Table Of ContentUniversidade Federal de Santa Catarina
Curso de Graduac(cid:24)a~o em Matema(cid:19)tica
Elementos de (cid:19)algebras de Hopf
por
Paulo Ricardo Bo(cid:11)
sob a orientac(cid:24)a~o de
Dr. Eliezer Batista
Trabalho de Conclusa~o de Curso apresentado ao
Curso de Graduac(cid:24)a~o em Matema(cid:19)tica da Universi-
dade Federal de Matema(cid:19)tica para a obtenc(cid:24)a~o do
t(cid:19)(cid:16)tulo de Licenciado em Matema(cid:19)tica.
Floriano(cid:19)polis, dezembro de 2009
Resumo
Neste trabalho apresentamos os elementos que compo~em as algebras de Hopf.
De(cid:12)nimos a(cid:19)lgebras atrav(cid:19)es do conceito de produto tensorial entre K-espac(cid:24)os veto-
riais e, dualizando certos diagramas comutativos, obtemos a de(cid:12)nic(cid:24)a~o de coa(cid:19)lgebra.
Mostramos que o espac(cid:24)o vetorial dual de uma coa(cid:19)lgebra admite a estrutura de a(cid:19)lgebra,
e que o dual (cid:12)nito de uma a(cid:19)lgebra, que(cid:19)e um subespac(cid:24)o do espac(cid:24)o vetorial dual de uma
a(cid:19)lgebra, admite uma estrutura de coa(cid:19)lgebra. De(cid:12)nimos bia(cid:19)lgebra e a(cid:19)lgebra de Hopf,
mostramos alguns resultados ba(cid:19)sicos sobre o assunto, dentre eles, que o dual (cid:12)nito de
uma a(cid:19)lgebra de Hopf possui uma estrutura de a(cid:19)lgebra de Hopf.
ii
Sum(cid:19)ario
Introduc(cid:24)~ao iii
1 A(cid:19)lgebras e Co(cid:19)algebras 1
(cid:19)
1.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Coa(cid:19)lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 A a(cid:19)lgebra e a coa(cid:19)lgebra dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 O dual (cid:12)nito de uma a(cid:19)lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2 Bi(cid:19)algebras e A(cid:19)lgebras de Hopf 31
2.1 Bia(cid:19)lgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
(cid:19)
2.2 Algebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Exemplos de a(cid:19)lgebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A Produto Tensorial 41
A.1 De(cid:12)nic(cid:24)a~o e construc(cid:24)a~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.2 Alguns resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B Notac(cid:24)~ao de Sweedler 55
B.1 Coproduto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
Introduc(cid:24)~ao
(cid:19)
Desenvolvemos neste trabalho os elementos ba(cid:19)sicos da teoria de Algebras de Hopf.
Para isso, consideramos uma versa~o mais restrita do que o necessa(cid:19)rio para a de(cid:12)nic(cid:24)a~o
de a(cid:19)lgebra. As a(cid:19)lgebras podem ser de(cid:12)nidas de maneira mais geral sobre aneis comu-
tativos com unidade, por(cid:19)em neste contexto na~o temos a comodidade de trabalhar com
produtos tensoriais de espac(cid:24)os vetoriais, que tamb(cid:19)em sa~o espac(cid:24)os vetoriais. Enta~o,
optamos por de(cid:12)nir a(cid:19)lgebra utilizando o conceito de produto tensorial de espac(cid:24)os ve-
toriais sobre um corpo K. Tal forma nos sera(cid:19) mais conveniente na hora de de(cid:12)nirmos
coa(cid:19)lgebras, bia(cid:19)lgebras e a(cid:19)lgebras de Hopf.
No primeiro cap(cid:19)(cid:16)tulo, veremos que coa(cid:19)lgebra (cid:19)e uma noc(cid:24)a~o dual de a(cid:19)lgebra. O uso
do termo "dual"(cid:19)e justi(cid:12)cado pelo uso da linguagem catego(cid:19)rica. Dualidade refere-se
a(cid:18) inversa~o do sentido dos mor(cid:12)smos em certos diagramas comutativos. Dessa forma,
para se dualizar a noc(cid:24)a~o de K-a(cid:19)lgebra, (cid:19)e necessa(cid:19)rio transformar a de(cid:12)nic(cid:24)a~o em termos
de diagramas. De modo semelhante dualizamos a noc(cid:24)a~o de mor(cid:12)smo de a(cid:19)lgebras,
obtendo mor(cid:12)smo de coa(cid:19)lgebras.
