Elementare Differentialgeometrie (nicht nur) für Informatiker: Mit vielen Grafiken und Visualisierungen in JavaScript

252 Pages·2019·5.841 MB·German

by  Edmund Weitz

Edmund Weitz
Elementare
Differential geometrie
(nicht nur)
für Informatiker
Mit vielen Grafiken
Mit 80+
und Visualisierungen
Videos
in JavaScript
Elementare Differentialgeometrie (nicht nur)
für Informatiker
Edmund Weitz
Elementare
Differentialgeometrie
(nicht nur) für Informatiker
Mit vielen Grafiken und Visualisierungen in
JavaScript
Illustrationen von Heike Stephan
Edmund Weitz
Fakultät Design, Medien und Information
HAW Hamburg
Hamburg, Deutschland
ISBN 978-3-662-60462-5 ISBN 978-3-662-60463-2 (eBook)
https://doi.org/10.1007/978-3-662-60463-2
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Planung/Lektorat: Kathrin Maurischat
Textgestaltung: Edmund Weitz
Illustrationen: Heike Stephan, Hamburg
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Vorwort
Mygreatloveinmathematicsis
differentialgeometry.Nowhereelsein
mathematicsdoIfeelsomuchat
freedomtoimprovise,sometimes
incorrectly,butnevertoofarfromthe
truth.
MarceloEpstein
IndiesemBuchsollesumelementareDifferentialgeometriegehenundeswur-
degeschriebenfürLeser,dieInformatikstudieren.Abermanmussnichtunbe-
dingtaneinerHochschuleeingeschriebensein,umdasBuchmitGewinnzu
lesen.Esreicht,wennmanInteresseanmathematischenFragenhatundein
paar Grundkenntnisse mitbringt. Auf den folgenden Seiten möchte ich kurz
umreißen,worumesimBuchgehenwirdundwieesnachmeinerVorstellung
„funktionieren“soll.
WasistelementareDifferentialgeometrie?
MankannDifferentialgeometriealsdenTeilderMathematikverstehen,indem
geometrische Fragestellungen mit den Methoden der Differential- und Inte-
gralrechnung(dieauchAnalysisgenanntwird)bearbeitetwerden.Klassische
Geometriewirdbereitsseitweitüber2000Jahrenbetriebenundinsbesondere
griechischeMathematikerwieEuklidundArchimedeshabensieschoninder
Antike zu einem beeindruckenden Gedankengebäude ausgebaut. Allerdings
gabesauchFragen,diemanlangefürpraktischunlösbarhielt,z.B.dienachder
LängeeinerbeliebigenKurve.ErstmittelsderEndedes17.Jahrhundertsent-
VI Vorwort
wickeltenAnalysiskonntensolcheProblemeschließlichganzallgemein(und
nichtnurfürSpezialfälle)gelöstwerden.
GleichzeitigeröffnetensichdurchdieneuenMethodenauchganzneueSicht-
weisenaufdieBeziehungenzwischengeometrischenObjekten.DieFrage,war-
umkeineverzerrungsfreieLandkartederErdoberflächemöglichist,lässtsich
z.B.mithilfedesKonzeptesderKrümmung einerFlächeerklären.Diemoder-
ne Differentialgeometrie ist inzwischen in vielen Anwendungsbereichen un-
verzichtbargeworden.UnteranderemistsiedieSprache,inderdieallgemei-
neRelativitätstheorieformuliertist,ohnedieSatellitennavigationnichtkorrekt
funktionierenwürde.
SowiesieineinemStudiumderMathematikheutzutagegelehrtwird,istmo-
derneDifferentialgeometrieaberauchsehrabstrakt.Eswirdeinhoherforma-
lerAufwandbetrieben,umdiezuuntersuchendenObjekte(sogenannteMan-
nigfaltigkeiten)undderenEigenschaftenmöglichstallgemeinbeschreibenzu
können.DabeigehthäufigleiderauchdieAnschaulichkeitverloren.Wennim
TiteldiesesBuchesvon„elementar“dieRedeist,dannistdamitgemeint,dass
wirunsstattdessenaufKurvenundFlächeninderEbeneundimdreidimensio-
nalenRaumbeschränkenwerden,diemansichkonkretvorstellenundimAll-
gemeinenauchgrafischdarstellenkann.Mankönnteauchsagen,dasswiruns
größtenteilsmitklassischerDifferentialgeometriebeschäftigenwerden,wiesie
zurZeitvonGaußaussah.1
BeiderStoffauswahlhabeichmichandendreiBüchern[Pre10],[Gra06]und
[Bär10] orientiert, die ich alle sehr gut finde. (Siehe Seite 233.) [Gra06] sticht
dabeiauchnochdurchdieFülleanBeispielenundGrafikensowiedurchden
EinsatzeinesComputeralgebrasystemshervor.AllerdingssinddieseBücherfür
Studenten der Mathematik in höheren Semestern geschrieben.2 Wir werden
invorliegendenBuchwesentlichwenigerThemenabdeckenunddabeiauch
nichtimmersopräziseundstringentvorgehen,wieesfüreinMathematikstu-
diumnötigwäre.Siesollenzwarlernen,dassgenaueFormulierungenundBe-
weiseinderMathematikwichtigsind,aberabundzuwerdenwirunsauchmit
anschaulichenArgumentenzufriedengeben.
