Esercizi svolti di Analisi Reale e Funzionale

337 Pages·2021·2.062 MB·Italian

by  Matteo Muratori, Fabio Punzo, Nicola Soave

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Il presente volume è una raccolta organica di esercizi svolti di Analisi Reale e Fun- M Matteo Muratori Fabio Punzo Nicola Soave
zionale. Le soluzioni sono esposte in dettaglio, con connessioni alla teoria. . M B
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L’opera è indirizzata principalmente a studenti di Matematica, Fisica e Ingegneria, r
a B S
che affrontano argomenti di teoria della misura e di analisi funzionale in corsi to
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avanzati di Analisi Matematica. i F C T ESERCIZI SVOLTI
Il libro è suddiviso nei seguenti capitoli: . P K
u G
n R
Capitolo 1. Spazi Metrici z R
o
Capitolo 2. Misure e σ-Algebre N OU A DI ANALISI
Capitolo 3. L’Integrale di Lebesgue . S N
o
Capitolo 4. Funzioni AC e BV a D C
v
Capitolo 5. Spazi di Banach e Operatori Lineari e
REALE E FUNZIONALE
Capitolo 6. Spazi Lp T
Capitolo 7. Spazi di Hilbert
Capitolo 8. Operatori Compatti e Teoria Spettrale
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Gli autori sono Professori del Dipartimento di Matematica del Politecnico di Mila- i
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no, dove abitualmente tengono corsi di Analisi Matematica di base ed avanzati, i
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per le lauree triennali e magistrali e per il dottorato. Inoltre, svolgono attività di v
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ricerca su Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali, Disuguaglianze Funzionali l
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e Analisi Geometrica. d
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Matteo Muratori Fabio Punzo Nicola Soave
Esercizi Svolti
di Analisi
Reale e Funzionale
ISBN978-88-9385-256-2
© Copyright2021
SocietàEditriceEsculapios.r.l.
ViaTerracini,30-40131Bologna
[email protected]
Impaginazione:CarlottaLenzi
LayoutCopertina:LauraBrugnoli
Stampatoda:Legodigit-Lavis(TN)
PrintedinItaly
Le fotocopie per uso personale (cioè privato e individuale, con esclusione quindi di stru-
menti di uso collettivo) possono essere effettuate, nei limiti del 15% di ciascun volume,
dietropagamentoallaS.I.A.Edelcompensoprevistodall’art.68,commi4e5,dellalegge
22 aprile 1941 n. 633. Tali fotocopie possono essere effettuate negli esercizi commerciali
convenzionatiS.I.A.E.oconaltremodalitàindicatedaS.I.A.E.Perleriproduzioniaduso
non personale (ad esempio: professionale, economico o commerciale, strumenti di studio
collettivi,comedispenseesimili)l’editorepotràconcedereapagamentol’autorizzazionea
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CLEARedi-CentroLicenzeeAutorizzazioniperleRiproduzioniEditoriali
CorsodiPortaRomana,n.108-20122Milano
e-mail:[email protected]:http://www.clearedi.org.
Prefazione
Questo libro consiste in una raccolta organica di esercizi svolti di Analisi Rea-
le e Funzionale. È ben noto che la disponibilità di eserciziari concernenti tali
argomenti è piuttosto limitata. Non mancano testi, anche eccellenti, che con-
tengono, oltre alla teoria, vari esercizi; le soluzioni, però, anche se particolar-
mente impegnative, spesso sono completamente lasciate al lettore o solamente
accennate.
In questo volume, invece, le risoluzioni degli esercizi sono presentate in detta-
glio, la loro logica e le connessioni con la teoria vengono sempre messe in risal-
to. L’esposizione è agevole, ma non si perdono mai di vista il dovuto rigore e il
linguaggiospecifico.
L’opera è principalmente rivolta a studenti di Matematica, Fisica, Ingegneria
che affrontano argomenti di teoria della misura e di analisi funzionale in corsi
avanzatidianalisimatematica.
Alcuniesercizisonodicalcolo,altririguardanomaggiormenteaspettiteorici,cer-
ti,contrassegnaticonilsimbolo*,richiedonounaspecialeelaborazione.Diversi
esercizi sono corredati da suggerimenti, altri sono articolati in più punti colle-
gati tra loro e posti in ordine crescente di difficoltà. Questo aiuta lo studente
volenteroso a risolvere autonomamente esercizi di livello avanzato. I contenuti
di alcuni esercizi riguardano parti della teoria che spesso, per ragioni di tempo,
non si riescono a trattare a lezione. La loro comprensione permette senza dub-
bio di conoscere degli argomenti con maggiore profondità e di acquisire con essi
una buona familiarità. Gran parte delle soluzioni sono autocontenute; a volte,
però,indeterminatiesercizisenerichiamanoaltri,sempreinmanierachiaraed
esplicita.
Ciascun capitolo si apre con l’indicazione dei prerequisiti teorici; si fa anche ri-
ferimento ad alcuni libri dove gli argomenti di teoria correlati sono trattati. È
indispensabilechelostudentepossiedaunaadeguataconoscenzadellateoriain-
dicata,primadiaffrontaregliesercizi.Icapitoli,perquantopossibile,sonoindi-
pendentil’unodall’altro;d’altrapartelacomprensionediuncapitolopuòessere
agevolatadallaletturadiquellicheloprecedono.
Milano,7luglio2021
Gliautori
L’esperienzasuggeriscecheèimpossibilepubblicareunlibroprivodierrori.Giautorisarannoquindi
gratiailettoriattentichevorrannosegnalarglieliperemail.