(cid:19)
Algebras e coa(cid:19)lgebras na~o sa~o apenas noc(cid:24)o~es duais. De certo modo, sa~o objetos
duais, no setindo de que conseguimos dar uma estrutura de K-a(cid:19)lgebra ao K-espac(cid:24)o
vetorial dual C0 de uma coa(cid:19)lgebra C. No entato, a dualidade de objetos na~o (cid:19)e geral.
Se o espac(cid:24)o dual de uma coa(cid:19)lgebra (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra, na~o conseguimos atribuir de modo
geral uma estrutura de K-coa(cid:19)lgebra ao K-espac(cid:24)o vetorial dual A0 de uma a(cid:19)lgebra A.
No caso em que a a(cid:19)lgebra A tem dimensa~o (cid:12)nita, veremos que isto (cid:19)e poss(cid:19)(cid:16)vel. Quando
a a(cid:19)lgebra A possui dimensa~o in(cid:12)nita, veremos que podemos atribuir uma estrutura de
coa(cid:19)lgebra a um subespac(cid:24)o do espac(cid:24)o dual A0, chamado de dual (cid:12)nito da a(cid:19)lgebra, cuja
dimensa~o na~o (cid:19)e necessariamente (cid:12)nita.
No segundo cap(cid:19)(cid:16)tulo, estudamos a estrutura de bia(cid:19)lgebra, na qual esta~o presentes
as estruturas de a(cid:19)lgebra e de coa(cid:19)lgebra, com uma certa compatibilidade entre suas
operac(cid:24)o~es. Em uma bia(cid:19)lgebra, dizer que o produto e a unidade sa~o mor(cid:12)smos de
coa(cid:19)lgebras (cid:19)e equivalente a dizer que o coproduto e a counidade sa~o mor(cid:12)smos de
a(cid:19)lgebras. Com isso, damos uma estrutura de bia(cid:19)lgebra ao dual (cid:12)nito de uma bia(cid:19)lgebra.
Em seguida, partimos para o nosso objetivo principal, que (cid:19)e de(cid:12)nir a(cid:19)lgebras de Hopf.
Veremos alguns resultados e construiremos a a(cid:19)lgebra de Hopf dual, a partir do dual
(cid:12)nito de uma a(cid:19)lgebra de Hopf.
Nestetrabalho, assumimoscomoconhecidaateoriaba(cid:19)sicadegrupos, a(cid:19)lgebralinear
e an(cid:19)eis. No ap^endice A, apresentamos alguns resultados sobre produto tensorial que
sera~o utilizados ao longo do texto. No ap^endice B, esta~o alguns resultados a respeito
da notac(cid:24)a~o de Sweedler para o coproduto.
iv
Cap(cid:19)(cid:16)tulo 1
(cid:19)
Algebras e Co(cid:19)algebras
(cid:19)
1.1 Algebras
Nesta primeira sec(cid:24)a~o de(cid:12)nimos a estrutura primordial da teoria a ser desenvolvida
nas sec(cid:24)o~es subsequentes, utilizando principalmente a refer^encia [4]. Em geral, uma
a(cid:19)lgebra (cid:19)e um espac(cid:24)o vetorial A munido de um produto, isto (cid:19)e, uma aplicac(cid:24)a~o de A(cid:2)A
a valores em A, bilinear. Neste sec(cid:24)a~o de(cid:12)niremos a(cid:19)lgebra de outra forma, a qual nos
sera(cid:19) mais conveniente na hora de de(cid:12)nirmos coa(cid:19)lgebras, bia(cid:19)lgebras e a(cid:19)lgebras de Hopf.
Existem diversos tipos de a(cid:19)lgebras, com diferentes tipos de propriedades que as de-
(cid:12)nem. A anti-simetria e a identidade de Jacobi sa~o caracter(cid:19)(cid:16)sticas das a(cid:19)lgebras de Lie.
Outros exemplos sa~o as a(cid:19)lgebras associativas, para as quais a propriedade adicional
(cid:19)e x(yz) = (xy)z, e as a(cid:19)lgebras unitais (com unidade), para as quais a propriedade
adicional (cid:19)e a exist^encia de um elemento 1 tal que 1x = x. Na maior parte do trabalho
estaremos interessados justamente nas a(cid:19)lgebras associativas e com unidade.
