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MATHÉMATIQUES
CORRIGÉES
lycée à Normale Sup’
du
Guillaume Deslandes
Clément Deslandes
Illustrations de Laure Macé de Lépinay
Énigmes mathématiques corrigées
Énigmes mathématiques corrigées
du lycée à Normale Sup’
Guillaume Deslandes
Ancien élève de l’ENS Cachan
Agrégé de mathématiques
Clément Deslandes
Étudiant à l’ENS Lyon
Illustrations : Laure Macé de Lépinay
ISBN 9782340-002128
©Ellipses Édition Marketing S.A., 2014
32, rue Bargue 75740 Paris cedex 15
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Préface
Les énigmes nourrissent notre histoire, notre littérature, notre my
thologie. D’Œdipe à Turing en passant par Sherlock Holmes, on continue
de célébrer ceux qui ont accompli leur destin en résolvant des énigmes.
Réels ou imaginaires, ces héros incarnent sans doute la condition de
l’humanité, s’acharnant à décrypter la gigantesque énigme du monde !
Dans cette quête philosophique, les scientifiques se sont entendus
pour faire la route ensemble, avec système et précision, partage complet
des informations, scepticisme a priori et contrôle a posteriori. Leur
démarche a rencontré un succès considérable, mais n’a pas épuisé le
mystère, loin de là - tant il est vrai que chaque succès remporté sur
l’inconnu génère son nouveau lot de questions. Ainsi l’histoire de la
science pourrait être réécrite comme une suite sans fin d’énigmes parfois
résolues...
Mais au-delà de leur solution, les énigmes constituent aussi en
elles-mêmes un formidable apprentissage. L’étudiant qui soutient sa
thèse, tout fier d’avoir résolu une énigme posée par son directeur de
thèse (ou une énigme qu’il s’est posée à lui-même!) ne me contredira
certainement pas.
Nul besoin, au reste, d’attendre la thèse pour profiter du pouvoir des
énigmes : comme nombre de lecteurs sans doute, je garde le souvenir
vivace de la douce torture mentale que j’ai pu m’imposer, enfant, afin de
résoudre un problème posé par un enseignant ou une revue de sciences
pour la jeunesse. L’un d’entre eux, un exercice de géométrie que j’avais
finalement résolu par un raisonnement astucieux et complexe, me valut
quelque dépit quand mon professeur me montra une solution bien plus
simple et élégante. Un autre, portant sur la convergence des séries, me
tracassa pendant des mois jusqu’à ce que la solution m’apparaisse dans
mon lit, comme par illumination, une veille de rentrée des classes...
Autant d’expériences qui sont venues enrichir ma formation au moins
autant que les cours.
Une énigme ce n’est jamais qu’un exercice; mais c’est un exercice
posé avec une certaine dose de décorum et de mystère, dont la solution
m
iv Préface
demande une certaine dose d’imagination, et qui marque l’esprit. Et
une énigme, c’est aussi tout simplement l’occasion de se triturer les
méninges, pendant une minute, une heure ou une semaine.
Quelle irritation, quelle frustration quand on est occupé à chercher la
solution, le regard dans le vide et l’air stupide, l’esprit occupé par toutes
ces pensées contradictoires qui courent à 100 à l’heure ou au contraire
tournent en rond. Il s’en passe de belles, alors, dans le cerveau ! “Ça me
dit quelque chose...” “Ah c’est bien sûr...” “J’y ai déjà réfléchi pendant
une heure” “Vraiment je ne vois pas” “Et si...” “Non, c’est pas possible!”
“Je suis sûr qu’il y a une faute dans l’énoncé !” “Enfin, c’est inconcevable,
comment se...” “Ah c’est incroyable comme je suis crétin!” “Mais ce type
a l’esprit tordu !” “Pourquoi, bon sang, est-ce que je perds mon temps
sur cette histoire ?” “Je suis SÛR qu’il y a une faute dans l’énoncé ! !”
Pourquoi on perd ainsi son temps? Parce que l’on se sent si fier
quand on a résolu l’énigme sans jeter un coup d’œil à la solution ; mais
aussi parce que l’on se sent si bien, malgré la frustration, quand on est
en train de chercher !
Des recueils d’énigmes, on en trouve tant et plus. Mais celui des
frères Deslandes (Mycroft et Sherlock?) est remarquable à plus d’un
égard.
D’abord par sa présentation impeccable : des énigmes triées en
fonction des concepts mis en jeu; des situations cocasses; des dessins
désuets et décalés; des indications pour vous mettre sur la voie; et
finalement des solutions complètes.
Mais aussi remarquable par sa variété : des énigmes célèbres et
d’autres obscures, des situations loufoques ou naturelles, des problèmes
posés par de grands mathématiciens et d’autres émanant du simple
bon sens, des questions très anciennes et d’autres tirées d’articles de
recherche récents, des problèmes plutôt simples et d’autres qui feront
sécher même les mathématiciens professionnels.
Et par-dessus tout, remarquable parce que dans cet ouvrage les
énigmes amènent à faire de la bonne mathématique, de celle qui n’est
pas là simplement pour épater la galerie ou piéger le lecteur, mais qui
sert aussi à asseoir un socle théorique et à développer de nouvelles
techniques et technologies. Au fur et à mesure des solutions, on verra se
mettre en place des concepts de plus en plus avancés, touchant à tous
Préface v
les domaines mathématiques : logique, combinatoire, analyse, algèbre,
probabilité, géométrie...
On pourra se plaindre qu’en plaçant la théorie en fin d’ouvrage, on va
à rebours de la conception classique d’un cours de mathématique, de la
théorie aux applications... Peut-être, mais on peut répondre que ce n’est
qu’un retour à l’ordre naturel des choses, puisque les concepts mathéma
tiques ont été développés avant tout pour résoudre des problèmes ; pour
illuminer et rendre limpide ce qui semblait sorti d’un grand chapeau ; et
pour mettre au point les techniques qui permettront à l’esprit humain,
décidément jamais en panne d’inventivité, de résoudre toutes sortes de
problèmes auxquels on n’a pas encore pensé.
Cédric Villani