Indice
Prefazione iii
Notazioni vii
1SpaziMetrici 1
1.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2Misureeσ-Algebre 19
2.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3L’integralediLebesgue 43
3.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4FunzioniACeBV 109
4.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5SpazidiBanacheOperatoriLineari 143
5.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6SpaziLp 199
6.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
7SpazidiHilbert 257
7.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
8OperatoriCompattieTeoriaSpettrale 291
8.1TestidegliEsercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
8.2Soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Bibliografia 323

Notazioni
In questo testo si considerano sempre funzioni a valori reali e spazi vettoriali
suR.Perquantoriguardalanotazione,isimboliadottatisonoprevalentemente
standard,mapermaggiorechiarezzariportiamodiseguitoquellipiùutilizzatio
periqualileconvenzionicomunitipicamentenonsonounivoche.Inparticolare:
N+ Insieme dei numeri naturali escluso lo zero. A volte si scriverà più esplici-
tamenteN\{0}.
(cid:98)a(cid:99) Parteinterainferiorediunnumerorealea∈R.
R Insiemedeinumerirealiestesi,ovveroR∪{−∞}∪{+∞}.
a∨b Massimotraduenumeria,b∈R.
a∧b Minimotraduenumeria,b∈R.
P(X) InsiemedellepartidiuninsiemeX.Talvoltaverràanchedenotatocon2X.
L(Ω) σ-algebra dei sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di un insieme Ω ⊆ Rn Le-
besgue-misurabile.Spesso,perbrevità,scriveremo“misurabile”alpostodi
“Lebesgue-misurabile”.
Quando associato a funzioni f : Ω → R (eventualmente → R), il termine
“misurabile”o“Lebesgue-misurabile”siriferiràafunzionitalichef−1(A)∈
L(Ω) per ogni insieme Boreliano A ⊆ R (eventualmente ⊂ R). Scriveremo
invece “Borel-misurabile” se inoltre f−1(A) è un Boreliano di Rn (spesso
indicheremotaliinsiemiconB(Rn)).Piùingenerale,se(Ω,M)èunospazio
misurabile astratto, diremo che f è misurabile se f−1(A) ∈ M per ogni
BorelianoAcomesopra.
λ MisuradiLebesgueinRoRn.Misurediversedaλverrannogenericamente
denotate con µ, per rimarcare la differenza. La notazione per gli integrali
sarà
(cid:90) (cid:90)
f(x)dx= fdλ perintegralicalcolatirispettoaλ,
E E
(cid:90)
fdµ perintegralicalcolatirispettoaµ.
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Nel primo caso, la variabile di integrazione sarà spesso omessa per bre-
vità, mentre l’elemento di misura dx sarà sempre riportato per chiarezza.
In alcuni esercizi, qualora necessario per evitare ambiguità, si indicherà
esplicitamenteladimensioneacuisiriferiscelamisuradiLebesgue.
q.o. Quasi ovunque rispetto alla misura di Lebesgue. Nel caso di una generica
misuraµ,scriveremoµ-q.o.perevitareambiguità.
viii EserciziSvoltidiAnalisiRealeeFunzionale
χ Funzionecaratteristicadell’insiemeA:χ (x)=1sex∈A,mentreχ (x)=
A A A
0sex(cid:54)∈A.
Lp(Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) Insieme i cui elementi sono classi di equivalenza di funzioni
f :Ω→Rmisurabili,etaliche
(cid:90)
|f|pdx<+∞, se1≤p<∞,
Ω
esssup|f|<+∞, sep=∞,
Ω
dovelarelazionediequivalenzaèdatada
f ∼g ⇐⇒ f =g q.o.inΩ.
Senonspecificatodiversamente,lospaziodimisurasoggiacentesaràsem-
pre (Ω,L(Ω),λ). Con abuso di linguaggio, gli elementi di Lp(Ω) sono chia-
mati semplicemente funzioni. Si suppone noto che Lp(Ω) sia uno spazio di
Banachrispettoallanorma
(cid:18)(cid:90) (cid:19)1
p
(cid:107)f(cid:107) = |f|pdx , se1≤p<∞,
Lp(Ω)
Ω
