elementi di analisi funzionale e complessa

495 Pages·2004·3.21 MB·Italian

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progetto
didattica in rete
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Elementi di Analisi
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funzionale e complessa

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Luciano Pandolfi
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Politecnico di Torino, settembre 2004
Dipartimento di Matematica
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otto editore
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ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE E
COMPLESSA
LUCIANO PANDOLFI
DIPARTIMENTODIMATEMATICA
POLITECNICODITORINO
LucianoPandolfi
ElementidiAnalisifunzionaleecomplessa
Primaedizionesettembre2004
(cid:13)C2004,OTTOeditore–Torino
[email protected]
http://www.otto.to.it
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INDICE
1. Lefunzioniolomorfe 9
1.1. Richiamisuinumericomplessi . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Radicin–medinumericomplessi . . . . . . . . . . . 13
1.1.2 Esponenziale,logaritmo,formulediEulero . . . . . . 14
1.2. Limiti econtinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 DerivataeintegraledifunzionidaRinC . . . . . . . 18
1.3. Curvenelpianocomplesso . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4. FunzionidaR2 inR2 efunzionidaCinC . . . . . . . . 22
1.5. Laderivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Esempidifunzioniolomorfeeformulediderivazione 29
1.5.2 Osservazionesui“teoremifondamentali . . . . . . .
delcalcolodifferenziale" . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.3 Lamatricejacobianaelefunzioniolomorfe . . . . . 34
1.5.4 SeriedipotenzeeseriediLaurent . . . . . . . . . . . 37
1.6. Funzioniolomorfeetrasformazioniconformi . . . . . . 42
1.6.1 Larappresentazionedellefunzioniolomorfe . . . . . 44
1.7. Integraledicurvadifunzioniolomorfe . . . . . . . . . . 47
1.8. IlteoremadiCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9. Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.9.1 Curveequipotenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.9.2 Ilcasodellafunzionez → z¯ . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.3 Lafunzionelogaritmoelepotenze . . . . . . . . . . 57
1
1.10. Indiceeomotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.11. Convergenzauniformesuicompatti . . . . . . . . . . . 67
1.12. LaformulaintegralediCauchy . . . . . . . . . . . . . 69
1.12.1 Laproprietàdellamedia . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.12.2 Funzioniolomorferappresentatemedianteintegrali . 72
1.13. Analiticitàdellefunzioniolomorfe . . . . . . . . . . . . 74
1.13.1 Funzioniarmoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1.13.2 Zerieestensionidifunzioniolomorfe . . . . . . . . 77
1.14. TeoremadiMoreraeprincipiodiriflessione . . . . . . . 81
1.15. TeoremidiWeierstrassediMontel . . . . . . . . . . . . 84
1.16. MassimomoduloeteoremadiLiouville . . . . . . . . . 87
1.17. Lesingolaritàisolate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.18. FormuladiLaurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.19. Singolaritàezeriadinfinito . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.20. Ilmetododeiresidui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
1.20.1 Calcolodiintegraliimpropri . . . . . . . . . . . . . 107
1.20.2 IlPrincipiodell’argomento . . . . . . . . . . . . . . 112
1.20.3 IteoremidiHurwitzeRouchéedellamappaaperta . 113
1.21. Trasformazioniconformi . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.21.1 IlteoremadiRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.22. Monodromiaepolidromia . . . . . . . . . . . . . . . . 128
1.22.1 Puntididiramazionedifunzioniolomorfe . . . . . . 128
1.22.2Funzionianalitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2. Funzioniarmoniche 135
2.1. Funzioniarmonicheefunzioniolomorfe . . . . . . . . . 135
2.2. ProprietàdellamediaeteoremadiGauss . . . . . . . . . 137
2.3. IlproblemadiDirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.3.1 LaformuladiPoisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2
3. LatrasformatadiLaplace 145
3.1. Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2. ProprietàdellatrasformatadiLaplace . . . . . . . . . . 147
3.3. TrasformatadiLaplace,derivataedintegrale . . . . . . . 150
3.4. Alcunetrasformatefondamentali . . . . . . . . . . . . . 154
3.5. Ilproblemadell’antitrasformata . . . . . . . . . . . . . 155
3.5.1 Antitrasformatadifunzionirazionali . . . . . . . . . 155
4. MisuraeintegrazionesecondoLebesgue 157
4.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2. Anelliedalgebrediinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3. Misurediinsiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4. InsiemimisurabilisecondoLebesgue . . . . . . . . . . . 167
4.4.1 Insiemilimitati emisurabilisecondoLebesgue . . . . 168
4.4.2 Insiemiillimitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5. Insieminullieproprietàchevalgonoquasiovunque . . . 174
4.6. Funzionimisurabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.7. IntegralediLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.7.1 L’integraledellefunzionisemplici . . . . . . . . . . 181
4.7.2 L’integraledellefunzionipositive . . . . . . . . . . . 183
