Equações Diferenciais Ordinárias e Séries de Potência

356 Pages·2018·7.271 MB·Portuguese

by  Lucas Seco, Mauro Patrão

Equações diferenciais ordinárias
e séries de potências
Reitora Márcia Abrahão Moura
Vice-Reitor Enrique Huelva
EDITORA
Diretora Germana Henriques Pereira
Conselho editorial Germana Henriques Pereira
Fernando César Lima Leite
Beatriz Vargas Ramos Gonçalves de Rezende
Carlos José Souza de Alvarenga
Estevão Chaves de Rezende Martins
Flávia Millena Biroli Tokarski
Izabela Costa Brochado
Jorge Madeira Nogueira
Maria Lidia Bueno Fernandes
Rafael Sanzio Araújo dos Anjos
Verônica Moreira Amado
EDITORA
Equações diferenciais ordinárias
e séries de potências
Lucas Seco e Mauro Patrão
Equipe editorial
Coordenação de produção editorial Luciana Lins Camello Galvão
Preparação e revisão Tiago de Aguiar Rodrigues
Diagramação Lucas Seco e Mauro Patrão
© 2018 Editora Universidade de Brasília
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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
S445 Seco, Lucas.
Equações diferenciais ordinárias e séries de potências / Lucas
Seco e Mauro Patrão. – Brasília : Editora Universidade de
Brasília, 2018.
354 p. : il. ; 23 cm. – (Série Ensino de Graduação)
ISBN 978-85-230-1016-4.

1. Equações diferenciais. 2. Séries de potências. 3.
Transformada de Laplace. 4. Sistemas de equações diferenciais. I.
Patrão, Mauro. II. Título.
CDU 517.91
Impresso no Brasil
S
UMÁRIO
Apresentação 9
1 Equaçõesdiferenciais 13
1.1 EDOseparável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 EDOlinearde1ªordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3 EDOlinearde2ªordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4 Coeficientesconstantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.5 Coeficientesvariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2 Sériesdepotências 109
2.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2 Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.3 Sériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2.4 Testesdeconvergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.5 Domínioeraiodeconvergência . . . . . . . . . . . . . . . . 180
2.6 Derivadaeintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2.7 SériedeTaylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2.8 SoluçõesdeEDOsporsériesdepotências . . . . . . . . . . 212
3 Ordemsuperioresistemas 225
3.1 Raízescaracterísticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
3.2 Coeficientesadeterminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
3.3 TransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.4 Transformadainversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
3.5 Funçõesdefinidasporpartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
3.6 SistemadeEDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
6 Sumário
A Apêndice 313
A.1 RegradeCramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
A.2 EDOlineardeordemsuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.3 Sequênciamonótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
A.4 Integralimprópria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.5 Exponencialcomplexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
A.6 Derivadadesériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.7 Soluçõesporsériesdepotências . . . . . . . . . . . . . . . 345
Referências 353
Agradecimentos
AgradecemosassugestõesdoscolegasdoMAT-UnBedosestudantesdo
Cálculo2queutilizaramalgumadasversõesanterioresdestelivro,oque
permitiuumaconsiderávelmelhorianoconteúdoenaapresentaçãodo
texto.

A
PRESENTAÇÃO
PARA O ESTUDANTE
OCálculoéamatemáticadomovimento. NoprimeirocursodeCálculo,
aprendemos que as quantidades que se movem são dadas por funções
reais; oslimitesdefunçõesfornecemastendênciasdomovimentodes-
sasquantidades; asderivadasdefunçõesfornecemastaxasdevariação
dessasquantidades;eaintegraléaantiderivada:dadaataxadevariação
deumaquantidade,suaintegraléaquantidadeoriginal. Nestelivro,va-
mosaprofundaroestudodomovimento,ampliandonossastécnicasde
integraçãoenossorepertóriodefunções.
As equações que descrevem o movimento e, de maneira mais ge-
ral, taxas de variação, são denominadas equações diferenciais ordiná-
rias (EDOs) e o fio condutor deste livro é um primeiro estudo sistemá-
tico desse tipo de equação. Os primeiros exemplos de EDOs do Capí-
tulo 1 têm origem na famosa 2ª Lei de Newton (F = ma). Por exem-
plo, na queda livre vertical sem atrito, a aceleração é constante e igual
a −g e a velocidade pode ser obtida por integração direta, obtendo
assim a conhecida velocidade do movimento uniformemente variado
v(t) = v −gt, onde v é a velocidade inicial. Já na queda livre com
0 0
atrito, a aceleração depende da velocidade e não é possível obter essa
velocidadeporintegraçãodireta. Outroexemplodinâmicoéumsistema
massa-mola, em que a força depende da posição e, novamente, não é
possívelobteressaposiçãoporintegraçãodireta. Umexemploestáticoé
determinaraformadeumcabosuspensosobseuprópriopeso,conhe-
cidocomoproblemadacatenária. AofinaldoCapítulo1,vamosestudar