Esercizi di analisi matematica. Ediz. ampliata

493 Pages·2021·66.761 MB·Italian

by  Maria Rosaria Lancia, Silvia Marconi

M.R. Lancia - S. Marconi
ESERCIZI
DI ANALISI MATEMATICA
INDICE
M.R. Lancia - S. Marconi
Indice
1
1 FUNZIONI DI UNA VARIABILE
1
1.1 CONTINUITÀ E DERNABILITÀ .
1
1.1.1 Esercizi svolti . . . . . •
22
1.1.2 Esercizi proposti ... . .. .
29
Risultati degli esercizi proposti . . .
35
1.2 LIMITI, INFINITI E INFINITESIMI
35
1.2.1 Esercizi svolti ..... .
48
1.2.2 Esercizi proposti . . . .
54
Risultati degli esercizi proposti
57
1.3 FUNZIONI INTEGRALI
57
1.3.1 Esercizi svolti ..... .
68
1.3.2 Esercizi proposti . . . .
72
Risultati degli esercizi proposti
75
1.4 FUNZIONI INVERTIBILI .
75
1.4.1 Esercizi svolti . . . . . .
81
1.4.2 Esercizi proposti . . . .
84
Risultati degli esercizi proposti
87
1.5 FUNZIONI COMPOSTE
87
1.5 .1 Esercizi svolti . . . . . .
91
1.5.2 Esercizi proposti . . . .
92
Risultati degli esercizi proposti
93 '
