projection orthogonale (cid:29) sur un
sous-espace a(cid:14)ne D est (cid:18)a la base d’une d(cid:19)emarche capitale en math(cid:19)ematiques ap-
pliqu(cid:19)ees, la m(cid:19)ethode des moindres carr(cid:19)es :(cid:19)etant donn(cid:19)ee une liste de contraintes dans
Rn mat(cid:19)erialis(cid:19)ee par un jeu d’(cid:19)equations a(cid:14)nes
a y +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a y = b
1;1 1 1;n n 1
. .
. .
. = . (1.1)
a y +(cid:1)(cid:1)(cid:1)+a y = b ;
m;1 1 m;n n m
ou(cid:18) les a et les b , j = 1;:::;m, k = 1;:::;n sont des scalaires r(cid:19)eels, on peut calculer,
j;k j
(cid:19)etant donn(cid:19)e un (cid:19)etat x = (x ;:::;x ) donn(cid:19)e dans Rn, l’unique point
1 n
xe= (xe ;:::;xe )
1 n
le plus proche de x dans Rn (pour la distance euclidienne) qui satisfasse au jeu de
contraintes (1.1). Ce point r(cid:19)epond donc (cid:18)a la double exigence :
{ d’une part xe satisfait les contraintes (1.1);
{ d’autre part kx(cid:0)xek est le minimum des nombres kx(cid:0)yk, pris pour tous les
y satisfaisant les contraintes (1.1).
4 Espaces de Hilbert
Ce point xe est exactement la projection orthogonale Proj (x) de x sur le R-sous
D
espace a(cid:14)ne D (de dimension au moins n (cid:0) m car il y a m contraintes, certaines
pouvant (cid:19)eventuellement ^etre redondantes) d(cid:19)e(cid:12)ni par les (cid:19)equations a(cid:14)nes (1.1). Le
m^eme raisonnement vaut dans le cadre complexe et cette m(cid:19)ethode des moindres
carr(cid:19)es dont nous serons souvent appel(cid:19)es (cid:18)a parler dans ce cours est l’illustration
m^eme de la force du th(cid:19)eor(cid:18)eme de Pythagore.
Les m^emes id(cid:19)ees se transposent au cadre de l’espace hermitien Cn.
L’undesalgorithmesmajeurssoutendantl’algorithmehilbertiennerestel’algorithme
de Gram-Schmidt permettant de (cid:28) redresser (cid:29) un syst(cid:18)eme libre (de rang (cid:12)ni k)
en un syst(cid:18)eme orthonorm(cid:19)e (de m^eme rang), en particulier (lorsque l’espace est de
dimension (cid:12)nie n sur le corps K = R ou K = C) une base (~v ;:::;~v ) en une base
1 n
orthonorm(cid:19)ee (i.e. telle que he ;e i = (cid:14)k pour 1 (cid:20) j;k (cid:20) n).
j k j
Rappelonsicilasyntaxedecetalgorithme(dontnousreparleronsplustard).Partons
d’un syst(cid:18)eme libre (~v ;:::;~v ) de vecteurs du K-espace vectoriel (cid:19)equip(cid:19)e d’un produit
1 k
scalaire (que nous noterons H).
1. On transforme le vecteur ~v1 en le normalisant : ~v1=k~v1k ~v1; c’est ce (cid:28) nou-
veau ~v1 (cid:29) que l’on d(cid:19)ecide d’appeler ~e1.
2. On projette orthogonalement le second vecteur ~v du syst(cid:18)eme libre sur la
2
droite vectorielle engendr(cid:19)e par ~v (qui est aussi d’ailleurs, notons le, la droite
1
vectorielle engendr(cid:19)e par ~e ); cette projection orthogonale est donn(cid:19)ee par :
1
Proj (~v ) = hv ;~e i~e
K~v1 2 2 1 1
et se calcule donc ais(cid:19)ement d(cid:18)es que ~e a (cid:19)et(cid:19)e calcul(cid:19)e; on remplace ensuite ~v
1 2
ainsi :
~v (cid:0)h~v ;~e i~e
~v 2 2 1 1 ;
2 k~v (cid:0)h~v ;~e i~e k
2 2 1 1
c’est ce (cid:28) nouveau ~v2 (cid:29) que l’on d(cid:19)ecide d’appeler ~e2.
