Table Of ContentELEMENTOS DE
MATEMÁTICAS
DISCRETAS
ELEMENTOS DE
MATEMÁTICAS
DISCRETAS
Segunda edición
C. L. Liu
Departamento de ciencias de la computación
University of Illinois at Urbana-Champaign
Traducción:
M. en C. Luis Armando Díaz Torres
Instituto Tecnológico de León
Profesor e investigador titular
Ciencias básicas
Revisión técnica:
M. en C. Germán Téllez Castillo
UAM Atzcapotzalco
Departamento de sistemas
McGRAW-HILL
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ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS
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sin autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 1995, respecto a la primera edición en español por
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Atlacomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto,
53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890
ISBN 970-10-0743-3
Traducido de la segunda edición en inglés de
ELEMENTS OF DISCRETE MATHEMATICS
Copyright © MXCLXXXV, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A.
ISBN 0-07-100544-7
1234567890 IP. 95 9087643215
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imprimir en Junio de 1995 en
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Se tiraron 5,000 ejemplares
CONTENIDO
Prefacio a la segunda edición ix
Prefacio a la primera edición xi
Capítulo 1 Conjuntos y proposiciones 1
1.1 Introducción 1
1.2 Combinación de conjuntos 5
1.3 Conjuntos finitos e infinitos 9
1.4 Conjuntos infinitos no-numerables 11
1.5 Inducción matemática 13
1.6 Principio de inclusión y exclusión 21
*1.7 Multiconjuntos 26
1.8 Proposiciones 28
1.9 Notas y referencias 33
Capítulo 2 Computabilidad y lenguajes formales 44
2.1 Introducción 44
2.2 Paradoja de Russell y no-computabilidad 44
2.3 Conjuntos ordenados 49
2.4 Lenguajes 49
2.5 Estructura gramatical de frases 51
2.6 Tipos de gramáticas y lenguajes 59
2.7 Notas y referencias 61
* Todas las secciones marcadas con asterisco pueden omitirse sin afectar la continuidad.
Vi CONTENIDO
Capítulo 3 Permutaciones, combinaciones y probabilidad discreta 66
3.1 Introducción 66
3.2 Las reglas de suma y producto 67
3.3 Permutaciones 67
3.4 Combinaciones 73
*3.5 Generación de permutaciones y combinaciones 78
3.6 Probabilidad discreta 80
*3.7 Probabilidad condicional 86
*3.8 Información e información mutua 89
3.9 Notas y referencias 95
Capítulo 4 Relaciones y funciones 103
4.1 Introducción 103
4.2 Un modelo relacional para bases de datos 106
4.3 Propiedades de las relaciones binarias 109
4.4 Relaciones de equivalencia y particiones 112
4.5 Relaciones de orden parcial y lattices 116
4.6 Cadenas y anticadenas 119
4.7 Un problema de itinerario de trabajo 122
4.8 Funciones y el principio del palomar 126
4.9 Notas y referencias 130
Capítulo 5 Grafos y grafos aplanables 137
5.1 Introducción 137
5.2 Terminología básica 139
5.3 Multigrafos y grafos pesados 142
5.4 Paseos y circuitos 145
5.5 Paseos más cortos en grafos pesados 147
5.6 Paseos y circuitos eulerianos 149
5.7 Paseos y circuitos hamiltonianos 155
*5.8 El problema del agente viajero 159
*5.9 Factores de un grafo 165
5.10 Grafos aplanables 168
5.11 Notas y referencias 173
Capítulo 6 Árboles y conjuntos de corte 187
6.1 Árboles 187
6.2 Árboles con terminal 191
6.3 Longitud de paseo en árboles enraizados 194
6.4 Prefijos codificados 197
6.5 Árboles de búsqueda binaria 202
6.6 Árboles generados y conjuntos de corte 205
6.7 Árboles generadores mínimos 210
*6.8 Redes de transporte 213
6.9 Notas y referencias 219
CONTENIDO vii
Capítulo 7 Máquinas de estado finito 230
7.1 Introducción 230
7.2 Máquinas de estado finito 234
7.3 Máquinas de estado finito como modelos de sistemas físicos 236
7.4 Máquinas equivalentes 237
7.5 Máquinas de estado finito como reconocedores de lenguaje 241
*7.6 Lenguajes de estado finito y lenguajes tipo-3 244
7.7 Notas y referencias 249
Capítulo 8 Análisis de algoritmos 260
8.1 Introducción 260
8.2 Complejidad temporal de los algoritmos 261
8.3 Algoritmo del paseo más corto 264
8.4 Problemas de complejidad 265
8.5 Problemas tratables y no tratables 269
8.6 Notas y referencias 271
