Table Of ContentElektronen im Kristall
Rudolf Herrmann
Uwe Preppernau
Springer-Verlag
Wien New York
Professor Dr. sc. RUDOLF HERRMANN
Ordentlicher Professor an der Humboldt-Universitat zu Berlin
Dr. rer. nat. UWE PREPFERNAU
Wissenschaftlicher Assistent an der Humboldt-Universitat zu Berlin
Das Werk erscheint gleichzeitig im Akademie-Verlag Berlin und im Springer-Verlag
Wien.Ne~ York und ist urheberrechtlich geschiltzt.
Die dadurch begrilndeten Rechte, insbesondere die der Ubersetzung, des Nachdruckes, der
Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem
oder ahnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch
bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten.
Vertriebsrechte fill die sozialistischen Lander: Akademie-Verlag Berlin
Vertriebsrechte fill aUe Staaten mit Ausnahme der sozialistischen Lander:
Springer-Verlag Wien-New York
Mit 179 Abbildungen und 14 Tabellen
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Herrmann, RudoH:
Elektronen im Kristall / Rudolf Herrmann; U we
Preppernau. ,- Wien, New York: Springer, 1979.
JSBN-13:978-3-7091-8521-6 e-ISBN-13:978-3-7091-8520-9
DOl: 10.1007/978-3-7091-8520-9
NE: Preppernau, Uwe:
© Akademie-Verlag Berlin 1979
So£tcover reprint of the hardcover 1st edition 1979
ISBN-13:978-3-7091-8S21-6
M. S. Ohaikin gewidmet
Vorwort
Die schnelle Entwicklung, die die Festkorperphysik in den letzten Jahrzehnten genom
men hat, ist vor allem auf die stark gestiegene und noch immer steigende Bedeutung
ihrer Ergebnisse fUr wesentliche Bereiche der Technik zuriickzufUhren. So hat die
Halbleiterphysik besonders die Entwicklung der Elektronik beeinfluBt, wahrend die
Metallphysik vorwiegend der Technologie der Werkstoffe und damit der gesamten
modernen Werkstofforschung Impulse gab. Aus der Technik heraus resultierten an
dererseits immer wieder neue und interessante festkorperphysikalische Fragestellun
gen, insbesondere auch zur Festkorpertheorie. Aus diesen Griinden sind die Grund
lagen der Festkorperphysik zu einem festen Bestandteil in der Ausbildung unserer
Physikstudenten geworden.
Schon bald nach der allgemeinen Formulierung der Quantenmechanik legten
A. SOMMERFELD und H. BETHE im Handbuch der Physik XXIVj2 (1928) eine erste ge
schlossene Theorie des festen Korperl' vor. Inzwischen haben die auf der Einteilchen
Naherung basierenden festkorpertheoretischen Modellvorstellungen eine gewisse
Abrundung erfahren. Dabei hat sich herausgestellt, daB die Einteilchen-Konzeption
trotz ihrer groben Naherungen viele Festkorpereigenschaften und -phanomene (vor
aHem metallphysikalische) recht gut beschreibt.
Infolge der Herstellung immer perfekterer Festkorper sowie der Vervollkommnung
der experimentellen Technik und der damit verbundenen Realisierbarkeit extremer
Bedingungen wie tiefer Temperaturen, starker Magnetfelder und hoher Drucke konnte
die experimentelle Festkorperphysik in ihrer Entwicklung schnell voranschreiten.
Von besonderer Bedeutung ist die Erzeugung tiefer Temperaturen, weil eine ganze
Reihe von Erscheinungen, die fUr die KUi,rung elektronischer Eigenschaften von Fest
korpern wesentlich sind, nur unter diesen Bedingungen beobachtet werden konnen.
Hierzu gehoreninsbesondere die auf der Quantisierung der Ladungstragerbewegung im
Magnetfeld beruhendenEffekte wie beispielsweise die Zyklotronresonanz und die Oszil
lationen der Zustandsdichte der Ladungstrager, auf die wir genauer eingehen werden.
