Elementi di Fisica Teorica (UNITEXT Collana di Fisica e Astronomia)

258 Pages·2006·2.52 MB·Italian

by  Michele Cini

Collana di Fisica e Astronomia
A cura di:
Giorgio Parisi
Michele Cini
Stefano Forte
Massimo Inguscio
Guido Montagna
Oreste Nicrosini
Franco Pacini
Luca Peliti
Alberto Rotondi
A mia moglie Anna e a mio figlio Massimo
Michele Cini
Elementi di Fisica Teorica
1 3
MlCHELE ClNI
Dipartimento di Fisica
Universita di Roma Tor Vergata
Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media
springer.com
© Springer-Verlag Italia, Milano 2006
ISBN 10 88-470-0424-1
ISBN 13 978-88-470-0424-5
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Riprodotto da copia camera-ready fornita dall'Autore
Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano
Stampato in Italia: Signum, Bollate (Mi)
Prefazione
Questo manuale contiene il corso di Elementi di Fisica Teorica che ho svolto
per la Laurea triennale in Scienza dei Materiali, fin dalla sua istituzione al-
l’Universita` di Roma Tor Vergata.Si tratta di un corsointroduttivo di Fisica
Teorica che richiede una buona conoscenza a livello universitario di calcolo,
meccanica ed elettromagnetismo. Per gli argomentisvolti (meccanica analiti-
ca, meccanica statistica, relativita` ristretta, meccanica quantistica non Rela-
tivistica) il corso corrisponde grosso modo al vecchio esame di istituzioni di
fisicateoricaperfisici,macisonoanchedifferenzetalidagiustificareuntesto
ad hoc.
Prima di tutto ho cercato di adattare la tecnica espositiva. Ho preferito
evitare (nei limiti del possibile) o di spiegare meglio certi calcoli particolar-
mente onerosi.Talora`e utile sostituirli con descrizioni di esperimenti pensati
o fatti; in tal modo l’esposizione risulta piu` agevole rispetto a quella tipica
di un corso per fisici, non importa se del vecchio o del nuovo ordinamento.
Per esempio, presento diversi esempi di interferenza quantistica discutendoli
dal punto di vita fisico pur non avendo lo spazio per introdurre formalmente
l’integrale sui cammini. Cio` `e utile perch´e gli studenti non hanno lo stesso
curriculum di Fisica classica e nemmeno glistessi obiettivi di chi vuole fare il
fisico puro.
Eccoanziunodegliscopichiavechemisonoprefisso:motivareestimolare
costantemente l’interesse degli studenti. Gli studenti di Scienza dei Materiali
sono particolarmentesensibili alvalore praticodella conoscenza;quindi il do-
centehabuongiocoamettereinrisaltoalcunedellenumeroseapplicazionigia`
in uso e quelle che stanno nascendo dai concetti quantistici,come adesempio
l’entanglement; si convincerannoche non stiamo facendo assolutamente alcu-
nosfoggiodiformalismofineasestesso.Senzaappesantirel’algebra,vengono
presentati certi sviluppi recenti o futuribili delle ricerche in relativit`a e mec-
canicaquantistica,comeadesempiolacriptografia,ilcomputerquantistico,il
transistoraelettrone singoloe ilmicroscopioa tunnel, che hanno importanza
concettuale e grande interesse attuale e potenziale nelle applicazioni.
