Equazioni di erenziali e Modelli matematici applicati alla biologia

39 Pages·2017·0.41 MB·Italian

Elvira Mascolo
Dipartimento DIMAI "U. Dini", UniversitÆ di
Firenze
Equazioni di(cid:27)erenziali e
Modelli matematici applicati alla
biologia
Appunti per il corso di MATEMATICA, cdl in
Scienze Biologiche
2
Introduzione
Lo studio della dinamica delle popolazioni biologiche tramite modelli mate-
matici si potrebbe far risalire agli studi di Fibonacci ma i primi veri tentativi
di applicazione di metodi matematici questioni di tipo biologico si sono avuti
nelSeicento,quandosicominciaronoafareletavoledimortalit(cid:224)esitentaro-
no alcune considerazioni di tipo statistico. Tuttavia si pu(cid:242) dire che la prima
volta che si usarono metodi matematici al campo biologico fu nel Settecento
in relazione al vaccino del vaiolo. Vi furono i sostenitori favorevoli all’inocu-
lazione del serio, nonostante provocasse una forma leggera della malattia e
i contrari per i quali il vaccino era un’azione contro la natura. Nel 1760 il
matematico svizzero D. Bernoulli cerc(cid:242) con considerazioni probabilistiche di
determinare i vantaggi della vaccinazione, in termini di vite salvate. Contrari
alla tesi di Bernoulli furono D’Alambert che dedic(cid:242) varie memorie all’argo-
mento, sostenendo che la scienza della vita era costituita da troppe variabili
edilmatematicoe(cid:28)sicoJean-BaptisteBiotchegiudic(cid:242)irrealisticheleipotesi
sempli(cid:28)cativediBernoulli.Vanotatochealcunediquelleipotesicostituiscono
ancora oggi la base di alcuni modelli relativi a questioni biologiche.
Ilverosviluppodellamatematicaaproblemidellabiologica,conl’introduzione
di modelli di tipo deterministico si deve a Thomas Mathus (1766-1834)
prima ed al matematico-biologo olandese Pierre Francoise Verhulst (1804-
1849).
Malthus, partendo da considerazioni di tipo economico-sociale, si dedic(cid:242) allo
studiodelladinamicaedell’evoluzionedellepopolazionicheŁancoraoggiuno
dei campi di applicazione piø fecondi della matematica alla biologia. Le sue
ricerche lo portarono ad un liberismo radicale e sfrenato, secondo cui ogni
individuo Ø e deve essere libero e privo di assistenza sociale e solidariet(cid:224), in
modotalecheaprevaleresianoipiøforti.Tuttavia,laletturadellesueopere
in(cid:29)uenz(cid:242)moltoCharlesDarwin(1809-1882)nell’elaborazionedellateoriadel-
la selezione naturale. Nel modello stabilito da Malthus nel 1798, che vedremo
nei dettagli piø avanti, la popolazione cresce in modo esponenziale mentre le
risorse alimentari crescono secondo una progressione aritmetica e quindi in
modolineare.IlmodellodiMalthusfucorrettodaVerhulstnel1837edŁnoto
come modello logistico.
Il grande sviluppo dei modelli matematici applicati alla scienza della vita Ł
avvenuto nel secolo scorso intorno al 1920, ad opera del grande matemati-
co italiano, Vito Volterra (1860-1940) che pose le basi dell’ecologia teorica,
dimostrando i cicli di tipo preda predatore ed il cosidetto principio del-
l’esclusione competitiva. Contemporaneamente, a conclusioni simili, arri-
v(cid:242) Alfred Lotka (1880-1949) supervisore di compagnia di assicurazioni che
coltivava numerosi interessi scienti(cid:28)ci.
3
A partire quindi dall’inizio del Novecento la matematizzazione di alcuni feno-
menibiologicicomeladinamicadellepopolazioniel’evoluzionedellemalattie
ha subito un notevole sviluppo. Nell’ambito dell(cid:17)Ecologia, l’Etologia e degli
eco-sistemi gli studi sperimentali hanno ampiamente dimostrato l’esistenza
di correlazioni e interazione tra le specie e di un equilibrio, non statico ma
dinamico, che si altera facilmente in funzione di agenti esterni o interni alla
specie stessa. L’applicazione di strumenti matematici a questo tipo di proble-
mi, ha svolto un ruolo importante nello sviluppo di queste tesi e nella loro
completacomprensione,fornendomodelli,chenegliannisonostatimodi(cid:28)cati
e generalizzati sulla base delle nuove conoscenze biologiche.