Wir haben das Buch "Elektronen im KristaH" genannt, um von vornherein darauf
hinzuweisen, daB wir un sere Darlegungen auf die elektronischen Eigenschaften kristal
liner Festkorper beschranken. Dabei gehen wir von einem annahernd idealen kristalli
nen Festkorper aus und beriicksichtigen Erscheinungen der Realstruktur (Oberflache,
Gitterdefekte, Verunreinigungen u. a.) nur dann, wenn es fiir das Verstandnis not
wendig ist.
In erster Linie ist das Buch ein Grundlagenbuch, das in seiner Funktion als Lehr
buch dem Lernenden den Weg zur Erarbeitung wichtiger festkorperphysikalischer
VI Vorwort
Grundlagen zeigen und ibn an die Losung bestimmter Probleme heranfiihren solI.
Daher kann es natiirlich im Detail nicht so tief gehen wie ein entsprechendes Fach
buch. Wir beschranken uns vielmehr auf die prinzipielle Darstellung bestimmter
Sachverhalte, zeigen das allgemeine Vorgehen und geben bewullt ausfUhrliche Er
lauterungen anhand einfacher FaIle. Komplizierte Spezialfalle diskutieren wir nur
dann, wenn der physikalische Sachverhalt sonst nicht hinreichend verstandlich wird.
Wir haben uns bemiiht, aIle Probleme leicht falllich aus der Sicht des Experimentators
darzustellen, ohne dabei jedoch die notwendige enge Wechselbeziehung zwischen
Theorie und Experiment aus den Augen zu verlieren.
Von der Anlage her lallt sich das Buch im wesentlichen in zwei Teile gliedern, einen
Grundlagenteil und einen Spezialteil. 1m erst en Teil (Kapitel 1-5) werden einige fUr
das Gesamtverstandnis wesentliche allgemeine Grundlagen der Festkorperphysik
vermittelt. Wir gehen von sehr einfachen, aber grundlegenden Modellvorstellungen
iiber Metalle und Halbleiter aus, die sukzessive verfeinert und erweitert werden. 1m
Rahmen solcher einfachen Modelle ist es zweckmallig, zunachst das Verhalten. eines
Gases quasifreier Ladungstrager zu untersuchen (Kapitel 1), wobei Fragen der Sta
tistik im Mittelpunkt stehen. Danach folgt eine Darstellung der Gitterschwingungen
(KapiteI2), die bis zum Phononenbild gefUhrt wird. Erganzend und in gewissem Malle
zur Anwendung dieser Darlegungen gehen wir auf Probleme ein, die sich bei der Be
recbnung des Gitteranteils zur Warmekapazitat von Festkorpern ergeben. Nach aus
fiihrlichen Betrachtungen zu praktisch bedeutsamen Gittern und Kristallstrukturen
sowie zu deren zweckmal3iger Beschreibung (Kapitel 3) nehmen wir Elektronen und
Phonon en in die von den Kristallbausteinen gebildete raumlich periodische Struktur
hinein und behandeln das Verhalten der Elektronen (Bloch-Elektronen) unter dem
Einflu13 des Gitterpotentials (KapiteI4).
Wahrend wirin denersten vier Kapiteln von allen aullerenEinwirkungen absehen und
nurGleichgewichtsprobleme betrachten, lassen wir hiernach aullere Felder und damit
verbunden au13ere Krafte zu. Wie wir sehen werden, ist innerhalb gewisser Grenzen eine
quasiklassische Beschreibung der Dynamik der Kristallelektronen moglich (KapiteI5).
