Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFT-EN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
w. BLASCHKE M. BORN C. RUNGEt
HAMBURG GOTTINGEN GOTTINGEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
GOTTINGEN
BAND XVI
ELEMENTARMATHEMATIK III
VON
FELIX KLEIN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGER
I928
FELIX KLEIN
ELEMENTARMATHEMATIK
VOM HÖHEREN STANDPUNKTE AUS
DRITT E AUFLAGE
DRITTER BAND
PRÄZISIONS- UND
APPROXIMA1"'IONSMATHEMATIK
AUSGEARBEITET VON
C. H. MÜLLER
FüR DEN DRUCK FERTIG GEMACHT
UND MIT ZUSÄTZEN VERSEHEN VON
F R. S E YFARTH
MIT 156 ABBILDUNGEN
BERLIN
VERLAG VON JULIUS SPRINGE R
1928
ISBN 978-3-642-47211-4 ISBN 978-3-642-47564-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-47564-1
ALLE RECHTE, INSBESONDERE
DAS DER tJBERSETZUNG IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRiGHT 1<}28 BY JULIUS SPRINGER IN BERLIN.
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1928
Vorwort zur ersten Auflage.
Indem ich nachstehend die Vorlesung, welche ich im vergangenen
Sommer gehalten habe, in autographischer Ausarbeitung veröffentliche,
möchte ich einen neuen Schritt in der Richtung tun, der meine Be
mühungen in den letztvergangenen Jahren vorwiegend gegolten haben:
die mathematische Wissenschaft als ein zusammengehöriges Ganzes
nach allen Seiten wieder so zur Geltung zu bringen, wie es früher, als
es noch keinen Spezialismus gab, als selbstverständlich galt, insbesondere
aber zu erreichen, daß zwischen den Vertretern der abstrakten und der
angewandten Mathematik wieder mehr gegenseitiges Verständnis Platz
greife, als augenblicklich besteht. Ich habe schon wiederholt darauf
hingewiesen, daß in letzterer Hinsicht eine klare Erfassung des Unter
schiedes und der gegenseitigen Beziehungen derjenigen beiden Teile der
Mathematik von zentraler Bedeutung sein dürfte, die im folgenden als
Präzisionsmathematik und Approximationsmathematik bezeichnet wer
den. Ähnliche Gedanken sind in den letzten Jahren von den Herren
Burkhardt und Heun geäußert worden; man vergleiche die Antrittsrede
des ersteren [Zürich 18971)], die neuerdings durch den Wiederabdruck
in dem ersten Heft von Bd. 11 des Jahresberichts der deutschen Mathe
matiker-Vereinigung dem weiteren Kreise der Fachgenossen zugäng
lich geworden ist, und den Bericht von Herrn Heun über die kinetischen
Probleme der wissenschaftlichen Technik in Bd. 9 daselbst (1900-1901);
in diesem Berichte tritt das Wort "Approximationsmathematik", soviel
ich weiß, zum ersten Male auf; jedenfalls habe ich es von dort ent
nommen. Um so mehr darf vielleicht eine ausführliche Auseinander
legung der in Betracht kommenden Gegensätze, wie sie die folgende
Vorlesung für das Gebiet der Geometrie gibt, nunmehr auf Interesse
und Verständnis in weiteren Kreisen rechnen.
Zugleich vervollständige ich mit dieser Vorlesung die Auseinander
setzungen, welche ich verschiedentlich über die Methoden des mathe
matischen Unterrichts, insbesondere des mathematischen Hochschul
unterrichts gab (siehe z. B. Jahresbericht, Bd. 8, 1898-1899). Meine
Ansicht ist nach wie vor, daß der Unterricht der Anfänger, sowie der
jenigen Zuhörer, welche die Mathematik nur als ein Hilfsmittel für
anderweitige Studien gebrauchen wollen, von den anschauungsmäßigen
Momenten einen naiven Gebrauch machen soll; die Überzeugung, daß
dies aus pädagogischen Gründen, mit Rücksicht auf die Veranlagung
der Mehrzahl der Studierenden, notwendig sei, kommt in den letzten
1) Mathematisches und naturwissenschaftliches Denken.