4.7.3 Funzioniintegrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.7.4 Integraleedinsieminulli . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.8. IntegralediLebesgueedintegralediRiemann . . . . . . 188
4.9. Limiti disuccessionidifunzionieintegrale . . . . . . . 191
4.10. Disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.10.1LerelazionitraspaziLp(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 205
4.11. IteoremidiFubinieTonelli . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.11.1 Convoluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.12. Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.13. LafunzioneintegralesuR . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.13.1Estensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
3
5. SpazidiBanach 215
5.1. Introduzioneall’analisifunzionale . . . . . . . . . . . . 215
5.1.1 L’equazioneAx = φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.1.2 L’equazioneλx−Ax = y . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.1.3 L’equazionediFredholmanucleodegenere . . . . . 221
5.1.4 L’equazionediprimaspecie . . . . . . . . . . . . . . 223
5.1.5 Ricapitolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2. Spazilinearinormati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.2.1 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.3. Spaziprodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.4. GliesempiprincipalidispazidiBanach . . . . . . . . . 237
5.4.1 Gliesempidispazilinearinormati . . . . . . . . . . 237
5.4.2 Ledimostrazionidellacompletezza . . . . . . . . . . 242
5.4.3 Teoremadeldoppiolimite . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.5. Sottospazidispazilinearinormati . . . . . . . . . . . . 252
5.5.1 Identitàapprossimateedimostrazione . . . . . . . .
delteoremadiWeierstrass . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.6. Lacompattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.6.1 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.7. Operatorilineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
5.7.1 Proprietàgeometrichedeglioperatorilineari . . . . . 266
5.7.2 Lacontinuitàdeglioperatorilineari . . . . . . . . . . 270
5.7.3 Funzionalilinearicontinuiediperpiani . . . . . . . . 275
5.7.4 LospazioL(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.7.5 Inversidiunoperatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.8. IlteoremadiBaireelesueconseguenze . . . . . . . . . 289
5.8.1 Proiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.8.2 Appendice: Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.8.3 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.9. Lospazioduale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
5.9.1 Applicazioni: Insiemiconvessi . . . . . . . . . . . . 312
5.9.2 Applicazioni: Funzioniconvesse . . . . . . . . . . . 316
5.9.3 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 319
4
5.10. Convergenzadeboleedebolestella . . . . . . . . . . . . 328
5.10.1Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.11. Esempidispaziduali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
5.11.1 Relazionetraleconvergenzedeboleedebolestella . 352
5.12. Lospettrodiunoperatore . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
5.12.1 Proiezionispettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.13. Trasformazioninonlineari . . . . . . . . . . . . . . . . 368
5.13.1 Teoremadellecontrazionieapplicazioni . . . . . . . 368
5.13.2 Idifferenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
6. SpazidiHilbert 377
6.1. Prodottointernoenorma . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
6.1.1 EsempidiprodottiinterniedispazidiHilbert . . . . 382
6.2. Teoremadelleproiezioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.3. Complementiortogonalieproiezioniortogonali . . . . . 389
6.3.1 Sistemiortonormaliecalcolodiproiezioni . . . . . . 393
6.3.2 SeriediFourierastratte . . . . . . . . . . . . . . . . 397
6.4. IldualediunospaziodiHilbert . . . . . . . . . . . . . . 399
6.5. L’operatoreaggiuntodiunoperatoretraspazidiHilbert . 401
6.5.1 L’aggiuntodiunoperatorelimitato . . . . . . . . . . 403
6.5.2 Operatoriaggiuntiedoperatorichiusi . . . . . . . . . 404
6.5.3 OperatoridaH insé;operatoriautoaggiunti . . . . . 407
6.5.4 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 409
6.6. Operatoricompatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
6.6.1 Lospettrodeglioperatoricompatti . . . . . . . . . . 417
6.6.2 Operatoricompattitraspazidiversi. Valorisingolari . 419
6.6.3 Proprietàgeometrichedegliautovalorievalorisingolari 422
6.6.4 OperatoricompattiedequazioniintegralidiFredholm 425
6.6.5 Dimostrazioniposposte . . . . . . . . . . . . . . . . 427
5
7. DistribuzionietrasformatadiFourier 441
7.1. LatrasformatadiFourierdifunzioni . . . . . . . . . . . 441
7.2. LeproprietàdellatrasformatadiFourier . . . . . . . . . 443
7.2.1 IlteoremadiRiemann-Lebesgue . . . . . . . . . . . 444
7.3. L’antitrasformatadiFourier . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.4. LatrasformatadiFouriersuL2(R ) . . . . . . . . . . . 451
7.5. LospazioS eilsuoduale . . . . . . . . . . . . . . . . 455
7.6. LatrasformatadiFouriersuS(cid:1) . . . . . . . . . . . . . . 459
7.6.1 Leoperazionisulledistribuzioni . . . . . . . . . . . . 464
7.6.2 OperazionietrasformatadiFourier . . . . . . . . . . 467
7.6.3 Convoluzionedidistribuzioni . . . . . . . . . . . . . 468
7.7. Ilcasodellefunzionidipiùvariabili . . . . . . . . . . . 474
6