De(cid:12)nic(cid:24)~ao 1.1.1 Uma K-a(cid:19)lgebra associativa com unidade (cid:19)e uma tripla (A;(cid:22);(cid:17)), em
que A (cid:19)e um espac(cid:24)o vetorial (sobre um corpo K), (cid:22) : A(cid:10)A (cid:0)! A e (cid:17) : K (cid:0)! A sa~o
func(cid:24)o~es lineares tais que os seguintes diagramas sa~o comutativos:
A(cid:10)A(cid:10)A (cid:22)(cid:10)id //A(cid:10)A A(cid:10)K id(cid:10)(cid:17) //A(cid:10)A oo (cid:17)(cid:10)id K(cid:10)A
id(cid:10)(cid:22) (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)(cid:22) Hcc HHHHHH’HHHHHHHHHH## (cid:15)(cid:15)(cid:22){{vvvvvvvvvv’vvvvvvv;;
A(cid:10)A //A A
(cid:22)
Chamamos (cid:22) de multiplicac(cid:24)a~o ou produto e (cid:17) de unidade. O primeiro diagrama co-
mutativo representa a associatividade da a(cid:19)lgebra, que em s(cid:19)(cid:16)mbolos (cid:19)e o mesmo que
(cid:22)(cid:14)((cid:22)(cid:10)id) = (cid:22)(cid:14)(id(cid:10)(cid:22)): (1.1)
O segundo diagrama comutativo signi(cid:12)ca que
(cid:22)(cid:14)((cid:17) (cid:10)id) = (cid:22)(cid:14)(id(cid:10)(cid:17)) = id: (1.2)
1
Essa de(cid:12)nic(cid:24)a~o pode parecer estranha a(cid:18) primeira vista. De fato, (cid:19)e mais fa(cid:19)cil e
intuitivo de(cid:12)nir K-a(cid:19)lgebra como sendo um anel A que tem uma estrutura de K-espac(cid:24)o
vetorial tal que a multiplicac(cid:24)a~o (cid:19)e uma aplicac(cid:24)a~o bilinear. Ou seja,
De(cid:12)nic(cid:24)~ao 1.1.2 Seja A um corpo, dizemos que um anel com unidade (A;+;(cid:1)) (cid:19)e uma
a(cid:19)lgebra sobre K se A for um espac(cid:24)o vetorial sobre K tal que a multiplicac(cid:24)a~o (cid:19)e uma
aplicac(cid:24)a~o bilinear sobre K.
Proposic(cid:24)~ao 1.1.3 As duas de(cid:12)nic(cid:24)o~es de a(cid:19)lgebra acima sa~o equivalentes.
Prova. Para mostrar que a de(cid:12)nic(cid:24)a~o 1.1.1 implica na de(cid:12)nic(cid:24)a~o 1.1.2 , basta de(cid:12)nir a
multiplicac(cid:24)a~o por a(cid:1)b = (cid:22)(a(cid:10)b) e a unidade por 1 = (cid:17)(1). Segue das propriedades de
A
produto tensorial que a multiplicac(cid:24)a~o (cid:19)e bilinear, al(cid:19)em disso os diagramas comutativos
nos da~o as propriedades de associatividade e unidade.
Reciprocamente, se temos a de(cid:12)nic(cid:24)a~o 1.1.2, o fato da multiplicac(cid:24)a~o ser bilinear
implica que podemos estend^e-la para (cid:22) no produto tensorial, de modo que a associa-
tividade em A nos da(cid:19) o primeiro diagrama comutativo da de(cid:12)nic(cid:24)a~o 1.1.1. A aplicac(cid:24)a~o
(cid:17) (cid:19)e de(cid:12)nida por (cid:17)((cid:21)) = (cid:21)1 para (cid:21) 2 K, onde 1 (cid:19)e a unidade da a(cid:19)lgebra. O outro
A A
diagrama segue de imediato da de(cid:12)nic(cid:24)a~o de unidade.
(cid:3)
Em vista desta proposic(cid:24)a~o, confundiremos propositalmente a nomenclatura do pro-
duto tanto como sendo a aplicac(cid:24)a~o usual (cid:1) : A (cid:2) A (cid:0)! A, quanto como sendo a
aplicac(cid:24)a~o (cid:22). Para simpli(cid:12)car, a partir de agora falaremos apenas a(cid:19)lgebra, sem fazer
menc(cid:24)a~o ao corpo, que (cid:12)cara(cid:19) subentendido. E quando mencionarmos simplesmente
uma "a(cid:19)lgebra A"estaremos nos referindo a a(cid:19)lgebra (A;(cid:22);(cid:17)), deixando as func(cid:24)o~es (cid:22) e
(cid:17) subentendidas no contexto.