1DerhierabgebildeteCarlFriedrichGaußwurde1777inBraunschweigalsSohnarmerElternge-
borenundkonntenurdankderfinanziellenUnterstützungdurchdenLandesherrnstudieren.
ErverbrachtedengrößtenTeilseinesLebensalsProfessoranderUniversitätGöttingenundgilt
heutealseinerderwichtigstenMathematikerallerZeiten.Unteranderemwurdeerdurchseine
ArbeitenüberFlächenaucheinerderBegründerderDifferentialgeometrie.Der„krönendeAb-
schluss“diesesBucheswirddannaucheinbedeutendesTheoremvonGaußsein.
2SehrempfehlenswertistindiesemZusammenhangauchdasfast90Jahrealte,aberimmernoch
angenehmzulesendeundwunderbarillustrierteBuch[Hil96],dasnichtsostrengmathema-
tischdaherkommtwiediedreivorgenanntenBücher.HilbertschreibtimVorwort:„DerLesersoll
gleichsamindemgroßenGartenderGeometriespazierengeführtwerden,undjedersollsichei-
nenStraußpflückenkönnen,wieerihmgefällt.“
Vorwort VII
WarumDifferentialgeometrie?
Differentialgeometrie für Informatiker? Brauchen die das überhaupt? Ist das
nichtnurwasfürMathematikerundvielleichtnochfürPhysiker?
DiefolgendenSeitensindentstandenalsSkriptfüreineMathematikvorlesung
fürMedieninformatikerimMasterstudium;genauer:fürdieVorlesungMathe-
matischeMethodenderComputergrafikimStudiengangDigitalRealityander
Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg. Ich habe lange über-
legt,welcheThemenmansinnvollerweiseineinersolchenVorlesungbehan-
deln sollte und wie man den Stoff am besten vermittelt. Es gibt zwar schon
diverse Bücher, in denen es um Mathematik mit dem Schwerpunkt der An-
wendunginderComputergrafikgeht,aberdie,dieichmirangeschauthabe,
richten sich entweder an Autodidakten und fangen mathematisch bei Adam
undEvaan(wasfüreinMasterstudiumsicherunpassendwäre)odersiefüh-
lensichwieeininkohärentesSammelsuriumverschiedenerTechnikenan,die
inderHoffnungpräsentiertwerden,dassdieLesersievielleichtmalbrauchen
werden.
NachmeinerErfahrunghabenaberauchdieStudenten,diemitderMathema-
tikaufKriegsfußstehen,imAllgemeinenkeinegrößerenProblemedamit,sich
spezifischemathematischenTechnikenanzueignen,wennsiesiewirklichbe-
nötigen,z.B.füreinProjektodereineAbschlussarbeit.SolcheDinge,dieman
später vielleicht mal braucht, „aufVorrat“zu lernen, halteich für keine gute
Idee.NatürlichkannauchichIhnennichtspräsentieren,wasSiespätergaran-
tiertverwendenwerden.AberichmöchteIhnenzumindesteinedurchgehen-
demathematische„Story“erzählenundhoffe,dassSiedabeiimbestenFalle
wirklichverstehen.(DennMathematik„funktioniert“nurdurchVerstehen,an-
sonstenrechnenSielediglich.DaskönnenComputerbesser.)
Wenn man die Grundlagen der Hochschulmathematik erst mal verdaut hat,
danneignetsichdieklassischeDifferentialgeometrieganzwunderbardafür,in
eineTeildisziplinderMathematiketwastiefereinzutauchen.Sieistanschau-
lichundimVergleichzuanderenBereichendermodernenMathematikziem-
lichkonkret.UndsievereintinsichMethodenderdreigroßenGebietederMa-
thematik:inersterLinieGeometrieundAnalysis,aberauchAlgebra.
