Elementi di Analisi matematica vol.2

520 Pages·1991·18.262 MB·Italian

by  Mario Dolcher

I ; I
!
Prima edizione: novembre 1991
Prima ristampa: febbraio 1993
© 1993 by Edizioni LINT Trieste S.r1
Via di Romagna, 30 - 34134 Trieste - C.P. 501
Tel. [phone] - Fax [phone]
Stampato in Italia - Printed in Italy
E vietata la riproduzione anche parziale
in qualunque modo e luogo
ISBN 88-85083-59-5
e
La souraccoperta stata ideata e realizzata dal
pro! Mario Dolcher. In frontespizio: disegno
di A. Artioli per l'opera Platero y yo di Juan
R. Jimenez elaborata dal pro! Maria Dole-her
J
CAPITOLO VENTESIMO
LEFUNZIONI
§ 1. AMBIENTAZIONE
e
La nozione di applicazione stata introdotta e trattata in astratto
e e
all'inizio (Cap. 4): ivi si detto che la parola funzione sinonimo di
quella, ed e usata di preferenza quando il codominio sia un campo di
numen.
Le applicazioni che interessano l'Analisi sono in primo luogo quelle del
tipo
Una tale f associa ad ogni punto x = (x., X2, •••, Xn) di E un punto
= =
imagine f(x) (YI, Y2, ...~ Ym) Y di IR m (valore della f nel
punto X).
Gli elementi Y del codominio possono avere il significato di vettori:
e ~
f(x) allora il vettore di lRm avente come componenti i numeri Yi'
(1)
=
Ne! caso piu particolare in cui sia m n, cio significa che ad ogni punto
della regione E delle spazio IRn viene attribuito come "valore" un
X
--+
vettore dello spazio IR n; la f si suole chiamare allora un camp
0
vettoriale. Nella descrizione grafica il vettore imagine di un punto
X
viene collocato con la sua origine in x.
E =
ben noto quanto questo caso, particolarmente per m = n 3,
interessi la Fisica (velocita di punti di un fluido in moto, intensita di un
campo gravitazionale od elettrostatico, defonnazione di un solido, ecc.).
Nel caso m = 1 i valori della f sono numeri reali e la f e detta
percio una funzione reale di n variabili reali. Si noti che ogni
(1) Con la freccia indichiamo che trattasi di uno spazio vettoriale.
1
J
M.DOLCHER - Elementi di Analisi matematica
applicazione (IRn :J) E -4 IRm pub per cost dire decomporsi in funzioni
reali: ognuna delle m coordinate Yi del punto (0 vettore) delle spazio
e
codominio funzione di x, sicche la f pub descriversi con un sistema di
m funzioni definite in E, aventi come valori risp. le m coordinate del
punto imagine y. L'assegnazione della f equivale percio all'assegnazione
di una m-pia (f f f di funzioni reali definite in E. Piu
l , 2, •••, m)
distesamente:
~ ~.~.~~ .~. ::.~,
••• .1•••••• ".: ':,'.: n )
{
Ym = f m ( Xl. X 2 t : JX n)
(
Ci riserviamo di dare un ulteriore cenno sui significato di tali
applicazioni piu avanti, sotto l'ipotesi della continuita della f.
Le diverse situazioni ora prospettate verranno indicate brevemente nel
seguito come
m
caso IRn ~ IR , caso IRn ~ IR, caso IR ~ IRn, caso IR ~ IR
restando sottinteso che le applicazioni di cui si parla non sono
e
necessariamente definite nell'intero spazio che scritto a sinistra della
freccia, ma, 10 sono almeno in un suo sottoinsieme E.
Vogliamo orientare subito chi studia circa il grado di generalita che
e
abbiamo ritenuto conveniente adottare. Il caso piu semplice quello delle
funzioni IR ~ IR: il fatto che soltanto in questo caso tanto il dominio
quanto il codominio sono insiemi (totalmente) ordinati gli conferisce
alcune peculiarita rispetto ai casi piu generali (in particolare, la nozione di
e
funzione monotona legata alIa struttura d'ordine di IR); inoltre, le
"funzioni elementari" sono legate, quando ci si limiti al campo reale, a
tale caso. Il caso IR ~ IR e anche quelIo col quale meglio ci si
familiarizza grazie alIa possibilita di rappresentazione grafica delle
funzioni nel piano cartesiano.