VI Vorwort.
Jahren sichtlich immer mehr, insbesondere auch im Auslande, zur Gel
tung. Aber nicht minder ist meine Überzeugung (was ich nie unter
lassen habe, hinzuzufügen), daß ein solcher Unterricht, entsprechend
der heutigen Entwickelung der Wissenschaft, für die Ausbildung der
Fachmathematiker auf der Oberstufe nicht genügt, daß hier vielmehr
neben den Tatsachen der Anschauung die zentrale Bedeutung des
modernen Zahlbegriffs und der weitgehenden mit ihm zusammen
hängenden Entwickelungen hervortreten muß. Und nun vermisse ich
in den Lehrbüchern und Vorlesungen, welche ich kenne, die Über
leitung von der einen Auffassung zur anderen. Hier will sich die fol
gende Darstellung als eine Ergänzung einschieben; ihr bestes Ziel wird
erreicht sein, wenn sie sich eines Tages als überflüssig erweisen sollte,
weil die Überlegungen, die sie bringt, zu selbstverständlichen Bestand
teilen jedes höheren mathematischen Unterrichts geworden sind.
Göttingen, den 28. Februar 1902.
F. Klein.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Das Folgende ist im wesentlichen ein unveränderter Abdruck der ersten
Ausgabe dieser Vorlesungen vom Jahre 1902. Nur an einzelnen Stellen
sind einige Ungenauigkeiten verbessert, sowie in gelegentlichen Zusätzen
Hinweise auf neuere Publikationen gegeben, die in engstem Zusammen
hange mit den in der Vorlesung gegebenen Entwickelungen stehen. Am
Schlusse ist ein Abdruck des" Gutachtens der Göttinger philosophischen
Fakultät betreffend die Beneke-Preisaufgabe für 1901 ", auf das die Aus
führungen des Textes verschiedentlich Bezug nehmen, hinzugefügt.
Göttingen, den 5. Januar 1907.
C. H. Müller.
Vorwort zur dritten Auflage.
Die Vorlesung F. Kleins, die jetzt mit dem Untertitel "Präzisions
und Approximationsmathematik" als Band IU der "Elementarmathe
matik vom höheren Standpunkte aus" zum erstenmal in Buchform
erscheint, ist einige Jahre vor den in den ersten beiden Bänden ver
öffentlichten Vorlesungen gehalten worden. Gleich diesen .ist sie nach
Zielsetzung und Wahl der Darstellung bestimmt, auf einen größeren
Leserkreis zu wirken. Als Autographie wird die Vorlesung unter dem
Namen "Anwendung der Differential- und Integralrechnung auf Geo
metrie (Eine Revision der Prinzipien)" in der mathematischen Literatur
seit langem zitiert. Die Titeländerung geschieht auf den eigenen Wunsch
Vorwort. VII
von F. Klein, mit dem ich noch in den beiden letzten Monaten vor
seinem Tode über die für die Herausgabe erforderlichen Arbeiten eine
Reihe von Unterredungen hatte. Klein glaubte mit dem neuen Titel
der Tendenz der Vorlesung besser gerecht zu werden, als es durch den
früheren geschah.
Bei der Redaktion der Vorlesung wurden dieselben Grundsätze be
folgt, die für die Veröffentlichung der ersten beiden Bände maßgebend
waren. An der ursprünglichen Darstellung wurde im ganzen festgehalten,
im einzelnen jedoch überall da geändert und eingefügt, wo sachliche
und stilistische Erwägungen es notwendig erscheinen ließen. Die Zu
sätze, von denen ein Teil natürlich durch die Notwendigkeit bedingt
ist, die neuere Literatur zu berücksichtigen, wurden, wenn der Organis
mus der Vorlesung es erforderte, in den Text eingegliedert, sonst aber
in Form von (in eckigen Klammern stehenden) Fußnoten angefügt.
