Elementarmathematik vom Höheren Standpunkte Aus: Arithmetik · Algebra · Analysis

334 Pages·1924·16.353 MB·German

by  Felix Klein (auth.)

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSEN SCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W. BLASCHKE M. BORN C. RUNGE
HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
GOTTINGEN
BAND XIV
ELEMENTARMATHEMATIK I
VON
FELIX KLEIN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
I924
FELIX KLEIN
ELEMENT ARMA THEMA TIK
YOM HOHEREN STANDPUNKTE AUS
DRITTE AUFLAGE
ERSTER BAND
ARITHMETIK· ALGEBRA· ANALYSIS
AUSGEARBEITET VON
E. HELLINGER
FOR DEN DRUCK FERTIG GEMACHT
UND MIT ZUSATZEN VERSEHEN VON
FR. SEYFARTH
MIT 125 ABBILDUNGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
1924
ISBN-13: 978-3-642-88997-4 e-ISBN-13: 978-3-642-90853-8
DOl: 10.1007/978-3-642-90853-8
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER lYBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN
COPYRIGHT 1924 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 1924
Vorwort zur erste n Auflage.
Die neue Autographie, welche ich hiermit dem mathematischen
Publikum und ganz besonders den Lehrern der Mathematik an unseren
hoheren Schulen unterbreite, ist als eine erste Fortsetzung jener Vor
trage "uber den mathematischen Unterricht an den hOheren Schulen" ..
speziell tiber "die Organisation des mathematischen Unterrichts" ge
dacht, die ich im vorigen Jahre mit Herrn Schimmack zusammen
im Teubnerschen Verlag babe erscheinen lassen. An die damals
gegebene Obersicht tiber die verschiedenen Formen der Unterrichts
aufgabe, die dem Mathematiker gestellt sein kann, sollen sich jet1.t,
allgemein zu reden, Entwicklungen tiber den Unterrichtsstotf selbst
schlieBen, in denen· ich bemiiht bin, dem Lehrer - oder auch dem
reiferen Studenten - Inhalt und Grundlegung der im Unterricht zu
behandelnden Gebiete, unter Bezugnahme auf den tatsachlichen Unter
richtsbetrieb, vom Standpunkte der heutigen Wissenschaft in moglichst
einfacher und anregender Weise tiberzeugend darzulegen. Und dieses
nicht, wie etwa Weber-Wellstein tun, in Form einer systematisch
geordneten Darstellung, sondern in freien Exkursen, wie sie sich unter
den wechselnden Anregungen der Umgebung in der wirklich gehaltenen
Vorlesung tatsachlich gestaltet haben.
Auf das so bezeichnete Programm - das nachstehend nur erst
ftir die Gebiete der Arithmetik, Algebra und Analysis durchgefiihrt
wird - wurde schon in der Vorrede zu Klein-Schimmack (April 1907)
hingewiesen; ich hatte damals gehofft, daB Herr Schimmack trotz
mancher Hindernisse doch vielleicht die Zeit finden wiirde, die Be
arbeitung meiner Vortrage fUr den Druck wieder tibernehmen zu
konnen. Aber ich habe ihn selbst sozusagen daran gehindert, indem
ich seine Arbeitskraft fiir die uns gemeinsam interessierenden padagogi
schen Fragen fortgesetzt nach anderen Seiten in Anspruch zu nehmen
hatte. Jedenfalls zeigte sich bald, daB der Plan unausftihrbar war,
falls anders die Arbeit in kurzer Zeit zu Ende gefiihrt werden sollte,
wie dies doch im Interesse einer tatsachlichen Einwirkung auf die
heute im Vordergrunde stehenden Unterrichtsfragen erwiinscht schien.
Ich habe also wieder, wie in frUheren J ahren, zu dem bequemeren
Mittel der Autographierung meiner Vortrage gegriffen, zumal sich
mein jetziger Assistent, Herr Dr. Ernst Hellinger, als eine hierftir
VI Vorwort.
ausgezeichnet qualifizierte Hilfskraft erwies. Man wolle dabei von der
Arbeit, die Herr Dr. Hellinger zu erledigen hatte, nicht gering denken.
Denn es ist auch so noch ein weiteL Weg von der durch allerlei zuHillige
Umstande bedingten mtindlichen Darlegung des Dozenten zu der
schriftlichen, hinterher noch wesentlich abgeglichenen, lesbaren Dar
stellung. Nur daB die Genauigkeit der AusfUhrungen und die Gleich
maBigkeit der Auseinandersetzungen nicht so weit getrieben wird, als
es nach unseren Gewohnheiten ber der Drucklegung unerlaBlich scheint.