D'altra parte, alcune nozioni fondamentali, quali la continuita e il
concetto di limite, non soltanto mantengono la loro validita e la forma
della loro enunciazione nel caso piu generale IRn ~ IRm ed anche nel caso
di applicazioni M ~ M' di spazi metrici qualunque, ma, presentate nel
2
pe •
Cap. 20 - Lefunzioni
solo caso IR ~ IR, fanno addirittura correre a chi studia il pericolo di
fraintenderne l'essenza, e il fatto stesso di legare troppo strettamente
l'idea di funzione alIa rappresentazione geometrica del suo grafico finisce
col far sorgere, 0 meglio col far supporre, non appena si passi al caso
IRn ~ IR , difficolta fittizie, dovute soltanto alIa mancanza di uno schema
rappresentativo visualizzabile
(2).
Tenuto conto di cio, nel seguito (in partic. nei Cap, 21 e 22)
enunceremo le definizioni e dimostreremo i teoremi dapprima per il caso
IR ~ IR, specificando subito dopo se le enunciazioni stesse e i
procedimenti dimostrativi conservino 0 meno la loro validita, e
accennando alle eventuali modifiche necessarie, nei casi piu generali. Chi
e
studia consigliato di fissare l'attenzione, in prima lettura, sui caso
IR ~ IR e, dopo aver avuto informazione dell'eventuale validita in casi
piu generali, ripercorrere (apportando le modifiche del caso) il medesimo
testo SI da rendersi conto della possibile maggiore generalita del
contenuto. Quando poi passeremo al Calcolo differenziale, ci limiteremo
al caso IR ~ IR poiche le estensioni non sono a portata di mano.
Si noti che per brevita vengono spesso riferiti ana f attributi che
e
spettano all'insieme f(E). Si gia detto che funzione reale significa
e e
funzione a valori reali. Si dira che la f limitata se limitato l'insieme
e
f'(E). Nel caso IRn~ IR, per massimo della f da intendersi il massimo di
e
f(B); per estremo superiore della f da intendersi sup feE); ecc.
§ 2. GRAFICO DI UNA FUNZIONE
DEF. Quale che sia l'applicazione f: E ~ E', l'insieme
~(f) = {(x, f(x): x E El,
(2) Cito un esempioperprovare quanto sia paradossale tale situazione. Piu di una volta mi
e
stato chiesto da studenti come dobbiamo rappresentarci le funzioni di tre variabili reali
senza disporre di una quarta dimensione dello spazio. Un tale disagio non sarebbe stato
sentito da chi fosse stato meno assiduamente abituato a "disegnare" tutte le funzioni che
considerava: certamente l'idea di temperatura come funzione di punto in una regione dello
3
spazio 1R nulla ha di imbarazzante, anche per chi sia digiuno di Analisi matematica!
3
M.DOLCHER - Elementi diAnalisi matematica
sottoinsieme dell'insierne prodotto E x El, si chiama il grafico della f.
=
Interessiamoci del caso Rn ~ lR (E C lR'', El R): it grafico ~(f)
e
allora un insieme di punti in Rn X lR (3) e piu precisamente in E x IR.
Indicando con
(X17 x2, ..., xn, Y)
n x
un punto di IR +! e con IR (con x E IRn) la retta luogo dei punti aventi
e x
come prime n coordinate quelle di x, subito visto che per_ogni_
l'insieme ~(f) n lRi consta dell'unico punto (Xl' X2' ..., Xn' ft x)
e
oppure vuoto, a seconda che appartenga meno ad E. Inversamente,
X 0
se un insieme G di IRn gode della proprieta che l'intersezione G n IRx
+!
e
per ogni x ridotta a un solo punto oppure vuota, si ponga
*
x
E = {x : G IR ~} (c IRn)
(I
e si consideri la funzione f: E ~ IR che ad ogni x (E E) associa la
e
(n+I)-esima coordinata del punto G n lRi; evidente che G = ~(f).
Dunque: condizione necessaria e sufficiente affinche un insieme
e
G C IRn x IR sia il grafico di una funzione reale che per ogni n-pla di
numeri reali (x esista al piu un numero reale y tale che
I' X2' ..., Xn)
(x Y) G.
I' X2' •••, Xn' E
e
Ad esempio, per n = I il grafico di una f un insieme di punti del
e
piano il quale incontrato al piu in un punto da ogni retta parallela
all'asse Y (vedi figure)
y y
(1~
si
I I si I
• • I I I I •
~ ~ ----+-.
0 0 0
r
y y
, , ,
r--l
~II IIn-oII -l~• ~II ----IIIs-i..• ----~It~+7'II ~'II ~II IIII IIII s~i x
0 0 2 3 5 6
(3) Un po' abusivamente, ~(f) si pensa in generale come un sottoinsieme di IRn+1 ossia
come un insieme di (n+lj-ple (xj, X2' ..., Xn' y); e pero piu appropriato pensarlo come
un insieme di coppie «xl' X2' ..., Xn), y).
