Elementos de la mecánica del medio continuo para cuerpos sólidos Temas básicos

275 Pages·2010·3.233 MB·Spanish

by  Garzón Alvarado, Diego Alexander, Linero S., Dorian L.

Elementos de la mecánica del
medio continuo para cuerpos
sólidos
Volumen 1: Temas básicos

Dorian Luis Linero Segrera
Profesor Asociado
Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Colombia

Diego Alexander Garzón Alvarado
Profesor Titular
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Colombia

Bogotá, noviembre de 2016

Índice

Índice .................................................................................................... 1
Capítulo 1 Conceptos generales ........................................................... 7
1.1. Concepto de Mecánica del Medio Continuo ........................ 7
1.2. Matrices ................................................................................ 8
1.3. Operadores especiales ........................................................ 11
1.3.1. Delta de Kronecker ..................................................... 11
1.3.2. Operador permutación ................................................ 11
1.4. Notación indicial ................................................................ 12
1.5. Vectores ............................................................................. 16
1.5.1. Norma de un vector y producto escalar ...................... 17
1.5.2. Producto vectorial ....................................................... 18
1.5.3. Notación matricial ...................................................... 19
1.5.4. Transformación de sistema coordenado ..................... 20
1.6. Tensores ............................................................................. 22
1.6.1. Producto diádico y producto tensorial ........................ 22
1.6.2. Definición de tensor de segundo orden ...................... 25
1.6.3. Multiplicación de un tensor por un escalar y suma de
tensores 26
1.6.4. Tensores característicos de segundo orden ................. 26
1.6.5. Tensores de orden n .................................................... 28
1.6.6. Productos entre tensores ............................................. 29
1.6.7. Notación matricial aplicada a tensores ....................... 32
1.6.8. Notación de Voigt ....................................................... 35
1.6.9. Valores y direcciones principales de un tensor de
segundo orden .................................................................................. 37
1.6.10. Invariantes de un tensor de segundo orden ................. 41
1.6.11. Obtención de los valores y direcciones principales de
un tensor simétrico de segundo orden .............................................. 42
1.6.12. Parte esférica y desviadora de un tensor ..................... 46
1.7. Calculo tensorial ................................................................ 49
Elementos de la mecánica del medio continuo para cuerpos sólidos. Volumen 1 2

1.7.1. Operador nabla y gradiente de un campo escalar o
vectorial 49
1.7.2. Divergencia de un campo vectorial o tensorial ........... 51
1.7.3. Teorema de la divergencia .......................................... 52
Capítulo 2 Descripción del esfuerzo .................................................. 55
2.1. Fuerzas de cuerpo y fuerzas de superficie ......................... 55
2.2. Vector tracción ................................................................... 56
2.3. Postulados de Cauchy ........................................................ 57
2.4. Componentes de esfuerzo .................................................. 58
2.5. Tracción sobre una superficie arbitraria ............................. 59
2.6. Trasformación de las componentes de esfuerzo ................ 61
2.7. Tensor de esfuerzos ............................................................ 62
2.8. Ecuaciones de equilibrio y simetría del tensor de esfuerzos
67
2.8.1. Ecuaciones de equilibrio ............................................. 68
2.8.2. Simetría del tensor de esfuerzos ................................. 71
2.9. Componentes principales de esfuerzo y direcciones
principales 73
2.10. Máximos y mínimos de las componentes de esfuerzo ....... 81
2.10.1. Esfuerzo normal máximo y mínimo ........................... 83
2.10.2. Esfuerzo cortante máximo y mínimo .......................... 85
2.11. Estados factibles del esfuerzo normal y cortante ............... 88
2.12. Estado de esfuerzos esférico y desviador ........................... 92
2.13. Esfuerzo cortante octaédrico .............................................. 94
2.14. Estado plano de esfuerzos .................................................. 95
2.14.1. Transformación de las componentes de esfuerzo ....... 96
2.14.2. Esfuerzos y direcciones principales ............................ 98
2.14.3. Esfuerzos normales máximo y mínimo en el plano .. 101
2.14.4. Esfuerzos cortantes máximo y mínimo en el plano .. 102
2.14.5. Circulo de Mohr en esfuerzos ................................... 103
2.15. Algunos estados de esfuerzos comunes ........................... 104
2.16. Componentes de esfuerzo en notación de Voigt .............. 107
2.17. Vector tracción en notación de Voigt .............................. 108
Capítulo 3 Descripción del movimiento y la deformación
................................................................................................................ 117
3.1. Conceptos básicos ............................................................ 117
3.2. Descripción del movimiento, coordenadas materiales y
coordenadas espaciales ...................................................................... 119
3.3. Descripción material y descripción espacial .................... 121
3.4. Campo del desplazamiento y de la velocidad .................. 123
3.5. Concepto y teorías de la deformación .............................. 124
Índice 3