Auf den so geschaffenen Grundlagen aufbauend, behandeln wir im zweiten Teil
(KapiteI6-1O) spezielle Festkorpereigenschaften und -phanomene wie die elektrische
Leitfahigkeit und galvanomagnetische Effekte (KapiteI6), das Verhalten der Ladungs
trager im Magnetfeld, insbesondere die sogenannte Landau-Quantisierung und die auf
ihr beruhenden Oszillationen der Zustandsdichte (Kapitel 7), Hochfrequenzeigen
schaften (Kapitel 8), Resonanzphanomene (Kapitel 9) sowie Fragen der Ausbreitung
elektromagnetischer Wellen im Festkorperplasma (KapitellO).
Das Buch ist so verfallt, dall man (bei entsprechenden Vorkenntnissen) das Studium
miihelos mit j()dem beliebigen Kapitel beginnen kann. Die Symbole werden stets von
neuem erlautert; auf Bezugsstellen in vorangegangenen Kapiteln wird laufend ver
wiesen. Tabellen, Hervorhebungen, eingerahmte Formeln sowie kurzgefallte Zusam
menfassungen innerhalb des Textes sollen in gewissem Malle wissenspeichernde Funk
tion iibernehmen. Dem Charakter als Lehrbuch entsprechend, zitieren wir nur wenig
Originalliteratur, und die am Ende jedes Kapitels angegebenen Literaturhinweise
\
sollen dem Leser beim weiteren Studium behilflich sein, konnen aber k.einen Anspruch
auf Vollstandigkeit erheben.
Grundkenntnisse in Mathematik und Quantenphysik werden vorausgesetzt, so dall
sich das Buch an Studenten hoherer Semester wendet. Wegen seiner Zweiteilung ist
Vorwort VII
es sowohl fur die Studenten geeignet, die sich mit den Grundlagen der Festkorper
physik befassen wollen, als auch fur jene, die sich auf dem Gebiet der Festkorperphysik
gewisse Spezialkenntnisse aneignen mochten. U"berdies wendet es sich an Wissen
schaftler (Physiker, Elektroniker), die sich mit Grundlagen der Hochfrequenzeigen
schaften fester Korper sowie der Wellenausbreitung in Festkorpern vertraut machen
wollen.
Wir mochten allen, die direkt oder indirekt zum Zustandekommen des Buches
beigetragen haben, herzlich danken, insbesondere den Herren Dr. H. ESCHRIG und
Dozent Dr. habil. D. SCHULZE fur die Durchsicht des Manuskriptes sowie fUr zahl
reiche wertvolle Hinweise, Herrn Dr. G. JANICHE fur die umfangreiche technische
Unterstutzung und Frau G. WEIDER, die uns mit viel Sorgfalt und Umsicht bei der
Anfertigung des Manuskriptes half. Ebenso mochten wir Frau R. TRAUTMANN vom
Akademie-Verlag fur die uns entgegengebrachte Geduld sowie fUr die verstandnis
vollen Beratungen bei der Manuskriptherstellung unseren aufrichtigen Dank aus
sprechen.
