Table Of ContentM.R. Lancia - S. Marco11i
ESERCIZI
DI ANALISI MATEMATICA
Ai 11c>.'>tri frirnilinri
Ai 1101,tri ~t11de11ti
Prem essa
Il t('Sto conti<'ll<' una raccolta di csNdzi di livc>llo avanzato 1wr gli studenti delle fa
coltà cli lng<'g11eria o drlle faroltà tc•cnico-scicntifichC' dc>I primo r secondo anno.
Il libro <.' rivolto a qm'gli studenti chr debbano consolidare la loro µrrparazionr pN
l'psanw scritto <' pr0supponc che lo studente abbia già svolto gli eserdzi di routin<'
sugli argomenti di base'.
GJi <'scrcizi sono pensati per stimolare lo studente ad utilizzare i \'ari strumenti
dell"A11alisi in un co11tcsto più articolato. Nella formulazione degli esercizi sono presen
ti sia gli aspetti legati alle abilità di calcolo in sé, sia quelli relativi all'interpretaz.ion<'
dPi diversi contc>nuti matematici pr<'si in esame. In ogni capitolo \'engono richiamati
gli elementi <'ssenziali di teoria. Alcuni esercizi sono svolti in dettaglio. mPnh·<' gli
altri. di cui sono riportati i risultati, sono lasciati conw utile rsrrcizio allo studente,
che può così V('rificarc la sua preparazion<'.
Il volume <.' dedicato all<' funzioni di una e due variabili reali, in partirolan~ ai concetti
di limite. continuità, differenziabilità e integrazione. ai nuH1eri complessi, alle seri<',
alle forme diff<'rcnziali f' ai campi vettoriali (' nlle prind pali d assi di equazioni diffe
renziali ordinari<>.
SarC'mo ben liet<' di ricevere suggcrimrnti e proposte di miglioramento.
l\I.R. La11cin. S ..\ forconi
maric:1rosaria. lu11d n <11111irouw 1.it silvia.mnrC"oni o 1111iro11ial .it
Ì\ l. R. Lancia - S. :\larconi IXDICE
Indice
1 FUNZIONI DI UNA VARIABILE 1
1.1 LI:\IITI, INFINITI E INFINITESii\II I
1.1. l Escrcizi svolti . . ... . 2
1.1.2 Escrcizi proposti ....... . 1-1
Risultati degli esercizi proposti ... . 20
1.2 STUDIO DI FUNZIONI, MASSIMI E l\IlKir.II 23
1.2.l Esercizi svolti ...... . 2-1
1.2.2 Esercizi proposti ...... . 26
Risultati degli esercizi proposti .. . 2
1.3 CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ. 32
32
1.3. l Esercizi svolti ..... .
53
1.3.2 Esercizi proposti . .. .
GO
Risultati degli esercizi proposti
67
1.4 FU~ZIO I INTEGRALI
67
1.4. l Esercizi svolti . . . . . .
78
1.4.2 Esercizi proposti ....
Risultati degli esercizi proposti 82
1.5 FU~ZIONI INVERTIBILI . 85
1.5.1 Esercizi svolti . . . . . . 85
1.5.2 Esercizi proposti . ... 91
Risultati degli esercizi proposti 9-1
96
1.6 FU~ZIOI\I COi\IPOSTE
9G
l.G.l Esercizi svolti ..... .