VIII Prefazione
Ancheselatrattazione`emenoformalerispettoaitradizionalicorsidiIsti-
tuzionidiFisicaTeorica,loscopo`ecomunquequello diraggiungereuna reale
comprensionedeiconcettifisiciedunaworkingknowledge,cio`eunacapacit`adi
risolvereautonomamente problemi. Per raggiungerelo scopo,pur con minore
sforzo da parte degli studenti, occorrono degli accorgimenti che agevolano il
lettore. Prima di tutto, i passaggi intermedi sono riportati in modo notevol-
mente piu` esteso di quanto non si faccia normalmente nei libri; non ci sono
sviluppiteoricilasciaticomeeserciziomatutto quelloche`eimportanteperla
costruzione della teoria`e spiegato esplicitamente; gli esercizisono tutti svolti
in dettaglio; inoltre ho avuto cura di porre in primo piano il significato fisico
delle varie quantita` e la motivazione che sta dietro alle varie trasformazioni
matematiche. Ho incluso una appendice con richiami di risultati del’analisi
matematica che gli studenti hanno gia` incontrato, ma probabilmente deside-
rano consultare per rinfrescare la memoria. Le appendici contengono anche
alcuni dei calcoli piu` lunghi, che potrebbero spezzare il filo logico dell’argo-
mento;glistudentipero`sonoinvitatiaconsiderarleparteintegrantedeltesto.
Certi strumenti matematici necessari sono sviluppati ed illustrati con esempi
digrandeinteresseperlaFisica.Hoinclusoproblemididattici,lamaggiorpar-
te per quanto ne so originali; sono problemi semplici, che servono a verificare
la comprensione della teoria senza soverchi calcoli.
Lostudiodiquestomanualerendera`piu` accessibiliainostristudentiinte-
ressati i molti ottimi testi piu` avanzati che sono disponibili per approfondire
questa affascinante materia. Per esempio, come ulteriore lettura per la parte
quantistica, sara` utile consultare anche il libro David J. Griffiths, Introduzio-
ne alla meccanica quantistica, Casa Editrice Ambrosiana (2005); questo libro
contiene anche aspetti piu` avanzati ed argomenti specifici che gli studenti
incontreranno in corsi successivi.
Ringrazio il collega Massimo Bianchi, che insegna meccanica quantistica
nel Corso di laurea in Fisica, ed il Dr. Stefano Bellucci dei LNF-INFN per
aver letto la bozza di questo manuale dandomi molti consigli preziosi.
Michele Cini Roma
Settembre 2005
Indice
1 Teorie fisiche, costanti empiriche e formulazioni
matematiche............................................... 1
Parte I Complementi di Fisica Classica
2 Meccanica analitica........................................ 7
2.1 La F =ma di Galileo e Newton ........................... 7
2.2 Formalismo lagrangiano .................................. 10
2.2.1 Integrale di azione ................................ 17
2.2.2 Principio di Minima Azione........................ 18
2.3 Trasformazionidi Legendre ............................... 20
2.4 Formulazione Hamiltoniana della meccanica................. 21
2.4.1 Trasformazioni Canoniche ......................... 24
2.4.2 Carica puntiforme in un campo elettromagnetico ..... 27
2.4.3 Parentesi di Poisson .............................. 29
3 La delta di Dirac .......................................... 33
3.1 Definizione della δ ....................................... 33
3.2 Ancora sulla δ .......................................... 36
3.2.1 Volume dell’ipersfera in N dimensioni .............. 38
4 Complementi di elettromagnetismo ....................... 41
4.1 Campi e potenziali ...................................... 41
4.2 Calcolo di ∇2(1) ........................................ 42
r
4.3 Funzione di Green dell’equazione delle onde................. 42
4.3.1 Potenziali ritardati ............................... 43
4.4 Potenziali di Lienard-Wiechert ............................ 43
X Indice
5 Meccanica statistica ed equilibrio termodinamico .......... 45
5.1 Richiami di termodinamica ............................... 45
5.1.1 Il corpo nero..................................... 52
5.2 Scopo della meccanica statistica ........................... 57
5.3 Medie di Gibbs.......................................... 58
5.4 Ensemble Microcanonico ................................. 60
5.4.1 Entropia del Gas perfetto e paradosso di Gibbs....... 63
5.5 Ensemble Canonico...................................... 65
5.5.1 Temperatura..................................... 65
5.6 Distribuzione canonica ................................... 66
5.6.1 Distribuzione di Maxwell ......................... 68
5.6.2 Gas perfetto e statistica di Boltzmann............... 68