1.6 STUDIO DI FUNZIONI, MASSIMI E MINIMI
I
1.6.1 Esercizi svolti . . . . . . 93
1.6.2 Esercizi proposti . . . . 95
98
Risultati degli esercizi proposti
J
2 INTEGRAZIONE DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE 101
2.1 CALCOLO DI AREE . 101
2.1.1 Esercizi svolti . .... . 101
2.1.2 Esercizi proposti ... . 112
Risultati degli esercizi proposti 114
2.2 INTEGRALI IMPROPRI 118
2.2.1 Esercizi svolti .... . . 118
2.2.2 Esercizi proposti . . . . 131
Risultati degli esercizi proposti 133
3 SERIE 136
3.1 Esercizi svolti 136
3.2 Esercizi proposti ... .. 154
Risultati degli esercizi proposti 161
/
INDICE
166
~ () 4 SERIE DI FOURIER
166
4.1 Esercizi svolti ....
180
4.2 Esercizi proposti . .
189
Risultati degli esercizi proposti
5 NUMERI COMPLESSI 192
5.1 Esercizi svolti . . . . . 192
5.2 Esercizi proposti ... 203
Risultati degli esercizi proposti 208
6 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 212
6.1 Esercizi svolti ..... . . 212
6.2 Esercizi proposti . . . . . 234
Risultati degli esercizi proposti 246
{_) 7
FUNZIONI IMPLICITE 259
7 .1 Esercizi svolti . . . . . . 259
7.2 Esercizi proposti .... 267
Risultati degli esercizi proposti 267
INTEGRALI MULTIPLI DI FUNZIONI CONTINUE 269
8.1 INTEGRALI DOPPI . . 269
8.1.1 Esercizi svolti . . . . . . 269
8.1.2 Esercizi proposti .... 279
Risultati degli esercizi proposti 284
8.2 INTEGRALI DOPPI CON CAMBIO DI VARJABILI 291
8.2.1 Esercizi svolti . . . . .. 291
8.2.2 Esercizi proposti .... 304
Risultati degli esercizi proposti 308
8.3 INTEGRALI TRJPLI . 315
8.3.1 Esercizi svolti . . .. . . 315
8.3.2 Esercizi proposti . . . . 319
Risultati degli esercizi proposti 319
8.4 INTEGRALI TRJPLI CON CAMBIO DI VARJABILI 320
8.4.l Esercizi svolti ..... . 320
8.4.2 Esercizi proposti ......... . 339
Rjsultati degli esercizi proposti . . . . . . 340
8.5 INTEGRALI DI SUPERFICIE E AREE . 342
8.5.1 Esercizi svolti ..... . 342
8.5.2 Esercizi proposti ... . 354
Risultati degli esercizi proposti 354
(
-~.' 9 FORME DIFFERENZIALI ~ CAMPI VETTORIALI 355
9.1 INTEGRALI DI FORME E CAMPI 355
9.1.1 Esercizi svolti .. 355
9.1.2 Esercizi proposti ...... . 378
11
INDICE
M.R. Lancia - S. Marconi
388
Risultati degli esercizi proposti . . • . • • • • • • •
395
9.2 FLUSSI DI CAMPI ATTRAVERSO SUPERFICI
395
9.2.1 Esercizi svolti ....... • • •
403
9.3 TEOREMA DELLA DIVERGENZA .
403
9.3.1 Esercizi svolti ..... .
412
9.3.2 Esercizi proposti . . . .
413
Risultati degli esercizi proposti
414
9.4 TEOREMA DI STOKES
414
9.4.1 Esercizi svolti . . ... .
10 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 422
422
10.1 EQUAZIONI LINEARJ DEL I ORDINE .
422
10.1.1 Esercizi svolti . .... .
425
10.1.2 Esercizi proposti ......... .
426
Risultati degli esercizi proposti . . . . . .
427
10.2 EQUAZIONI LINEARJ DEL II ORDINE
427
10.2.1 Esercizi svolti ..... .
445
10.2.2 Esercizi proposti . . . . . . . . . .
449
Risultati degli esercizi proposti . . . . . .
452
10.3 EQUAZIONI LINEARJ DI ORDINE SUPERJORE .
452
10.3.1 Esercizi svolti ..... .
459
10.3.2 Esercizi proposti .......... .
460
Risultati degli esercizi proposti . . . . . . .
462
10.4 EQUAZIONI A VARJABILI SEPARABILI
10.4.1 Esercizi svolti . . . . . . 462
10.4.2 Esercizi proposti .... 473
Rlsultati degli esercizi proposti 475
10.5 EQUAZIONI DI BERNOULLI 478
10.5.1 Esercizi svolti . . . . . . 478
10.5.2 Esercizi proposti . . . . 484
Risultati degli esercizi proposti 487
iii
1 FUNZIONI DI UNA VARIABILE
1.1 CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ
1.1.1 Esercizi svolti
V
ESERCIZIO 1.1.1. Studiare al variare di a, b, o: E R la continuità della seguente
/' funzione
{:e~fa-x
x> O
f(x) =
x= O
½x+ b x< O
! ).
Studiare la derivabilità in x = O al variare di o: E ( - oo,
Soluzione
Continuità: la funzione risulta continua in x = O se
lim J(x) = J(O) = lim J(x). (1)
x➔O- x➔O+
Il limite sinistro è lim ( ½x + b) = b. Il limite destro, lim sen f -x, vale O per o: ~ O e
x➔O- x➔O+ x 0
dà una forma indeterminata del tipo ~ per o: > O. In questo caso l'uso della relazione
~
asintotica1 sen t t per t ➔ O porterebbe ad una cancellazione e quindi si procede
applicando il teorema di De L 'H opital2 e poi la relazione asintotica ( 1 - cos t) ~ ½t 2
per t O e si ha
➔
(!
b) b
o: ~ O =} lim x + =
2
x➔O-
. senx - x H . cosx - 1 . - (1 - cosx) ~
o: > O 11m ------,,-- = 11m ---- = 1un =
=} ---=---,,----
x➔O+ x2o: x➔O+ 2o:x2o:- l x➔O+ 2ax2o:- l
!
_ l x2 - l { O O < o: <
~ xl➔imO+ 20:x22 0:- l = xl➔imO+ -4a: x3- 20: = _ l6 o: -- 23
- oo Q > ;!