Ichhoffe,dassSiedurchdieeingehendeBeschäftigungmitdiesenThemenein
tieferes Verständnis und einen „geometrischen Blick“ entwickeln. Natürliche
werdenSiedabeiauchdiverseTechnikenerlernen,aberwichtigeristmir,dass
SieeinebestimmteDenkweiseerkennen,dieSiehoffentlichspätermalgewinn-
bringendeinsetzenkönnen.
Und außerdem ist diskrete Differentialgeometrie sogar ein momentan recht
„heißes“ThemainderComputergrafik.SchauenSiesichdazuauf YOUTUBE
VIII Vorwort
maleinpaarderschönenVideosvonKeenanCraneanoderlesenSiedenÜber-
sichtsartikel[Cra17].DiesesBuchwirdSienichtindieLageversetzen,gleichan
derSpitzederForschungmitmischenzukönnen,abervielleichtbringtesSieja
zumindestaufdenGeschmack.
EinsatzdesComputers
SchonindenGrundvorlesungenzurMathematikimBachelorstudiumsetzeich
seitJahrenkonsequentComputereinundichmeine,dassdieseHerangehens-
weisesinnvollunderfolgreichist.NachmeinerErfahrungverstehen(zukünf-
tige)InformatikermathematischeKonzeptehäufigbesser,wennsienichtnur
„trocken“rezipiert,sondernselbstamPCumgesetztwerden.Daherwerdeich
es auch in diesem Buch so halten. So oft wie möglich werden neue Begriffe
oderMethodennichtnurdurchGrafikenvisualisiert,sondernauchdurchPro-
grammbeispieleunterfüttert.EinwesentlicherBestandteildiesesdidaktischen
AnsatzessinddabeidieindenTexteingestreutenAufgaben(beidenenSiedas
„Rechnen“gerneeinemComputerüberlassenkönnen)sowieinsbesonderedie
Programmierprojekte. Obwohl Letztere am Ende der Kapitel zu finden sind,
sindsienichtals„Anhängsel“gedacht!IchbetrachtesieinmeinenVorlesun-
genalsintegralenBestandteilundräumeihnendaherauchentsprechendviel
Zeitein.SosolltenSieesbeimeigenständigenDurcharbeitendesBuchesauch
halten.
DamitdiesabereinMathebuchbleibtundnichtzueinemProgrammierkurs
wird,mussichdavonausgehen,dassSiebereitsprogrammierenkönnen.Sie
müssenkeinebestimmteProgrammiersprachekennen,abermindestensinei-
nersolltenSie„verhandlungssicher“sein.MehrdazuinKapitel1.
Wassolltemanmitbringen?
FüreinBuchdieserArtmussichzwangsläufiggewissemathematischeGrund-
kenntnissevoraussetzen.Ichwürdeamliebstensagen,dassmandenStoffbe-
herrschensollte,derineinemBachelorstudiumderInformatikodereinemver-
wandtenStudiengangtypischerweisegelehrtwird.Daswäreabereinesehrva-
geFormulierung,weilesindiesemBereichgroßeUnterschiedezwischenver-
schiedenenHochschulen,zwischenFachhochschulenundUniversitätenund
zwischen verschiedenen Studiengängen gibt; und selbst an derselben Hoch-
schuleundimselbenFachsetztProfessorinMüllervielleichtandereSchwer-
punktealsProfessorSchmidt.
IchwerdedaherimFolgendeneinenMinimalkonsensvorstellen,denichvor-
aussetze.Ichhoffe,dassSieimLaufeIhrerSchul-undHochschulkarrieremit
alldiesenThemenschonmalinBerührunggekommensindunddassSienicht
alleswiedervergessenhaben.
Vorwort IX
– Ausderklassischen(synthetischen)GeometriesolltenSiesichanSätze
wiedievonThalesundPythagorasoderdieStrahlensätze,anKonzepte
wieKongruenzundÄhnlichkeitundangrundlegendeBeziehungenzwi-
schenWinkelnundSeitenverhältnissenerinnern.
– AusderTrigonometriesetzeichKenntnisseüberelementareFunktionen
wie Sinus, Kosinus undTangensund deren Umkehrfunktionenvoraus.
AuchvonGradundBogenmaßsollteSieschonmalgehörthaben.
– AusderanalytischenGeometriewerdenSiedenUmgangmitKoordina-
tensystemundVektorensowiemitVerknüpfungenwiedemSkalar-und
demVektorproduktbenötigen.