Ich scheue etwas davor zurtick, in bestimmte Aussicht zu steIlen,
daB nun noch weitere Fortsetzungen dieser Veroffentlichungen tiber
den mathematischen Unterricht folgen soIlen, jedenfalls fUr das Ge
biet der Geometrie; - ich will vielmehr mit dem Wunsche schlieBen,
daB sich die vorliegende Autographie als ntitzlich erweisen moge, in
dem sie manchen Lehrer an unseren hoheren Schulen veranlaBt, tiber
die zweckmaBige Darbietung des von ihm zu behandelnden Lehrstoffes
in neuer Weise selbstandig nachzudenken. Nur eine solche Anregung
will meine Schrift geben, keinen ausgefuhrten Lehrgang, dessen F est
legung ich vielmehr den an der Schule wirkenden Herren durchaus
uberlasse. Es ist ein MiBverstandnis, wenn man an einzelnen Stellen
vorauszusetzen scheint, ich habe mich je in einem anderen Sinne be
tatigt. Insbesondere der Lehrplan der Unterrichtskommission der
Gesellschaft Deutscher Naturforscher und Arzte (der sog. "Meraner"
Lehrplan) ist nicht etwa von mir, sondern unter bloBer Mitwirkung
meinerseits von hervorragenden Vertretern der Schulmathematik aus
gearbeitet worden.
Was schlieBlich die Art der im folgenden eingehaltenen Darstellung
betrifft, so gentigt wohl, wenn ich hervorhebe, daB ich, wie bei friiheren
Gelegenheiten, auch hier bemiiht war, tiberall geometrische Anschau
lichkeit mit der durch die arithmetischen Formeln ermoglichten Pra
zision zu verbinden, und daB es mir besonderes Vergntigen gemacht
hat, dem historischen Werdegang der Theorien nachzugehen, urn von
da aus die Besonderheiten der verschiedenartigen, im heutigen Unter
richt unvennitteIt nebeneinander herlaufenden Darstellungsweisen zu
verstehen.
G6ttinge1t, Ende Juni 1908.
Klein.
Vorwort zur dritten Auflage.
N achdem die Verlagsbuchhandlung J uli us Springer in dankenswerter
Weise den Druck meiner gesammeIten wissenschaftIichen Abhandlungen
fertiggesteIIt hatte, trat sie, auf Anraten von Prof. Courant, mit der Auffor
derung an mich heran, doch auch die verschiedenen Vorlesungen, die ich
von 1890 an in autographierter Form habe erscheinen lassen und die bis
Vorwort. VII
auf einen kleinen Rest Hingst vergriffen sind, in Buchform heraus
zugeben. Besagte Autographien, deren Vertrieb in den letzten Jahr
zehnten die Firma Teubner tibernommen hatte, sind der Hauptsache
nach von meinem jeweiligen Assistenten ausgearbeitet worden. Es
war mir von vornherein klar, daB ich eine weitere Neubearbeitung nicht
ohne neue jtingere Hilfskrafte wieder veranstalten konne. In der tat
habe ich mir seit langem den Grundsatz gebildet, daB man von einem
gewissen Alter an nicht mehr selbstandig publizieren solI: man hat
vielleicht noch die Fahigkeit, eine Ausgabe im allgemeinen zu diri
gieren, aber ist doch nicht mehr recht imstande, die Einzelheiten iIi
die gehorige Ordnung zu bringen und auf die neuen Fortschritte der
Literatur gleichmaBig Riicksicht zu nehmen. Ich habe das Springersche
Anerbieten also erst angenommen, als mir in dieser Hinsicht weit
gehende Unterstiitzung zugesagt war.
1m iibrigen sind bei den Autographien zwei Serien zu unterscheiden.
