Table Of ContentTheodor Lehmann' Elemente der Mechanik IV
Elemente der Mechanik
von Theodor Lehmann
B d. I: Einftihrung
Bd. II: Elastostatik
Bd. III: Kinetik
Bd. IV: Schwingungen, Variationsprinzipe
Theodor Lehmann
Elemente der Mechanik IV
Schwingungen,
Variation sprinzipe
2., durchgesehene Auflage
Mit 107 Bildern
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig/Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Lehmann. Theodor:
Elementc der Mcchanik / Theodor Lehmann.
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg
Teilw. mit d. Erscheinungsort Braunschweig.
Bd. 1. 1. Aull. im Bertelsmann-Univ.-VerI..
Dusseldorf
(Studienbucher Naturwissenschaft und Technik; ... )
4. Lehmann. Theodor: Schwingungen. Variations
prinzipe.-2 .• durchges. Aull.-1985
Lehmann. Theodor:
Schwingungen. Variationsprinzipe /Theodor
Lehmann. - 2. • durchges. Aull. - Braunschweig;
Wiesbaden: Vieweg. 1985.
(Elemente der Mechanik /Theodor Lehmann; 4)
(Studienbucher Naturwissenschaft und Tcchnik;
Bd.17)
NE: 2. GT
1. Auflage 1979
2 .• durchgesehene Auflage 1985
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. Braunschweig 1985
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Bander, Platten und andere Medien.
Satz: Vieweg. Braunschweig
Umschlaggestaltung: Peter Steinthal, Detmold
ISBN 978-3-528-29198-3 ISBN 978-3-322-89571-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-89571-4
v
Vorwort
Der (abschlieBende) IV. Band der Elemente der Mechanik bildet mit dem vorher
gehenden III. Band eine gewisse Einheit: Es werden hier einige Uberlegungen und
Betrachtungen weitergeftihrt, die zwar im Ill. Band schon angeklungen sind, dort
aber nicht weiter ausgeflihrt werden konnten. Das betrifft einmal die Schwingungs
probleme, die an sich zur Thematik des III. Bandes (Kinetik) gehoren, dort aber
ausgespart wurden, und zum andern die Variationsprinzipe, auf die im Rahmen der
Thematik des III. Bandes nur sehr beschrankt eingegangen werden konnte.
Den Schwingungsproblemen ist in diesem Band ein recht breiter Raum gewidmet,
der teilweise tiber das hinausgeht, was in einer einftihrenden Grundvorlesung tiber
Mechanik tiblicherweise gebot~n wird. Das gilt fur manche Teile der Kapitel 4 und
5, insbesondereaber flir Xapitel6 (die Schwingungen der Kontinua). Die Frage
nach dem Warum steUt sich deshalb unausweichlich, zumal es bereits viele Bticher
gibt, die ganz den Schwingungen gewidmet sind. Manche dieser Bticher behandeln
allerdings die Schwingungsprobleme unter sehr spezieUen Gesichtspunkten, bei
sielsweise im Hinblick auf die numerischen Verfahren. Andere wiederum beschran
ken sich in anderer Weise auf gewisse Teilgebiete. Das Ziel dieses Buches ist es hin
gegen, eine moglichst breite Einftihrung in die Schwingungsprobleme zu geben, zu
gleich aber den AnschluB an das (in verschiedene Richtungen) weiterflihrende
Schrifttum zu vermitteln. Das setzt eine sorgfaltige Grundlegung voraus. Zugleich
soUte jedoch ein gewisser Uberblick tiber die bei Schwingungen auftretenden Pha
nomene angestrebt werden. Dies ist nur mit einer gewissen Breite der Darstellung
zu erreichen, die eben etwas tiber den tiblichen Rahmen der Grundvorlesungen hin
ausgeht. Urn diese Schwierigkeit zu beheben, wurde das Buch - wie auch die vor
hergehenden Bande - so angelegt, daB es auch zum Selbststudium geeignet ist.
Ahnliches gilt fur die Einfuhrung in die Variationsprobleme. Auch hierbei greift
das Buch etwas tiber den tiblichen Rahmen einer Grundvorlesung hinaus mit dem
Ziel, neben einer sorgfaltigen Grundlegung einen AnschluB an das weiterftihrende
Schrifttum zu vermitteln.
Insbesondere meinem Kollegen, Herrn Dr. Thermann, habe ich fur viele anregende
Diskussionen tiber Auswahl und Darbietung des Stoffes zu danken. Manches geht
auf seine Anregungen zurUck. Aus dem Kreis der Mitarbeiter bin ich besonders
VI Vorwort
Herrn Preuss zu Dank verbunden, der viele Beispiele durchgerechnet, die Abbildun
gen entworfen und den Text stets kritisch durchgesehen hat. Aber auch Herrn
v. Bredow habe ich ftir das Durchrechnen einiger Beispiele und ftir kritische An
merkungen zu danken. In bewahrter Weise haben Frau Schmidt-Balve und Herr
Grundmann die Zeichnungen ausgeftihrt und als Druckvorlage vorbereitet. Frau
Wagener hat wiederum die miihevolle Arbeit der Reinschrift des Manuskriptes
iibernommen. SchlieBlich haben zahlreiche Mitarbeiter mir bei der Korrektur ge
holfen. Ihnen allen danke ich herzlich.
