Table Of Contentmathematik-abc fOr das Lehramt
P. Gothner
Elemente der Algebra
mathematik-abc fOr das Lehramt
Herausgegeben von
Prof. Dr. Stefan Deschauer, Dresden
Prof. Dr. Klaus Menzel, Schwabisch GmOnd
Prof. Dr. Kurt Peter MOiler, Karlsruhe
Die Mathematik-ABC-Reihe besteht aus thematisch in sich abgeschlossenen Einzel
banden zu den drei Schwerpunkten:
Algebra und Analysis,
Bilder und Geometrie,
Computer und Anwendungen.
In diesen drei Bereichen werden Standardthemen der mathematischen Grundbildung
gut verstandlich behandelt, wobei Zielsetzung, Methoden und Schulbezug des
behandelten Themas im Vordergrund der Darstellung stehen.
Die einzelnen Bande sind nach einem "Zwei-Seiten-Konzept" aufgebaut: Der fach
liche In halt wird fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt, auf den gegenOber
liegenden rechten Seiten finden sich im Sinne des "learning by doing" jeweils
zugehorige Beispiele, Aufgaben, stoffliche Erganzungen und Ausblicke.
Die Beschrankung auf die wesentlichen fachlichen Inhalte und die Erlauterungen
anhand von Beispielen und Aufgaben erleichtern es dem Leser, sich auch im Selbst
studium neue Inhalte anzueignen oder sich zur PrOfungsvorbereitung konzentriert mit
dem notwendigen ROstzeug zu versehen. Aufgrund ihrer Schulrelevanz eignet sich
die Reihe auch zur Lehrerweiterbildung.
Elemente der Algebra
Eine EinfUhrung in Grundlagen und Denkweisen
Von Doz. Dr. Peter Gothner
Universitat Leipzig
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart . Leipzig 1997
Doz. Dr. habil. Peter G6thner
Geboren 1932 in Leipzig. Studium an der Padagogischen Hochschule Potsdam. Von 1961 bis
1970 Lehrer fUr Mathematik an der Erweiterten Oberschule Grimma. Ab 1970 tatig an der Uni
versitat Leipzig, vorwiegend in der Fachausbildung von Lehrem fUr Mathematik. Promotion
1976, Habilitation 1985 an der Sektion Mathematik der Universitat Leipzig.
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Gothner, Peter:
Elemente der Algebra: eine Einfijhrung in Grundlagen
und Denkweisen I Peter Gothner. -
Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1997
(Mathematik-ABC fijr das Lehramt)
ISBN-13: 978-3-8154-2122-2 e-ISBN-13: 978-3-322-85163-5
001: 10.1007/978-3-322-85163-5
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engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulassig und strafbar.
Das gilt besonders fijr Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
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© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig 1997
Druck und Bindung: Druckhaus .Thomas Mantzer" GmbH, Bad Langensalza
Einfiihrung
Das Wort Algebra entstammt dem Titel .Hisab aljabr W'almugabalah" (Erganzung
und Ausgleich) von MUHAMED IBN MUSA AL CHW ARAZMI, einem Mathema
tiker und Astronom, der urn 810 bis 840 am Hofe des Sohnes von HARUN AL
RASCHID in Bagdad wirkte. Algebra wurde zunachst als Bezeichnung fur die
Lehre von der .Auflosung von Gleichungen durch Hinzufugen und Weglassen von
Gliedern auf beiden Seiten einer Gleichung" benutzt. Die Behandlung von Um
formungsregeln fur Glezchungen, in den en mit VIETA (1540 - 1603) auch Variable
auftraten, war uber einen langen Zeitraum Gegenstand der (klassischen) Algebra.
