Table Of ContentAusdem Programm
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Mathematik
Grundlegende Werke
Lineare Algebra, von G. Fischer
Lineare Algebra und Analytische Geometrie, von H. Schaal
Grundlagen der reellen Analysis, von W. Tutschke
Grundzüge der modernen Analysis, von J. Dieudonne
Elementare Axiome der Mengenlehre, von D. Klaua
Grundbegriffe der axiomatischen Mengenlehre, von D. Klaua
Vektor- und Tensorrechnung für die Physik, von G. Gerlieh
Elementare Tensorrechnung
für Ingenieure
von J. Betten
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH ___ ___,
JosefBetten
Elementare
Tensorrechnung
für Ingenieure
Mit zahlreichen Übungsaufgaben
und vollständig ausgearbeiteten Lösungen
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Dr. lose[ Betten ist apl. Professor an der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
und vertritt das Lehrgebiet "Mathematische Modelle in der Werkstoffkunde".
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Betten, Josef
Elementare Tensorrechnung flir Ingenieure: mit zahlr.
Übungsaufgaben u. vollst. ausgearb. Lösungen.
- 1. Auf!.
ISBN 978-3-528-03036-0 ISBN 978-3-663-14139-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14139-6
1977
Alle Rechte vorbehalten
© by Springer Fachmedien Wiesbaden 1977
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1977
Die Vervielfältigung und Übertragung einzelner Textabschnitte, Zeichnungen oder Bilder, auch flir
Zwecke der Unterrichtsgestaltung, gestattet das Urheberrecht nur, wenn sie mit dem Verlag vorher
vereinbart wurden. Im Einzelfall muß über die Zahlung einer Gebühr flir die Nutzung fremden geistigen
Eigentums entschieden werden. Das gilt für die Vervielfältigung durch alle Verfahren einschließlich
Speicherung und jede Übertragung auf Papier, Transparente, Filme, Bänder, Platten und andere
Medien.
ISBN 978-3-528-03036-0
Vorwort
Die Tensorrechnung entstand um die Jahrhundertwende und wurde von den italienischen
Mathematikern RICCI und LEVI-CIVITA, die Schüler von RIEMANN und CHRISTOFFEL
waren, begründet [16]. Die bekannteste physikalische Anwendung erfuhr die Tensorrechnung
in der Relativitätstheorie [5, 6]. Weitere Anwendungsgebiete sind z.B. die Differentialgeo
metrie [ 5, 9] und die Kontinuumsmechanik [ 2, 5, 10, 11, 12, 14].
In den letzten Jahren dringt der Tensorkalkül immer stärker auch in die technische Literatur
vor, so daß künftig die Tensorrechnung zum mathematischen Rüstzeug des Ingenieurs ge
hören wird, etwa wie lineare Algebra, Matrizenrechnung, Infinitesimalrechnung oder die
"Methode der finiten Elemente", die in vielen Konstruktionsbüros schon seit einigen Jahren
zum alltäglich benutzten Werkzeug des Ingenieurs zählt.
Der Zweck des vorliegenden Buches besteht darin, den Studierenden ingenieurwissenschaft
licher Fachrichtungen, Doktoranden und auch bereits in der Praxis tätigen Ingenieuren zur
Erleichterung des Literaturstudiums ein Hilfsmittel zu geben. Zur Festigung des Stoffes
werden an gegebenen Stellen Übungsaufgaben eingeblendet, deren Lösungen im Anhang
ausgearbeitet sind.
Der mit den Namen RICCI und LEVI-CIVITA verbundene Begriff des "absoluten Differen
tialkalküls" wird in diesem Buch nicht behandelt. Als elementare Einftihrung in die Tensor
rechnung werden alle Rechenoperationen in rechtwinklig CARTESischen Koordinaten
durchgeführt, d.h., es werden nur CARTESische Tensoren besprochen.
Der Inhalt des vorliegenden Buches entspricht etwa dem Stoff meiner Lehrveranstaltung
"Tensorrechnung ftir Ingenieure I", die ich seit 1973 jeweils im Wintersemester für Studie
rende des Studienganges "Grundlagen des Maschinenwesens" (5. Semester) an der RWTH
Aachen halte. Allgemeine krummlinige Koordinaten und der erwähnte "absolute Differen
tialkalkül" sind Gegenstand meiner Sommervorlesungen und übungen in "Tensorrechnung
für Ingenieure Il".
Meinem verehrten Lehrer, Herrn Professor Dr .-Ing. A. TROOST, möchte ich an dieser
Stelle besonders dafür danken, daß er mich wissenschaftlich gefördert und zur Arbeit auf
dem Gebiet der Plastizitätstheorie angeregt hat, die ohne das Hilfsmittel der Tensorrechnung
nicht verstanden werden kann.
Dem Vieweg-Verlag, insbesondere dem zuständigen Lektor, Herrn A. SCHUBERT, sei
gedankt ftir die bereitwillige Aufnahme meines Manuskriptes und die gute und verständnis
volle Zusammenarbeit.
