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OSNABRUCKER SCHRIFTEN
ZUR MATHEMATIK
Reihe V Vorlesungsskripten
E Heft 7 Sommersemester 1997
ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE
H. Spindler
Fachbereich Mathematik/Informatik
Universit(cid:127)at Osnabru(cid:127)ck
OSM Osnabru(cid:127)cker Schriften zur Mathematik
Herausgeber Selbstverlag der Universit(cid:127)at Osnabru(cid:127)ck
Fachbereich Mathematik/Informatik
49069 Osnabru(cid:127)ck
Gesch(cid:127)aftsfu(cid:127)hrer Prof. Dr. W. Bruns
Berater: Prof. Dr. P. Brucker (Angew. Mathematik)
Prof. Dr. E. Cohors-Fresenborg
(Didaktik der Mathematik)
Prof. Dr. V. Sperschneider (Informatik)
Prof. Dr. R. Vogt (Reine Mathematik)
Druck Hausdruckerei der Universit(cid:127)at Osnabru(cid:127)ck
Copyright bei den Autoren
Weitere Reihen der OSM:
Reihe D Mathematisch-didaktische Manuskripte
Reihe I Manuskripte der Informatik
Reihe M Mathematische Manuskripte
Reihe P Preprints
Reihe U Materialien zum Mathematikunterricht
Elementare Zahlentheorie
Vorlesung
von
Heinz Spindler
Sommersemester 1997
ii
1
Inhaltsverzeichnis
1 Teilbarkeit 3
1.1 Der euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Primzahlen und eindeutige Primfaktorzerlegung . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Zahlentheoretische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2 Kongruenzen, Restklassen 37
2.1 Lineare Kongruenzen, Eulerscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Nicht-lineare Kongruenzen, p-adische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Quadratische Reste 85
3.1 Legendre Symbol, Euler Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Das quadratische Reziprozit(cid:127)atsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Algebraische Methoden 103
4.1 Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 Reell-quadratische Zahlk(cid:127)orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.3 Ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.4 Endliche K(cid:127)orper und die prime Restklassengruppe modulo m . . . . . 150
2 Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Dies ist die Ausarbeitung meiner vierstu(cid:127)ndigen Vorlesung u(cid:127)ber Zahlentheorie im
Sommersemester 1997. Sie soll den H(cid:127)orerinnen und H(cid:127)orern die Nacharbeitung er-
leichtern.
DieSto(cid:11)auswahl entsprichtungef(cid:127)ahr demallgemeinu(cid:127)blichenSto(cid:11) einfu(cid:127)hrenderVor-
lesungen u(cid:127)ber Zahlentheorie, in denen keine besonderen Kenntnisse in Algebra vor-
ausgesetzt werden.
Als triviale Anwendung des Eulerschen Satzes habe ich, wie es momentan Mode
ist, das RSA public key crypto-system vorgestellt. p-adische Zahlen werden etwas
ausfu(cid:127)hrlicher behandelt. Insbesondere wird das Henselsche Lemma bewiesen.
Fast alle Themender elementarenZahlentheorielassen sich mitComputeralgebra il-
lustrieren.Deshalb wird parallelzumSto(cid:11) einekleine,auf die Belangeder Vorlesung
beschr(cid:127)ankte, Einfu(cid:127)hrung in das Computeralgebrasystem Mathematica (Version
3.0) gegeben. Sie soll die M(cid:127)oglichkeit er(cid:127)o(cid:11)nen, selbst die Geheimnisse der Welt der
Zahlen experimentellzu erforschen oder auch nur Lehrs(cid:127)atze an konkreten Beispielen
zu pru(cid:127)fen.
Das quadratischeReziprozit(cid:127)atsgesetzvonGau(cid:25) fehltnatu(cid:127)rlichnicht.Es werdenzwei
der vielen Beweise vorgestellt.
Im letzten Kapitel u(cid:127)ber algebraische Methoden wird etwas mehr Vertrautheit mit
abstrakter Algebra (lineare Algebra, Polynome, Ideale, Restklassenringe) voraus-
gesetzt. Es werden die Anfangsgru(cid:127)nde der Theorie der algebraischen Zahlk(cid:127)orper
entwickelt. Algebraische Zahlk(cid:127)orper sind diejenigen Unterk(cid:127)orper des K(cid:127)orpers der
komplexen Zahlen, die als Q-Vektorraum endlich dimensional sind. Diese K(cid:127)orper
sind von der Form Q[(cid:11)], wobei (cid:11) 2 C eine algebraische Zahl ist (Satz vom primiti-
ven Element).
p
Als Beispiel habe ich die reell-quadratischen K(cid:127)orper Q[ d]; d (cid:17) 1mod4; d 2 N+
quadratfrei,behandelt.HierkommenunendlicheKettenbru(cid:127)cheunddiePellscheGlei-
chung ins Spiel. Schlie(cid:25)lichwerden Ideale eingefu(cid:127)hrt und die Verallgemeinerung des
Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie auf die Ringe ganzer Zahlen in alge-
braischen Zahlk(cid:127)orpern bewiesen. Die Vorlesung schlie(cid:25)t mit einer Behandlung der
endlichen K(cid:127)orper. Jeder Abschnitt endet mit einer Liste von U(cid:127)bungsaufgaben, die
zum Teil in den zweistu(cid:127)ndigen U(cid:127)bungen zur Vorlesung bearbeitet wurden.
