Elementi di Analisi Matematica

461 Pages·2008·4.1 MB·Italian

by  G. C. Barozzi

Giulio Cesare Barozzi
Giovanni Dore
Enrico Obrecht
Elementi di
Analisi Matematica
Volume 1
Versione preliminare – 2008
Tutti i diritti riservati.
0
Insiemi, funzioni, numeri
Lo scopo di questo capitolo iniziale `e quello di presentare, in modo sintetico, alcune
nozioni che, almeno in linea di principio, dovrebbero essere note allo studente che ha
frequentatounascuolasuperioreadindirizzoscientifico. Vogliamoprecisareitermini
e i simboli, riprendere ed approfondire nozioni forse dimenticate.
In prima lettura si puo` anche tentare di omettere questo capitolo, salvo tornarvi
tutte le volte che un simbolo, una definizione o un risultato contenuto nei capitoli
seguenti risulta di difficile comprensione.
0.1 Il linguaggio degli insiemi
Il linguaggio degli insiemi `e uno strumento conveniente per la formulazione di mol-
ti concetti matematici. Il matematico tedesco G. Cantor (1845-1918) scrisse: “Un
insieme `e una collezione di oggetti, determinati e distinti, della nostra percezione o
del nostro pensiero, concepiti come un tutto unico; tali oggetti si dicono elementi
dell’insieme”.
Come si vede, non siamo di fronte ad una definizione, quanto piuttosto ad una
descrizione intuitiva. Accetteremo come “primitivi”, cio`e non riconducibili a termini
precedentemente definiti, il concetto di insieme e quello di elemento di un insieme. insieme, elemento
Questidueconcettisonolegatitralorodallarelazionediappartenenza,cio`euninsieme
appartenenza
`e noto quando si conoscono in modo certo, anche se talora non esplicito, quali siano
i suoi elementi. Non si richiede che gli elementi di un insieme abbiano caratteristiche
particolari (ad esempio siano oggetti matematici), n´e che siano omogenei tra loro,
anche se in molti casi questo accade.
Di solito un insieme viene indicato con una lettera maiuscola e un suo elemento
con una lettera minuscola; per indicare che l’elemento a appartiene all’insieme A si
scrive
a A
∈
e si legge “a appartiene ad A”; per affermare il contrario, si scrive
a / A
∈
e si legge “a non appartiene ad A”.
Alcuni esempi di insiemi sono i seguenti:
1. l’insieme dei numeri interi 1, 4 e 5;
2. l’insieme degliiscrittialle liste elettoralidelComunediBolognaall’1settembre
2008;
3. l’insieme delle cifre in base 10, cio`e i numeri naturali compresi fra 0 e 9;
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2 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri (cid:13)c 978-88-00-00000-0
4. l’insieme di tutte le rette del piano passanti per un punto assegnato.
Quando `e possibile elencare tutti gli elementi di un insieme A, questo viene
indicato racchiudendo tra parentesi graffe tutti i suoi elementi, separati fra loro da
virgole; ad esempio l’insieme delle cifre in base 10 si indica con
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .
{ }
L’ordine in cui vengono elencati gli elementi di un insieme non ha importanza: i
simboli a,b,c e b,a,c indicano lo stesso insieme.
{ } { }
E` opportuno non ripetere piu` volte lo stesso elemento, perch´etale ripetizione non
altera l’insieme; ad esempio, i simboli a,b,a e a,b indicano lo stesso insieme.
{ } { }
sottoinsieme Siano A e B dueinsiemi;seognielementodi A `eancheelementodi B,diciamo
che A `e un sottoinsieme (o parte) di B e scriveremo
A B,
⊆
scrittura che possiamo leggere: “A `e incluso in B” oppure “A `e contenuto in B”.
La scrittura B A `e equivalente alla precedente A B.