3.6. Medidas de la deformación unidimensional .................... 125
3.7. Tensor gradiente de deformación ..................................... 128
3.8. Tensor de deformación ..................................................... 131
3.9. Tensor de deformación en función del tensor gradiente de
desplazamiento ................................................................................... 136
3.10. Tensor de deformación infinitesimal ............................... 140
3.10.1. Obtención del tensor de deformación infinitesimal .. 140
3.10.2. Limitaciones del tensor de deformación infinitesimal.
Rotación de un cuerpo rígido ......................................................... 144
3.11. Interpretación geométrica de la deformación infinitesimal
145
3.11.1. Estiramiento unitario ................................................ 145
3.11.2. Distorsión .................................................................. 147
3.12. Componentes y direcciones principales de deformación . 152
3.13. Cambio de volumen y deformación volumétrica ............. 155
3.13.1. Deformación volumétrica finita ................................ 158
3.13.2. Deformación volumétrica infinitesimal .................... 158
3.14. Estado plano de deformaciones infinitesimales ............... 159
3.14.1. Transformación de las componentes de deformación
160
3.14.2. Deformaciones y direcciones principales ................. 161
3.15. Ecuaciones de compatibilidad de deformaciones
infinitesimales .................................................................................... 163
3.16. Componentes de deformación infinitesimal en notación de
Voigt 166
Capítulo 4 Leyes de conservación y principio de los trabajos virtuales
................................................................................................................ 171
4.1. Derivadas temporales ....................................................... 171
4.2. Derivada temporal material de una integral de volumen . 173
4.3. Conservación de la masa .................................................. 176
4.3.1. Descripción material ................................................. 176
4.3.2. Descripción espacial ................................................. 176
4.4. Conservación de la cantidad de movimiento ................... 177
4.5. Conservación del momento de la cantidad de movimiento
179
4.6. Conservación de la energía .............................................. 182
4.7. Principio de los trabajos virtuales .................................... 186
Capítulo 5 Modelo constitutivo de un material elástico lineal ......... 191
5.1. Modelos constitutivos ...................................................... 191
5.2. Material elástico ............................................................... 195
5.3. Material elástico lineal ..................................................... 197
Elementos de la mecánica del medio continuo para cuerpos sólidos. Volumen 1 4

5.3.1. Ecuación constitutiva de elasticidad lineal ............... 198
5.3.2. Tensor constitutivo elástico ...................................... 199
5.3.3. Ecuación constitutiva de elasticidad lineal en notación
de Voigt 200
5.4. Material elástico lineal isótropo ....................................... 201
5.4.1. Tensor constitutivo elástico y ecuación constitutiva 201
5.4.2. Interpretación física de la ecuación constitutiva de un
material elástico lineal isótropo ..................................................... 202
5.4.3. Relación entre el módulo de elasticidad a cortante y el
módulo de Young ........................................................................... 206
5.4.4. Relación entre el módulo de Young, la relación de
Poisson y las constantes de Lamé .................................................. 207
5.4.5. Ecuación constitutiva en notación de Voigt ............. 207
5.5. Estado plano de esfuerzos ................................................ 209
5.6. Estado plano de deformaciones ........................................ 211
Capítulo 6 Planteamiento del problema elástico lineal .................... 213
6.1. Planteamiento general del problema elástico lineal ......... 213
6.1.1. Ley de conservación de la cantidad de movimiento . 214
6.1.2. Relación deformación infinitesimal–desplazamiento215
6.1.3. Ecuación constitutiva del material elástico lineal
isótropo 216
6.1.4. Condiciones de borde en el espacio y en el tiempo .. 216
6.2. Ecuaciones de Navier ....................................................... 217
6.3. Ecuaciones de Beltrami – Michell ................................... 218
6.4. Planteamiento del problema termo elástico lineal ........... 219
6.5. Estado plano de esfuerzos ................................................ 221
6.6. Estado plano de deformaciones ........................................ 222
6.7. Función de esfuerzos de Airy ........................................... 224
6.7.1. Condiciones de borde en una placa rectangular ....... 225
6.7.2. Placa rectangular cuya función de Airy es polinómica
de tercer orden ................................................................................ 226
6.7.3. Placa rectangular cuya función de Airy es polinómica
de cuarto orden ............................................................................... 227
6.7.4. Viga en voladizo sometida a flexión y cortante ........ 228
6.8. Principio de Saint – Venant ............................................. 232
Capítulo 7 Criterios de fallo material ............................................... 235
7.1. Criterios para materiales con resistencias iguales a tracción
y compresión ...................................................................................... 237
7.1.1. Criterio del esfuerzo normal máximo ....................... 237
7.1.2. Criterio del esfuerzo cortante máximo ..................... 238
7.1.3. Criterio de la densidad de energía de distorsión ....... 241
Índice 5

