Équations générales des milieux continus

104 Pages·2014·0.87 MB·French

Équations générales
des milieux continus
Jean Garrigues
(versiondu4janvier2023)

Avant-propos
L’objectif de ce cours est d’établir les équations générales régissant tous les milieux conti-
nus,qu’ilssoientsolidesoufluides.Lesdéveloppementsquisuiventseplacentdanslecadre
de la physique classique (non relativiste et non quantique). Les équations générales des mi-
lieuxcontinussontdonclesconséquencesdesquatreprincipesfondamentauxdelaphysique
classique(1) :
1. leprincipedelaconservationdelamasse;
2. leprincipefondamentaldelamécanique;
3. lepremierprincipedelathermodynamiqueouprincipedelaconservationdel’énergie;
4. lesecondprincipedelathermodynamique.
Encequiconcerneleprincipefondamentaldelamécanique,l’auteurarésolumentchoiside
sebasersurleprincipefondamentaldeNewtonquiestgénéralementenseignédanslescours
élémentairesdemécaniquegénérale.Cechoixestunchoixpédagogique:plutôtquedecom-
mencer la mécanique des milieux continus par l’énoncé d’un nouveau principe fondamental
delamécanique(leprincipedestravauxvirtuelsoudespuissancesvirtuelles(2),voired’autres
principes(3)),ilsemblepréférableàl’auteurdesebasersurlesconnaissancesclassiquespréa-
lablementacquisesparlesétudiantsenmécaniquegénérale.Lesconnaissancespréalablesde
mécaniquegénéralenécessairesetsuffisantesàlalecturedececoursselimitentauxtroisthéo-
rèmesgénérauxpourdesensemblesdepointsmatériels(finisouinfinis)établisdanslescoursde
mécaniquegénérale:
1. lethéorèmedelarésultantedynamique;
2. lethéorèmedumomentdynamique;
3. lethéorèmedelapuissancecinétique(dérivéetemporelledel’énergiecinétique).
Encequiconcernelathermodynamique,aucuneconnaissancepréalablen’estrequise;lecours
enrappellelesconceptsfondamentauxetnes’appuiequesurl’énoncéprimaldesdeuxprincipes
delathermodynamique:
1. lepremierprincipedelathermodynamique(conservationdel’énergie),
2. lesecondprincipedelathermodynamique.
En première lecture, le lecteur pourra ignorer la plupart des remarques ou commentaires qui
apparaissentenretraitetenpetitscaractèressansnuireàlacompréhensiondel’ensembledu
cours.Toutefois,leurlectureestrecommandéeauxlecteursdéjàinitiés.
Lalecturedececourssupposeunemaîtrisesuffisantedel’algèbreetdel’analysetensorielles(4)
(1) JeanCousteixadémontréquesileprincipedelaconservationdel’énergieestuniverselpourdesobservateurs
dont le mouvement relatif est une translation à vitesse constante dans le temps et si la masse et les grandeurs
thermiquesscalairesouvectoriellessontobjectives,alorslesdeuxpremiersprincipes(masseetmécanique)ensont
desconséquences.Voirl’articlehttp://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00600261.Toutefois,pours’épargner
cettedémonstration,onpeutprésentercesquatreprincipescommedesaxiomesindépendantspuisqu’ilsnesontpas
contradictoires.
(2) Danscecours,les«principesvirtuels»apparaîtrontdonccommedesthéorèmes.
(3) Commelarechercheduminimumd’unecertaine«énergiepotentielle».
(4) L’auteurproposeunautrecoursintituléAlgèbreetanalysetensoriellespourl’étudedesmilieuxcontinus:
http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00679923oubien
http://jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/tenseurs.html
4
ainsiqu’unemaîtrisesuffisantedelacinématiquedesmilieuxcontinus(5).