1.6.2 Esercizi proposti . . . . 100
Risultati degli esercizi proposti 101
2 INTEGRAZIONE DI FUNZIONI DI UNA VARIABILE 102
2.1 CALCOLO DI AREE . 102
2 .1.1 Esercizi svolti . . . . . . 102
2.1.2 Esercizi proposti . . .. 113
Risultati degli esercizi proposti llG
2.2 INTEGRALI I0.IPROPRI 119
2.2.1 Esercizi svolti .. ... . 119
2.2.2 Esercizi proposti ... . U 2
Risultati degli esercizi proposti lJG
3 SERIE 139
3.1 Esercizi svolti 1Jf>
3.2 Esndzi proposti . ... . 15G
Risultati degli <:>sercizi proposti 165
JSl)JC'E
-t SERIE DI FOURIER 170
-L 1 Esercizi svolti . . . . l 71
-l.2 Espr-cizi proposti .. 18-1
Risulrat i d(•gli 0s<>rcizi proposti H):3
5 NU1\1ERI COI\l:IPLESSI 196
:i.l E~l'rcizi ~\·olti ..... 19G
:i.2 E:'ì<'rc-izi proposi i . . . 207
R isu 1t a1i degli C'scrcizi proposti 212
6 FUNZIONI DI DUE VARIABILI 215
G. l Esrrrizi sYolti . . . . . .. 2Hì
6.2 Esl'I"<'izi proposti . . . . . 2:rn
Ri~tdtati degli C'sercizi proposti 251
7 FUNZIONI IMPLICITE 263
7 .1 EsC'rcizi svolti ..... . 263
ì.2 EsP1-cizi prop ost i . . . . 271
R isult at i ck•gli rscrcizi pro post i 271
8 INTEGRALI MULTIPLI DI FUNZIONI CONTINUE 273
.1 I~TEGRALI DOPPI .. 273
8.1. l EsNcizi svolti ..... . 273
.1.2 Esercizi proposti . . . . 284
Risultati degli esercizi proposti 289
8.2 INTEGRALI DOPPI CON CA~IBIO DI VARIABILI 296
~.2.1 EsPr<'izi svolti ... .. . 297
8.2.2 EsNcizi proposti ... . 308
Risultati degli PS<'rcizi proposti 312
.:3 INTEGRALI TRIPLI . 319
31!)
8.3.1 Esercizi s\·olti .... . .
323
8.:t2 Es<'rcizi proposti .. . .
32:3
Hisult ati d<'gli esercizi proposti
8.-1 l\TEGHALI TIUPLI CO?\ CAi\Il3l0 DI VARIABILI 324
32G
~.-1.1 E~<'rcizi SYOlti ..... .
:1-10
8.4.2 Esl'rcizi proposti ......... .
3-12
Risultati degli esercizi proposti ..... .
'.5 1\TEGRALI DI SUPERFICIE E AREE. 3-13
:3-13
8.5.l EsNrizi svolti ... . . .
8.!).2 Esercizi proposti .. . .. .. .. • :35!>
n :~55
isult é\t i d<'gli ('SC'rcizi proposti . . . . . .
9 FORME DIFFERENZIALI E CAl\'1:PI VETTORIALI 356
!U l~TEGRALI DI FOn(\IE E CA~IPI :35G
9.1.1 EsNrizi svolti . . :1:, 7
9.1.2 Esercizi proposti ...... . :n1
Il
~I.R. Lancia - S. Ì\Iarro11i J.VDICE
Risultai i degli t'srrcizi proposti ... . ...... . :387
9.2 FLUSSI DI CAi\lPI ATTRAVERSO SUPERFICI 394
9.2.1 Esercizi svolti ......... . ;3g4
!J.:3 TEOREl\IA DELLA DIVERGENZA . 402
9.:J. l Esercizi svolti ..... . 402
9.~J.2 EsNcizi proposti ... . 411
n isultati d<'gli <':-ì<'rcizi proposti 412
9.4 TEOTIEÌ\IA DI STOKES 413
9.4. l Es<'rcizi svolti ..... . 41:3
10 EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE 421
10.1 EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI 421
10.1.1 EsC'rcizisvolti ... .. . 421
10.1.2 EsNrizi proposti .. . . . .... . 432
Risultati degli esercizi proposti . .... . 43G
10.2 EQUAZIOi"JI LIKEARI DEL I ORDINE. 438
10.2.1 Esercizi svolti ..... . 438
10.2.2 Esercizi proposti . . . ...... . 442
Risultati degli esercizi proposti ..... . 4.J3
10.3 EQUAZIO:\TI LINEARJ DEL II ORDINE 445
10.3.1 Esercizi svolti ..... . 44G
10.3.2 Esercizi proposti ......... . -161
R is11ltati degli esercizi proposti . . . . . . 465
10.4 EQUAZIOKI LINEARI DI ORDINE SUPERJORE. 4G9
10.4.1 Esercizi svolti ..... . 469
10.4.2 Esercizi proposti ... . -175
Risultati degli eserc.izi proposti 477
10.5 EQUAZIONI DI BERNOULLI -178
10.fl.l Esercizi svolti .... . . 478
10.5.2 Esercizi proposti ... . --185
Risultati degli esercizi proposti 487
A FORMULE UTILI 489
A.l Forme indeterminate 489
A.2 Gerarchia degli infiniti 489
A.:3 Relazioni asintotiche .J8!)