3. On projette orthogonalement le troisi(cid:18)eme vecteur ~v du syst(cid:18)eme libre sur le
3
plan vectoriel engendr(cid:19)e par ~v et ~v (qui est aussi d’ailleurs, notons le, le plan
1 2
vectoriel engendr(cid:19)e par ~e et ~e ); cette projection orthogonale est donn(cid:19)ee par :
1 2
Proj (~v ) = hv ;~e i~e +h~v ;~e i~e
K~v1(cid:8)K~v2 3 3 1 1 3 2 2
et se calcule donc ais(cid:19)ement d(cid:18)es que ~e et ~e ont (cid:19)et(cid:19)e calcul(cid:19)es; on remplace
1 2
ensuite ~v ainsi :
3
~v (cid:0)h~v ;~e i~e (cid:0)h~v ;~e i~e
~v 3 3 1 1 3 2 2 ;
3 k~v (cid:0)hv ;~e i~e (cid:0)h~v ;~e i~e k
3 3 1 1 3 2 2
c’est ce (cid:28) nouveau ~v3 (cid:29) que l’on d(cid:19)ecide d’appeler ~e3.
4. On poursuit la construction sur ce principe jusqu’(cid:18)a substitution compl(cid:18)ete des
k vecteurs~v ;:::;~v du syst(cid:18)eme libre donn(cid:19)e par les k vecteurs~e ;:::;~e qui, eux,
1 k 1 k
forment un syst(cid:18)eme orthonorm(cid:19)e, avec de plus, pour chaque l = 1;:::;k :
Vec(~v ;:::;~v ) = Vec(~e ;:::;~e ):
1 l 1 l
1.1 Rappel : l’espace euclidien Rn et l’espace hilbertien Cn 5
Si D = M + F, M (cid:19)etant un point de Kn (K = R ou C) de coordonn(cid:19)ees x =
0 0 0
(x ;:::;x ) et que F est un sous-espace vectoriel de Rn de dimension k dont
0;1 0;n
on connait une base (non n(cid:19)ecessairement orthonorm(cid:19)ee), not(cid:19)ee f~v ;:::;~v g, chercher
1 k
la projection orthogonale sur D = M + F d’un point M 2 Kn de coordonn(cid:19)ees
0
(x ;:::;x ) revient (cid:18)a chercher l’unique vecteur ~(cid:21) = ((cid:21) ;:::;(cid:21) ) de Kk tel que
1 n 1 k
(cid:16) Xk (cid:17)
x(cid:0)x (cid:0) (cid:21) ~v ?~v j = 1;:::;k:
0 l l j
l=1
Si l’on introduit la matrice r(cid:19)eelle sym(cid:19)etrique dans le cas K = R (resp. hermitienne
dans le cas K = C)
G = Gram[~v ;:::;~v ] := A(cid:1)tA = [h~v ;~v i] ;
1 k j l 1(cid:20)j;l(cid:20)k
ou(cid:18) A est la matrice (cid:18)a k lignes et n colonnes dont les lignes sont les vecteurs ~v ;:::;~v
1 k
repr(cid:19)esent(cid:19)es en ligne (on appelle cette matrice G la matrice de Gram des k vecteurs
~v ;:::;~v ), on constate que G est inversible (du fait que les ~v forment un syst(cid:18)eme
1 k k
libre dans Kn) et que le vecteur ~(cid:21) cherch(cid:19)e s’obtient par
(cid:16) (cid:17)
(cid:0)1
(cid:21) = Gram[~v ;:::;~v ] (cid:1)(x(cid:0)x )
1 k 0
(les vecteurs (cid:19)etant ici (cid:12)gur(cid:19)es en colonne). On a donc
(cid:16) (cid:17)
(cid:0)1
Proj [M] = M + Gram[~v ;:::;~v ] (cid:1)(x(cid:0)x )
D 0 1 k 0
si x et x (cid:12)gurent (en colonne) respectivement la liste des coordonn(cid:19)ees de M et de
0
M dans la base canonique de Kn.
