Table Of ContentW eickert-Stolle
Praktisches Maschinenrechnen
Die wichtigsten Erfahrungswerte aus der Mathematik
Mechani)r, Festigkeits- und Maschinenlehre in ihrer
Anwendung auf den praktischen Maschinenbau
Erster Teil
Elementar-Mathematik
Eine leichtfaßliche Darstellung der für Maschinen
bauer und Elektrotechniker unentbehrlichen Gesetze
von
A. Weickert
Oberingenieur und Lehrer an höheren Fachschulen
für Maschinenbau und Elektrotechnik
Zweiter Band: Planimetrie
Zweite, verbesserte Auflage
Mit 348 Textabbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
1922
Alle Rechte, insbesondere das der Über
setzung in fremde Sprachen vorbehalten
ISBN 978-3-662-33619-9 ISBN 978-3-662-34017-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-34017-2
Vorwort zur ersten Auflage.
Der vorliegende Band "Planimetrie" des bereits sechs weitere Bände
umfassenden ganzen Buches "Praktisches Maschinenrechnen" ist
nach denselben Grundsätzen bearbeitet wie die -anderen Bände.
Das Buch entstand auf Grund vielfacher Wünsche und Anregungen,
welche aus Kreisen der Herren ]'achkollegen und Leser wiederholt
an mich gerichtet wurden.
Die Behandlung des Stoffes ist den neuzeitlichen Bestrebungen auf
diesem Gebiete angepaßt. Von der sonst üblichen, strengen Beweis
führung unter Voranstellung der "Lehrsätze" ist abgesehen. Es ist vor
allem Wert auf Anschaulichkeit, zeichnerische Darstellung usw. gelegt,
und sind aus diesen als Folge die maßgebenden Gesetze abgeleitet..
Auch sind nur die für die technischen Fächer wichtigsten Sätze behandelt.
Beispiele, Aufgaben und Übungen sind dem Bedürfnis der Praxis
entsprechend reichlich vorgesehen; sie sind zum Teil der Praxis ent
nommen, zum Teil auf diese zugeschnitten.
Mit dem Erscheinen dieses Bandes richte ich, im voraus dankend,
an die Herren Fachkollegen und Leser die Bitte, mich auf fehlende
oder wünschenswerte Erweiterungen aufmerksam machen zu wollen.
Unterlassen möchte ich nicht, meinem Herrn Verleger besonderen
Dank für die große Bereitwilligkeit auszusprechen, die er auch bei dieser
Veröffentlichung, trotz der außerordentlich erschwerten und nur unter
Aufwendung erhöhter Herstellungskosten ermöglichte, in bezug auf
zweckentsprechende, würdige und den bereits erschienenen Teilen
angepaßte Ausstattung dieses Bandes zeigte.
Berlin, im Januar 1917.
A. Weickert.
Vorwort zur zweiten Auflage.
Der schnelle Absatz der ersten Auflage machte die vorliegende
Neubearbeitung notwendig. Einzelne Abschnitte wurden auf vielfache
Anregungen aus Interessentenkreisen erheblich erweitert, der Abschnitt
über den "Kreis" vollkommen umgearbeitet. Gänzlich neu hinzugefügt
wurden die für den Techniker erforderlichen Sätze aus der "Ähnlich
keitslehre".
Beispiele und Übungen wurden ganz erheblich vermehrt.
Letztere treten bei dem Kreise und bei der Ähnlichkeitslehre mehr
in den Vordergrund, da der Leser nach gewissenhaftem Durcharbeiten
der vorhergehenden Abschnitte in der Lage ist, die in den Übungen
enthaltenen Aufgaben selbständig zu lösen.