Danslamesuredupossible,onrespecteralesconventionstypographiquessuivantes:
— lesnombresréelssontenminusculesitaliques(exemple:a,µ);
— lesvecteurssontenminusculesitaliquesgrasses(exemple:vvv);
— lestenseurssontenmajusculesitaliquesgrasses(exemple:TTT);
— lestermesd’unematricesontrangésdansuntableauentrecrochets,àdeuxindices,l’indice
degaucheestl’indicedeligne,etl’indicededroiteestl’indicedecolonne:
 
m m m
11 12 13
(cid:2) (cid:3)
m21 m22 m23= mij
m m m
31 32 33
— latranspositionestnotéeavecun(cid:62) enexposant(exemple:TTT(cid:62));
— lesensemblesd’entitésmathématiquessontenmajusculesdoublées,enparticulier:
— Restl’espacedesréels,
— V estunespacevectorieldedimension3,
3
— V⊗p estl’espacevectorieldestenseursd’ordre pconstruitssurV (dedimension3p),
3 3
— Q estlegroupedesrotations(Q ⊂V⊗2);
3+ 3+ 3
— leproduitvectorieldedeuxvecteursdeV estnoté«∧»;
3
— letenseurmétriqueestnotéGGG;
— letenseurd’orientationestnotéHHH;
— ladescriptiondeLagranged’unchampmatérielestnotéeavecunindice ;
L
— ladescriptiond’Eulerd’unchampmatérielestnotéeavecunindice ;
E
— ladérivéeparticulaired’unchampmatérielΨΨΨ(P,t)estnotéeΨΨΨ˙(P,t).
Remerciements
JetiensàremerciertrèsvivementMathias LEGRAND(6),cegrandmagiciendeLATEX,sansqui
lamiseenpagedecetexteneseraitquecellepardéfautdelaclassebook(7) etquim’aaussi
donnédeprécieuxconseilssurlatypographiefrançaise.
JeremercieaussivivementmonanciencollègueetnéanmoinstoujoursamiThierryDÉSOYER(8)
pourlesdiscussionsparfoisvivesmaisleplussouventfructueusesqu’ilabienvoulum’accorder,
ainsiquepourletempsqu’ilabienvoulupasseràlarelecturedecetexte.
Bonnelecture.
Information– Cetexteestrédigéenvued’unelecturedynamiqueàl’écran:touteslesréférencesinterneset
externessontactivesetconduisentàlacibleréférencée(danslaplupartdesvisualisateursdefichiersauformat
pdf,onrevientàl’étatprécédentaveclacombinaisondetouches<alt><pagearrière>).Néanmoins,lesréférences
despagesontétéconservéespourlalecturedudocumentimprimé.
(5) L’auteurproposeunautrecoursintituléCinématiquedesmilieuxcontinus:
http://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00681766oubien
http://jgarrigues.perso.centrale-marseille.fr/cinematique.html.
(6) Del’universitéMcGill,deMontréal.
(7) CeuxquiécriventenLATEXmecomprendront.
(8) Del’ÉcoleCentraleMarseille(ECM)etduLaboratoiredeMécaniqueetd’Acoustique(LMA)àMarseille.
Table des matières
1 Concepts fondamentaux ....................................... 9
1.1 Lesdomainesdemilieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Domainematériel,9•Domainegéométrique,10•Comparaison,10.
1.2 Grandeursphysiquesextensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Applicationàundomainematériel,11•Applicationàundomainegéométrique,12.
1.3 Dérivéetemporelled’unegrandeurextensive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Dérivées temporelle d’intégrales à bord mobile, 12 • Cas d’un domaine matériel, 13 • Cas d’un
domainegéométrique,14.
1.4 Lemmefondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Conservation de la masse ..................................... 19
2.1 Conceptdemasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Masseactuelled’undomainematériel,19•Masseactuelled’undomainegéométrique,20.
2.2 Principedelaconservationdelamassepourundomainematériel . . . . . . . . . . 20
2.3 Formelocaleduprincipedelaconservationdelamasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Conservationlocaledelamasse,20•Intégrationtemporelledel’équationlocaledelaconservation
delamasse,22.
2.4 Applicationàundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Densitésmassiquesdegrandeursextensives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Grandeurextensived’undomaine,décriteavecdesdensitésmassiques,23•Dérivéetemporelle
d’unegrandeurextensive,décriteavecdesdensitésmassiques,23.
2.6 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 Principe fondamental de la mécanique ......................... 27
3.1 Rappelsdemécaniquegénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
LoideNewtonetobservateursgaliléens,27•Théorèmesgénéraux,29.
3.2 Effortsextérieurssurundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Actionsàdistance,30•Actionsdecontact,31.
3.3 Effortsintérieursdansunmilieucontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Existencedutenseurdescontraintes,33•Conditionsauxlimitesencontrainte,34•Décomposition
descontraintes,34.
3.4 Théorèmesgénérauxdelamécaniquepourundomainematériel . . . . . . . . . . . 35
Théorèmedelarésultantedynamique,36•Théorèmedumomentdynamique,37•Théorèmedela
6
puissancecinétique,38.
3.5 Conséquenceslocalesdesthéorèmesgénéraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Champsdeforcesàdistance,39•Équationdemouvement,39•Symétriedutenseurdescontraintes,
41•Puissancedeseffortsintérieurs,43•Résumédesconséquenceslocalesdesthéorèmesgénéraux,
44.
3.6 Théorèmesgénérauxpourundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Théorèmedelarésultantedynamiquepourundomainegéométrique,45•Théorèmedumoment
dynamiquepourundomainegéométrique,46•Théorèmedelapuissancecinétiquepourundomaine
géométrique,47.
3.7 Formulationintégraledeséquationsdemouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.8 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.9 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Premier principe de la thermodynamique ...................... 55
4.1 Conceptsfondamentauxenthermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Système, 55 • Variables d’état, 56 • Fonction d’état, 60 • Isotropie des fonctions d’état scalaires
objectives,61•Espacedesétats,63•Évolutionthermodynamique,63.
4.2 Premierprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Énoncétraditionnnelpouruneévolutionfinieentredeuxinstants,65•Formulationinstantanéede
laconservationdel’énergiedansl’évolutiond’unsystème,66.
4.3 Premierprincipedelathermodynamiquepourundomainematériel . . . . . . . . 66
4.4 Courantdechaleurdansunmilieucontinu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5 Formelocaledupremierprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Premierprincipedelathermodynamiquepourundomainegéométrique . . . . . 72
4.7 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.8 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Second principe de la thermodynamique ....................... 77
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Énoncétraditionneldusecondprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Secondprincipepourundomainematériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Formelocaledusecondprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5 Secondprincipepourundomainegéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6 Changementsd’observateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.7 Nécessitédel’existenced’uneloidecomportementthermique . . . . . . . . . . . . . 87
5.8 Capacitésthermiqueslocalesdansuneévolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.9 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Tabledesmatières 7
6 Le modèle fluide simple ...................................... 93
6.1 Définitiond’unfluidesimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.2 Conséquencesdusecondprincipedelathermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . 94
RelationdeHelmholtz,95•Loidecomportementmécanique,96•Loidecomportementthermique,
97•Résumédesconséquencesdelanonnégativitédeladissipation,97.
6.3 Fluidessimplesnewtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.4 Gazparfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.5 Liquidesidéaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.6 Fluidessimplescompressiblesetdilatables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Fluidesimpleàcompressibilitéetdilatabilitéconstantes,105.
6.7 Enbref... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7 Synthèse sur les équations générales ........................ 109
7.1 Leproblèmedemécaniquedesmilieuxcontinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.2 Larésolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A Démonstrations ............................................. 115
A.1 Lemmefondamentalpourlesintégralesdevolume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2 Démonstrationdel’«hypothèse»deCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.3 Existencedutenseurdescontraintes(deCauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.4 Existenceduvecteurcourantdechaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1
Concepts fondamentaux
Avantd’aborderl’écrituredesprincipesfondamentauxdelaphysiqueclassiqueetleursconsé-
quencespourlesmilieuxcontinus,ilestnécessaired’introduiredesconceptsindispensablesàla
bonnecompréhensiondeschapitresdececours.
1.1 Lesdomainesdemilieuxcontinus
En mécanique des milieux continus, on raisonne sur deux types de domaines : les domaines
matérielsetlesdomainesgéométriques.Danscettesectiononendonnelesdéfinitions.
Remarque– Danslalittératurespécialisée,lesauteursneprécisentpastoujoursclairementletype
dedomainequ’ilsconsidèrent.Cetteimprécisionestàl’originedenombreuxmalentendus.
1.1.1 Domainematériel
(cid:4) Définition1.1– Domainematériel. Undomainematérielestdéfiniparl’ensembledesparti-
cules(apriorienmouvement)quileconstituent.
Si une particule appartient au domaine matériel à un instantt, elle lui appartient donc à tout
instant.Undomainematérielsedéplaceetsedéformeenraisondumouvementdesesparticules.
Quand on considère un domaine matériel, on dit parfois que «l’on suit le domaine dans son
mouvement».Iln’yadoncpasdematièrequitraverselafrontièreenmouvement.Ledomaine
matérielétantenmouvement,l’ensembledespositionsactuellesdesesparticulesdéfinitune
régiondel’espacequichangeàchaqueinstant.
Rappels– Onrappellequelapositionetlemouvementd’uneparticulesontperçusdiffèremment
d’unobservateur àl’autre. Laformed’undomainematérielévolueavecletemps,maissaforme
actuelleestlamêmepourtouslesobservateurscarlesdistancesactuellesentreparticulessontdes
grandeursscalairesobjectives.