⊇ ⊆
Se A B, non`e escluso che si abbia anche B A; in tal caso ogni elemento di
⊆ ⊆
A `e anche elemento di B e viceversa ogni elemento di B `e anche elemento di A;
perci`o A e B hannoglistessielementiequindi A=B,cio`e A e B sonodue nomi
diversi per lo stesso insieme.
sottoinsieme Se A B ma A = B, dunque esistono elementi di B non appartenenti ad A,
⊆ 6
proprio si dice che A `e un sottoinsieme proprio di B e si scrive A B.
⊂
La relazione di inclusione tra insiemi gode delle proprieta`:
riflessiva A A,
• ⊆
antisimmetrica se A B e B A, allora A=B,
• ⊆ ⊆
transitiva se A B e B C, allora A C.
• ⊆ ⊆ ⊆
Unaltromodoperindicareuninsieme`equellodiindividuareisuoielementicome
gli elementi di un insieme noto, che godono di un’opportuna proprieta`; ad esempio,
se N indica l’insieme dei numeri naturali, la scrittura
B = x N 1<x<5
{ ∈ | }
indica l’insieme dei numeri naturali strettamente compresi tra 1 e 5, dunque B =
= 2,3,4 .
{ }
La barra verticale separa l’insieme in cui B `e incluso dalle condizioni (una
|
o piu` di una) che individuano i suoi elementi: tutti gli elementi che verificano tali
condizioni (e soltanto essi) costituiscono il sottoinsieme che stiamo definendo.
Se avessimo scritto x N 1 < x < 3 , avremmo individuato l’insieme conte-
{ ∈ | }
singoletto nenteilsolonumero 2,cio`e 2 . Untaleinsiemevienechiamatosingoletto. Dunque
{ }
unsingoletto`euninsieme contenente unsoloelemento: A= a , e sar`abene tenere
{ }
presente che tale insieme `e diverso dall’elemento a.
Grave errore`e confondere le relazionidi appartenenza e di inclusione; ad esempio
`e vero che a a,b , ma non `e vero che a a,b ; `e vero che a a,b , ma
∈ { } ⊆ { } { } ⊆ { }
non che a a,b .
{ }∈{ }
Una scrittura del tipo x N 1 < x < 2 pone qualche imbarazzo, in quanto
{ ∈ | }
nonv’`ealcunnumeronaturale compresostrettamente tra 1 e 2. Questa`euna delle
insieme vuoto situazionichesuggerisconodidefinirel’insieme vuoto,cio`el’insiemeprivodielementi;
per tale insieme useremo il simbolo .
∅
E` ovvio dalla definizione che l’insieme vuoto `e incluso in ogni insieme e che ogni
insieme `e incluso in se stesso.
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(cid:13)c 978-88-00-00000-0 0.1. Il linguaggio degli insiemi 3
Se A `e un insieme, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi, incluso l’insieme vuoto
ed A stesso, viene chiamato insieme delle parti di A (o insieme potenza di A) e insieme delle parti
viene indicato con (A):
P
(A)= X X A .
P { | ⊆ }
Ad esempio, se A= a,b,c , allora gli elementi di (A) sono
{ } P
, a , b , c , a,b , a,c , b,c , a,b,c .
∅ { } { } { } { } { } { } { }
Glielementidi (A) sonodunque,alorovolta,insiemi: siha,adesempio, a A,
P ∈
ma a (A).
{ }∈P
Si osservi il fatto che se un insieme A possiede 3 elementi, il corrispondente
(A) possiede 23 =8 elementi; siprovia contarequantielementicontiene (A) se
P P
A contiene 2 elementi, oppure 4 elementi, e si tenti una congettura in generale sul
legame tra il numero degli elementi di A e il numero degli elementi di (A).
P
Vogliamo ora definire alcune “operazioni” tra insiemi.