Das Figurenmaterial wurde vielfach verbessert und besonders in dem
letzten Teil der Vorlesung, der von den gestaltlichen Verhältnissen der
Raumkurven und Flächen dritter Ordnung handelt, ergänzt. Dieser
Abschnitt, der uns Klein als den Meister in der Kunst der plastischen
Darstellung geometrischer Formen zeigt, als der er weithin bekannt ist,
war ursprünglich für Leser gedacht, die die dort besprochenen Modelle
zur Hand haben. Hier mußte durch Ergänzung des Figurenmaterials
und Einfügungen in den Text das Ganze so gestaltet werden, daß der
Leser auf diese Modelle nicht mehr angewiesen ist. Für die Einfügungen
leistete mir eine Vorlesung Kleins aus dem Jahre 1907 über Flächen
theorie und Raumkurven gute Dienste.
Das "Gutachten der Göttinger philosophischen Fakultät betreffend
die Beneke-Preisaufgabe für 1901", das 1907 dem zweiten Abdruck
der damaligen Autographie hinzugefügt wurde, ist jetzt weggeblieben,
da es bereits in Band II der gesammelten mathematischen Abhand
lungen Kleins zum Wiederabdruck gelangt ist.
Bei der Redaktion des Textes wurde ich von Herrn A. Walther,
Göttingen, durch viele wertvolle Ratschläge unterstützt. Am Lesen
der Korrekturen beteiligte sich neben ihm noch Herr H. Vermeil, Köln,
der außerdem wieder die Herstellung der Register übernahm. Mein
Kollege H. Homann unterstützte mich, indem er eine Reihe von Mo
dellen der hiesigen Mathematischen Sammlung photographierte. Mit
Herrn Prof. Courant insbesondere hatte ich manche für den Fortgang
meiner Arbeit wichtige Unterredung. Den genannten Herren schulde
ich für ihre Hilfe herzlichen Dank. Auch der Verlagsbuchhandlung
Julius Springer bin ich für die Bereitwilligkeit, mit der SIe memen
Wünschen entgegenkam, zu großem Dank verpflichtet.
Göttingen, den 31. Januar 1928.
Fr. Seyfarth.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung. . . . . 1
Erster Teil: Von den Funktionen reeller Veränderlicher und
ihrer' Darstellung im rechtwinkligen Koordinatensystem.
I. Erläuterungen über die einzelne unabhängige Variable x.
Empirische und abstrakte Genauigkeit. Der moderne Zahlbegriff 2
Präzisions-und Approximationsmathematik, auch in der reinen Geometrie 4
Anschauung und Denken, erläutert an verschiedenen Teilen der Geometrie 8
Erläuterung an zwei einfachen Sätzen über Punktmengen . . . . . . 10
II. Funktionen y =f(x) einer Veränderlichen x.
Die abstrakte und die empirische Festlegung einer Funktion (Idee des
Funktionsstreifens) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Von der Leistungsfahigkeit der räumlichen Anschauung. . . . . . . 17
Von der Genauigkeit der Naturgesetze (mit Exkurs über die verschiedenen
Ideen betr. die Konstitution der Materie) . . . . . . . . . . . . 18
Attribute der empirischen Kurve: Zusammenhang, Richtung, Krümmung 22
Cauchys Definition der stetigen Funktion. Wie weit reicht die Analogie
mit der empirischen Kurve? . . . . . . . . . . . . . . . 26
Die Integrierbarkeit der stetigen Funktion . . . . . . . . . . 30
Der Satz von der Existenz des größten bzw. kleinsten Wertes. 33
Die vier Derivierten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Weierstraß' nichtdifferenzierbare Funktion; ihr Allgemeinverlauf 39
Ihre Nichtdifferenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . 45
Die "vernünftigen" Funktionen. . . . . . . . . . . 50
III. Von der angenäherten Darstellung der Funktionen.
Approximation empirischer Kurven durch vernünftige Funktionen 51
Annäherung vernünftiger Funktionen durch einfache analytische Aus-
drücke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Lagranges Interpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Der Taylorsche Satz und die Taylorsche Reihe. . . 57
Annäherung des Integrals und des Differentialquotienten durch das
Lagrangesche Polynom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Von den analytischen Funktionen und ihrer Verwendung für die Natur-
erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Interpolation durch eine endliche trigonometrische Reihe . . . . . . 67
IV. Nähere Ausführungen zur trigonometrischen Darstellung der
Funktionen.
