Erste Hilfe in Analysis: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen

237 Pages·2012·7.33 MB·German

by  PD Dr. Oliver Deiser (auth.)

Erste Hilfe in Analysis
Oliver Deiser
Erste Hilfe in Analysis
Überblick und Grundwissen
mit vielen Abbildungen und Beispielen
PD Dr. Oliver Deiser
Technische Universität München
TUM School of Education
Schellingstraße 33
80799 München
[email protected]

ISBN 978-3-8274-2994-0 ISBN 978-3-8274-2995-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-8274-2995-7

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Inhalt
Vorwort............................................................. 5
Die Themen des Buches ............................................ 9
Kapitel 1: Grundlegendes ........................................ 13
1. Mengen .......................................... 14
2. UmgangmitMengen ............................... 16
3. Relationen ........................................ 18
4. Funktionen ....................................... 20
5. VisualisierungvonFunktionen........................ 22
6. Injektive,surjektiveundbijektiveFunktionen ............ 24
7. UmgangmitFunktionen ............................ 26
8. UmkehrfunktionenundEinschränkungen .............. 28
9. BildundUrbild.................................... 30
10. UmgangmitQuantoren ............................. 32
11. DievollständigeInduktion ........................... 34
12. DasPrinzipvomkleinstenElement .................... 36
Kapitel 2: Die reellen und komplexen Zahlen .................... 37
1. IrrationaleZahlen .................................. 40
2. AlgebraischeundtranszendenteZahlen ................ 42
3. AbzählbarkeitundÜberabzählbarkeit .................. 44
4. DieKörperaxiome ................................. 46
5. DieAnordnungsaxiome ............................. 48
6. SupremumundInfimum ............................ 50
7. DieVollständigkeit ................................. 52
8. DieDezimaldarstellung ............................. 54
9. DieIntervallschachtelung............................ 56
10. WurzelnundrationaleExponenten .................... 58
11. KomplexeZahlen .................................. 60
12. UmgangmitkomplexenZahlen....................... 62
2 Inhalt
Kapitel 3: Folgen und Grenzwerte................................ 65
1. Folgen ........................................... 66
2. GrenzwertevonFolgen.............................. 68
3. MonotoneFolgenundPendelfolgen ................... 70
4. DieLimesregeln ................................... 72
5. Cauchy-Folgen .................................... 74
6. Teilfolgen ........................................ 76
7. HäufungspunktevonFolgen ......................... 78
8. DerSatzvonBolzano-Weierstraß ..................... 80
9. LimesSuperiorundInferior ......................... 82
10. OffeneEpsilon-Umgebungen ........................ 84
11. KonvergenzindenkomplexenZahlen ................. 86
12. DieUnendlichkeitssymbole .......................... 88
Kapitel 4: Reihen ................................................. 91
1. UnendlicheReihen ................................. 92
2. FolgenversusReihen ............................... 94
3. DiegeometrischeReihe ............................. 96
4. DezimaldarstellungenalsReihen ...................... 98
5. DieharmonischeReihe ............................ 100
6. DasCauchy-Kriterium ............................. 102
7. DasLeibniz-Kriterium ............................. 104
8. AbsoluteundbedingteKonvergenz ................... 106
9. MajorantenkriteriumundMinorantenkriterium ......... 108
10. WurzelkriteriumundQuotientenkriterium ............ 110
11. ProduktevonReihen .............................. 112
12. DieExponentialreihe .............................. 114
Kapitel 5: Stetigkeit............................................. 117
1. DieLimesstetigkeit ............................... 118
2. GrenzwertevonFunktionen ........................ 120