Intornoaglianni’70siŁvenutaquindiacreareunanuovadisciplinalabioma-
tematica, che studia le applicazioni dello strumento matematico a problemi
biologici attraverso la costruzione, l’analisi e l’utilizzo di modelli matematici.
Inquest’ambitol’obiettivodiunmodellomatematicopu(cid:242)esseredi(cid:27)erente,in
alcunicasiserveainterpretareinmodoqualitativoilfenomenochesiosserva,
in altri quando la struttura del sistema biologico Ł ben delineata ed i dati
su(cid:30)cientemente precisi ha lo scopo di prevedere l’andamento quantitativo
del fenomeno ed in(cid:28)ne vi sono modelli predittivi, che cercano di risolvere i
problemi che possono intervenire.
I modelli matematici di tipo descrittivo, cercano di sintetizzare le infor-
mazioni disponibili su un determinato processo, senza cercare di spiegare il
meccanismo su cui il processo Ł basato.
Un modello interpretativo formula alcune ipotesi circa il processo che si sta
studiando e fornisce le conseguenze logiche.
In(cid:28)ne i modelli di tipo predittivo tentano di conoscere la risposta del siste-
maicuie(cid:27)ettinonpossonoessereosservatidirettamente.Adesempiovisono
modellimatematicichepossonostimareglie(cid:27)ettidell’inquinamentoprodotto
dallacostruzionediunafabbricasull’ecosistemacircostante.Unavoltadeter-
minato il modello matematico che regola un fenomeno di natura biologica,
Ł necessario attraverso una fase sperimentale stabilire quanto il modello sia
signi(cid:28)cativo.
La matematica ha quindi grandi ed interessanti potenzialit(cid:224) di applicazio-
ne, ma spesso il problema in esame pu(cid:242) essere estremamente complesso ed Ł
quindi necessario sempli(cid:28)carlo notevolmente per ottenere modelli su cui sia
possibile applicare con successo gli strumenti matematici. In questo processo
di sempli(cid:28)cazione Ł necessario individuare, fra gli aspetti del problema quelli
essenziali che caratterizzano il fenomeno, senza i quali il modello potrebbe
risultare non aderente alla realt(cid:224).
4
I modelli matematici sono suddivisi in deterministici, dove non interviene
il caso e stocastici nei quali si tiene conto del fatto che alcuni meccanismi di
evoluzione possono in(cid:29)uenzati da variazioni casuali ed in questi ultimi inter-
vengono in modo consistente gli strumenti e gli argomenti della Teoria della
Probabilit(cid:224).
Ci interesseremo di alcuni modelli matematici di tipo continuo, relativi alla
dinamica di una popolazione e alla di(cid:27)usione delle malattie.
Neseguitoperpopolazioneintendremouninsiemedielementidivarianatura,
detti individui, il cui numero pu(cid:242) cambiare in funzione del tempo per e(cid:27)etto
dell’ambiente e delle sue caratteristiche.
Le principali questioni di interesse riguardano come una popolazione Ł strut-
turata in termini di et(cid:224) e grandezza e come tale struttura si modi(cid:28)ca nel
tempo, ed eventualmente nello spazio, per fattori interni o esterni.
In particolare, ci interessiamo solo modelli di tipo deterministico a dinamica
continua per i quali l’accrescimento di una popolazione Ł basato sull’ipotesi
che, una volta speci(cid:28)cato il suo stato ad un istante iniziale (cid:28)ssato, il suo
sviluppo futuro possa essere previsto in modo esatto nel senso che non sono
tenute in conto i cambiamenti di tipo casuale e si suppone che ogni evento,
come ad esempio nascita o morte di un organismo, avviene con certezza.
I modelli stocastici, che tengono in conto della probabilit(cid:224) di riproduzione o
di morte degli organismi durante un certo periodo di tempo, sono piø ricchi e
realistici, ma presentano maggiori di(cid:30)colt(cid:224) di studio.
Popolazioni isolate: modelli lineari
Consideriamo una popolazione animale o vegetale ed indichiamo con N(t) il
numero dei individui. Questo numero dipende dal tempo ed a rigor di logica
assume solo valori interi, tuttavia assumiamo che possa essere approssimata
da una funzione continua e derivabile.