0
La matrice de Gram joue donc, tant dans l’algorithme de Gram-Schmidt que dans
la recherche directe de la projection orthogonale d’un point sur un sous-espace a(cid:14)ne
pour lequel on dispose d’un point M et d’une base du sous-espace vectoriel associ(cid:19)e,
0
un r^ole majeur. Il faut aussi noter, dans le cas K = R que, si~v ;:::;~v sont k vecteurs
1 k
de Rn lin(cid:19)eairement ind(cid:19)ependants, le volume k-dimensionnel du parall(cid:19)elotope que
(~v ;:::;~v ) d(cid:19)e(cid:12)nissent dans le sous-espace de Rn que ces vecteurs engendrent est
1 k
donn(cid:19)e par :
(cid:16)nXk o(cid:17) p
vol t~v ; 0 (cid:20) t ;:::;t (cid:20) 1 = det[Gram[~v ;:::;~v ]]:
k l l 1 k 1 k
l=1
On constate ainsi, si les vecteurs ~v ;:::;~v sont ind(cid:19)ependants, mais proches d’^etre
1 k
colin(cid:19)eaires, la matrice de Gram Gram[~v ;:::;~v ] se trouve avoir un d(cid:19)eterminant tr(cid:18)es
1 k
petit, ce qui implique un mauvais conditionnement et une grande instabilit(cid:19)e dans
les calculs num(cid:19)eriques qui pr(cid:19)esident (cid:18)a l’orthonormalisation de Gram-Schmidt ou (cid:18)a
la recherche d’une projection orthogonale sur un sous-espace a(cid:14)ne du type M +F.
0
Ce sont ces id(cid:19)ees qui soutendent par exemple des d(cid:19)emarches algorithmiques telles
par exemple celle qu’illustrent les deux exemples suivants :
Exemple1.1.SoientF etF deuxsous-espacesvectorielsdeRn(oudeCn)telsqueF \F? =f0g
1 2 1 2
et s un (cid:19)el(cid:19)ement inconnu du sous-espace F ; si l’on conna^(cid:16)t la projection orthogonale s de s
1 0
sur F2, la d(cid:19)emarche algorithmique (cid:28)en zig-zag(cid:29), bas(cid:19)ee sur l’utilisation d’un jeu de projections
6 Espaces de Hilbert
orthogonales it(cid:19)er(cid:19)ees (alternativement sur F et sur le sous-espace a(cid:14)ne s +F?) conduit (cid:18)a une
1 0 2
approximation de l’(cid:19)el(cid:19)ement inconnu s (voir la (cid:12)gure 1.2 ci-dessous)6.
F
1
S
S
2
S
1
F
S
0 2
S +F
2
Figure 1.2 { It(cid:19)eration de projections (exemple 1:1)
Exemple 1.2.SoientD ;:::;D N sous-espacesa(cid:14)nesdeRn (ouCn)s’intersectantenununique
1 N
point A. Le m(cid:19)ecanisme qui consiste (cid:18)a partir d’un point M quelconque de l’espace et (comme
sur la (cid:12)gure 1.3 ci-dessous) (cid:18)a projeter ce point orthogonalement sur F , puis (cid:18)a projeter le point
1
obtenu orthogonalement sur F , etc., jusqu’(cid:18)a (cid:19)epuisement de toute la liste de sous-espaces, puis (cid:18)a
2
recommencer, conduit (via une d(cid:19)emarche (cid:28)en escargot(cid:29)) (cid:18)a une approximation du point A7.
D
3
D
4
m
3
, D
m 2
2
A
M
D x
1
m
1
Figure 1.3 { It(cid:19)eration de projections (exemple 1:2)
6. Nous reviendrons sur la preuve de ce r(cid:19)esultat dans un contexte beaucoup plus g(cid:19)en(cid:19)eral plus
tard dans le cours.
7. Ceci sera (cid:19)etabli dans un contexte beaucoup plus g(cid:19)en(cid:19)eral plus loin dans le cours.