2
Confrontando i valori ottenuti e imponendo la (1) in cui J(O) = a, la funzione risulta
! ! -¾-
continua in x = O per o: < con a = b = O e per o: = con a = b =
Derivabilità: per o: E ( - oo, ~) si studia la derivabilità per i valori dei parametri per
cui la funzione è continua, ovvero a = O e b = O:
senx-x x> O
x2o
J(x) = O x = O
{
lx x< O
2
~
1 Le relazioni asintotiche verranno denotate anche in seguito con il simbolo e l'uso di una
relazione asintotica per il calcolo di un limite verrà denotato con il simbolo ~-
2L'applicazione del teorema di De L'JI6pital per il calcolo di un limite verrà denotato con il
s1. m b o 1o 1=1 .
1
1.1.1. Esercizi svolti
=
La funzione risulta derivabile in x O se esistono, sono finiti e coincidenti i limiti d<'i
rapporti incrementali sinistro e destro:
lim J(x) - J(O) = lim J(x) - J(O) (2)
x-+0 X - O x-+0➔ X - O
Il limite sinistro è lim .i.= = ! . Per il limite destro, procedendo in modo analogo al
x-+0 .t 2
caso della continuità, si ha
.:1ri- tmO-+ s-c-n-X-Xx, 2,-0-- -x = x-L+i m0 I sexn2xo +- I x =11 x-h+• mO ~ -(2coo--s-+-x -1 --) =x12- o- = x-l+.i m0, -( 2(o1 +- clo) Xs 2x0) -
o< l
{~¼
- l x2
=~ :i1:-1·+ mO + -(2e-t +=2 - 1-- )-x2-0 = xh-.+ m0 , 2(2:~ l) x2- 2o =
- 00
Confrontando i valori ottenuti e imponendo la (2), si vede che il limite sinistro e_ il
limite destro non coincidono in nessun caso e dunque la funzione risulta non derivabile
=
in x O per o- E (- oo, ~).
ESERCIZIO 1.1.2. Studiare al variare di a e o- E R la continuità e la derivabilità
=
in x 1 della funzione
cos(l-x2)-l I x > l
(xL 1)0 - 2
J(x) = a x = l
{ ln(l+lx- 11) x < l
x- 1
Soluzione
=
Continuità: la funzione risulta continua in x 1 se
lim J(x) = / (1) = lim / (.e). (3)
x➔l .:r-►I~
Nel limite sinistro, lim ln(l+~x- 1D, tC'ncndo conto che lx - li 1 - :r per x < 1 e
1
x-+I x
utili7.7.ando la rcla.7.ione asintotica ln(l + t) ~ t pN t ➔ O si ha
~
lim ln(l 1 (1- x)) lim 1- x =-1.
x-+ I X - 1 x-+ I X - 1
Nel limite destro, lim ( co(( ~-=-~~?.-1 - ½), il limite della frazione vale O per o ~ O e
X-+ I ~ X g
dà una forma indeterminata. del tipo per a > O. Utiliz~a.ndo la relazione asintotica
2
M.R. Lancia - S. Marconi 1.1. CON'l'JNUJ'l'À E DERIVJ\BJLJ'f'À
~ !
( 1 - cos t) t2 per t ➔ O si ha
1 1) 1
. ( cos(l - x2
a~ O ⇒ lim -----) ---- =--
--: x-+l~ (x2 - 1)0 2 2
!)
a> ⇒ lim (cos(l - x2) - I _ ~) = lim ( - I - cos(l - x2) _
0
x-+t+ (x2 - 1)0 2 x-tll (x2 - 1)0 2
2 2
;; lim ( - ½(I - x ) - ~) = lim ( - !(x2 - 1)2- a - ~ )
x-tll (x2 - 1)0 2 x-+l~ 2 2
={=t
~<~< 2
Cl'> 2
- CX)
Confrontando i valori ottenuti e imponendo la (3) in cui J (l) = a, la funzione risulta
continua in x = 1 per a = 2 e a = - 1.