Supponiamochelapopolazionesiaisolataechelaproporzionedegliindividui
in et(cid:224) riproduttiva e la fecondit(cid:224) siano costanti. In questo caso il tasso di
accrescimento coincide con quello di natalit(cid:224) e si ha che
N(t+h)−N(t)=λN(t)h,
dividendo ambo i membri per h e passando al limite per h → +∞ si ha la
relazione
5
N˙(t)=λN(t). (1)
Le funzioni che soddisfano (1) sono della forma
N(t)=Ceλt.
Per assegnare un valore alla costante C basta conoscere il valore di N(t) ad
esempio all’istante iniziale t = 0, infatti denotato con N = N(0) si ha che
0
N =C e quindi
0
N(t)=N eλt. (2)
0
Questoprocessorisultarealisticosoloinpopolazionichecresconoinsituazioni
ideali e sono assenti tutti i fattori che ne impediscono la crescita.
La stessa equazione (1) compare in altri modelli relativi a sistemi (cid:28)siologici
ed ecologici.
Consideriamo ad esempio il caso della crescita di una cellula, ed sia p(t) il
pesodiunacellulainfunzionedeltempot.Supponendochelacrescitanonsia
in(cid:29)uenzatadafattoriesterni,Łragionevolepensarecheinunpiccolointervallo
ditempo,l’accrescimentodellacellulasiaproporzionalealtempotrascorsoad
al peso della cellula all’istante t. Siano t e t+h due istanti successivi, esiste
quindi una costante k tale che
p(t+h)−p(t)=khp(t).
La relazione Ł piø precisa quanto piø h Ł piccolo, dividendo ambo i membri
per h e passando al limite per h che tende a zero, si ottiene
p˙ =kp(t),
e conoscendo il valore di p(t) all’istante iniziale t=0, la soluzione Ł data da
p(t)=p(0)ekt.
Osserviamochesonoregolatidall’equazioney˙ =kyalcunialtrifenomenicome
il processo della disgregazione radioattiva, quello relativo alla reazione di un
tessuto vivente esposto a radiazioni ionizzanti, ed in(cid:28)ne la reazione chimica
di alcune sostanze.
Modello di Malthus
Passiamo ora al modello di crescita, stabilito da Malthus, relativo all’evolu-
zione di una popolazione isolata ed omogenea, in presenza di risorse limitate
ed in assenza di predatori o antagonisti all’utilizzo delle risorse.
6
Sia N(t) il numero di individui all’istante t e supponiamo che i fattori di
evoluzionesianodatidaltassodinatalit(cid:224)λeddaltassodimortalit(cid:224)µ,cioŁil
numero di nati e di morti rispettivamente nell’unit(cid:224) di tempo, nell’intervallo
di tempo [t,t+h] si hanno λhN(t) nuovi nati e µhN(t) morti.
In un intervallo di ampiezza h la variazione media dell’accrescimento tiene
conto sia del numero dei morti µ e del numero dei nati λ nell’unitÆ di tempo:
δN =N(y+h)−N(t)=λhN(t)−µhN(t),
e δN(t) pu(cid:242) essere positivo o negativo a seconda che prevalgono gli eventi di
nascita o di morte.
Dividendo ambo i membri per h e passando al limite per h che tende a 0:
N˙(t)=(λ−µ)N(t). (3)
Se N = N(0) Ł l’ampiezza della popolazione all’istante t = 0, la soluzione Ł
0
data da
N(t)=N exp((λ−µ)t). (4)
0
Quando il tasso di natalit(cid:224) prevale, λ > µ allora la popolazione aumenta in
modo esponenziale, se λ < µ diminuisce e con il tempo si estiguer(cid:224). Quando
λ=µ si ha che la popolazione rimane stabile nel tempo.
Nel modello che abbiamo la popolazione cresce o decresce con il tempo in
modo esponenziale. Tuttavia nessun organismo e nessuna popolazione cresce
inde(cid:28)nitamente, infatti ci sono dei limiti ovvi posti dalla scarsit(cid:224) di cibo o di
alloggio o da cause (cid:28)siche e oggettive.
Thomas Robert Malthus (1766-1834), era un economista e politico inglese.
Nel suo saggio del 1798 A essay of the principle of the population as it a(cid:27)ec-
ts the future improvement of society, si teorizza l’uamento esponenziali della
dellapopolazioneumanaequellosololinearedellerisorsealimentari,concon-
seguente carestia. Oggi vengono chiamate malthusiane le teorie che indicano
nella crescita demogra(cid:28)ca la causa principale della miseria. Tuttavia in qual-
che modo l’opera di Malthus ebbe grande in(cid:29)uenza sulla teoria di Charles
Robert Darwin (1809-1882)della selezione naturale.