Am Ende des 18. Jahrhunderts traten Fragen nach der Existenz von Losungen alge
braischer Gleichungen sowie die Suche nach Methoden zum Losen solcher Gleichun
gen in den Vordergrund. Insbesondere fuhrte die Frage nach .Radikaldarstellungen"
fur Losungen - die bekannte Losungsformel fur quadratische Gleichungen kann als
solche bezeichnet werden - bereits vor etwa 200 J ahren zu Methoden, bei denen
Eigenschaften algebraischer Strukturen genutzt wurden. Zunachst waren diese nur
Hilfsmittel zur Untersuchung von Problemen der klassischen Algebra; es zeigte sich
jedoch bereits am Ende des 19. Jahrhunderts, daB ihre Bedeutung wesentlich weiter
reicht und daB sie sich auf zahlreiche Probleme in anderen mathematischen Gebie
ten und in den Naturwissenschaften anwenden lassen.
Aus solchen Erkenntnissen heraus entwickelte sich die .moderne" C.abstrakte" oder
Jormale" oder .axiomatische") Algebra.
Die mit dem Wort Algebra verbundenen Auffassungen haben sich also in der ma
thematikhistorischen Entwicklung mehrfach verandert.
Heute ist die klassische Algebra in der .modernen" Algebra aufgehoben. Man inter
essiert sich -sehr vereinfacht gesagt -in der Algebra weniger dafur, womit man rech
net, sondern vielmehr wie man rechnet, und untersucht, welche .Rechenregeln" und
Zusammenhange aus Grundeigenschaften von Operationen und Relationen folgen.
Beim Umgang mit Operationen und Relationen in speziellen Mengen erkennt man
Analogien: So besitzen z.B. die Addition von Matrizen, die Multiplikation von po
sitiven rationalen Zahlen, die Addition von Folgen reeller Zahlen ubereinstimmende
Eigenschaften. Sieht man von der Spezifik der genannten Mengen und Operationen
ab und betrachtet eine (beliebige) Menge G, in der eine (beliebige) Operation .0"
mit gewissen Grundeigenschaften definiert ist, so spricht man von einer speziellen
.J,
algebraischen Struktur. Eines der oben genannten konkreten Gebilde, z.B. [Q+; ist
genau dann ein Modell fur eine Struktur (G; 0), wenn man die Elemente von G mit
positiven rationalen Zahlen belegt, die Operation .0" als Multiplikation rationaler
Zahlen interpretiert und nachweist, daB in [Q+; .J die fiir .0" geforderten Grundei
genschaften erfiillt sind. Analogiebetrachtungen konnen also zu einer algebraischen
Struktur fiihren, und Kenntnisse iiber algebraische Strukturen ermoglichen umge
kehrt das Vergleichen, Ordnen und Systematisieren mathematischer Inhalte.
tIber diese Systematisierungsmoglichkeit hinaus hat die Beherrschung algebraischer
Strukturen einen weit bedeutungsvolleren Vorzug: Aus relativ wenigen Grundei
genschaften kann eine ganze Theorie fiir die jeweilige Struktur abgeleitet werden.
6 Einfiihrung
J ede (allgemeine) Aussage in einer solchen Strukturtheorie gilt dann "automatisch"
in jedem konkreten Verkniipfungsgebilde, welches Modell dieser Struktur ist. Man
muB damit diese Aussage fiir solche Modelle gar nicht mehr beweise~.' sondern
stiitzt sich auf den einmaligen Beweis innerhalb der Strukturtheorie. Uber diese
Bewelsokonomie hinaus erweist sich die durch die Konzentration auf das Wesentliche
erreichte Klarheit in der Beweisfiihrung als psychologischer Vorteil.
In den Kapiteln 1 und 2 werden die Anfiinge von Strukturtheorien erarbeitet.
Sind zwei Gebilde Modell ein und derselben Struktur, so konnen sie dennoch nicht
notwendig identifiziert werden. Es gibt z.B. sowohl Gruppen mit endlich vielen als
auch solche mit unendlich vielen Elementen; es gibt Gruppen, in welchen die Grup
penoperation kommutativ ist, aber auch nichtkommutative Gruppen.