Wiederholt sei dem Leser die Beachtung der "Fußnoten" empfohlen;
er vermeidet dadurch Zeitverluste durch ein die Arbeit erschwerendes
Herumsuchen in den anderen Bänden des ganzen Werkes. Die Bezug
nahmen in diesen Fußnoten auf die einzelnen Bände betreffen:
Arithmetik und Algebra, IX. Auflage, 1920
Trigonometrie, I. " 1919
Stereometrie, I. 1920
Mechanik, VIII. " 1920
Mit der wiederholten Bitte an die Herren Fachkollegen und Leser,
ihre Wünsche und Vorschläge zur Vervollkommnung und Verbesserung
des Ganzen mir auch weiterhin zugehen zu lassen, verbinde ich
besonderen Dank an den Herrn Verleger, welcher trotz~ Teuerung und
Papiernot nichts unterlassen hat, um das Erscheinen dieses Bandes
in der vorliegenden Form m ermöglichen.
Berlin, im September 1922.
A. Weickert.
Inhalts verz eichni s.
Erster Teil.
II. Band.
Planimetrie.
Seite
Vorwort ..•... IlljlV
I. Vorbegriffe 1
Raum. 1
Körper. Ausdehnung 1
Fläche. 2
Linie . 2
Punkt . 2
Bewegung des Punktes 2
Bewegung der Linie 3
Bewegung der Fläche. Dimension 3
H. Die gerade Linie 4
Gerade. Strahl. Strecke. Vektor . 4
Messen. Längeneinheiten . . . . . 6
Das metrische System . . . . . . . 6
Addition 11nd Subtraktion von Strecken 7
Messen gebrochener und krummer Linien 7
ill. Die Ebene . . . . . ... 8
Ebene. Krumme Fläche . 8
Sich schneidende Geraden . 9
Parallele Geraden 9
Parallelverschiebung 10
Drehung einer Geraden 10
Kreislinie. Kr-eisfläche 11
Senkrechte Geraden . 11
IV. Der Winkel 12
Winkel. Winkelraum 12
Bezeichnung der Winkel 13
Gleiche und ungleiche Winkel . 13
Winkelarten . . . . . . . . . 14
Komplement und Supplementwinkel 17
Nebenwinkel . . . . 17
Scheitelwinkel • . . 18
Messen von Winkeln 19
Rechnen mit Winkeln ...•...... 21
Senkrecht. Lotrecht. W agerecht. Abstand 29
Kreisbogen als Winkelmaß . . . . . . . . 31
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
Kreisteilung . . . . . . . . . . . . 31
Addieren, Subtrahieren, Vervielfachen und Teilen von Winkeln
auf graphischem Wege . . . . . . 32
Parallelverschiebung und Drehung von Winkeln 35
Gegenwinkel. Wechselwinkel . . 36
Winkel an Parallelen • . . . . . 37
Senkrechte auf Winkelschenkeln . 38
Halbierte Nebenwinkel . . 40
V. Das Dreieck . . ..... 41
Bezeichnungen am Dreieck 41
Winkelsumme im Dreieck . 43
Außenwinkel . • . . . . . 43
Kongruenz oder Deckungsgleichheit 47
Kongruenzsätze . . . . . . . . • . 48
Höhen, Winkelhalbierende und Seitenhalbierende im Dreieck . 51
Das gleichschenklige Dreieck 52
Das gleichseitige Dreieck 54
Konstruktionsaufgaben . . . 56
Grundaufgaben • . . • . 56
Das rechtwinklige Dreieck 61
Das gleichschenklige Dreieck 61
Das gleichseitige Dreieck . . 62
Das allgemeine Dreieck 62
Das einfache Kurbelgetriebe 65
VI. Das Viereck • • . •... 66
Bezeichnungen am Viereck 66