A.4 Limiti notevoli --189
A.5 Derivate . . . . . . . --190
A.6 Int<'grali . . . . . . . ..J90
A.7 Sviluppi di :\Iac Lamin . -HH
111
1 FUNZIONI DI UNA VARIABILE
1.1 LIMITI, INFINITI E INFINITESIMI
Sia f : A ç lR ➔ lR una fu11zio11e definita in un sottoi11sie111e A di JR e a valori in a.
Sia ç E 'DA un punto di accumulazione di A finito o iufiuito (ç E JR)1 e sia :r E A.
Definizione 1. 1 (Infinito e infinitesimo).
f è un infinito per .r ➔ ç se lim f (x) = ±oo .
.r ➔{
f è un infinitesimo per .T ➔ ç se lim f(x) = O.
x➔{
Definizione 1.2 (Confronto tra infiniti).
Siano f e g due funzioni entrambe infinite per :r ➔ ç e .9 i= O.
J e y sono infiniti dello stesso ordine per .e ➔ ç se lim I{((;))I = l > O con I finito e
. .r➔{ g
strettamf'nte positivo.
f e' un r·n fi nl·t o d1 · ord m· e .mpen·o re ri·s pe tt o a g per.,; ➔ .e_ se i1· m Ig/ ((:Jr:)) I = +o o.
x➔{
f e' -un m· fi nl·t o di · ordi n· e -·m 1re n·o re rz·s pe tt o a g per x ➔ .e., se xi1·➔ m{ I g/i:((:.ie :)) I = O.
Definizione 1.3 (Confronto tra infinitesimi).
Siano f e g due funzioni entrambe infin-itesime per x ➔ ç e g =/- O.
f e g sono infinitesim·i dello stesso online per x ➔ ç se lim IJ ((:r)) I = l > O con l finito
X-►{ 9 X
e strettame11te positivo.
l~}l;~;~I
f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ag (J= o(g)) pe1·x-rç se =0.
f è un infinitesimo d-i ordine inferiore rispetto a g per .e ➔ ç se lim I I = +oo.
/((.r))
1-➔~ g X
Definizione 1.4 (Ordine di i11finito).
Sia f ·una funzione infinita per x ➔ ±oo. L'ordine d-i. infinito di J per x ➔ ±oc,
se esiste, è quel n·urnero reale positivo lt tale che lim IJ(.c)I = l > O con l finito e
:r➔±oo TxF
strettamente positivo.
Sia J una funzione infinita per :e ➔ :ro (finito). L'ordine di infinito di J per .r ➔ :ro.
se esiste, è quel numero reale positivo a tale che lim lf(ir)! = l > O con l finito e
.l"➔xo l,- ,ol1'
.strettamente positivo.
Definizione 1.5 (Ordine di infìnitrsimo).
Sia J una funzione infin-itesima per .1: ➔ ±oo. L'ordine di infinitesimo di J per
:e ➔ ±oo, se esiste, è quel m1rnero reale positivo a, tale che lim lf(( )I = I > O
.I"➔± Tri"
con l finito e strettamente positivo.
Sia J una funzione infinitesima ver x ➔ :ro (finito). L ·ordine di infinitesimo di f wr
:r -➔ xo, se esiste, è quel numero rrale positivo n tale che lim f(.r)I,, = / > O con I
.r➔.ro I. r- .ro
finito e :;frcltamentc positivo.
1( '011 il ~iml>olo '.R si indica l'iusi<'nl<' d('i numC'li rN\li ampliato iR = :R u { +oo} u {- oo}.