Equazioni Di(cid:27)erenziali Lineari
I due modelli matematici, che abbiamo illustrato, si basano dunque sulla de-
terminazione della funzione u = u(t) che soddisfa la seguente Equazione
Di(cid:27)erenziale Ordinaria del primo ordine lineare:
7
y˙(t)=Ky(t), (5)
e che piœ in generale pu(cid:243) avere la forma
y˙(t)=a(t)y(t)+b(t), (6)
dove a(t),b(t) sono funzioni continue de(cid:28)nite in un intervallo [a,b].
Per equazione di(cid:27)erenziale si intende un tipo speciale di equazione in cui
l’incognita Ł una funzione.
Il problema consiste nel determinare una funzione u = u(t) de(cid:28)nita in [a,b]
ed a valori reali tale che per ogni t∈[a,b]
u˙(t)=a(t)u(t)+b(t). (7)
La funzione u = u(t) che soddisfa (7) si dice una soluzione dell’equazione
di(cid:27)erenziale ed il suo gra(cid:28)co si chiama curva integrale.
Il primo esempio che compare in analisi matematica Ł quello di primitiva.
Dataunafunzionecontinuaf,consideriamolaseguenteequazionedi(cid:27)erenziale
y˙(t)=f(t).
Una soluzione Ł una funzione u = u(t) tale che la sua derivata coincide con
f, quindi una primitive di f. ¨ noto che tutte le primitive di f di(cid:27)eriscono
per una costante, quindi l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione Ł dato
da u+C, con u primitiva di f e C costante reale.
Tenendo presente il caso della primitiva, si pu(cid:242) intuire che l’insieme delle
soluzionidiunequazionedi(cid:27)erenzialedelprimoordinecostituisceunafamiglia
di funzioni al variare di un parametro costante.
Perleequazionidi(cid:27)erenzialiditipo(6)valeilseguenteteoremachestabilisce
una formula risolutiva.
Teorema 1. Assegnata l’equazione di(cid:27)erenziale:
y˙(t)=a(t)y(t)+b(t),
con a(t),b(t) funzioni continue de(cid:28)nite in un intervallo [a,b], tutte
le sue soluzioni u hanno la forma
(cid:18)(cid:90) (cid:19)
u(t)=eA(t) e−A(t)b(t)dt+C , (8)
8
dove A Ø una primitiva di a e cioØ A˙(t) = a(t) e C Ø una costante
reale.
(cid:73)Dimostrazione. Moltiplichiamoamboimembridell’equazionepere−A(t)
e−A(t)y˙(t)=e−A(t)(a(t)y(t)+b(t)), (9)
Osserviamo che
d(e−A(t)y(t))
=e−A(t)y˙(t)−e−A(t)a(t)y(t)
dt
quindi da (9) si ha:
d(e−A(t)y(t))
=e−A(t)b(t),
dt
Integrando si ottiene
(cid:90)
e−A(t)y(t)= b(t)e−A(t)dt+C.
da cui segue la relazione (8) (cid:74)
Leequazionidi(cid:27)erenzialideltipo(6)hannolapropriet(cid:224)deterministica,che
risiedenelfattochelasoluzionediunequazionedi(cid:27)erenzialelinearedelprimo
ordineesisteedŁunivocamentedeterminata,unavoltaassegnatoilsuovalore
in un punto assegnato t .
0
Questa importantissima propriet(cid:224) Ł stabilita nel seguente Teorema di esi-
stenza ed unicit(cid:224) di Cauchy.
Teorema 2. Per ogni y ∈ R ed t ∈ [a,b], esiste ed Ø unica la
0 0
soluzione dell’equazione
y˙(t)=a(t)y(t)+b(t),
tale che y(t )=y
0 0
(cid:73) Dimostrazione. Osserviamo che risolvere l’equazione con la condizione
iniziale y(t ) = y , signi(cid:28)ca determinare le soluzioni u = u(t), de(cid:28)nite nel-
0 0
l’intervallo [a,b] tali che u(t )=y . Sia A˜la primitiva di a tale che A˜(t )=0
0 0 0
e quindi
(cid:90) t
A˜(t)= a(s)ds,
t0
allora dal momento che
(cid:18)(cid:90) t (cid:19)
u(t)=eA˜(t) eA˜(s)b(s)ds+C , (10)
t0
9
si ha u(t ) = eA˜(t0)C = C per la condizione imposta su A˜. Basta quindi
0
scegliere C = y e di conseguenza la soluzione Ø univocamente determinata.