(cid:107)f(cid:107) =esssup|f|.
L∞(Ω)
Ω
Perbrevità,avoltesiuseràlanotazione(cid:107)f(cid:107) :=(cid:107)f(cid:107) .
p Lp(Ω)
Le funzioni appartenenti a L1(Ω) verranno anche denominate, per sinteti-
cità,“sommabili”.In alcuniesercizisarànecessariointegrarefunzioni non
necessariamente in L1(Ω); in tal caso, ricordiamo che l’integrale di f ha
sempresensopurchéalmenounatraf+ ef− siasommabile.
p(cid:48) Esponenteconiugatodip;sep∈(1,∞)vale p ,sep=1vale∞esep=∞
p−1
vale 1. La definizione verrà comunque spesso riscritta esplicitamente per
maggiorechiarezza.
Lp (Ω) InsiemedellefunzioniappartenentiaLp(K)perognisottoinsiemecompat-
loc
toK (cid:98)Ω.
{xn}n∈N Successione di elementi di un insieme X, anche indicata con {xn}n. Quasi
sempre, per non appesantire la notazione, il pedice n∈N verrà interamen-
te omesso, salvo nei casi in cui sia necessario per evitare ambiguità (ad
esempioquandosonopresentiindicimultipli).
f| Restrizionediunafunzionef :X →Y adunsottoinsiemeA⊂X.Inmolti
A
casi,pernonappesantirelanotazione,verràsottintesaimplicitamente.
(cid:96)p (1≤p≤∞)Insiemedellesuccessioniavalorireali{x(k)}k∈N taliche
(cid:88)∞ (cid:12) (cid:12)p
(cid:12)x(k)(cid:12) <+∞, se1≤p<∞,
(cid:12) (cid:12)
k=0
(cid:12) (cid:12)
sup(cid:12)x(k)(cid:12)<+∞, sep=∞.
(cid:12) (cid:12)
k∈N
Notazioni ix
Ciascun(cid:96)p èunospaziodiBanachrispettoallanorma
(cid:32)(cid:88)∞ (cid:12) (cid:12)p(cid:33)p1
(cid:107)x(cid:107) = (cid:12)x(k)(cid:12) , se1≤p<∞,
(cid:96)p (cid:12) (cid:12)
k=0
(cid:12) (cid:12)
(cid:107)x(cid:107) =sup(cid:12)x(k)(cid:12).
(cid:96)∞ (cid:12) (cid:12)
k∈N
La notazione usata, con l’indice in alto, viene introdotta al fine di evitare
confusione quando tratteremo successioni di elementi in (cid:96)p (ovvero succes-
sionidisuccessioni):scriveremointalcaso{x }=(cid:8)x(k)(cid:9) ⊂(cid:96)p.
n n n∈N
Ricordiamo che gli spazi (cid:96)p si possono vedere come casi particolari degli
spazi Lp. Precisamente, (cid:96)p = Lp(N,P(N),ν), dove ν denota la misura del
conteggio. A seconda del contesto, l’indice di partenza per le successioni
potrebbeancheesserediversoda0.
C0([a,b]) Insiemedellefunzionicontinuesuunintervallo[a,b].Èbennotoche,dotato
dellanormadelsup(oLagrangiana)
(cid:107)f(cid:107) := max |f(x)|=(cid:107)f(cid:107) ,
C0([a,b]) ∞
x∈[a,b]
sitrattadiunospaziodiBanach.
C1([a,b]) Insieme delle funzioni derivabili con derivata continua su un intervallo
[a,b].SitrattadiunospaziodiBanachrispettoallanorma
(cid:107)f(cid:107) = max |f(x)|+ max |f(cid:48)(x)|=(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)f(cid:48)(cid:107) .
C1([a,b]) ∞ ∞
x∈[a,b] x∈[a,b]
AC([a,b]) Insiemedellefunzioniassolutamentecontinuesull’intervallo[a,b].Sitratta
diunospaziodiBanachrispettoallanorma
(cid:90) b (cid:90) b
(cid:107)f(cid:107) := |f(x)|dx+ |f(cid:48)(x)|dx
AC([a,b])
a a
=(cid:107)f(cid:107) +(cid:107)f(cid:48)(cid:107) .
L1([a,b]) L1([a,b])
Perbrevità,scriveremoavolte(cid:107)f(cid:107) omettendol’intervallodidefinizione.
AC
BV([a,b]) Insieme delle funzioni a variazione limitata sull’intervallo [a,b]. La varia-
zione totale di f sull’intervallo [a,b] sarà indicata con Vb(f). Si ricorda che
a
BV([a,b])èunospaziodiBanachrispettoallanorma
(cid:90) b
(cid:107)f(cid:107) := |f(x)|dx+Vb(f)=(cid:107)f(cid:107) +Vb(f).
BV([a,b]) a L1([a,b]) a
a
C∞(Ω) (Ω ⊆ Rn aperto) Insieme delle funzioni di classe C∞ in Ω (cioè derivabi-
c
li infinite volte, con le derivate di qualsiasi ordine continue) con supporto
compattocontenutoinΩ.