Exemplo 1.1.4 Todo corpo K(cid:19)e uma a(cid:19)lgebra associativa com unidade sobre si mesmo.
Exemplo 1.1.5 Dado um espac(cid:24)o vetorial V sobre K, considere o conjunto L(V) dos
operadores lineares T : V ! V. Note que, considerando L(V) com a soma de(cid:12)nida
ponto a ponto e a multiplicac(cid:24)a~o dada pela composic(cid:24)a~o de operadores , na~o (cid:19)e dif(cid:19)(cid:16)cil
ver que L(V) (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra associativa sobre K, cujo elemento unidade (cid:19)e dado pelo
operador identidade.
Exemplo 1.1.6 (A(cid:19)lgebra produto tensorial) Seja (cid:28) a aplicac(cid:24)a~o flip, i.(cid:19)e, (cid:28) : A (cid:10)
B (cid:0)! B (cid:10)A o isomor(cid:12)smo dado por (cid:28)(a(cid:10)b) = b(cid:10)a conforme a proposic(cid:24)a~o A.2.3.
Caso (cid:28) tenha sub-(cid:19)(cid:16)ndices, estes denotara~o quais parcelas esta~o sendo trocadas num
produto tensorial de va(cid:19)rios espac(cid:24)os vetoriais, por exemplo, a func(cid:24)a~o
(cid:28) : A (cid:10)A (cid:10)A (cid:10)A (cid:0)! A (cid:10)A (cid:10)A (cid:10)A
23 1 2 3 4 1 3 2 4
(cid:19)e dada nos geradores por (cid:28) (a (cid:10)a (cid:10)a (cid:10)a ) = a (cid:10)a (cid:10)a (cid:10)a . Agora para a(cid:19)lgebras
23 1 2 3 4 1 3 2 4
A e B, tome o espac(cid:24)o vetorial A(cid:10)B e de(cid:12)na o produto
(cid:22) : (A(cid:10)B)(cid:10)(A(cid:10)B) (cid:0)! A(cid:10)B
A(cid:10)B
2
dado nos geradores por (cid:22) ((a (cid:10)b )(cid:10)(a (cid:10)b )) = ((cid:22) (cid:10)(cid:22) )(cid:14)(cid:28) ((a (cid:10)b )(cid:10)(a (cid:10)b )) =
A(cid:10)B 1 1 2 2 A B 23 1 1 2 2
((cid:22) (cid:10)(cid:22) )((a (cid:10)a )(cid:10)(b (cid:10)b )) = a a (cid:10)b b e unidade (cid:17) (1)(cid:10)(cid:17) (1) = 1 (cid:10)1 . Para
A B 1 2 1 2 1 2 1 2 A B A B
veri(cid:12)car que (cid:22) esta(cid:19) bem de(cid:12)nida basta notar que a func(cid:24)a~o f : A(cid:2)B(cid:2)A(cid:2)B (cid:0)!
A(cid:10)B
A(cid:10)B, dada por f(a ;b ;a ;b ) = a a (cid:10)b b (cid:19)e quadrilinear, logo pode ser estendida
1 1 2 2 1 2 1 2
para o produto tensorial (pela proposic(cid:24)a~o A.2.8). Esta a(cid:19)lgebra (cid:19)e chamada de a(cid:19)lgebra
produto tensorial entre A e B.
Exemplo 1.1.7 (A(cid:19)lgebra oposta Aop) Seja (A;(cid:22);(cid:17)) uma a(cid:19)lgebra. De(cid:12)na a func(cid:24)a~o
(cid:22)op = (cid:22)(cid:14)(cid:28), em que (cid:28)(a(cid:10)b) = b(cid:10)a. Temos enta~o que (A;(cid:22)op;(cid:17)) (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra. De
fato, (cid:22)op atua da senguinte maneira:
(cid:22)op(x(cid:10)y) = yx:
Assim veri(cid:12)ca-se facilmente que
(cid:22)op (cid:14)(id(cid:10)(cid:22)op) = (cid:22)op (cid:14)((cid:22)op (cid:10)id)
e
(cid:22)op (cid:14)((cid:17) (cid:10)id) = (cid:22)op (cid:14)(id(cid:10)(cid:17)) = id
Denotamos esta a(cid:19)lgebra por Aop e chamamos de a(cid:19)lgebra oposta a(cid:18) a(cid:19)lgebra A. Note que
uma condic(cid:24)a~o necessa(cid:19)ria e su(cid:12)ciente para que uma a(cid:19)lgebra A seja comutativa (cid:19)e que
(cid:22) = (cid:22)op.