Datigliinsiemi A e B,sichiamaunionedi A e B,insimboli A B, l’insieme unione,
∪
degli elementi che appartengono ad uno (almeno) degli insiemi A e B, si chiama intersezione
intersezione di A e B, in simboli A B, l’insieme degli elementi che appartengono
∩
ad entrambi gli insiemi A e B:
A B = x x Aoppurex B ,
∪ { | ∈ ∈ }
A B = x x A, x B .
∩ { | ∈ ∈ }
Osserviamo che nella formula che definisce l’intersezione abbiamo imposto due
condizioni: x A e x B. L’inserimento di una virgola fra queste indica che si
∈ ∈
richiede che siano entrambe soddisfatte.
Si chiama infine differenza tra A e B, in simboli A B, l’insieme degli elementi differenza di
\
di A che non appartengono a B: insiemi
A B = x A x / B ,
\ { ∈ | ∈ }
e si legge “A meno B”.
Se A e B sonoprividielementiincomune,lalorointersezione`evuota: A B = insiemi disgiunti
∩
= , ed essi si dicono disgiunti.
∅
Le operazioni introdotte possono essere illustrate mediante i diagrammi di Venn.
B A B
∪
A
A B A B
∩ \
Figura 0.1.1. I diagrammi di Venn,
cos`ı chiamati dal nome del logico ingle-
se John Venn (1834-1923), illustrano le
operazioni tra insiemi.
Se A e U sono due insiemi e A U , l’insieme differenza U A si chiama
⊆ \
complementare di A (rispetto a U ) e si indica ∁ A: complementare
U
∁ A=U A.
U
\
Se A `e l’insieme degli elementi di U che godono di una certa proprieta`, allora il
complementaredi A `el’insiemedeglielementidi U chenongodonoditaleproprieta`.
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4 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri (cid:13)c 978-88-00-00000-0
Se U `e fissato una volta per tutte, si puo` scrivere semplicemente ∁A, oppure si
possono utilizzare simboli piu` agili, come Ac, A′.
NellaTab.0.1.1,incuivengonosintetizzateleprincipaliproprieta`delleoperazioni
di unione, intersezione e complementazione,utilizziamo il simbolo A′. Si osserviche
il complementare del complementare di un insieme `e l’insieme stesso:
(A′)′ =A.
Sono notevoli le due leggi di De Morgan (cos`ı chiamate dal nome del logico inglese
Augustus De Morgan, 1807-1871): a parole esse affermano che, nel passaggio da un
insieme al suo complementare, l’unione si scambia con l’intersezione.
Tabella 0.1.1. Propriet`a delle operazioni tra insiemi.
(A B) C =A (B C) associativita` di
∪ ∪ ∪ ∪ ∪
(A B) C =A (B C) associativita` di
∩ ∩ ∩ ∩ ∩
A B =B A commutativit`a di
∪ ∪ ∪
A B =B A commutativit`a di
∩ ∩ ∩
A (B C)=(A B) (A C) distributivita` di rispetto a
∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩
A (B C)=(A B) (A C) distributivita` di rispetto a
∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪
(A B)′ =A′ B′ prima legge di De Morgan
∪ ∩
(A B)′ =A′ B′ seconda legge di De Morgan
∩ ∪
U U
B B A B
∪
∪
A A
c
o
m
p
le
m (A B)′
e ∪
n
t
a
z
io
n
UA′ B′ e
∩
A′ B′
∩
Figura 0.1.2. Ilcomplementaredell’unione`el’intersezionedeicomplementari(primalegge
diDe Morgan).
Siano A e B due insiemi (non vuoti); possiamo scegliere un elemento a di A e
un elemento b di B e considerare l’insieme di due elementi a,b . Questo insieme
{ }
dipende soltanto dagli elementi che abbiamo scelto e non dall’ordine di scelta, cio`e
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(cid:13)c 978-88-00-00000-0 0.1. Il linguaggio degli insiemi 5
a,b = b,a . In molte situazioni `e invece importante l’ordine con cui vengono
{ } { }
considerati i due elementi. Un esempio familiare `e quello delle partite di calcio. Se
diciamo che domenica prossima si gioca la partita Juventus–Milan, intendiamo dire
che laJuventusgiocaincasacontroilMilan. Altra cosa`elapartitaMilan–Juventus.