3. Unstetigkeiten ................................... 122
4. DieUmgebungsstetigkeit........................... 124
5. DiegleichmäßigeStetigkeit ......................... 126
6. DieLipschitz-Stetigkeit ............................ 128
7. StetigeFortsetzungen.............................. 130
8. DerZwischenwertsatz ............................. 132
9. DerExtremwertsatzvonWeierstraß .................. 134
10. DieStetigkeitderUmkehrfunktion ................... 136
11. PunktweiseundgleichmäßigeKonvergenz ............. 138
12. Potenzreihen..................................... 140
Inhalt 3
Kapitel 6: Elementare Funktionen .............................. 143
1. Polynome ....................................... 144
2. RationaleFunktionen .............................. 146
3. DiereelleExponentialfunktion ...................... 148
4. DernatürlicheLogarithmus......................... 150
5. DieallgemeineExponentialfunktion .................. 152
6. DerallgemeineLogarithmus ........................ 154
7. DiekomplexeExponentialfunktion ................... 156
8. BilderderkomplexenExponentialfunktion ............. 158
9. SinusundKosinus ................................ 160
10. WeiteretrigonometrischeFunktionen ................ 162
11. DieArkusfunktionen .............................. 164
12. DieBrückezurGeometrie .......................... 166
Kapitel 7: Differentiation ....................................... 169
1. GeradenundihreDarstellungen ..................... 170
2. Differenzen-undDifferentialquotienten .............. 172
3. LineareApproximationen .......................... 174
4. Ableitungsregeln .................................. 176
5. StetigkeitundDifferenzierbarkeit .................... 178
6. HöhereAbleitungen ............................... 180
7. DerMittelwertsatzderDifferentialrechnung ........... 182
8. AbleitungundMonotonie .......................... 184
9. LokaleExtremwerte ............................... 186
10. Konvexität ....................................... 188
11. Krümmungsverhalten.............................. 190
12. DieTaylor-Entwicklung ............................ 192
Kapitel 8: Integration ........................................... 195
1. PartitionenundTreppenfunktionen .................. 196
2. DasRiemann-Integral ............................. 198
3. DasDarboux-Integral ............................. 200
4. EigenschaftendesIntegrals ......................... 202
5. ZumUmfangderintegrierbarenFunktionen ........... 204
6. DasRegelintegral ................................. 206
7. DerMittelwertsatzderIntegralrechnung .............. 208
8. DerHauptsatz ................................... 210
9. Integrationsregeln ................................ 212
10. UneigentlicheIntegrale ............................ 214
11. DerVertauschungssatz ............................. 216
12. IntegralundFlächeninhalt .......................... 218
4 Inhalt
Zum Studium der Mathematik ................................... 221
Anhänge .......................................................... 227
1. Junktoren ....................................... 228
2. Quantoren....................................... 230
3. AxiomefürdiereellenZahlen ....................... 231
4. Epsilontik ....................................... 232
5. GrenzwertevonFolgenundunendlicheSummen ....... 234
6. Reihenentwicklungen .............................. 235
7. Ableitungen...................................... 236
8. IntegrierbareFunktionen ........................... 237
Literatur ......................................................... 239
Notationen ....................................................... 240
Index ............................................................. 242
Vorwort
DieAnalysisgehörtzusammenmitderlinearenAlgebrazudenbeidenGrundvorlesun-
geneinesMathematikstudiumsanderUniversität.VieleStudentenhörensieimersten
Semester. Bis man aber zur aus der Schule vertrauten Differential- und Integralrech-