Exemplo 1.1.8 (A(cid:19)lgebra de func(cid:24)o~es) Seja K um corpo e X um conjunto na~o-vazio
qualquer. De(cid:12)na F(X) como o conjunto de todas as func(cid:24)o~es f : X (cid:0)! K. Dados
f;g 2 F(X) e k 2 K, de(cid:12)na f +g e kf por:
(f +g)(x) = f(x)+g(x);8x 2 X
(kf)(x) = kf(x);8x 2 X:
Agora de(cid:12)na
(cid:22) : F(X)(cid:10)F(X) (cid:0)! F(X)
f (cid:10)g 7(cid:0)! f (cid:1)g;
em que (f (cid:1)g)(x) = f(x)(cid:1)g(x);8x 2 X. Com estas operac(cid:24)o~es e considerando a func(cid:24)a~o
constante 1(x) = 1 , (F(X);(cid:22);1) (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra associativa com unidade sobre K,
sendo o elemento unidade a func(cid:24)a~o constante 1. De fato,
(cid:22)(cid:14)(id(cid:10)(cid:22))(f (cid:10)g (cid:10)h)(x) = f(x)(cid:1)(g(x)(cid:1)h(x))
= (f(x)(cid:1)g(x))(cid:1)h(x) = (cid:22)(cid:14)((cid:22)(cid:10)id)(f (cid:10)g (cid:10)h)(x);8x 2 X:
Onde utilizamos a associatividade do corpo K. E tamb(cid:19)em temos
(cid:22)(cid:14)(1(cid:10)f)(x) = 1(x)(cid:1)f(x) = 1(cid:1)f(x) = f(x):
3
Exemplo 1.1.9 (A(cid:19)lgebra de grupo KG) Seja G um grupo e KG o espac(cid:24)o vetorial das
func(cid:24)o~es de G em K com suporte (cid:12)nito, em que a soma e o produto por escalar sa~o
de(cid:12)nidos ponto a ponto. Em seguida, para cada g 2 G de(cid:12)na (cid:14) : G (cid:0)! K, em que
g
(cid:14) (h) = (cid:14) = o se g 6= h e (cid:14) (h) = (cid:14) = 1 se g = h. Note que f(cid:14) g (cid:19)e um
g g;h g g;h g g2G
conjunto linearmente independente em KG. De fato, de(cid:12)na f = a (cid:14) , em que
g g
g2G
X
a 2 K para todo g 2 G, e suponha que f = a (cid:14) = 0. Enta~o, pela de(cid:12)nic(cid:24)a~o de (cid:14) ,
g g g g
g2G
X
f(h) = a (cid:14) (h) = a = 0. Logo, para todo h 2 G, a = 0. Dessa forma f(cid:14) g (cid:19)e
g g h h g g2G
g2G
uma basXe para KG.