Seinuninsiemedidueelementisidistingueilprimodalsecondoelemento,sidice coppia ordinata
che si considera una coppia ordinata, e si usa il simbolo (a,b), in luogo di a,b .
{ }
Dunque (a,b)= (b,a), tranne quando a = b. Osservare le parentesi tonde in luogo
6
delle graffe. L’elemento a si chiama prima coordinata (o prima componente) della coordinate,
coppia, l’elemento b si chiama seconda coordinata (o seconda componente). componenti
Adesempiose A= a, b, c e B = 1, 2, 3, 4 ,alloral’insiemedituttelecoppie
{ } { }
che si possono formare prelevando il primo elemento da A ed il secondo da B sono
elencate nel seguente specchio:
(a,1) (a,2) (a,3) (a,4)
(b,1) (b,2) (b,3) (b,4)
(c,1) (c,2) (c,3) (c,4).
A B B A
× × c
4
3
b
2
1
a
a b c
1 2 3 4
Figura0.1.3. Iprodotticartesiani A×B (asinistra)e B×A (adestra),dove A={a, b, c}
e B ={1, 2, 3, 4}.
Dati due insiemi A e B non vuoti (e non necessariamente distinti), il prodotto prodotto
cartesiano A B `e l’insieme di tutte le coppie ordinate che hanno il primo elemento cartesiano
×
appartenente ad A ed il secondo elemento appartenente a B, cio`e:
A B = (a,b) a A, b B .
× { | ∈ ∈ }
L’aggettivo cartesiano trae origine dal nome latinizzato del matematico e filosofo
francese Ren´e Descartes (1596-1650).
Il prodotto cartesiano non `e commutativo, nel senso che A B e B A sono
× ×
insiemi tra loro diversi (tranne il caso in cui A = B), perch´e diversi sono i loro
elementi (v. Fig. 0.1.3). Se A e B sono i due insiemi considerati poco sopra, allora
A B hacomeelementilecoppiedeltipo(lettera,numero)cheabbiamogi`aelencato,
×
mentre B A `e costituito da coppie del tipo (numero, lettera) e precisamente dalle
×
coppie
(1,a) (1,b) (1,c)
(2,a) (2,b) (2,c)
(3,a) (3,b) (3,c)
(4,a) (4,b) (4,c).
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6 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri (cid:13)c 978-88-00-00000-0
Se A =B, si scrive A2 in luogo di A A; in tal caso abbiamo anche le coppie
×
del tipo (a,a), cio`e quelle in cui la prima coordinata coincide con la seconda: esse
costituiscono la “diagonale” del prodotto A A.
×
In alcuni casi sar`a opportuno considerare il prodotto cartesiano di piu` di due
insiemi; ad esempio, l’insieme
A A A = (a ,a ,a ) a A ,a A ,a A
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3
× × { | ∈ ∈ ∈ }
`e un insieme di terne ordinate, oppure, piu` in generale,
B B = (b ,...,b ) b B ,i=1,...,n
1 n 1 n i i
×···× { | ∈ }
`euninsiemedi n-pleordinate. Lostudenteosserviqualesialaproprieta`cheindividua
l’insieme ora definito: si `e richiesto che valga la proprieta` b B per tutti i valori
i i
∈
interi dell’indice i compresi tra 1 e n.
Potremonaturalmenteparlareanchedelcubo A3,dellaquartapotenza A4 ,ecc.,
della n-esima potenza An dell’insieme A. Limitiamoci a esplicitare
An =A ... A= (a ,...,a ) a A,i=1,...,n .
1 n i
× × { | ∈ }
ninsiemi
| {z }
0.2 Il linguaggio delle proposizioni
proposizione Una proposizione `e una frase di senso compiuto, per la quale abbia senso chiedersi
se sia vera oppure falsa. Di solito indicheremo le proposizioni con lettere minuscole,
come p,q,r,... .