Die aiteren Hefte kniipfen an Spezialvorlesungen an, die ich im Laufe
der Zeit gehalten habe, und wurden urspriinglich nur hergestellt, urn
den ZvhOrern derfolgenden Semester den Stoff, den ich friiher behandelt
hatte, und auf dem ich weiterbauen wollte, an die Hand zu geben. Es
sind dies die Hefte iiber nichteuklidische Geometrie, tiber hOhere Geo
metrie, die hypergeometrische Funktion, die linearen Differential
gleichungen, die Riemannschen Flachen und iiber Zahlentheorie. Dem
gegeniiber habe ich in der Folge einige Ausarbeitungen veroffentlicht,
die von vornherein fUr einen groBeren Leserkreis gedacht waren. Ge
meint sind:
a) die Vorlesung iiber "Anwendung der Di£ferential- und Integral
rechnung auf Geometrie", ausgearbeitet von C. H. Muller (bestimmt,
zwischen den Bedtirfnissen der angewandten Mathematik und den
neueren Untersuchungen reiner Mathematiker die Briicke zu schlagen);
b) und c) zwei VorlesUJlgen iiber "Elementarmathematik yom
hoheren Standpunkte", ausgearbeitet von E. Hellinger. Sie sollten
dazu dienen, den Fachvertretern an den hoheren Schulen die Bedeutung
ihrer akademischen Studien fUr ihre Berufstatigkeit, insbesondere was die
reine Mathematik angeht, in iibersichtlicher Weise vor Augen zu stellen.
Bei diesen Reft en der zweiten Serie schien eine Glattung im ein
zelnen, unter Zufiigung erganzender Zusatze, ausreichend, also eine
tiefergreifende Umarbeitung iiberfliissig. Daher wird mit ihrer Ver
offentlichung hier der Anfang gemacht, und zwar in der Weise, daB
die Refte b) c) a) (in dieser Reihenfolge) als Tei! I, II, III einer ge
meinsamen Veroffentlichung erscheinen, welche kurzweg als "Ele
mentarmathematik vom hOheren Standpunkte aus" bezeichnet werden
solI. DaB Vorlesung a) solcherweise mit b) und c) vereinigt wird,
diirfte die Zustimmung aller derjenigen finden, welche die steigende
VIII Vorwort.
Bedeutung der angewandten Mathematik fiir den neuzeitlichen Schul
unterricht erfaBt haben.
Unterdessen hat die Bearbeitung der Hefte der ersten Serie, also
zunachst der nichteuklidischen Geometrie, bereits ihren Anfang ge
nommen. Aber es wird sich hier, damit eine gerundete Darstellung ent
steht, die auch den neueren Fortschritten der Wissenschaft einigermaBen
Rechnung tragt, urn Neubearbeitung des Stoffes in sehr viel weiterem
AusmaBe handeln. - Soviel fiber den allgemeinen Plan. Nun noch
einiges fiber das vorliegende erste Heft der "Elementarmathematik".
Ich habe die Vorrede zur ersten Ausgabe von b) (1908) vorstehend
wieder abgedruckt, weil sie fiber die Entstehung der ganzen Darstellung
den klarsten Dberblick gibtl). Die zweite, auch noch autographierte
Ausgabe (1911) enthielt keine wesentlichen Anderungen, und die kleinen
Zusatze, die ihr beigefiigt wurden, konnten jetzt leicht in den Text
eingearbeitet werden, woriiber ein besonderer Nachweis iiberfliissig
scheint. Auch bei der jetzigen Drucklegung ist der urspriingliche Text
mit den durch die Zeit seiner Entstehung bedingten Zufalligkeiten
in der Hauptsache beibehalten worden 2). Das ganze Gefiige der Dar
stellung hatte geandert werden mfissen und die Homogenitat verloren,
wenn ich anders verfahren ware. Aber in den sechz~hn Jahren, die seit
der ersten Veroffentlichung vergangen sind, ist die Wissenschaft natiir
lich nicht stehengeblieben, insbesondere aber haben in unserem Schul
wesen die groBten, bis jetzt noch keineswegs abgeschlossenen Verande
rungen stattgefunden. Auf diese Verhaltnisse beziehen sich die Zusatze,
welche, nach wiederholter Riicksprache mit mir, Herr Studienrat
DL Seyfarth (von der hiesigen Oberrealschule) abgefaJ3t hat. Herr
Seyfarth hat auch in der Hauptsache die Drucklegung und die er
forderliche stilistische Glattung des vorangehenden Textes, wie insbeson
dere die Wiedergabe der Abbildungen besorgt, so daB ich ihm zu auf
richtigem Danke verpflichtet bin. Dbrigens sind ihm meine friiheren Mit
arbeiter, dit"! Herren Hellinger und VermeiZ, auBerdem Herr A. Walther
Gottingen, beim Korrekturlesen durch mannigfache Vorschlage hilfreich
zur Hand gegangen. Insbesondere bin ich Herrn Vermeil und Herrn
Studienreferendar C. Billig ffir Anfertigung des Namen- und Sach
registers zu Dank verpflichtet. Die Verlagsbuchhandlung Julius Springer
aber hat ihre Bereitwilligkeit, trotz aller aus den Zeitumstanden folgen
den Schwierigkeiten die Drucklegung mathematischer Werke ungehin
dert fortzusetzen, aufs neue glanzend bewahrt.