Aachen, im März 1977 Josef Betten
Inhaltsverzeichnis
A Einleitung· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B Tensoralgebra
I. Vektoren (Tensoren erster Stufe) und einfache Vektoroperationen 2
1.1. Zum Vektorbegriff, Norm und Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Lineare Abhängigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Transformationsverhalten von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Dyaden (Tensoren 2-ter Stufe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Transformationsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Transformationsmatrix aii und Substitutionstensor oii . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Tensorquadrik, Deviator und Kugeltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Operatoreigenschaft eines Tensors 2-ter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Hauptachsen eines symmetrischen.Tensors 2-ter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1. Zerlegung eines Tensors 2-ter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Charakteristische Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Invarianten eines Tensors und Deviators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Tensoren höherer Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1. Transformationsverhalten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2. Schiefsymmetrische Tensoren, Alternierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3. Der €-Tensor und das e-System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. Isotrope Tensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5. Zusammenstellung einfacher Tensoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.1. Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2. Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3. Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4. Verjüngung und Überschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.5. Potenzieren von Tensoren ................................... 102
5.6. Isomerenbildung .......................................... 109
C Tensoranalysis
6. Zur Darstellung und Differentiation von Tensorfeldern ................ 111
6.1. Der Feldbegriff .......................................... 111
6.2. Der Fundamentalsatz der Feldtheorie ............................ 120
7. Integralsätze ............................................ 133
7.1. Der Fluß eines Vektor-und Dyadenfeldes durch eine Fläche ............. 135
7.2. Der GAUSSsche Integralsatz .................................. 136
7.3. Der STOKESsehe Integralsatz ................................. 142
D Lösungen der Übungsaufgaben ................................ 146
E Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
F Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 7
- 1 -
A Einleitung
Unter Tensoren versteht man physikalische Größen, die bei
Transformationen des zugrundegelegten Koordinatensystems
ganz bestimmten Transformationsgesetzen gehorchen. Man un
terscheidet Tensoren 0-ter, erster, 2-ter und höherer Stufe,
allgemein Tensoren v-ter Stufe. In der klassischen Form wer
den diese Größen als Skalare, Vektoren, Dyaden, Triaden etc.
bezeichnet. Die allgemeine Bezeichnung Tensor geht auf den
Spannungstensor (tendo = ich spanne) zurück, einer Dyade,
die in der Kontinuumsmechanik eine fundamentale Rolle spielt.
Die Untersuchung solcher Größen auf ihr Transformations
verhalten hin in allgemeinen Koordinatensystemen, die schief
winklig und/oder krummlinig sein können, führt zum allgemei
nen Tensorkalkül. Im vorliegenden Buch wird der Tensorbe
griff in sehr einfacher und elementarer Weise behandelt, und
zwar wird der dreidimensionale EUKLIDsche Raum in rechtwink
ligen CARTESischen Koordinaten1l betrachtet. Man spricht dann
von CARTESischen Tensoren.
Viele Autoren benutzen i~~er noch die symbolische
Schreibweise, die auch noch in den Grundvorlesungen der Me
chanik verwandt wird. Eleganter und moderner lst dagegen die
hier bevorzugte analytische Schreibweise, die den interna
tionalen Gepflogenheiten ents9ric~t. Um den Vorteil dieser
Schreibweise zu zeigen, werden ihr einige Operatoren auch in
der schwerfälligeren symbolischen Schreibweise gegenüberge
stellt. Noch deutlicher wird der Leser die Vorzüge der ana
lytischen Schreibweise beim Rechnen der Übungsaufgaben er
kennen
1) Ein CARTESisches Koordinatensystem ist durch gleiche
lineare Maßeinteilung auf allen Achsen ausgezeichnet.
Insbesondere spricht man von rechtwinkligen CARTESischen
Koordinaten, wenn die Koordinatenachen paarweise ortho
gonal sind.
- 2 -
B Tensoralgebra
In diesem Teil des Buches (Kapitel 1 bis 5) werden die
wichtigsten algebraischen Tensoroperationen in rechtwink
lig CARTESischen Koordinaten beschrieben und eingeübt.
Danach können erst analytische Operationen wie Differen
tiationen und Integrationen behandelt werden. Das führt
zur Tensoranalysis (Teil B, Kapitel 6 und 7) .
1 Vektoren (Tensoren erster Stufe) und einfache
Vektoroperationen
1.1 Zum Vektorbegriff, Norm und Skalarprodukt
Vektoren lassen sich-als Strecken (geometrisches Ob
jekt) darstellen, die eine Länge (Betrag des Vektors) ,
eine Richtung und einen Richtungssinn (Durchlaufsinn) ha
ben. Der Vektor Ai ist durch ein System von 3 Zahlen, den
Koordinaten des Vektors, gegeben:
( 1 • 1 )
Die Lage des Anfangspunktes und des Endpunktes sind durch
die Ortsvektoren yi = (y1, y2, y3) und xi = (x1,x2,x3)
bestimmt, so daß sich die Koordinaten des Vektors aus der
Differenz der Ortsvektoren ergeben (Bild 1.1):
i=1,2,3. ( 1 • 2)
2
1
Bild 1 .1
Zur Darstellung des Vektors A.
l.