Alcuni esempi:
p : “7 `e un numero primo” (vera);
1
p : “Roma`e la capitale della Francia” (falsa);
2
p : “15`e multiplo di 5” (vera).
3
Una frase imperativa, come “Spegni la televisione!”, non`e una proposizione.
negazione Ad ogni proposizione p possiamo associare la sua negazione p (si legge: “non
¬
p”). Se p `evera,allora p `efalsa;se p `efalsa,allora p `evera. Perlaproposizione
¬ ¬
p sopra considerata si ha
1
p : “7 non`e un numero primo”.
1
¬
Si osservi che ( p) equivale a p, cio`e una doppia negazione equivale ad un’affer-
¬ ¬
mazione.
congiunzione, Se p e q sono proposizioni, a partire da esse possiamo costruire due nuove pro-
disgiunzione posizioni, dette congiunzione e disgiunzione di p e q, inserendo tra esse le particelle
e ed o (intesa in senso non esclusivo) della lingua italiana. Piu` precisamente, la
congiunzione di p e q si denota
p q
∧
(si legge: “p e q”); essa `e vera se (e soltanto se) p e q sono entrambe vere. La
disgiunzione si scrive
p q
∨
(si legge: “p o q”); essa `e vera se una (almeno) delle proposizioni p e q `e vera.
La somiglianza tra i simboli , appena introdotti e i simboli , introdotti
∨ ∧ ∪ ∩
nella sezione precedente, non`e casuale; infatti l’unione e l’intersezione tra gli insiemi
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(cid:13)c 978-88-00-00000-0 0.2. Il linguaggio delle proposizioni 7
A,B (X), si scrivono
∈P
A B = x X (x A) (x B) , A B = x X (x A) (x B) .
∪ { ∈ | ∈ ∨ ∈ } ∩ { ∈ | ∈ ∧ ∈ }
Segnaliamo la proprieta` commutativa degli operatori e :
∨ ∧
p q equivale a q p, p q equivale a q p.
∧ ∧ ∨ ∨
Un altro modo per costruire una proposizione a partire da due proposizioni date implicazione
p e q consiste nello scrivere l’implicazione, cio`e “p implica q”, denotata con la
scrittura
p= q.
⇒
L’implicazione `e riconducibile alla negazione e alla disgiunzione; infatti la propo-
sizione p= q viene definita come la proposizione
⇒
( p) q.
¬ ∨
A parole: dire che “p implica q” `e vera, significa che essa `e sicuramente vera se `e
vera p (e quindi se p `e falsa) e inoltre `e vera se `e vera q.
¬
La dimostrazione di molti teoremi consiste nel verificare la validit`a di un’implica- ipotesi, tesi
zione p= q; in questo contesto si dice che p `e l’ipotesi, q `e la tesi. Si dice anche
⇒
che p `e sufficiente per q, mentre q `e necessaria per p.
E` importante sottolineare la differenza fra la verit`a di q e quella di p = q; se
⇒
il teorema p = q `e vero, non `e detto che sia vera la tesi q. Questo per`o accade
⇒
sicuramente se sappiamo che anche l’ipotesi p `e vera.
Mostriamo due esempi tratti dalla geometria elementare.
0.2.1 Esempio. Si considerino le proposizioni:
p: “il quadrilatero ABCD `e un quadrato”;
q : “le diagonali AC e BD si tagliano mutuamente a met`a”.
L’ultima proposizione significa che il punto d’intersezione tra le due diagonali `e il
punto medio di entrambe. Chiaramente p= q.
⇒
D
C
A
Figura 0.2.1. Inogniparallelogramma
B le diagonali si tagliano a met`a.
0.2.2 Esempio. Si considerino le proposizioni (v. Fig. 0.2.2):
p: “il triangolo ABC `e rettangolo in A”;
q : “si ha AB2+AC2 =BC2”.