Manche Gebilde sind jedoch "strukturell vollkommen identisch" , sie unterscheiden
sich eigentlich nur durch die Bezeichnung der Elemente und die Bezeichnung der
Operation. Man nennt solche Gebilde zueinander isomorph. Mitunter sind zwei
Gruppenmodelle zwar nicht isomorph, doch so "verwandt" , daB eines als "vergrober
tes Abbild" des anderen aufgefaBt werden kann. Man spricht dann von einem ho
momorphen Bild eines Gruppenmodells (Kapitel 3). Die Frage nach Moglichkeiten,
aus gegebenen Strukturen weitere zu konstruieren oder eine Struktur in eine an
dere emzubetten, fiihrt zu allgememen K onstruktionspnnziplen, die sich wiederum
auf Modelle der "beteiligten" Strukturen anwenden lassen. So konnen Zahlberelchs
erwezterungen als Spezialfall allgemeiner algebraischer Konstruktionen betrachtet
werden (Kapitel 4), und die Teilbarkeltslehre fiir ganze Zahlen (oder auch fiir Poly
nome) ordnet sich der "Teilbarkeitstheorie" in (speziellen) Ringen unter (KapiteI5).
Das Problem der Losbarkeit algebraischer Gleichungen wird im Kapitel 6 aufgegrif
fen. SchlieBlich wird (im Kapitel 7) zusiitzlich zu den in einer Struktur festgelegten
Operationen eine mit diesen "vertriigliche" OrdnungsrelatlOn eingefiihrt.
Es ist das Ziel des Bandes "Elemente der Algebra", in die Anfiinge der Begriffswelt
algebraischer Strukturen und in ihre gegenseitigen Beziehungen einzufiihren. Inso
fern stehen allgemeine Begriffe und allgemeine Methoden im Vordergrund; einige
wichtige Resultate, die zur klassischen Algebra gehoren, werden in den strukturellen
Rahmen eingeordnet.
Die algebraischen Inhalte werden fortlaufend auf den linken Seiten dargestellt; auf
den gegeniiberliegenden rechten Seiten findet der Leser jeweils zugehorige Beispiele
und Ubungen.
1m Zusammenhang mit der Darstellung begriffiicher Inhalte ist es vor allem Anliegen
des Buches, den Leser mit Denkweisen der Algebra vertraut zu machen.
SchlieBlich ist es mir ein Bediirfnis, der B.G. Teubner Verlagsgesellschaft fiir die
verstiindnisvolle Zusammenarbeit und Frau Jacqueline Muller fiir ihre Unterstiit
zung bei der technischen Bearbeitung des Manuskriptes herzlich zu danken.
Leipzig, Juni 1997 Peter Gothner
Inhalt
1 Strukturen mit einer binaren Operation 11
1.1 Gruppen und Halbgruppen 12
1.1.1 Der Gruppenbegriff 12
1.1.2 Additive bzw. multiplikative Schreibweise von Gruppen 14
1.1.3 Halbgruppen, Ordnung von Gruppen und Halbgruppen 16
1.2 Folgerungen aus Gruppen- und Halbgruppenaxiomen 18
1.2.1 Neutrale Elemente in Gruppen und Halbgruppen 18
1.2.2 Losbarkeit von Gleichungen in Gruppen 20
1.2.3 Unterschiedliche Axiomensysteme fur Gruppen 22
1.2.4 Potenzen von Gruppenelementen 24
1.3 Isomorphie 26
1.3.1 Begriff der Iso~?rphie 26
1.3.2 Isomorphie als Aquivalenzrelation 28
1.3.3 Ubertragung von Struktureigenschaften durch Isomorphismen 30
1.4 U nterstrukturen 32
1.4.1 Untergruppen und Unterhalbgruppen 32
1.4.2 Durchschnitt von Untergruppen - Komplexe erzeugen Untergruppen 34
1.5 Nebenklassen - der Satz von LAGRANGE 36
1.5.1 Konstruktion von Nebenklassen 36
1.5.2 Zusammenhang zwischen Gruppenordnung und Ordnung
einer Untergruppe 38
1.6 Zyklische Gruppen 40
1.6.1 Erzeugende Elemente 40