(cid:4) Notation1.2– Danslasuite,onutiliseralesconventionssuivantes:
— undomainematérielseranotéDm (c’estunensembledeparticules);
— ledomainedel’espaceoccupéparsesparticulesàl’instantactuelt seranotéDm;
t
— safrontièreàl’instantactuelt seranotée∂Dm;
t
— ledomainedel’espaceoccupéparsesparticulesàuninstantderéférencet seranotéDm;
0 0
— safrontièreàl’instantderéférencet seranotée∂Dm.
0 0
Vocabulaire– Danslestextestraitantdethermodynamique,lesdomainesmatérielssontleplus
souventappeléssystèmesferméscaraucunematièrenetraverselafrontière(1).
(1) Lesthermodynamicienssupposentsouventimplicitementquelafrontièreétancheàlamatièreestfixe(pour
10 Chapitre1.Conceptsfondamentaux
1.1.2 Domainegéométrique
(cid:4) Définition1.3– Domainegéométrique. Undomainegéométriqueestdéfiniparl’ensemble
despointsdel’espacequileconstituent.
Commepourtoutdomaine,lafrontièred’undomainegéométriqueestunesurfacefermée.Quand
un milieu continu est en mouvement, les particules qui sont dans le domaine géométrique à
uninstantt nesontpaslesmêmesquecellesquis’ytrouventàunautreinstantt(cid:48).Onditque
le domaine géométrique est «traversé par le milieu continu en mouvement». Il y a donc des
particules qui traversent la frontière (ou une partie de la frontière), en entrant ou en sortant
du domaine géométrique. Dans ce cours, les frontières des domaines géométriques seront
considéréesaprioricommemobilespourl’observateurutilisépourdécrirelemouvement,mais
lemouvementdespointsdelafrontièredudomainegéométriqueestapriorisansrapportavec
lemouvementdesparticulesquis’ytrouvent.
Remarque– Chaqueobservateurattribueauxpointsdelafrontièredudomainegéométriqueune
positionetunmouvementdifférent.Laformedudomainegéométriquepeutêtrevariableavecle
temps, mais sa forme actuelle est la même pour tous les observateurs (objectivité des distances
actuellesentrepoints).
(cid:4) Notation1.4– Danslasuite,onutiliseralesconventionssuivantes:
— undomainegéométriqueseranotéDg(régiondel’espacedélimitéeparunefrontièrefermée);
— ledomainedel’espacequ’iloccupeàl’instantt seranotéDg;
t
— safrontière(apriorimobile)àl’instantt seranotée∂Dg.
t
Vocabulaire– Enthermodynamique,lesdomainesgéométriquessontappeléssystèmesouverts.En
mécaniquedesfluides,ilssontsouventaussiappelésvolumesdecontrôle(2).
1.1.3 Comparaisonentrelesdeuxtypesdedomaines
Lesdeuxtypesdedomainesontchacunleurintérêt:
— Lesdomainesmatérielssontlespréférésdesmécaniciensdessolidesdéformables.Eneffet,
leur sujet d’étude est le comportement d’un objet déformable toujours constitué des mêmes
particules:lesparticulesdel’objetdéformable.
— Les domaines géométriques sont les préférés des mécaniciens des fluides. En effet, en
mécaniquedesfluides(liquidesougaz),onnesepréoccupequedel’évolutiondesgrandeurs
physiquesdesparticulesquisetrouventactuellementàl’intérieurdudomainegéométrique,sans
sepréoccuperdeleurévolutionlorsqu’ellessesituentàl’extérieurdudomainegéométrique.
Remarque– Lesmécaniciensdes fluidesquin’envisagentquedes domainesgéométriquessup-
posentsouventimplicitement(etparfoisunpeutropvite)quelesdomainesgéométriquesontdes
frontièresfixes(pourl’observateurqu’ilsutilisent).Iln’estpastoujourspossibledetrouverunobser-
vateurpourlequelledomainegéométriqueestàfrontièresfixes.Parexemple,sil’onconsidèrele
domainegéométriquedéfinicommel’espaceàl’intérieurd’uneturbomachine,ilexistedespartiesde
frontièresquisontmobiles(lesaubagesquitournent)parrapportàd’autrespartiesdefrontières(les
l’observateurutilisé!).Nousneferonsévidemmentpascetterestrictioncarengénéraliln’existepasd’observateur
pourlequellafrontièredudomainematérielestfixe.
(2) Enthermodynamiquecommeenmécaniquedesfluides,ilestparfoissous-entenduquelesfrontièresd’un
domainegéométriquesontfixes(pourl’observateurutilisé!).Nousneferonsévidemmentpascetterestrictionafin
d’écriredeséquationsvalablespourtouslesobservateurs.