L’implicazione p= q `e precisamente il teorema di Pitagora.
⇒
Se p= q,`e naturale chiedersi se valga anche l’implicazione inversa q = p; se equivalenza
⇒ ⇒
ci`o accade si dice che le proposizioni p e q sono equivalenti e si scrive
p q.
⇐⇒
Dunque l’ultima scrittura equivale alla congiunzione (p= q) (q = p).
⇒ ∧ ⇒
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8 Capitolo 0. Insiemi, funzioni, numeri (cid:13)c 978-88-00-00000-0
Nel caso dell’esempio 0.2.1 non si ha l’implicazione q = p : la proprieta` q vale
⇒
per ogni parallelogramma (in realta` essa caratterizza l’insieme dei parallelogrammi
nell’ambito dell’insieme dei quadrilateri); al contrario, nell’esempio 0.2.2 vale anche
l’implicazioneinversa: seinuntriangolo ABC sihalarelazione AB2+AC2 =BC2,
allora tale triangolo ha un angolo retto nel vertice A.
C
B
A
Figura 0.2.2. Il triangolo ABC
`e rettangolo in A se e solo se
AB2 + AC2 = BC2. Si tratta
del teorema di Pitagora e del suo
inverso,ledueultimeproposizioni
del primo Libro degli Elementi di
Euclide,scrittonel 3◦ secoloa.C.
Talvolta, anzich´e dimostrare l’implicazione p = q, conviene dimostrare l’impli-
⇒
cazione contraria ( q)= ( p). Le due implicazioni sono equivalenti.
¬ ⇒ ¬
Aparole: dimostrareche p implica q equivale adimostrareche,se q fossefalsa,
allora sarebbe falsa p.
L’equivalenza tra le implicazioni p = q e ( q) = ( p) si dimostra osser-
⇒ ¬ ⇒ ¬
vando che la prima significa, come sappiamo, ( p) q, e analogamente la seconda
¬ ∨
significa ( q) ( p), cio`e ancora q ( p) equivale a ( p) q.
¬ ¬ ∨ ¬ ∨ ¬ ¬ ∨
dimostrazione per Dimos(cid:0)trare pe(cid:1)r assurdo una certa tesi q significa assumere come ipotesi momen-
assurdo tanea la sua negazione q e dimostrare che ci`o implicherebbe una contraddizione:
¬
ad esempio la negazione dell’ipotesi (o di una delle ipotesi), oppure la negazione di
un risultato stabilito in precedenza.
Ci capiter`a spesso di considerare frasi contenenti una lettera x che denota un
arbitrario elemento di un insieme X. Ad esempio, nella sezione 0.6 considereremo
il caso in cui X `e l’insieme N dei numeri naturali e p(n) `e un enunciato (cio`e una
frase, un’affermazione) contenente il simbolo n, dove n N.
∈
Un esempio banale: sia
p(n): “n2 `e pari”.
Nonpossiamodiresesitrattadiun’affermazioneveraoppurefalsa,finoaquandonon
abbiamoattribuitounvaloreallavariabile n. Adesempio p(2) `elaproposizione“22
`e pari”, che `e vera,mentre p(5) `e la proposizione “52 `e pari”, che `e falsa. Abbiamo
in definitiva un insieme di proposizioni p(n) n N , ciascuna delle quali puo`
{ | ∈ }
essere vera oppure falsa, a seconda del valore assegnato alla variabile n.
frase aperta In generale, chiameremo frase aperta definita sull’insieme X un insieme di pro-
posizioni del tipo descritto. Per ottenere una proposizione a partire da una frase
aperta p(x), x X, oltre ad attribuire a x un valore particolare appartenente a
∈
X, possiamofarprecederealla fraseapertastessala frase“perogni x X”,oppure
∈
“esiste x X”.
∈
Con riferimento all’esempio precedente, la frase
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