Theodor Lehmann
Auf eine eingehendere Dberarbeitung konnte bei der 2. Auflage verzichtet werden,
weil sich dieses Buch nach Inhalt und Form als Lehrbuch bewahrt hat. Bei der
Durchsicht wurden deshalb nur einige Fehler und Ungenauigkeiten, die sich bei der
1. Auflage eingeschlichen hatten, korrigiert. Fiir die Mitwirkung bei dieser Korrek
tur habe ich insbesondere Herrn Priv. Doz. Dr. H. Klepp sowie Herrn U. Rott zu
danken.
VII
Inhalt
1. Schwingungen: Grundbegriffe und Kinematik .............. . 1
1.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1
1.2. Grundbegriffe und Darstellungsmethoden ................. . 3
1.3. Harmonische Schwingungen .......................... . 10
1.3.1. Darstellung im Ausschlag - Zeit - Diagramm .............. . 10
1.3.2. Darstellung in der Phasenebene ........................ . 11
1.3.3. Darstellung in der komplexen Zahlenebene ................ . 13
1.4. Modifizierte harmonische Schwingungen .................. . 15
1.5. Harmonische Analyse .............................. . 17
1.6. Klassifikation von Schwingungsvorgangen ................. . 21
2. Autonome Schwingungen eines einfachen linearen Systems ..... . 24
2.1. Konservative Eigenschwingungen eines einfachen linearen Systems .. 25
2.1.1. Die Differentialgleichung und ihre allgemeine Lasung ......... . 25
2.1.2. Energiebetrachtungen .............................. . 27
2.1.2.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2.2. Beispiele ....................................... . 28
2.1.2.3. Naherungsweise Beriicksichtigung der Federmasse ............ . 33
2.2. Gedampfte Eigenschwingungen eines einfachen linearen
Schwingers ..................................... . 36
2.2.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2. Dampfung durch trockene (Coulombsche) Reibung ........... . 37
2.2.3. Geschwindigkeitsproportionale (Newtonsche) Dampfung ....... . 40
2.3. Ein Beispiel flir eine selbsterregte Schwingung .............. . 48
3. Heteronome Schwingungen eines einfachen linearen Schwingers .. . 53
3.1. Erzwungene Schwingungen eines einfachen linearen Schwingers .. . 53
3.1.l. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . 53
3.1.2. Harmonische Erregung eines einfachen linearen Schwingers ..... . 55
3.1.3. Allgemeine periodische Erregung eines einfachen linearen
Schwingers .................................... . 65
3.1.4. Nichtperiodische Erregung eines einfachen linearen Schwingers ... . 67
3.1.5. System -Identifikation ............................ . 72
3.2. Parametererregte Schwingungen eines einfachen linearen
Schwingers .................................... . 73
3.2.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
3.2.2. Ein Beispiel fur eine rheolineare Schwingung . . . . . . . . . ..... . 74
VIII Inhalt
4. NichtUneare Schwingungen eines einfachen Schwingers 79
4.1. Konservative Eigenschwingungen eines nichtlinearen
einfachen Schwingers ..................... ......... . 79
4.1.1. Allgf.meines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2. Integration der Bewegungsgleichung ..................... . 83
4.1.3. Naherungsverfahren .......................... ..... . 89
4.1.3.1. Einfache Linearisierung der Rtickftihrfunktion .............. . 91
4.1.3.2. Bereichsweise Linearisierung der Rtickflihrfunktion . . . . . . . . . .. . 92
4.1.3.3. Energetische Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
4.1.3.4. Harmonische Balance .............................. . 96
4.1.3.5. Verfahren nach Galerkin ............................ . 98
4.1.3.6. Starungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.1.3.7. Einige erganzende Bemerkungen ....................... . 103
4.2. Gedampfte Eigenschwingungen eines nichtlinearen, einfachen
Schwingers .................................... .. 104
4.2.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . 104
4.2.2. Integration der Bewegungsgleichung ..................... . 106
4.2.3. Naherungsverfahren ............................... . 108
4.2.3.1. Energetische Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2.3.2. Harmonische Balance .............................. . 111
4.2.3.3. Verfahren der langsam veranderlichen Amplitude ............ . 113
4.2.3.4. Einige erganzende Bemerkungen ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 115
4.3. Selbsterregte Schwingungen eines einfachen Schwingers ........ . 116
4.3.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.2. Energetische Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 117
4.3.3. Verfahren nach Galerkin ............................ . 118
4.3.4. Harmonische Balance ........................ ...... . 119
4.3.5. Verfahren der langsam veranderlichen Amplitude . . . . . . . . . . . .. 120
4.3.6. Erganzende Bemerkungen ........................... . 121
4.4. Erzwungene Schwingungen eines nichtlinearen einfachen
Schwingers bei harmonischer Erregung ................... . 121
4.4.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.4.2. Verfahren von Galerkin und harmonische Balance ............ . 122