0
(cid:74)
Assegnato (t ,y ), il problema di determinare le soluzioni di un equazione
0 0
di(cid:27)erenziale del primo ordine tali che u(t ) = y viene chiamato Problema
0 0
di Cauchy di punto iniziale (t ,y ).
0 0
Osserviamo che quando vale il teorema di esistenza ed unicit(cid:224) si
ha che due curve integrali di una stessa equazione, non possono
intersecarsi.
Sviluppo Storico delle Equazioni Di(cid:27)erenziali
Diamo un idea dello sviluppo storico della risoluzione di un’equazione di(cid:27)e-
renziale del primo ordine che, in generale, ha la forma :
y˙ =f(t,y)
dove f =f(t,y) Ø una funzione delle due variabili reali (t,y).
Lo studio della sua risoluzione inizia con la ricerca dell’espressione esplicita
delle soluzioni cioØ delle funzioni u=u(t) de(cid:28)nite e dotate di derivata prima
nell’intervallo [a,b] tali che:
u˙(t)=f(t,u(t)), t∈[a,b]
Successivamentenasceunnuovomododia(cid:27)rontareilproblema:stabiliredap-
prima l’esistenza delle soluzioni e l’eventuale unicit(cid:224) e solo in un secondo mo-
mento a(cid:27)rontare la questione di determinare i procedimenti e le tecniche per
ottenere la forma esplicita.
GraziesoprattuttoaicontributidiCauchy(1789-1857),questonuovoapproc-
ciosivalentamentea(cid:27)ermando,attraversoilcosidettostudiolocaledellesolu-
zioni. Nelle sue lezioni all’Ecole Polytechnique Cauchy aveva infatti stabilito
un risultato di esistenza ed unicit(cid:224) per le soluzioni intorno al punto iniziale.
Nel 1876, all’oscuro dei risultati di Cauchy, Lipschitz (1823-1903) aveva otte-
nuto un analogo teorema di esistenza ed unicit(cid:224) , assumendo in luogo della
continuit(cid:224) della derivata di f, richiesta da Cauchy, l’ipotesi piø debole, nota
oggi con il nome di condizione di Lipschitz:
|f(t,y)−f(t,z)|≤L|y−z|
10
Nel 1888 Peano (1858-1932) mostrava che per l’esistenza della soluzione, ma
non per ottenere l’unicitÆ, era su(cid:30)ciente richiedere la continuit(cid:224) del dato f.
Accanto a quello di Cauchy-Lipschitz fu elaborato un secondo metodo detto
delleapprossimazionisuccessive,descrittoall’abateMoigno(1804-1894)ereso
rigoroso nel 1890 da Picard (1856-1941).
Modello a crescita limitata
Nelmodellicheabbiamodescrittolapopolazionecresceodecresceconiltem-
po in modo esponenziale. Tuttavia nessun organismo e nessuna popolazione
cresce inde(cid:28)nitamente, infatti ci sono dei limiti ovvi posti dalla scarsit(cid:224) di
cibo o di alloggio o da cause (cid:28)siche e oggettive.
Supponiamochel’accrescimentodiunapopolazioneabbiaunlimitesuperiore
e quindi il numero degli individui N(t) tende asintoticamente ad una costan-
te B > 0 e di conseguenza N˙(t) tende a 0 con B −N(t) La formulazione
matematica Ł data dall’equazione
dN
N˙(t)= =k(B−N(t)),
dt
dove k Ł una costante positiva che rappresenta la velocit(cid:224) con cui N˙(t) tende
a 0. Osserviamo che, dividendo per B−N (cid:54)=0
dN(t)
=kdt.
B−N(t)
Integrando si ottiene
−log|B−N|=kt+C,
da cui segue
N =Ce−kt+B.
PoichŁ N Ł sempre minore di B segue che la costante C Ł negativa e suppo-
nendo che N(0) = 0, si deve avere C = −B e quindi la soluzione Ł data da
N(t)=B(1−exp(−kt)).
La soluzione si pu(cid:243) anche ottenere utilizzando la formula di risoluzione delle
equazioni lineari del teorema 1, che in questo caso particolare diventa:
(cid:18)(cid:90) (cid:19)
y(t)=e−kt ektkBdt+C ,
dalmomentochea(t)=−k equindiA(t)=−kt.Seguechey(t)=B+Ce−kt
e quindi y(t) → B quando t → +∞.