Fehlerabschätzung bei der Darstellung empirischer Funktionen. . .. 70
Trigono metrische Interpolation gemäß der Methode der kleinsten Qua-
drate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .• 72
Inhaltsverzeichnis. IX
Seite
Dcr harmonische Analysator . . . . . . . 73
Beispiele trigonometrischer Reihen. . . . 76
Tschebyscheffs Arbeiten über Interpolation 82
V. Funktionen zweier Veränderlicher.
Stetigkeit. . . . . . . . . . . . 84
Vertauschbarkeit der Differentiationsfolge. Praktisches Beispiel einer
Funktion , für welche -8[xP-8I- y cf -88y-28 I- x 90
Approximative Darstellung von Funktionen der Kugelfläche durch
Reihen nach Kugelfunktionen . . . . . .. ..... 94
Die Werteverteilung der Kugelfunktionen über die Kugel hin 100
Fehlerschätzung bei der abbrechenden Kugelfunktionenreihe . 102
Zweiter Teil: Freie Geometrie ebener Kurven.
I. Präzisionstheoretische Betrachtungen zur ebenen Geometrie.
Sätze über Punktmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Punktmengen, die durch Inversion an zwei oder mehr sich nicht schnei-
denden Kreisen entstehen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
Eigenschaften dieser Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112
Begriff des 2-climensionalen Kontinnums. Allgemeiner Knrvenbegriff 111\
Von der Peano-Kurve, die ein ganzes Quadrat überdeckt . 116
Engerer Kurvenbegriff: die Jordan-Kurve . . . . . . . . . .. 123
Weitere Einengung des Kurvenbegriffs: die reguläre Kurve . .. 127
Approximation anschaulicher Kurven durch reguläre Idealkurve:l 128
Vorstellbarkeit der Idealkurven . . . . . . . . . . . . . . .. 129
Spezialisierung der Idealkurven : Analytische, algebraische Kurven. Geo-
metrische Erzeugung der letzteren nach Graßmann . . . . . . . . 130
Beherrschung des Empirischen durch Idealgebilde; Perrys Standpunkt 134
H. Fortsetzung der präzisionstheoretischen Betrachtungen zur ebenen
Geometrie.
Iterierte Inversion an zwei sich berührenden Kreisen . . . . . . . . 135
Dasselbe an drei sich berührenden Kreisen ("Modulfigur") ..... 139
Der Normalfall von vier sich in zyklischer Reihenfolge berührenden
Kreisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1·14
Der allgemeine Fall von vier sich in zyklischer l'{eihenfolge berührenden
Kreisen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Eigenschaften der hierbei entstehenden nichtanalytischen Kurven 1 50
Voranssetzung dieser ganzen Entwickelungen. \Veitere Idealisierung bei
Veronese . . . . . . . . . . . .. . ........... 156
III. Übergang zur praktischen Geometrie: a) Geodäsie.
Ungenauigkeit aller praktischen Messungen. Ausführungen beim Snellius-
sehen Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 7
Festlegung des Genauigkeitsmaßes durch iterierte Messungen. Prin-
zipielle Auffassung der Methode der kleinsten Quadrate. . . 160
Approximatives Rechnen, erläutert am Legendreschen Satze für kleine
sphärische Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Die geodätische Bedeutung der kürzesten Linie auf dem Erdsphäroid
(nebst Postulaten betr. die Theorie der Differentialgleichungen) 163
Von dem Geoid und seiner praktischen Festlegung ......... 167
x
Inhaltsverzeichnis.
Seite
IV. Fortsetzung der praktischen Geometrie: b) Zeichnende Geometrie.
Postulierung einer Fehlertheorie auch für die zeichnende Geometrie, er
läutert an der zeichnerischen Wiedergabe des Pascalschen Satzes 171
Von der Möglichkeit, aus der empirischen Gestalt auf Eigenschaften der
Idealkurve zu schließen . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
Anwendung des Verfahrens insbesondere auf algebraische Kurven. Alge-
braische Vorkenntnisse, die wir voraussetzen . . . . . . . . 178
+
Aufstellung des zu beweisenden Theorems: w' 2 tN = n (n -2) 183
Prinzipien des zu führenden Kontinuitätsbeweises 185
Übergang der Cn durch eine Form mit Doppelpunkt . 188
Beispiele von Kurven, bei denen das Theorem stimmt, für gerades n 190
Desgleichen für ungerades n . . . . . . . . .. . ...... 195
Erläuterung des Kontinuitätsbeweises an Beispielen. Durchführung des
Beweises ................. . 198
Dritter Teil: Von der Versinnlichung idealer Gebilde durch
Zeichnungen und Modelle.