AlsAnhanggibteseinMathematica-Notebook mitProgrammenundU(cid:127)bungenzur
Vorlesung. Wenn man Mathematica3.0 nicht besitzt, kann man dieses Notebook
mit dem von Wolfram Research kostenlos zu beziehenden Programm MathReader
lesen.
Fu(cid:127)r die perfekte TEX-arbeit danke ich Frau Du(cid:127)nheuft sehr herzlich.
Heinz Spindler
3
Kapitel 1
Teilbarkeit
1.1 Der euklidische Algorithmus
Mit Z= f::: ;(cid:0)2;(cid:0)1;0;1;2;:::g bezeichnen wir den Ring der ganzen Zahlen.
Weiter sei N = f0;1;2;:::g die Menge der natu(cid:127)rlichen Zahlen einschlie(cid:25)lich der
Zahl Null und Z+ = N+ = f1;2;3;:::g die Menge der positiven ganzen Zahlen. Fu(cid:127)r
ganze Zahlen a;b 2 Zgilt
a (cid:20) b :() 9c 2 N : a+c = b () b(cid:0)a 2 N:
Es gelten die Regeln:
(1) a (cid:20) b =) a+c (cid:20) b+c fu(cid:127)r alle c 2 Z
(2) a (cid:20) b =) ac (cid:20) bc fu(cid:127)r alle c 2 N
Die Relation (cid:20) ist eine Wohlordnung auf N, d.h. es gilt der Satz vom kleinsten
Element:
Jede nichtleere Teilmenge M (cid:26) N besitzt ein kleinstes Element.
Hieraus kann man den Satz u(cid:127)ber die vollst(cid:127)andige Induktion ableiten:
Satz 1.1.1 Ist M (cid:26) N eine Teilmenge mit den Eigenschaften
(a) 0 2 M; (b) 8 n 2 N : n 2 M =) n+1 2 M;
so gilt M = N.
Beweis: Wir mu(cid:127)ssen zeigen, da(cid:25) die Menge N = NnM leer ist. Annahme: N 6= ;.
Nach dem Satz vom kleinsten Element existiert ein n 2 N mit n (cid:20) m fu(cid:127)r alle
m 2 N. Da 0 2 M, ist 0 2= N, also n > 0, und somit ist n(cid:0)1 2 N. Da n(cid:0)1 < n; ist
n(cid:0)1 2= N, d.h. n(cid:0)1 2 M. Nach (b) folgt jetztn = (n(cid:0)1)+1 2 M imWiderspruch
zu n 2 N. (cid:3)
4 Teilbarkeit
Satz 1.1.2 (Division mit Rest)
8 a;b 2 Z; b > 09! q 2 Z; r 2 Z, so da(cid:25)
a = qb+r und 0 (cid:20) r < b:
Beweis:
(1) Existenz: Es sei
M := fr 2 N j 9q 2 Z: r = a(cid:0)qbg (cid:26) N:
Da b > 0; ist b (cid:21) 1, also gilt fu(cid:127)r q0 := (cid:0)jaj : q0b (cid:20) q01 (cid:20) a und somit
a (cid:0) q0b (cid:21) 0, also a (cid:0) q0b 2 M. Damit ist M 6= ;, und es gibt ein kleinstes
Element r in M. Es sei
r = a(cid:0)qb:
Um zu sehen, da(cid:25) r < b gilt, untersuchen wir r(cid:0)b. Es gilt r(cid:0)b = a(cid:0)qb(cid:0)b =
a (cid:0) (q + 1)b. Da aber r (cid:0) b < r, mu(cid:25) wegen r = minM notwendigerweise
r (cid:0)b < 0 gelten, also 0 (cid:20) r < b:
0 0 0
(2) Eindeutigkeit: Es seien q;q 2 Z; r;r 2 N mit 0 (cid:20) r < b; 0 (cid:20) r < b und
0 0 0 0 0
a = qb+r = q b+r . Dann folgt (q (cid:0)q )b = r (cid:0)r. Da nun jr (cid:0)rj < b, folgt
0 0 0 0
jq (cid:0)q j < 1, also jq(cid:0)q j = 0, d.h. q = q und somit auch r = r : (cid:3)
Beispiel 1.1.3 In dem Computeralgebrasystem Mathematica (siehe [23]) gibt es
die Funktionen
Mod[a;b] und Quotient[a;b]
mit der Eigenschaft
a = Quotient[a;b]b+Mod[a;b]:
Quotient[a;b]2 Zistderganze Anteilvon a=b.aund bdu(cid:127)rfenbeliebigereelleZahlen
sein mit b 6= 0.