Capítulo 9 Funciones numéricas discretas y funciones generatrices 277
9.1 Introducción 277
9.2 Manipulación de funciones numéricas 278
9.3 Comportamiento asintótico de las funciones numéricas 283
9.4 Funciones generatrices 289
*9.5 Problemas de combinatorias 296
9.6 Notas y referencias 299
Capítulo 10 Relaciones de recurrencia y algoritmos recursivos 306
10.1 Introducción 306
10.2 Relaciones de recurrencia 307
10.3 Relaciones de recurrencia lineales con coeficientes constantes 309
10.4 Soluciones homogéneas 312
10.5 Soluciones particulares 314
10.6 Soluciones totales 319
10.7 Solución por el método de funciones generatrices 320
10.8 Algoritmos de ordenamiento 326
* 10.9 Algoritmo de multiplicación de matrices 331
10.10 Notas y referencias 334
Capítulo 11 Grupos y anillos 342
11.1 Introducción 342
11.2 Grupos 344
11.3 Subgrupos 348
11.4 Generadores y evaluación de potencias 349
11.5 Co-Conjuntos y el teorema de Lagrange 3 52
* 11.6 Grupos de permutación y teorema de Burnside 353
11.7 Códigos y códigos de grupos 3 59
VÜi CONTTENIDO
11.8 Isomorfismos y automorfismos 363
11.9 Homomorfismos y subgrupos normales 365
11.10 Anillos, dominios integrales y campos 370
* 11.11 Homomorfismo de anillos 373
* 11.12 Anillos polinomiales y códigos cíclicos 3 76
11.13 Notas y referencias 379
Capítulo 12 Álgebras booleanas 385
12.1 Lattices y sistemas algebraicos 385
12.2 Principio de dualidad 388
12.3 Propiedades básicas de sistemas algebraicos definidos por lattices 390
12.4 Lattices distributivas y complementadas 393
12.5 Lattices booleanas y álgebras booleanas 396
12.6 Unicidad de las álgebras booleanas finitas 397
12.7 Funciones booleanas y expresiones booleanas 400
12.8 Cálculo proposicional 404
12.9 Diseño e implantación de redes digitales 407
12.10 Circuitos de interruptores 409
12.11 Notas y referencias 416
Índice 423
PREFACIO
A LA SEGUNDA EDICIÓN
La segunda edición mantiene casi todo el material de la primera edición e incluye tres nuevos
capítulos, a saber, el capítulo 2: Computabilidad y lenguajes formales, el capítulo 7:
Máquinas de estado finito, y el capítulo 8: análisis de algoritmos, así como también varias
secciones nuevas sobre probabilidad discreta, comportamiento asintótico de funciones, y
algoritmos recursivos. Espero que el nuevo material sea de utilidad para dar más énfasis a
la relevancia de las matemáticas que tratamos de enseñar y que dé al lector una idea acerca
de los cursos avanzados en carreras como ciencias de la computación o matemáticas, tales
como análisis de algoritmos, teoría de autómatas, lenguajes formales y teoría de probabili-
dad, temas que el lector desearía llevar una vez que haya comprendido el material de este
libro (desde luego, cursos como matemáticas combinatorias, teoría de grafos y álgebra
abstracta son continuación natural sin necesidad de material nuevo de esta edición).
Esta edición probablemente contiene más material del que uno puede cubrir en un curso
de un semestre a un ritmo promedio. Existen varias posibilidades de adecuar el libro para
un curso semestral o un curso cuatrimestral: omitir el análisis sobre sistemas algebraicos
saltándose los capítulos 11 y 12, dar un tratamiento más elemental sobre combinatorias
evitándose el tópico de funciones generatrices el capítulo 9 y el tópico sobre la solución de
relaciones de recurrencia en el capítulo 10, o hacer un breve tratamiento sobre teoría de
grafos, limitando la presentación en los capítulos 5 y 6 sólo a definiciones básicas y
resultados. En cuanto al orden de presentación, además de seguir el orden actual de los
capítulos, se puede posponer el capítulo 3 hasta después del capítulo 8. El material del
capítulo 3, aun cuando es elemental, puede aparecer un tanto complicado al estudiante
principiante. Los capítulos 3, 9 y 10 hablan sobre tópicos en combinatoria. Por las mismas
razones, puede ser conveniente abordar el contenido de los capítulos 2 y 7 juntos, y
extenderse en teoría de autómatas y lenguajes formales. Es posible trabajar con el(las)
álgebra(s) booleana(s) inmediatamente después de que las proposiciones sean introducidas.