G6ttingen, Ostern 1924.
Klein.
1) Mein dort erwlthnter Mitarbeiter R. Schimmack starb 1912 im Alter von
31 Jahren. am Arbeitstische sitzend. plotzlich infolge eines Herzschlags.
2) Neu hinzugefiigte Anmerkungen sind durch eckige Klammern kenntlich
gemacht worden.
Inhaltsverzeichnis.
Einleitung.
Seite
AHgemeiner Zweck der Vorlesung. 1
Literarische Hilfsmittel . . . . . 4
Erster Teil: Arithmetik.
I. Das Rechnen mit den natiirlichen Zahlen 6
1. Einffihrung der Zahlen auf der Schule . . . 6
2. Die fundamentalen Gesetze des Rechnens 9
3. Die logischen Grundlagen des Rechnens mit ganzen Zahlen 11
Bemerkungen fiber den Unterricht der Mathematik und die Lehrer-
bildung . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Praxis des Rechnens mit ganzen Zahlen . . . . 18
Beschreibung der Rechenmaschine "Brunsviga" 19
II. Die ersten Erweiterungen des Zahlbegriffes 24
1. Die negativen Zahlen. . . . . 24
Zur Geschichte der negativen Zahlen 27
2. Die gebrochenen Zahlen 31
3. Die irrationalen Zahlen . . . . 34
Zur Natur der Raumanschauung (Prazisions-und Approximationsmathe-
matik) ........ '.' . . . . . . . . . . . . . 38
III. Von den besonderen Eigenschaften der ganzen Zahlen 40
SteHung der Zahlentheorie auf Schule und Universitat 40
Einzelausffihrungen zur Zahlentheorie . . . . . . . 43
Primzahlen, Zerlegung in Primfaktoren. . . . . 43
Verwandlung rationaler Brfiche in Dezimalbrfiche 44
Kettenbrfiche . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Pythagoreische Zahlen, groBer Fermatscher Satz 49
Problem der Kreisteilung . . . . . . . . . . . 54
Beweis ffir die "Nichtkonstruierbarkeit" des regularen Siebenecks S6
IV. Die komplexen Zahlen. . . . . . . . . . . . . 61
1. Die gew6hnlichen komplexen Zahlen. . . . . . . . 61
2. H6here komplexe Zahlen, insbesondere Quaternionen 64
Bemerkungen fiber Vektorenrechnung . . . . . . 69
3· Quaternionenmultiplikation und Drehstreckungen des Raumes 71
Deutung im dreidimensionalen' Raume 74
4. Die komplexen Zahlen im Unterricht. . . . . . . . . . . . 81
x Inhaltsverzeichnis.
Seite
Zwischenstiick: tlber die moderne Entwicklung und den Aufbau
der Mathematik iiberhaupt . ................ 82-92
Der Aufbau der elementaren Analysis nach zwei parallelen Entwick-
lun~sreihen verschiedenen Charakters 82
Dberblick uber die Geschichte der Mathematik . . . . . . . . .. 86
Zweiter Teil: Algebra.
Lehrbucher ............................ 93
Unser besonderes Ziel: Anwendung geometrisch anschaulicher Methoden auf
die Losung von Gleichungen. . ... . . . . . 93
I. Reelle Gleichungen mit reellen Unbekannten. 94
1. Gleichungen mit einem Parameter . . . . . 94
2. Gleichungen mit zwei Parametern . . . . . 95
Klassifikation nach der Anzahl der reellen Wurzeln 99
3. Gleichungen mit drei Parametern . . . . . 101
Ein Apparat zur numerischen Auflosung von Gleichungen 102
Die Diskriminantenflache der biquadratischen Gleichung . 103
II. Gleichungen im Gebiete kompiexer GroBen 109
A. Der Fundamentalsatz der Algebra. . . . . . 109
B. Gleichungen mit einem komplexen Parameter; Deutung durch konforme
Abbildung zweier Kugeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Beispiele:
1. Die reine Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Irreduzibilita.t; .. Unmoglichkeit" der Winkeldreiteilung 122
2. Die Diedergleichung. . . . . . . . . . . . . 124
3. Die Tetraeder-, Oktaeder-, Ikosaedergleichung . 130
4. Fortsetzung: Aufstellung der Normalgleichungen 134
5. Dber die Auflosung der Normalgleichungen . . 140
6. Uniformisierung der Normalirrationalitaten durch transzendente Funk-
tionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 143
Der "Casus irreducibilis" und die trigonometrische Losung der kubi-
schen Gleichung ................... 145
7. Auflosbarkeit durch Wurzeb:eichen . . . . . . . . . . . . . 148
8. Zuriickfiihrung allgemeiner Gleichungen auf N ormalgleichungen . 152
Zur Theorie der Gleichung funften Grades ........ 153
Dritter Teil: Analysis.