1.6.2 Struktur zyklischer Gruppen 42
1.7 Permutationsgruppen, Restklassengruppen und
Gruppen von Deckabbildungen 44
1.7.1 Gruppen von Permutationen 44
1.7.2 Restklassengru pp en 50
1.7.3 Der kleine FERMATsche Satz 52
1.7.4 Gruppen von Deckabbildungen 54
1.8 Isomorphieklassen von Gruppen kleiner Ordnung 60
8 Inhalt
2 Strukturen mit zwei binaren Operationen 62
2.1 Ringe und Korper 62
2.1.1 Die Struktur eines Ringes 62
2.1.2 Die Struktur eines Korpers 64
2.2 Folgerungen aus Ring- und Korperaxiomen 66
2.2.1 Rechenregeln in Ringen 66
2.2.2 Nullteiler 68
2.2.3 Potenzgesetze und Gesetze der Vervielfachung in Ringen 70
2.3 Unterstrukturen von Ringen und Korpern 72
2.3.1 Unterringe und Unterkorper 72
2.3.2 Charakteristik von Ringen und Korpern - Primkorper 74
2.4 Isomorphe Einbettungen 76
3 Strukturerhaltende Abbildungen 78
3.1 Homomorphe Abbildungen 78
3.1.1 Gruppen- und Ringhomomorphismen 78
3.1.2 Eigenschaften homomorpher Abbildungen 80
3.1.3 Der Kern homomorpher Abbildungen 82
3.2 Homomorphiesatze 84
3.2.1 No rmalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppen 84
3.2.2 Der Homomorphiesatz fur Gruppen 86
3.2.3 Ideale, Restklassenringe, der Homomorphiesatz fur Ringe 88
4 Konstruktion von Strukturen 90
4.1 Direkte Produkte 90
4.2 Konstruktion von Integritatsbereichen aus Halbringen 92
4.2.1 Von einer kommutativen reguliiren Halbgruppe zur Gruppe 92
4.2.2 Vom Modul [~; +J zum Integritiitsbereich [~; +; .J 94
4.3 Konstruktion eines Quotientenkorpers aus
einem Integritatsbereich 96
4.3.1 Zielstellungen und Ansiitze bei der Konstruktion
eines Quotientenkorpers 96
4.3.2 Existenz und Eindeutigkeit des Quotientenkorpers 98
Inhalt 9
4.4 Polynomringe 100
4.4.1 Addition und Multiplikation von Polynomen 100
4.4.2 Polynomringe und ihre Eigenschaften 102
4.4.3 Einsetzungshomomorphismen 104
4.5 Quadratische Erweiterungsringe 106
4.6 Korpererweiterungen 108
4.6.1 Zielstellungen und Ansiitze fur Korpererweiterungen 108
4.6.2 Einfache Korpererweiterungen 110
4.6.3 Algebraische Korpererweiterungen 112
5 Teilbarkeit 114
5.1 Teilbarkeit in Integritatsbereichen 114
5.1.1 Eigenschaften der Teilerrelation 114
5.1.2 Einheiten und Assoziiertheit 116
5.1.3 Primelemente 118
5.1.4 GroBter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches 120
5.2 Euklidische Ringe 122
5.2.1 Der euklidische Algorithmus im Ring der ganzen Zahlen 122
5.2.2 Teilbarkeitsaussagen in euklidischen Ringen 124
5.2.3 Zerlegung in Primelemente 126
5.2.4 Teilbarkeitsaussagen in ZPE-Ringen 128
5.2.5 Diophantische Gleichungen und lineare Kongruenzen 130
6 Algebraische Gleichungen 132
6.1 Abspaltung von Linearfaktoren 132
6.2 Die Menge C der komplexen Zahlen als
algebraisch abgeschlossener Korper 134
6.3 Darstellung von Nullstellen durch Radikale 136
6.4 Algebraische Behandlung von Konstruktionen
mit Zirkel und Lineal 138
10 Inhalt
7 Angeordnete Strukturen 140
7.1 Positivitatsbereiche in Gruppen und Ringen 140
7.2 Ordnungsrelationen und Positivitatsbereiche 142
7.3 Archimedische Anordnungen und Dichtheit 144
7.4 Vollstandig angeordnete Korper 146
L8sungshinweise zu den Ubungen 148
Uberblick iiber benutzte Symbole 167
Literatur 168
Sachverzeichnis 169