Winkelsumme im Viereck . 67
Das Parallelogramm . . 67
Das Rechteck ..... 69
Die Raute oder der Rhombus 70
Das Quadrat . . . . . . 70
Das Trapez ...... . 71
Teilung einer Dreieckseite 73
Teilung einer Geraden . . 73
Konstruktionsaufgaben . . 75
VII. Flächengleichheit und Flächeninhalt geradlinig begrenzter,
ebener Figuren . . • • . . . 81
Begriff der Flächengleichheit 81
Messen von Flächen . . . . 83
Flächeneinheiten . . . . . . 83
Berechnung von Flächeninhalten . 84
Das Rechteck • . . 84
Das Parallelogramm 86
Das Quadrat 88
Der Rhombus . . . 88
Das Quadrat und der Rhombus 88
Umfang geradlinig begrenzter, ebener Figuren . 90
Das Dreieck • • . . . . . . • 100
Das rechtwinklige Dreieck • 102
Das Trapez .•... • 103
Unregelmäßige Vierecke . . 108
Unregelmäßige Vielecke . . 108
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
Beliebig begrenzte, ebene Figuren . 112
Trapezformel . • . . . . . 112
Vereinfachte Trapezformel . 115
Simpsonsche Regel . 116
Pythagoreischer Lehrsatz . 121
Anwendung des Pythagoras . 124
Das rechtwinklige Dreieck . .124
Das gleichschenklige Dreieck . 125
Das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck . 127
Das gleichseitige Dreieck . . . . . • 128
Rechteck, Quadrat und Rhombus . . 130
Heronsche Formel • . . . . . . . . 131
Vlll. Der Kreis . . . . . . . ..... . . 134
A. Allgemeines und Bezeichnungen . . . 134
Halbmesser. Durchmesser. Umfang . 134
Sehne. Sekante. Tangente . . . . . • 135
Kreisabschnitt. Kreisausschnitt. Halbkreis . . 136
Winkel. Halbkreis. Viertelkreis . . . . . 137
B. Gegenseitige Lage zweier Kreise . 137
Konzentrische und exzentrische Kreise . 137
Parallelverschiebung . . . . . 138
C. Geraden im und am Kreise . . 140
Sehne ..... . 140
Gleiche Sehnen • . 141
Ungleiche Sehnen . 141
Tangente .... . 142
D. Winkel im Kreise . 143
Zentri- oder Mittelpunktswinkel . . 143
Peripherie- und Zentriwinkel . . . 144
Peripheriewinkel über gleichen Bogen . . 145
Peripheriewinkel im Halbkreise . . 146
Sehnen- und Tangentenwinkel . 146
E. Tangenten-Konstruktionen . 147
Tangenten an einen Kreis . . . 147
Tangenten an zwei Kreise . . ' 149
F. Einbeschriebene und umschriebene Figuren . 152
Sehnendreieck • . . 152
Sehnenviereck . . . 153
Tangentenviereck . 154
Tangentendreieck . 154
Tangentenvieleck . 155
G. Regelmäßige Vielecke . 157
Regelmäßige Vielecke und Kreis . 157
Bestimmungsdreieck . . . . . . . 159
Winkel im regelmäßigen n-Eck . . 159
Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks . 160
Quadrat •.......... . 161
Regelmäßiges 8-, 16-, 32-... Eck . 162
Regelmäßiges 6-Eck . . ...• . 163
Regelmäßiges 12-, 24-, 48-... Eck . 164
Regelmäßiges Dreieck . . . . . . 164
Regelmäßiges 5-, 7-, 9-, 11-... Eck . 166
Berechnung regelmäßiger Vielecke . . 166
Vlll Inhaltsverzeichnis.