Man kannaucheineeigeneDe(cid:12)nitionvonMod[a;b]geben.ZurUnterscheidunghei(cid:25)e
sie r[a;b].
Die De(cid:12)nition erfolgt durch ein kleines Programm.
r[a(cid:0);b(cid:0)] := Module[frg;
r = a;While[r >= b;r = r(cid:0)b];r]
Hier wird innerhalb von Module [ ] eine lokale Variable r eingefu(cid:127)hrt durch die Zeile
frg;
Dann wird r der Startwert a zugewiesen:
r = a;
1.1 Der euklidische Algorithmus 5
Solange r (cid:21) b ist, wird r um den Wert b vermindert:
While[r >= b; r = r(cid:0)b];
am Schlu(cid:25) wird der Wert r angezeigt.
Allerdings ist dies sehr viel langsamer als die implementierte Funktion Mod. Ein
Beispiel:
Mod[12345678; 3417]== Timing
und
r[12345678; 3417]== Timing
ergeben den Wert 57. Aber r[;] braucht zur Berechnung 1.01 Sekunden, w(cid:127)ahrend es
Mod[;] in 0.00 Sekunden scha(cid:11)t.
De(cid:12)nition 1.1.4 Seien a;b 2 Z:
b teilt a( in Zeichen: bja) :() 9q 2 Z: a = qb:
Dies gilt o(cid:11)ensichtlich genau dann, wenn
Mod[a;b]= 0:
Man sagt dann auch:
"b ist Teiler von a" oder
"a ist Vielfaches von b".
Eine einfache U(cid:127)bung ergibt:
Lemma 1.1.5 8 a;b;c;2 Zgilt:
(1) aja; aj(cid:0)a; aj0; 1ja; (cid:0)1ja
(2) 0ja () a = 0
(3) bja und a > 0 =) b (cid:20) a
(4) ajb und bjc =) ajc
(5) ajb =) ajbc
(6) ajb und bja =) a = (cid:6)b
(7) ajb und ajc =) 8 x;y 2 Z: ajbx+cy
(8) ajb =) acjbc (cid:3)
Aus (1), (4) und (6) folgt, da(cid:25) die Teilerrelation "ajb" eine Ordnungsrelation auf
N+ ist. Diese Relation ist aber keine lineare Ordnungsrelation: Sind a;b 2 N+, so
braucht weder ajb noch bja zu gelten.
Eigenschaft (7) kann man auch allgemeiner aussprechen:
6 Teilbarkeit
Lemma 1.1.6 Sind a;b1;::: ;bn;x1;::: ;xn 2 Zund gilt ajb1;::: ;ajbn, so gilt auch
Pn
aj bkxk.
k=1
Pn (cid:16)Pn (cid:17)
Beweis: bk = cka =) bkxk = ckxk a: (cid:3)
k=1 k=1
De(cid:12)nition und Satz 1.1.7 Seien a;b 2 Z. Dann gilt: 9!d 2 N, so da(cid:25) gilt
(1) dja und djb.
(2) Ist c 2 N mit cja und cjb, so gilt cjd.
Diese Zahl d hei(cid:25)t der gr(cid:127)o(cid:25)te gemeinsame Teiler von a und b und wird mit
ggT(a;b) oder ku(cid:127)rzer mit (a;b) bezeichnet.
Beweis: Wir geben zwei Beweise. Der erste Beweis ist abstrakt.
1. Beweis:
0 0 0
a) Eindeutigkeit: Gelten (1) und (2) auch fu(cid:127)r d 2 N, so folgt djd und djd und
0
somit d = d. (cid:3)
b) Existenz: Es sei M = fax+byjx;y 2 Zg:
Ist M = f0g, so ist a = b = 0 und d = 0 erfu(cid:127)llt (1) und (2).
Sei also M 6= f0g. Ist c 2 M, so ist o(cid:11)ensichtlich auch (cid:0)c 2 M und somit
folgt M \N+ 6= ;.
Es sei d das kleinste Element von M \N+. Dann ist d > 0, und wir beweisen
(1) und (2). Zu (1): Sei a = qd+r mit 0 (cid:20) r < d. Dann ist r = a(cid:0)qd 2 M;
denn: Ist d = ax+by, so ist auch r ganzzahlige Linearkombination von a und
b :
r = a(cid:0)q(ax+by) = a(1(cid:0)qx)(cid:0)b(qy)2 M:
Aus der Minimalit(cid:127)at von d folgt r (cid:20) 0, also r = 0 und a = qd, d.h. dja.
Genauso folgt djb. (cid:3)
Zu (2): Ist c ein gemeinsamer Teiler von a und b, so ist c auch Teiler von
d = ax+by. (cid:3)
2. Beweis: (Euklidischer Algorithmus)
Wir betrachten folgendes Mathematica-Programm:
ggT[a(cid:0);b(cid:0)] :=
Module[fd;rg;
d = r;
r = b;
While[r! = 0;fd;rg = fr;Mod[d;r]g];
d]