Agora, considere a seguinte aplicac(cid:24)a~o:
(cid:3) : KG(cid:2)KG (cid:0)! KG
(a;b) 7(cid:0)! a(cid:3)b
em que
(a(cid:3)b)(g) = a(h)b(l); g 2 G:
h;l2G
X
hl=g
Para a;b;c 2 KG, (cid:21) 2 K e g 2 G, temos que
(a(cid:3)(b+(cid:21)c))(g) = a(h)(a+(cid:21)c)(l) = a(h)b(l)+(cid:21) a(h)c(l)
h;l2G h;l2G h;l2G
X X X
hl=g hl=g hl=g
= ((a(cid:3)b)+(cid:21)(a(cid:3)c))(g);
ou seja, (cid:3) (cid:19)e bilinear. Note tamb(cid:19)em, que se e 2 G (cid:19)e a unidade em G enta~o (cid:14) (cid:19)e a
e
unidade relativa a(cid:18) (cid:3) em KG. De fato, dados a 2 KG;g 2 G, temos que (a(cid:3)(cid:14) )(g) =
e
a(h)(cid:14) (l) = a(g), sendo o outro lado ana(cid:19)logo. Estendendo (cid:3) para o produto
hl=g e
tensorial, de(cid:12)nimos a multiplicac(cid:24)a~o (cid:22) por (cid:22)(a(cid:10)b)(g) = (a(cid:3)b)(g) para a;b 2 KG;g 2 G,
P
e a aplicac(cid:24)a~o (cid:17) por
(cid:17) : K (cid:0)! KG
(cid:21) 7(cid:0)! (cid:17)((cid:21)) = (cid:21)(cid:14) :
e
Mostremos com isso que (KG;(cid:3);(cid:14) ) (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra. Com efeito, dados a;b;c 2 KG;g 2
e
G, temos a associatividade:
4
(a(cid:3)(b(cid:3)c))(g) = a(h)(b(cid:3)c)(l) = a(h)0 b(x)c(y)1
h;l2G h;l2G x;y2G
hXl=g hXl=g BxXy=l C
B C
@ A
= a(h)b(x)c(y) = a(h)b(x)c(y)
h;x;y2G h;x;y2G
X X
h(xy)=g (hx)y=g
= a(h)b(x) c(y)
0 1
u;y2G h;x2G
uXy=g BhXx=u C
@ A
= (a(cid:3)b)(u)c(y) = ((a(cid:3)b)(cid:3)c)(g):
u;y2G
uXy=g
A unidade ja(cid:19) mostramos acima. Esta a(cid:19)lgebra (cid:19)e chamada a(cid:19)lgebra de grupo.
De(cid:12)nic(cid:24)~ao 1.1.10 Seja A uma a(cid:19)lgebra. Um espac(cid:24)o vetorial B (cid:18) A (cid:19)e dito uma
suba(cid:19)lgebra se (cid:22)(B (cid:10)B) (cid:18) B.
Observac(cid:24)~ao 1.1.11 Note que (B;(cid:22) ;(cid:17) ) (cid:19)e uma a(cid:19)lgebra, com (cid:22) = (cid:22)j e (cid:17) = (cid:17)j .
B B B B B B
De(cid:12)nic(cid:24)~ao 1.1.12 Um subespac(cid:24)o I de uma a(cid:19)lgebra A (cid:19)e dito:
(i) um ideal a(cid:18) esquerda (a(cid:18) direita) se (cid:22)(A(cid:10)I) (cid:18) I (respect. (cid:22)(I (cid:10)A) (cid:18) I).
(ii) um ideal se (cid:22)(A(cid:10)I +I (cid:10)A) (cid:18) I.
De(cid:12)nic(cid:24)~ao 1.1.13 Sejam A e B a(cid:19)lgebras. Diremos que f : A (cid:0)! B (cid:19)e um mor(cid:12)smo
de a(cid:19)lgebras se f (cid:19)e uma func(cid:24)a~o linear, f (cid:14)(cid:22) = (cid:22) (cid:14)(f (cid:10)f) e f (cid:14)(cid:17) = (cid:17) .
A B A B
(cid:22)A f
A(cid:10)A //A A //B
f(cid:10)f (cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)f (cid:17)A OO vvvvvvvvvv(cid:17)vBvvvvvvv;;
B (cid:10)B //B K
(cid:22)B
Exemplo 1.1.14 Seja f : A (cid:0)! B um mor(cid:12)smo de a(cid:19)lgebras. Enta~o Im(f) (cid:19)e uma
suba(cid:19)lgebra de B e ker(f) (cid:19)e um ideal de A. Com efeito, como f (cid:19)e mor(cid:12)smode a(cid:19)lgebras,
f(cid:22) = (cid:22) (f (cid:10)f). Logo,
A B
(cid:22) (Im(f)(cid:10)Im(f)) = (cid:22) (f(A)(cid:10)f(A))
B B
= ((cid:22) (f (cid:10)f))(A(cid:10)A) = (f(cid:22) )(A(cid:10)A)
B A
= f((cid:22) (A(cid:10)A)) (cid:18) f(A) = Im(f):
A
E para mostrar que ker(f) (cid:19)e ideal de A, note que
((cid:22) (f (cid:10)f))(ker(f (cid:10)f)) = (cid:22) ((f (cid:10)f)(ker(f (cid:10)f))) = f0g
B B
5