Derivabilità: si studia la derivabilità per i valori dei parametri per cui la funzione è
continua, ovvero a = 2 e a = - 1:
cos(l-x2}- l I x> l
(x2- 1)2 - 2
f(x) = - 1 x= l
{ ln(2-x) x<l
x-l
La funzione risulta derivabile in x = l se esistono, sono finiti e coincidenti i limiti dei
rapporti incrementali sinistro e destro:
=
lim J(x) - J(l) lim J(x) - J(l ).
x-+J- x - 1 x-tl+ x - 1
. 1"i2-/')-(-l) 1· ln(l+(l- x)}+x- 1 h d' ,
Il limite sinistro è l1m _ 1 , ovvero 1m ( _ 1) 2 , c e a una 1orma
x-+l- x x-+1- x
indeterminata del tipo §. Poiché l'uso della relazione asintotica ln(l + t) ~ t per t ➔ O
porterebbe ad una cancellazione, si procede applicando il teorema di De L 'Hopital:
1l.f fi ln(2 - x) + x - l =11 1.l ffi -2--=.-~ +- 1 = 1l.f fi 1 - x
x➔l- (x - 1)2 x-+1- 2(x - 1) x-+l 2(x - 1)(2 - x)
- 1 1
=
lim
x-+I- 2(2 - x) 2
Il limite destro è
cos(l- x2)- l 1 ( l) cos(l- x2)-l + J
ll·m - (-x2--1-p '--- -2 -- ---- = h.m (x2-1)2 2
x➔J1 x- 1 x-+I' x - l
Si procede appHcando più volte il teorema di De L 'Hopital:
·m 2 cos(l - x2) - 2 + (x2 - 1)2 =11 h. m 4x sen(l - x2) + 4x(x2 - 1) H
ll --'--:-----=--.:..._ __ __:__ __ _.:.__
x-+I 1 2(x2 - 1)2(x - 1) x-+l ~ 2(5x11 - 4x3 - 6x2 + 4x + 1)
3
l. l. 1. Esercizi svolti
= h. m -4se--n-.(.l:~ -_x..2...).: __ - 8_x2_ co_ s..(:_l_ - _x 2~) +- 1-2x-2 --4 -H
x-+l.. 8(5x3 - 3x2 - 3x + 1)
= h. m _- 2_4x_c o__s_(:__l -_x 2....):. .._-_ 8_x2 _sen_ __(:_l_ -_x 2...,):. ._+_ 2_4 x -_ .
0
x-+t+ 24(5x2 :_ 2x - 1)
Confrontando i valori ottenuti si vede che il limite destro e il limite sinistro non
coincidono e dunque la funzione non è derivabile in x = 1, che risulta essere un punto
angoloso.
'\( ESERCIZIO 1.1.3. Studiare al variare di a, be a E JR la continuità della seguente
} funzione nel suo insieme di definizione
2 2
arctg(x- 1) - (x- 1)
x> l
(x- 1)0
f(x) = a x=l
{ xlnx + b O<x<l
1- ;i:2
=
Studiare la derivabilità in x l al variare di a E ( - oo, 6).
Soluzione
Continuità: la funzione è ben definita e continua negli intervalli (O, 1) e (1, +oo). La
=
funzione risulta continua anche in x l se
lim f (x) = f (l) = lim f(x). (4)
x➔l- x-+t+
(f~n~ b),
+
Nel limite sinistro, Um la frazione dà una forma indeterminata del tipo
x➔l X
§.