5.6.3 Grandezze termodinamiche nell’insieme canonico ..... 71
5.6.4 Teorema di equipartizione dell’energia............... 72
5.7 Insieme grancanonico .................................... 76
6 Teoria della Relativit`a ..................................... 77
6.1 Il navilio di Galileo ...................................... 77
6.2 Le equazioni di Maxwell e l’interferometro di Michelson ...... 80
6.3 La teoria di Einstein: esperimenti pensati................... 83
6.3.1 Trasformazione di Lorentz ......................... 90
6.3.2 Composizione delle velocita` ........................ 92
6.3.3 Tensori.......................................... 94
6.3.4 Effetto Doppler .................................. 96
6.3.5 Meccanica relativistica ............................ 98
6.4 Principio di equivalenza ..................................100
6.5 Una scoperta recente.....................................102
Parte II Meccanica Quantistica
7 Meccanica quantistica: Perch´e? ............................105
7.1 Corpuscoli ed onde in Fisica classica .......................106
7.2 Dualismo onda-corpuscolo ................................108
7.3 Da dove passa la particella?...............................110
7.3.1 Onda piana e principio di sovrapposizione ...........112
7.3.2 Principio di indeterminazione ......................113
7.4 Operatori ..............................................113
7.5 Interpretazione di Copenhagen ............................115
8 Equazione di Schro¨dinger..................................119
8.1 Equazione per gli stati stazionari ..........................120
8.2 Equazione di continuita` ..................................121
8.3 Cenno alle formulazioni di Schro¨dinger,Heisenberg e Feynman 122
Indice XI
9 Soluzioni in una dimensione ...............................125
9.1 Buca di potenziale a pareti infinite.........................125
9.2 Particella libera e stati del continuo........................126
9.2.1 La normalizzazione ...............................127
9.2.2 Velocita` di fase di un pacchetto d’onde ..............127
9.2.3 Velocita` di gruppo di un pacchetto d’onde ...........128
9.3 Gradino di potenziale ....................................129
9.3.1 Energia sotto soglia...............................129
9.3.2 Energia sopra soglia ..............................130
9.3.3 Buca di potenziale finita...........................131
9.3.4 Stati del continuo.................................133
9.4 Potenziale stretto e profondo a δ ..........................134
9.5 Barriera di potenziale: effetto .............................134
9.5.1 Energia sotto soglia: superamento della barriera ......134
9.5.2 Effetto tunnel: fenomeni ed applicazioni .............136
9.6 Oscillatore Armonico ....................................138
9.7 Metodo operatoriale per l’oscillatore armonico...............143
10 Sui quattro postulati della meccanica quantistica ..........147
10.1 Postulato 1 .............................................147
10.1.1 Funzione d’onda..................................147
10.1.2 Disuguaglianza di Schwarz.........................148
10.1.3 Spazi di Hilbert ..................................148
10.2 Postulato 2 ............................................149
10.2.1 Matrici, operatori e spazi di funzioni ................149
10.2.2 Operatori Hermitiani e valori medi reali .............149
10.2.3 Spazi ortogonali ..................................150
10.2.4 Completezza .....................................151
10.2.5 Commutatori: angolo e momento angolare ...........151
10.2.6 Commutatori: principio di indeterminazione
generalizzato.....................................153
10.2.7 Commutatori: grandezze compatibili ................155
10.2.8 Commutatori: trasformazioni canoniche in meccanica
quantistica.......................................155
10.2.9 Commutatori. 5-Espedienti di calcolo ...............156
10.2.10 Matrici per l’oscillatore armonico ...................157
10.2.11 Matrici e modellazioni. LCAO......................158
10.3 Postulato 3 .............................................158
10.3.1 Ragioni per cui il set deve essere completo ...........158
10.3.2 Formalismo discreto e formalismo continuo...........159
10.3.3 Esempio: il momento angolare......................159
10.4 Postulato 4 ............................................159
10.4.1 Dipendenza dal tempo e derivata di un operatore.....160
10.4.2 Principio di indeterminazione energia-tempo .........160