4.4.3. Starungsrechnung ................................. . 126
4.4.4. Einige erganzende Bemerkungen ....... . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
5. Koppelschwingungen in Unearen Systemen ................ . 131
5.1. Das Aufstellen der Bewegungsgleichungen ................. . 131
5.2. Die Struktur des Systems der Bewegungsgleichungen .......... . 136
5.3. Eigenschwingungen eines linearen konservativen Systems ....... . 141
5.3.1. Die allgemeine Lasung des Differential-Gleichungssystems ...... . 141
lnhalt IX
5.3.2. Ein Beispiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
5.3.3. Der Rayleigh-Quotient und darauf basierende Naherungsverfahren .. 149
5.3.3.1. Der Rayleigh-Quotient und ein erstes Naherungsverfahren ....... 149
5.3.3.2. Verfahren der schrittweisen Niiherung .................... 154
5.3.3.3. Die Formeln von Dunkerley und Southwell. . . . . . . . . . . . . . . .. 156
5.4. Gedampfte Eigenschwingungen eines linearen Systems. . . . . . . . .. 159
5.5. Erzwungene Schwingungen eines linearen Systems ............ 163
5.5.1. Allgemeine Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163
5.5.2. Periodische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 164
5.5.3. Nichtperiodische Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 173
6. Schwingungen eines linear-elastischen Kontinuums, insbesondere
Stabschwingungen ................................. 177
6.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2. Die Differentialgleichungen der Stabschwingungen und all-
gemeine Ansatze zu ihrer Losung ....................... . 178
6.3. Die konservativen elementaren Eigenschwingungen der Stabe .... . 185
6.3.1. Allgemeines zu den elementaren Eigenwertproblemen ......... . 185
6.3.2. Einige Beispiele fUr konservative elementare Eigen-
schwingungen von Staben ............................ . 190
6.3.3. Der Rayleigh-Quotient und darauf basierende Niiherungsverfahren .. 195
6.3.3.1. Der Rayleigh-Quotient und ein erstes Niiherungsverfahren ...... . 195
6.3.3.2. Das Verfahren von Ritz-Galerkin ....................... . 202
6.3.3.3. Das Verfahren von Ritz mit bereichsweisen Ansatzen ......... . 207
6.3.3.4. Die Formeln von Dunkerley und Southwell . ............... . 212
6.3.4. EinfluB der Dampfung .............................. . 217
6.4. Erzwungene elementare Stabschwingungen ................ . 218
6.4.1. Allgemeines . . ................................... . 218
6.4.2. Periodische Erregung ............................... . 219
6.4.3. Nichtperiodische Erregung ........................... . 222
6.5. Diskretisierung kontinuierlicher Systeme .................. . 224
6.6. Obertragungsmatrizen-Verfahren ....................... . 226
6.6.1. Biege-Eigenschwingungen von Staben . . . . . ............... . 226
6.6.1.1. Die Obertragungsmatrix ............................. . 226
6.6.1.2. Grundztige des Obertragungsmatrizen-Verfahrens ............ . 231
6.6.2. Erzwungenc periodische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . ...... . 233
7. Variationsprinzipe der Mechanik ....................... . 238
7.1. Allgemeine Vorbemerkungen ......................... . 238
7.2. Das Prinzip der virtuellen Arbeit und daraus abgeleitete
Extremalprinzipe ................................. . 242
X Inhalt
7.3. Einige Anwendungen des Prinzips der virtuellen Arbeit in
der Elasto-Statik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
7.3.1. Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 253
7.3.2. Die Methode der Verschiebungsarbeit als Sonderfall des
Prinzips der virtuellen Arbeit .......................... 255
7.3.3. Ein erstes Naherungsverfahren; das Verfahren von Galerkin ...... 257
7.3.4. Ein anderes Naherungsverfahren; das Verfahren von Ritz ...... " 261
7.3.5. Stabilitatsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 262
7.3.6. Einige erganzende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
7.4. Eine Anwendung des Prinzips von Hamilton in der
Elasto-Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269
7.5. Das Prinzip der virtuellen Erganzungsarbeit . . . . . . . . . . . . . . . .. 273
7.6. Einige Anwendungen des Prinzips der virtuellen
Erganzungsarbeit .................................. 278
7.6.1. Anwendungen des Prinzips der virtuellen Erganzungsarbeit
in der Elasto-Statik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 278
7.6.2. Anwendungen des Prinzips der virtuellen Erganzungsarbeit
in der Elasto-Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 282
7.7. Das Verfahren von Trefftz ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 284
7.8. Verallgemeinerungen der Variationsprinzipe ................ 287
7.9. Variationsprinzipe flir inelastische Korper . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288
7.10. Einige erganzende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 289
Erganzende Literatur ..................................... 292
Namen-und Sachregister. ...... .......................... 294
Inhaltsiibersicht zu den Banden I bis III .............. .......... 298