I. Logarithmus und Exponentialfunktion 155
1. ~ystematik der algebraischen Analysis . 155
2. Die historische Entwicklung der Theorie 157
N eper und Burgi: Die Differenzengleichung . 158
Das 17. Jahrhundert: Der Hyperbelinhalt 160
Euler und Lagrange: Algebraische Analysis. 164
Das 19. Jahrhundert: Funktionen komplexer Variabler 166
Inhaltsverzeichnis. XI
Seite
3. Einiges iiber den Schulbetrieb. . . . . . . . . . . . . . . . 167
4. Der Standpunkt der Funktionentheorie ........... . 169
Der Grenziibergang von der Potenz zur Exponentiaifunktion. 173
11. Die goniometrischen Funktionen 175
1. Theorie der goniometrischen Funktionen . . . . . . 1 75
Genauer Vergleich mit der Lehre yom Logarithmus 176
2. Trigonometrische Tafelwerke. . . 183
A. Rein trigonometrische Tafeln. . . . 183
B. Logarithmisch-trigonometrische Tafeln . 185
3. Anwendungen der goniometrischen Funktionen 188
A. Trigonometrie, insbesondere spha.rische Trigonometrie . 189
Grundbegriffe der spha.rischen Trigonometrie. . . . 189
Formeln zweiter Stufe; Dreiecke erster und zweiter Art 194
Der Flacheninhalt spharischer Dreiecke; Erganzungsrelation . 197
B. Lehre von den kleinen Schwingungen, insbesondere Pendelschwin-
gungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Darstellung auf der Schule (versteckte Infinitesimalrechnung) . . 202
C. Darstellung periodischer Funktionen durch Reihen goniometrischer
Funktionen (trigonometrische Reihen). . . . . . . . . 205
Approximation durch Reihen mit endlicher Gliederzahl 206
Fehlerabschatzung; Konvergenz der unendlichen Reihe 211
Das Gibbssche Phan0men . . . . . . . . . . 214
Exkurs iiber den allgemeinen Funktionsbegriff . 215
Historische Bedeutung der trigonometrischen Reihen; die Stellung
Fouriers 221
III. Von der eigentlichen Infinitesimalrechnung. . . . . . . • . . . 223
1. Allgemeine Ausfiihrungen zur Infinitesimalrechnung . . . . . . . . . 223
Entstehung der Infinitesimalrechnung aus der Eigenart unserer sinn
lichen Anschauung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Logische Begriindung der Infinitesimalrechnung mittels des Grenz
begriffes (Newton und seine Nachfolger bis hin zu Cauchy) 228
Aufbau der lnfinitesimalrechnung unter Voranstellung der "Differen
tiale" (Leibniz und seine Anhanger) . . . . . . . . . . . . . . 231
Die aktual unendlich kleinen GraBen in der modernen Axiomatik der
Geometrie .................. . 234
Die Reaktion: der Derivationskalkul von Lagrange . . . . . . . . 237
Form und Bedeutung der Infinitesimalrechnung im herrschenden Schul-
betrieb . . . . . . . . .. . ........ . 239
2. Der Taylorsche Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Die ersten Schmiegungsparabeln bei vorgegebenen Kurven 241
Ansteigen der Ordnung: Frage der Konvergenz ..... 244
Verallgemeinerung des Taylorschen Satzes zu einem Theorem der Diffe-
renzenrechnung .. . . . . . . . . . . 246
Zugeharige Restabschatzung von Cauchy . . 249
Historischer Exkurs (Taylor und Maclaurin) 251
3. Historische und padagogische Betrachtungen . 253
Einiges iiber Lehrbuchliteratur der Infinitesimalrechnung 253
Charakterisierung unserer eigenen Darstellung . ". . . . . 254