– Aus der linearenAlgebra werden wir insbesondere die Matrizen brau-
chen.Siesolltenz.B.wissen,wanneineMatrixreguläroderorthogonal
ist,welcherZusammenhangzwischenMatrizenundlinearenAbbildun-
genbestehtoderwasDeterminantensindundwelchegeometrischeBe-
deutungdiesehaben.
– Schließlichgeheichdavonaus,dassSieGrundkenntnissederAnalysis
ineinerVariablenhaben.Dasbedeutet,dassSiewissen,wasGrenzwerte,
AbleitungenundIntegralesind,dassSiez.B.schonmalvonderKetten-
regelgehörthabenunddassSieetwasüberPolynome,Logarithmenund
Exponentialfunktionenwissen.
Siewerdenzugebenmüssen,dassdasnichtsovielist.EinenwesentlichenTeil
davon sollte sogar schon die Schule vermittelt haben. Es wird sich trotzdem
nichtvermeidenlassen,dassmancheLeserineinigenderobigenBereicheDe-
fizite haben. Die müssen sie dann nacharbeiten – das ist das Schicksal vie-
ler Masterstudenten. Ich empfehle dafür ganz schamlos mein eigenes Buch
[Wei18], das in so ziemlich jeder deutschen Hochschulbibliothek zumindest
digitalkostenloszurVerfügungstehensollte.Alles,wasin[Wei18]nichtsteht,
wirdhiererklärtwerden.
Wenn es darum geht, tatsächlich etwas auszurechnen, etwa Determinanten
oderIntegrale,werdenwirunsmeistensnicht„dieHändeschmutzigmachen“,
sonderndieArbeiteinemComputerüberlassen.Daherwäreesganzgut,wenn
SieschonmalmiteinemComputeralgebrasystemgearbeitethätten,wenndas
auchkeinezwingendeVoraussetzungist.DiesesThemawirdauchin[Wei18]
behandelt.
VideosundQR-Codes
DieVorlesung,inderenRahmendiesesBuchentstandenist,habeichaufge-
zeichnet.DiesoentstandenenVideosfindenSiejeweilsanhandderQR-Codes
andenentsprechendenStellenimBuch.SollteIhnenalsoetwasbeimLesen
X Vorwort
nicht sofort klar sein, dann können Sie sich das quasi von mir „persönlich“
noch mal erklären lassen. Sie können sich darauf verlassen, dass in den Vi-
deos tatsächlich dieselben Dinge besprochen werden wie im Buch und dass
auch dieselben Schreibweisen und Konventionen verwendet werden. Außer-
demsolltesichdasBuchdadurchauchzumSelbststudiumeignen.WennSie
das Buch als PDF lesen, dann sind die QR-Codes gleichzeitig Links, die man
anklickenkann.3
Danksagungen
DieDruckvorlagefürdiesesBuchwurdevonmirselbstinLATEXangefertigt.Die
meistenGrafikenwurdendirektinLATEXmittelsPGF/TIKZerstellt.4Ichdanke
allenEntwicklern,dieseitJahrzehntenunentgeltlichundunermüdlichander
TEX-Infrastrukturarbeiten.
AlsdiesesBuchnocheinVorlesungsskriptwar,habenMikeBoschanski,Xuan
LinhDo,IordanisLazaridisundVincentSchnoormichaufFehlerhingewiesen,
wofürichmichhiermitbedankenmöchte.UndganzbesondersgiltmeinDank
JörgBalzerundMarioKeller,diebeidedasgesamteManuskriptgewissenhaft
durchgelesenundvielekleineundgrößereFehlergefundenhaben.
Trotzdem wird es in diesem Buch leider Fehler geben und die gehen natür-
lichaufmeineKappe.WennSieeinenfinden(undseies„nur“einTippfehler),
[email protected]
neListederaktuellbereitsbekanntenFehlerfindenSiemittelsdesQR-Codes
amRand.
ZumSchlusswiedermeinherzlicherDankanmeineliebeFrau,die–wieschon
für[Wei18]–vieleschöneIllustrationenvonMathematikernbeigesteuertund
dadurchdasBucherheblichaufgewertethat;unddieimmervielGeduldmit
mirhabenmuss,wennichtagaustageinindereinenoderanderenFormmit
Mathematikbeschäftigtbin.
Hamburg,imAugust2019 EdmundWeitz
3AuchQuerverweiseundURLskannmaninderPDF-Versionanklicken.Ichhabeaberausästhe-
tischenGründendaraufverzichtet,LinksineinemaufdringlichenBlaueinzufärben.
4Lediglicheinigewenige3D-AnsichtenvonFlächenwurdenmitdemkommerziellenComputeral-
gebrasystemMATHEMATICAgeneriert.