4
lIP'
Cap. 20 - Lefunzioni
'j
= =
Per n 2, ~(f) e l'insieme {(x, y, z): (x, y) E E, z f(x, y)}, che
2
si ottiene coll'associare ad ogni punto (x, y) E E (c R ) il valore
=
z f(x, y) come terza coordinata. Nei casi piu semplici e piu interessanti,
tale insieme si presenta cone una superficie in R la quale si proietta,
3
secondo la direzione dell'asse z, biunivocamente su E.
La rappresentazione grafica ora accennata, che soprattutto per il caso
e e
R --7 IR di uso corrente, utile oltre che per la pratica applicativa
anche perche si presenta come punto d'appoggio per l'intuizione. Devesi
peraltro far attenzione a non confidare troppo nell'intuizione geometrica
la quale, essendo attratta di preferenza a considerare configurazioni
regolari, non e in grado di abbracciare tutta la varieta di situazioni che
possono presentarsi ed interessano l'Analisi: numerosi sono i casi, anche
di rilevanza storica, nei quali una fallace intuizione geometrica ha
condotto a conclusioni erronee.
§ 3. STRUTTURA ALGEBRICA DELL'INSIEME ~
Detto E un insieme arbitrario, indichiamo con i la totalita
{f : E --7 IR} delle funzioni a valori reali od anche a valori in un gruppo
-+
abeliano (Cap. 13, § 4), p. es. E ~ IRm, (non E --7 IRm !) definite in E.
Le operazioni definite in R possono, nel modo piu naturale, essere
trasportate in ; si che ; stesso resta dotato di una struttura algebrica.
Date f, g( :i), la loro somma e la funzione definita da
E
[f + g] (x) = f(x) + g(x) per ogni x E.
E
e
Tale addizione commutativa e associativa; la funzione nulla (ossia
quella avente valore 0 per ogni x E E) funge da zero; e per ogni
e
funzione f c'e la opposta, -f. Dunque i un gruppo abeliano rispetto
5
M.DOLCHER • Elementi di Analisi matematica
~
all'addizione. Cost anche nel caso di valori in IR'': ha senso parlare di
somma (0 risultante) di due campi vettoriali definiti sullo stesso dominio.
E
inutile dire che, per quanto attiene al possibile significato fisico, deve
trattarsi di vettori rappresentativi di grandezza omogenea.
Con 10 stesso campo di validita (codominio di numeri di vettori) resta
0
definito il "prodotto" di f(E ;) per A(E IR) come un'operazione
estema per l'insieme ;, con campo di operatori IR (Cap. 13, § 7):
[A f] (x) = A. f(x) per ogni x E E.
Avendosi
(1."1 + A2) f =Al f + A2 f, A(f1 + f2) =Af1 + Af2,
A(Jl f) = (A /l)f, 1.f = f,
concludiamo che i costituisce uno spazio vettoriale sul corpo IR (ivi,
§ 8).
Si tratta di uno spazio di dimensione infinita quando sia infinito
.l'insieme E. Per constatarlo si considerino le infinite funzioni fuCa E)
E
definite ponendo
o per x -:t a
fu(x) ={1 per x = a.
Esse sono linearmente indipendenti. Non costituiscono una base poiche
non generano i: le loro combinazioni lineari sono soltanto le funzioni che
sono nulle dappertutto fuorche in un numero finito di punti.
In modo del tutto analogo si definisce, ma solo per le funzioni a valori
numerici, i1 prodotto di due junzioni, che risulta associativo, distributivo
rispetto alla somma, e commutativo; la funzione costante con valore 1
funge da unita.
Concludiamo che :« eunanello commutativo con unita.
Si noti che nell'anello ; vi sono elementi nullifici. Ad es., se E
e
(dominio delle funzioni di i) riunione di due insiemi A, B nessuno
dei quali sia contenuto nell'altro, si dica f la funzione definita da
I per x E A
f(x) = {0 per x ~ A
= e
e si dica g la funzione definita da g(x) 1 - f(x); il prodotto fg la
funzione nulla.
6
Cap. 20 ~ Lefunzioni
Una funzione f a valori in IR ammette in :I una reciproca l/f se e
soltanto se non si annulla in alcun punto di E. In caso contrario, parlando
di "reciproca di f " s'intendera pensarIa definita suI sottoinsieme
*"
{x : f(x) oj di E.
Detta f una funzione qualunque a valori numerici vettoriali, si
0
chiama suo valore assoluto modulo la funzione If I definita da
0
=
IfI(x) If(x)1 per ogni x e E.
e e
Evidentemente, se f : E ---7 IRID la IfI un'applicazione di E in R+.