P.e r eliminarla si può applicare il teorema di De L 'Hopital:
....
b) b) b
l1. m ( -x In- x + =H 1.i m ( -ln x- +- l + = --1 + .
x➔I 1- x2 :t:➔1- - 2x 2
Il I1. m1· te d es t ro, 1·1 m arctg(x(- _l_) 2)-" (x- l)2 , val e O per a :s;; Oe da' una 'L Orma .m dc term.m ata
1
.c-t I I X
del tipo § per a > O. Vuso della relazione asintotica arctg t ~ t per t ➔ O porterebbe
ad una cancellazione e quindi si procede ancora applicando il teorema di De L 'Hopital:
a :s;; O =? li m _a rctg(x - 1)2 - (x - 1)2 = O;
___;_;__;___-'-_...c.__ __;__
x➔t • (x - 1)0
!t:-=.~>)4 -
a > O =} lim _a rc_t_g_(x;_ -_-1'-)-2 ----'(-x- ---'-1-)-2- =11 1u. n 1 2(x - 1)
x-+t' (x - l)et x ►I~ a (x - l)et- 1
2(:r- 11){+1(-x-1-L()x4 - 1)4) = lim - 2 (x - 1)5
- lim
x-+11 n(x - 1)0 - 1 x-+t• 1-t (x - 1)" a (x - 1)0 - L -
{o
o<
a < 6
2 6 -½
= - litn ( ( )'I) (x - 1) -0 = a = 6
+
x-+ I I 1 X - 1 Cl'.
-oo a > 6
4
M.R. Lancia - S. Marconi 1.1. CON'l'INUJ'J'À E DERTVJ\BIU'l'À
Confrontando i valori ottenuti e imponendo la (4) in cui J(l) = a, la funzione risulta
continua in x = 1 per
1 1
- - + b= a=O ovvero a = O e b = - per n < 6
2 2
1 1 1 1
-- + b =a= -- ovvero a = - - e b = - per a = 6.
2 3 3 6
Derivabilità: per n E ( - oo, 6) si studia la derivabilità per i valori dei parametri per
cui la funzione è continua, ovvero a = O e b = ½:
2 2
arcLg(x- I ) -(x-1) x> l
{x-1) 0
J(x) = O x = l
{ +
x In x l O<x<l
l- x2 2
=
La funzione risulta derivabile in x 1 se esistono, sono finiti e coincidenti i limiti dei
rapporti incrementali sinistro e destro:
lim J(x) - / (1) = lim f (x) - f(l).
x➔ 1 X - 1 x➔ l + X - 1
Per quanto visto nel caso della continuità il limite sinistro dà una forma indeterminata
&
del tipo che si può eliminare con il teorema di De L 'Hopital:
( f ~:~ + ½- O) = 2x 1n X + 1 - x2 11
lim ...,:_ _____ :__ lim
x➔l- x - 1 x➔l 2(1 - x2)(x - 1)
+
=11 lim _2__;(_ l_n x_ _1 _- _x _),; _ _H lim lx - 1 = O.
x➔l 2(1 - 3x2 + 2x) x➔l- - 6x + 2
Per il limite destro si procede con conti analoghi al caso della continuità applicando
il teorema di De L 'Hopital:
arcLg(x-1) 2 - (x- 1) 2 _ O
(x- 1)" lim arctg(x - 1)2 - (x - 1)2 11
lim
(x - 1) x➔l (x - 1)0+1
..c➔I
2(.c I) (· ) 2.(.r 1)(1 I-(x 1)1)
=Il 1· 1+ (.e 1) 4 - 2 X 1 = 1· l+(z 1)1
1111 _..;..__..;.._ ____ 1111
.e ►I t (a+ l)(x - 1)0 x-+I' (a t- 1)(.r - l)o
- 2
-= .e li►nIi, -(1 +- (.r - 1-)'-1),(c-l' -t--1-) (x 1)5- 0
Confront.audo il lirnit.c sinistro C' il limill' clC'slro, si vcd<' che la funzione è derivabile,
con derivata nulla, PN a < 5 ( con a O <' b ½), <' non è d<'rivahil<' pcr 5 ~ a < (i
=
i11 .e l.
5