7.1.4. Comparación entre los criterios Rankine, Tresca y von
Mises 245
7.2. Criterios para materiales con resistencia a tracción y
compresión diferentes ........................................................................ 246
7.2.1. Criterio de Rankine modificado ................................ 246
7.2.2. Criterio de Mohr – Coulomb .................................... 247
7.2.3. Criterio de Drucker – Prager ..................................... 250
Capítulo 8 Torsión pura en barras prismáticas ................................. 255
8.1. Definición del campo de los desplazamientos ................. 257
8.2. Relación deformación – desplazamiento ......................... 259
8.3. Relación esfuerzo – deformación ..................................... 259
8.4. Ecuaciones de equilibrio .................................................. 260
8.5. Condiciones de borde ....................................................... 261
8.6. Analogía de la membrana ................................................ 263
8.7. Momento torsor ................................................................ 264
8.8. Barra de sección transversal circular sometida a torsión pura
266
8.9. Barra de sección transversal rectangular sometida a torsión
pura 267
Referencias ....................................................................................... 271

Capítulo 1
Conceptos generales
Este capítulo presenta el concepto de mecánica del medio continuo y los
elementos matemáticos necesarios para su descripción (Malvern 1969;
Spencer 1990; Mase & Mase 1999; Goicolea 2002; Romero 2004; Wu
2005). Se incluyen temas del algebra de matrices, vectores y tensores
encaminados a la definición de las entidades físicas que serán estudiadas
en los siguientes capítulos. Asimismo, se introduce las notaciones
indicial y compacta para describir cantidades vectoriales y tensoriales.
1.1. Concepto de Mecánica del Medio
Continuo
La mecánica del medio continuo o simplemente mecánica del continuo
estudia el comportamiento mecánico de los sólidos y los fluidos en una
escala macroscópica, ignorando la naturaleza discontinua del material, el
cual se considera uniformemente distribuido en la totalidad del cuerpo.
En la mecánica del continuo, una partícula de material se asocia a un
punto del espacio ocupado por el cuerpo, al cual se le pueden atribuir
cantidades de campo como la densidad, el desplazamiento y la velocidad
entre otras. Dichas cantidades corresponden a funciones continuas en
términos de la posición.
La mecánica es la ciencia que describe la interacción entre la fuerza y
el movimiento. En consecuencia, las variables presentes en la mecánica
del continuo son, por un lado, las variables relacionadas con las acciones
como las fuerzas por unidad de superficie o de volumen, y por otro lado,
Elementos de la mecánica del medio continuo para cuerpos sólidos. Volumen 1 8

las variables cinemáticas como el desplazamiento, la velocidad y la
aceleración.
Las ecuaciones de la mecánica del continuo se pueden clasificar en
dos grupos. El primer grupo corresponde a las ecuaciones aplicables a
todos los materiales que describen las leyes universales de la física, como
por ejemplo, la conservación de la masa y la conservación de la energía.
Las expresiones del segundo grupo conocidas como ecuaciones
constitutivas describen el comportamiento mecánico de los materiales en
situaciones interesantes para la ingeniería o para la física.
En los problemas de la mecánica del continuo se observan dos etapas.
La primera establece la formulación de las ecuaciones constitutivas que
describen el comportamiento mecánico de los materiales. Mientras que
la segunda etapa resuelve la ecuación constitutiva en conjunto con las
ecuaciones generales de la mecánica del continuo, bajo las condiciones de
borde apropiadas.
1.2. Matrices
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos o coeficientes
organizados en filas y columnas, que pueden describir un grupo de
ecuaciones de forma simultánea asociadas a operaciones como suma,
multiplicación y derivación entre otras.
En este libro las matrices se denotan mediante una letra negrita entre
corchetes y sus coeficientes se representan con la misma letra cursiva
acompañada de dos subíndices que indican su posición en el interior de la
matriz. El primer subíndice define el número de la fila y el segundo el
número de la columna, como se muestra en la siguiente ecuación.
A A  A 
11 12 1n
 
A A A
A  21 22 2n (1.1)
    
 
A A  A
 
m1 m2 mn
Las dimensiones de una matriz están dadas por la cantidad de filas y
 
de columnas que la componen, por ejemplo la matriz A indicada en la
expresión anterior tiene m filas por n columnas, es decir sus dimensiones
son mn.