,
e
Talvolta utile considerare in :I la relazione seguente:
f ~ g se e solo se f(x) < g(x) per ogni x e E.
e
Come subito si vede, la relazione riflessiva, disimmetrica e transitiva:
trattasi dunque di una relazione di ordine in :I, ordine che peraltro non
e
totale.
Introducendo in i le due operazioni v, definite da
A
=
[f v g] (x) max (f(x), gtx) per ogru x E E
=
[f A g] (x) min (f(x), g(x» per ogm x e E,
si constata immediatamente che f v g ed f x g sono rispettivamente la
minima seguente comune e la massima precedente comune di f, g
:« e
rispetto alIa relazione d'ordine. L'insieme dunque rispetto alIa detta
relazione d'ordine, un reticolo (Cap. 9, § 1).
y
----
...
.
fv9 .
" ,.
o
x
Avendosi per di piu
= =
(f A g) v h (f v h) A (g v h), (f v g) A h (f 1\ h) v (g 1\ h)
e
(come facilmente si verifica), il reticolo stesso distributivo.
7
M.DOLCHER - Elementi di Analisi matematica
Posto
+ - =
f = f v 0, f f /\ 0
(dette risp. parte positiva e parte negative della f: qui 0 indica la
e
funzione nulla di =i), si verifica subito che
+ - + - + -
f + f = f, f - f = lfl, f .f = O.
Si noti ancora che le operazioni v, /\ possono esprimersi mediante
l'addizione, il passaggio all'opposta e il valore assoluto; si constata infatti
facilmente che si ha
1
f v g = 2 (f + g + If-gl),
1
f 1\ g = 2 (f + g - If-gl) .
Per provarlo, basta esaminare separatamente i due casi f(x) > g(x) ed
f(x) < g(x).
. § 4. RESTRIZIONE, COMPOSIZIONE, INVERSIONE
Si tratta di nozioni gia esposte, per applicazioni arbitrarie d'insiemi, nel
Cap. 4 (in partic. § 1-3): chi studia e consigliato di rivedere, quando non le
abbia ben ritenute, le nozioni ivi esposte. Qui ci limitiamo a qualche
richiamo relativo al caso che piu ci interessa (IR ~ R, e piu
n
particolarmente IR IR).
-t
Sappiamo (ivi, § 2) cio che s'intende per restrizione di un'applicazione
-4
E E' ad un sottoinsieme El di E. Nel seguito avremo da considerare
ad ogni pie sospinto restrizioni delle funzioni di cui sara parola: per
e
evitare complicazioni, indicheremo, come nell'uso, la restrizione,
anziche con flEI' con 10 stesso simbolo f che indica la funzione
originaria: pur di avere chiaro il concetto di restrizione e di avere
specificato quale sia l'insieme El' non vi saranno da temere equivoci.
Invece di dire "la restrizione della f ad El" si dice spesso "la f
considerata sull'insieme E."
Per le funzioni espresse da "operazioni'' da eseguire sulla variabile x,
conveniamo che quando il dominio non sia esplicitamente precisato, la
8
pXL
Cap. 20 - Lefunzioni
funzione s'intenda definita per tutti quei valori di x per i quali le
operazioni indicate hanno senso.
=
3
Cosl, scrivendo semplicemente f(x) x zx, la f s'intende definita
-
= = 3
per ogni x reale (E R); scrivendo f(x) x - 2x, x E [0, 3] s'intende
indicarne la restrizione all'intervallo specificato.
e
Sia f una funzione definita in A e g una funzione definita in B. Se
f(A) c B, le due funzioni si possono nell'ordine, cornporre, ottenendosi
una funzione g f definita in A da
0 (4)
(g f) (x) = g(f(x».
0
e
In verita, si detto a suo luogo (ivi, § 2) che per poter comporre due
funzioni occorre che il codominio della prima coincida col dominio della
seconda, ma, quando l'ipotesi f(A) c B sia verificata, la composizione
pub aver luogo ugualmente, bastando intendere che il simbolo g sopra
usato sta per glf(A)' Ed anche fuori della detta ipotesi la composizione pub
effettuarsi quando il dominio della g sia un insieme dello stesso spazio
e
che codominio della f
(5):
(IRn :) A -4 IRrn, U~m ~) B .14 IRP.
Parlando di composizione in una tale situazione, restera inteso che si
cornporra con la g la restrizione f della f all'insieme fl(B). Il
e
(4) Trattandosidi applicazioni a valorenumerico, meglio evitarelascritturaabbreviata
gf,pernonconfondere lafunzione composta colprodotto g.f delleduefunzioni.
Affinchequestoragionamento sia valido senzaeccezioni, ammettiamo frale funzioni
(5)
anchequella "vuota" ossiadefinita sull'insieme vuoto (Cap. 4, § 1).
9