Seite
H. Berechnung des Kreises • 170
Umfang des Kreises . . 170
Inhalt des Kreises . . . . 173
Inhalt des Kreisringes . . 173
IX. Proporti·onalität der Linien und Ähnlichkeit geradlinig
begrenzter, ebner Figuren . • 180
A. Proportionalität von Strecken . 180
Messen. Aliquoter Teil . . . . • 180
Größtes gemeinschaftliches Maß . . 180
Verhältnis zweier Strecken . . . . 183
Kommensurabele und inkommensurabele Strecken • 184
Teilung einer Strecke
in gleiche Teile . . . . . . . . . . 186
nach einem gegebenen Verhältnis • 187
Proportionale Teilung am Dreieck . 190
Konstruktion der vierten Proportionalen . . 194
B. Ähnlichkeit ebener, geradlinig begrenzter Figuren • 195
Begriff der Ähnlichkeit . 195
Transversalmaßstab . 201
0. Ähnlichkeit der Dreiecke . . 203
Parallelsatz . . . . . . . . 203
Konstruktion ähnlicher Dreiecke . 203
Ähnlichkeitssätze • 205
Höhensatz • 206
Mittellinien. Schwerlinien • 208
Mittlere Proportionale • 209
Kathetensatz . . . . . . 210
Höhensatz ..... . . 211
Konstruktion der mittleren Proportionalen . 211
Stetige Teilung. Goldener Schnitt • 213
Umfänge ähnlicher Dreiecke . • . • 215.
Flächeninhalte ähnlicher Dreiecke • 215
D .. Ähnlichkeit der Vier- und Vielecke • 218
Bedingungen der Ahnlichkeit . 218
E. Proportionalität am Kreise • . 219
Sehnensatz . . . 219
Sekantensatz • 220
Tangentensatz .. . . • 221
Satz des Ptolemäus • 223
F. Proportionalität der Flächeninhalte ebener ]'iguren . •• 224
Rechtecke •.......••. • 225
Parallelogramme • • . . . . . . . • 226
Allgemeine und ähnliche Dreiecke . 228
Ähnliche und regelmäßige Vielecke • 229
Kreise . • . • • . • . . . , . . . 229
Verhältnis entsprechender Kreisteile zueinander • 229
Quadratwurzeln vielgebrauchter Zahlenwerte . 230
Griechisches Alphabet . . . • . • • • . . • 230
Planimetrie.
I. V orbegrHfe.
1. Raum._J eder einzelne der im Weltenraume befindlichen Körper
besteht aus einem bestimmten Stoffe; jeder dieser Körper nimmt
infolge seiner begrenzten Ausdehnung einen bestimmten Raum ein.
2. Stoff. Von der Besprechung der dem Stoffe1) anhaftenden
Eigenschaften: Elastizität, Farbe, Festigkeit, Härte, Gewicht, Teilbar
keit, elektrische und chemische Eigenschaften nimmt die Geometrie
Abstand; dieselben werden in der Naturkunde besprochen. Wohl
aber befaßt sich die Geometrie mit der Untersuchung der räumlichen
Ausdehnung der Körper, da von dieser Gestalt und Größe der
selben abhängig sind.
3. Mathematische Körper. Ausdehnung. Körper, welche -man
sich ohne eine einzige der vorstehend aufgeführten Eigenschaften des
Stoffes vorstellt, die also nur in bezug auf ihre räumliche Ausdehnung
zu beurteilen sind, bezeichnet man als mathematische Körper.
Mathematische Körper sind demnach nur in unserer Vorstellung
bestehende Körper, welche gegen den allgemeinen, unbegrenzt ge
dachten Weltenraum nach allen Seiten begrenzt sind.
Jeder mathematische Körper ist nach drei Richtungen begrenzt;
man sagt: Jeder Körper hat drei Ausdehnung/en.J -):
4. Körper. Oberfläche. In Abb. I bis 6 sind einige nach allen
daCrgest!~llt: J
Seitenlbeg]renJzte Körper b
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-..
.Abb. 1. Würfel. Abb. 2. Vierseitiges Prisma Abb. 3. Vierseitige
oder Quader. Pyramide.
Abb. 4. Zylinder. Abb. 5. Kegel. Abb. 6. Kugel.
1) Eisen, Holz, Stein.
Weickert·Stolle, Maschinenrechnen, I, 2. 2. Auf!. 1