nungkommt,vergehenWochen,diemitKörperaxiomen,kleinstenoberenSchranken,
Grenzwerten,HäufungspunktenundunzähligenkleinenEpsilonsundDeltasangefüllt
sind.Beweisensoll,werrechnengeübthat.Definierenmuss,werbislangmiteinigerma-
ßengenauenBeschreibungenzurechtkam.FürvieleistdiesermethodischeNeubeginn
eineHerausforderung.
Dieses Buch möchte ein hilfreicher Begleittext für die Hörer einer ersten Analysis-
VorlesunganderUniversitätsein(fürdasFachstudiumunddasLehramtanGymnasien).
Es will das Vorlesungsskript und die ausführliche und systematische Lehrbuchliteratur
ergänzen.ImGegensatzzudiesenTextenenthältesnurwenigeBeweiseunddieDarstel-
lungentsprichtehereinemGartenalseinemsichausbreitendenFluss.ZentraleGegen-
ständederelementarenAnalysiswurdenausgewählt,umsiemöglichstübersichtlich,in-
formativundeinprägsaminzweiseitigenSektionenvorzustellenundzudiskutieren.Jede
SektionbeginntmiteinerDefinitionodereinemSatz.EsfolgeneinDiagramm,Erläute-
rungen,zahlreicheBeispieleundGegenbeispiele,manchmalauchweitereBegriffe,Sätze
undDiagramme.EingestreutsindzudemBemerkungenzurVerwendungdesbehandel-
tenGegenstandesundzumöglichenFehlerquellen,sowieZusammenfassungenundTa-
bellen. So werden Hilfestellungen angeboten und der Überblick erleichtert, damit der
Wald vor lauter Bäumen nicht aus den Augen gerät. Die mathematische Genauigkeit
wirddabeinichtverwässert.VielederangeführtenBeispielezeigen,wiewichtigdieBe-
achtungderVoraussetzungenmathematischerSätzeist.
6 Vorwort
KeineswegstrittderAutordafürein,SystematikundvollständigefachsprachlicheBe-
weiseausdenAnfängervorlesungenunddenzugehörigenLehrbüchernzuverbannen−
imGegenteil.AberdieErfahrungzeigt,dassvieleStudienanfängerwichtigeDefinitionen
und Sätze nicht in der Genauigkeit wiedergeben können, die für ein wissenschaftliches
mathematisches Arbeiten notwendig ist, und dass sie diese Definitionen und Sätze oft
auchnichtmitanschaulichenVorstellungenundklärendenBeispielenverbindenkönnen,
dieVerstehen,EinprägenundAnwendenerleichtern.HierwilldervorliegendeTexteine
helfendeHandreichen.DieFähigkeitzumeigenständigenErarbeitenvonAnschauungen
undBeispielenistdabeiLernziel.
VerwendungdesBuches
(1) ZuvielenThemeneinerimdeutschsprachigenRaumüblichenAnalysis-Vorlesung
wirdderLeserpassendeSektionenindiesemBuchfinden.Einebegleitende,regel-
mäßigwiederholende,vergleichendeundevtl.auchvorgreifendeLektürebietetsich
hieran.
(2) WährendderVorlesungkannkontinuierlichüberprüftwerden,obmanfundamen-
taleDefinitionenundSätzekorrektwiedergebenkannundobmanzugehörigeBei-
spielekennt.DieStrukturdesBucheserleichtertdieseFormderSelbstkontrolleund
eineentsprechendeAnpassungdeseigenenLernverhaltens.
(3) DasBuchkannzursystematischenVorbereitungaufeineschriftlicheodermündliche
Prüfungbenutztwerden.
(4) InspäterenSemesternkanndasBuchzumNachschlagenverwendetwerden.
WasdasBuchnichtseinwill
DasStudiumdiesesBucheskanndemLeserhelfen,seineHausaufgabenleichterund
erfolgreicherzubearbeiten,undeinigedervorgeführtenBeispielewirdervielleichtsogar
alsÜbungsaufgabenwiederfinden.Angestrebtwurdemitdieser„ErstenHilfe“aberkein
Text,dessenHauptzweckesist,sammelndvorzuführen,wiemanlösenkann,wasmanlö-
senmuss.Zielist,einvertieftesundtragfähigesVerständnismathematischerIdeenzuver-
mitteln. Ein solches Verständnis trägt nach Meinung des Autors automatisch dazu bei,
den vielfältigen Anforderungen eines Mathematikstudiums − einschließlich Übungen
undKlausuren−selbstbewusster,erfolgreicherundfreudvollerbegegnenzukönnen.
ZumInhaltdesBuches
ImAnschlussandiesesVorwortfindetderLesereinenÜberblicküberdieThemender
achtKapiteldesHaupttextes.DemHaupttextfolgenallgemeineBemerkungenzumMa-
thematikstudium. In den Anhängen stellen wir Regeln über Junktoren und Quantoren
zusammen,undesfindensichdortTabellenzudenAxiomenfürdiereellenZahlen,zur
Epsilontik, zu Grenzwerten, Summen und Reihenentwicklungen, zu den Ableitungen
derelementarenFunktionenundzudenIntegralbegriffen.DasBuchendetmiteinemLi-
teraturverzeichnis,einemÜberblicküberNotationenundeinemIndex.