- 3 -
2
I A-2 --------~~Ii
I I I
I I
f-- -------
i 2e
I I
I
Bild 1. 2
I
I
Zerlegung des Vektors Ai I
Symbolisch drückt man Gl. ( 1 . 2) durch fX = 1f, -1f{ aus. Ent
sprechend i=1,2,3 stellt (1.2) ein Gleichungssystem dar,
das aus drei Gleichungen besteht. Falls yi der Nullvektor
ist (y1 = y2 = y3 = 0), fällt Ai mit dem Ortsvektor xi
zusammen. Im folgenden ste immer angenommen, daß der An
fangspunkt des Vektors im Koordinatenursprung liegt, wie Bild 1.2
zeigt. Der in Bild 1.2 dargestellte Vektor Ai kann in
Form einer Linearkombination
( 1 • 3)
zerlegt werden mit den Koeffizienten A1, A2, A3, die man
Koordinaten2) des Vektors nennt, und den Basisvektorenmit
dem Betrag EINS in Richtung der drei Koordinatenachsen 1,2
und 3:
1 2 3
e. (1 ,O,Q) 1 ei = (0,1 ,0), e. (0,0,1). ( 1 • 4)
~ ~
Der Index "i" am Zeichen e weist darauf hin, daß wir es mit
einem Vektor zu tun haben, während die Linkszeiger 1, 2 und3
nur ein Unterscheidungsmerkmal sind. Da die drei Basisvekto
ren (1.4) paarweise orthogonal sind und die Länge EINS haben,
nennt man die Gesamtheit der im Ursprung angetragenen Basis
vektoren ein orthonormiertes Dreibein.
2) Häufig falsch als Komponenten bezeichnet! Kompo~enten
sind selbst Vektoren; so ist beispielsweise A2 e. die
Komponente des betrachteten Vektors in 2-RichEung7
- 4 -
Analog zu (1.3) lautet die entsprechende Vektorzerlegung
in symbolischer Schreibweise:
CJL = ~1 + C}t2 + ()1,3 ( 1 • 3 *)
mit den Komponenten ett1, CJt.2, OC3, den Koordinaten A1 , A 2,
n
A 3 undden Basisvektoren 11,1, 2, 1f,3.
Da der Vektor Ai bzw. (J(., als geometrisches Objekt "orien
tierte Strecke" gedeutet werden kann, bleibt er von einer
Koordinatentransformation unberührt und ist in diesem Sinne
invariant! Lediglich die Zerlegung gemäß (1.3) bzw. (1 .3*)
ist von einer Transformation betroffen. So gehen die Koordi
naten A1, A2, A3 beispielsweise bei einer Drehung des ortho
normierten Dreibeins in die Koordinaten A1, A2, A3 über3)
über dieses Transformationsverhalten wird in Ziffer 1.3 aus
führlich berichtet.
Zusammenfassend kann der Vektorbegriff folgendermaßen de
finiert werden:
Ein Vektor Ai ist ein System von drei Zahlen (Zahlentripel)
(A1, A2, A3), die im einzelnen seine Koordinaten heißen und
sich bei einer Änderung des Koordinatensystems in einer ganz
bestimmten Weise transformieren. Dieses Transformationsgesetz
ergibt sich aus der geometrischen Deutung des Vektors als
orientierte Strecke.
Der Vektor Ai ist eine einfach indizierte Größe und wird
daher in der Tensorrechnung als Tensor ersterstufe bezeich-
net - im Gegensatz zum Skalar A (Tensor 0-ter Stufe) .
Der Betrag A (bei Ortsvektoren auch Länge) eines Vektors
Ai bzw. seine Norm A2 folgt aus dem Satz von PYTHAGORAS mit
den Bezeichnungen gemäß Bild 1.1 zu:
2 2 2 2_ ~ 2
A = (x1-y1) +(x2-y2) +(x3-y3) = .L (xi -yi) ( 1 • 5)
~=1
bzw. wegen Gl. (1.2) auch
3
A2 = L A~ + A~ + A~. ( 1 • 6)
i=1
3) Häufig sagt man "Vektoren bzw. allgemein Tensoren trans
formieren sich". Diese Redeweise ist nicht ganz gerecht
fertigt, da sie den Eindruck erweckt, daß es sich um zwei
verschiedene Objekte handelt; in Wirklichkeit sind die A.
und A~ nur zwei verschiedene Darstellungen eines und des!
selbeB geometrischen Gebildes, nämlich des Vektors
schlechthin!