Gestaltliehe Verhältnisse bei singularitätenfreien Raumkurven, insbeson
dere Cs (Projektionen der Kurve und ebene Schnitte ihrer Tangen-
tenfläche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Die sieben Arten singulärer Punkte von Raumkurven. . . . 213
Allgemeines über die Gestalt singularitätenfreier Flächen 215
Von den Doppelpunkten der Fs• insbesondere ihren biplanaren und uni-
planaren Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Von dem gestaltlichen Verlauf der Fs überhaupt .......... 224
Appell zu immer erneuter Korrektur des traditionellen Wissenschafts-
betriebes durch Naturbeobachtung. 230
Namenverzeichnis 232
Sachverzeichnis . 234
Einleitung.
Durch die neuzeitliche mathematische Literatur geht ein tief
greifender Zwiespalt, der Ihnen allen entgegengetreten sein muß: die
Interessen und Gedankengänge der Theoretiker sind von denjenigen
Methoden, deren man sich bei den Anwendungen tatsächlich bedient,
außerordentlich verschieden. Hierunter leidet nicht nur die wissen
schaftliche Ausbildung des einzelnen, sondern auch die Geltung der
Wissenschaft selbst. Es scheint außerordentlich wichtig, den hieraus
entstehenden Mißständen entgegenzuarbeiten. Die Vorlesung, die ich
hier beginne, will dazu einen Beitrag liefern, indem sie die verschiedenen
Arten mathematischer Fragestellung, wie sie hier und dort naturgemäß
sind, sozusagen vom erkenntnistheoretischen Standpunkt aus in klare
Beziehung zueinander zu setzen versucht. Sie sollen nach der einen
Seite die Interessen der modernen Theoretiker verstehen lernen, nach
der anderen Seite aber ein Urteil darüber gewinnen, welche Teile der
mathematischen Spekulation für die Anwendungen unmittelbare Be
deutung haben. Ich zweifle nicht, daß Ihnen die so zustande kommende
Entgegenstellung verschiedener Gesichtspunkte interessant und förder
lich sein wird. Möchte die Vorlesung erreichen, daß Sie später an Ihrem
Teile beitragen, die arg vereinseitigte Entwicklung unserer Wissenschaft
wieder zu einer allseitigen, harmonischen zu gestalten!
Das Programm, das ich hiermit aufstelle, ist allerdings viel zu um
fassend, als daß es sich in einem Semester nach allen Seiten hin ent
wickeln ließe. Ich werde daher wesentlich nur ein Gebiet der Mathe
matik in den Vordergrund rücken, nämlich die Geometrie. Die Praxis
der Geometrie umfaßt das geometrische Zeichnen und das Vermessungs
wesen, denen nach der theoretischen Seite die von den Griechen be
gonnene abstrakte Behandlung geometrischer Probleme gegenübertritt.
Ich werde die auf beiden Seiten in Betracht kommenden Fragen analy
tisch behandeln. Dies ist an sich nicht notwendig; man kann auch
so vorgehen, daß man nirgends aus dem geometrischen Gebiete als
solchem heraustritt. Indessen hat sich die Ausbildung der von mir
zu besprechenden Fragestellungen wesentlich im Anschluß an die
Analysis vollzogen: insbesondere kommt für uns die Entwicklung und
Bedeutung der Differential- und Integralrechnung in Betracht.
Als Literatur kann ich kein Lehrbuch nennen. Ich werde von Fall
zu Fall die Einzelliteratur zitieren und im übrigen mit Vorliebe auf die
Klein, Elementarmathematik IH. 1