Berlin, im Juni 1976 R. HERRMANN
U. PREPPERNAU
Rauchquarz (Si02)
Aus der Sammlung von J. BAUTSCH;
Fundort: St. Gotthard-Massiv; Schweiz
Inhal tsverzeichnis
Verzeiehnis der wiehtigsten Symbole . . XIII
1. Statistik der Ladungstriiger im FestkOrper I
1.1. Elektronen im Metall. . . . . . . . . 1
1.1.1. Einfaehe Modellvorstellung fur ein Metall . I
1.1.2. Energiezustande eines Gases quasifreier Elektronen. 5
1.1.3. Elektronen im Metall bei T = 0 K. . . . . . . . 8
1.1.4. Elektronen im Metall bei T > 0 K. . . . . . . . 13
1.1.5. Beitrag der Elektronen zur Warmekapazitat eines Metalls. 18
1.2. Halbmetalle. . . . . . . . . . . . . . 20
1.3. Statistik der Ladungstrager im Halbleiter. . . . . . . . 21
1.3.1. Modellvorstellung fUr einen Halbleiter . . . . . . . . . 21
1.3.2. Kriterium fUr die Anwendbarkeit der klassisehen Statistik beim Halbleiter. 26
1.3.3. Eigenhalbleiter 28
1.3.4. 5torstellenhalbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Gittersehwingungen und Phononen 33
2.1. Gittersehwingungen . . . . . . 33
2.1.1. Charakterisierung der Gittersehwingungen. 33
2.1.2. Das Sehwingungsspektrum des eindimensionalen Gitters einer einzigen
Atomsorte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.3. Das Sehwingungsspektrum des eindimensionalen Gitters z'weier Atomsorten 42
2.1.4. Das Sehwingungsspektrum des dreidimensionalen Gitters 47
2.2. Phononen. . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1. Quantisierung der Gittersehwingungen . . . . . . . . 49
2.2.2. Eigensehaften der Phononen. . . . . . . . . . . . . 52
2.3. Bereehnung des Gitterbeitrages zur Warmekapazitat von Festkorpern 56
2.3.1. Klassisehe Theorie der Warmekapazitat. 56
2.3.2. Das Einstein-Modell 59
2.3.3. Das Debye-Modell . . . . 62
3. Kristallstruktur und Gitter. 70
3.1. Grundbegriffe fUr die Besehreibung der Kristallstruktur. 70
3.2. Die sieben Kristallsysteme und ihre vierzehn Bravais-Gitter. 75
3.3. Behandlung praktiseh wiehtiger Bravais-Gitter und Kristallstrukturen 78
3.3.1. Das einfaehe kubisehe Gitter (se). . . . 79
3.3.2. Das kubiseh-raumzentrierte Gitter (krz). 80
3.3.3. Das kubisch-flaehenzentrierte Gitter (kfz) 82
3.3.4. Das hexagonale Gitter . . . . . . 83
3.3.5. Einige konkrete Kristallstrukturen. . . 89
x
Inhaltsverzeichnis
Seite
3.4. Das reziproke Gitter . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1. Definition und Eigenschaften des reziproken Gitters . 92
3.4.2. Das reziproke Gitter eines einfachen kubischen Gitters 95
3.4.3. Das reziproke Gitter eines kubisch-raumzentrierten Gitters 97
3.4.4. Das reziproke Gitter eines kubisch-flachenzentrierten Gitters. 98
3.4.5. Das reziproke Gitter eines hexagonalen Hitters. . . . . . 100
3.5. Charakterisierung von Ebenen,und Richtungen im Kristall 101
3.6. Brillouin-Zonen . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6.1. Definition und Eigenschaften der Brillouin-Zonen . 107
3.6.2. Brillouin-Zone eines einfachen kubischen Gitters. . 1I0
3.6.3. Brillouin-Zone eines kubisch-raurnzentrierten Gitters III
3.6.4. Brillouin-Zone eines kubisch-flachenzentrierten Gitters 1I3
3.6.5. Brillouin-Zone eines hexagonalen Gitters . . . . . 1I5
3.7. Laue-Interferenzbedingungen und Bragg-Reflexion . 1I7
4. Ehiktronen im Gitter . . . . . . . . . . . • . 123
4.1. Die SchrOdinger-Gleichung der Kristallelektronen 123
4.1.1. Das Vielteilchen-Problem 124
4.1.2. Das Bloch-Theorem . 125
4.1.3. Das effektive Potential . '. 127
4.1.4. Der endliche Kristall. . 131
4.2. Grundgedanken zur Bandstrukturberechnung 136
4.2.1. Naherung freier Elektronen ....... . 136
4.2.2. Naherung nahezu freier Elektronen (schwache Bindung) . 139
4.2.3. Naherung stark gebundener Elektronen (starke Bindung) 148
4.3. Die Fermi-Flache ............... . 154
4.3.1. Allgemeine Bemerkungen zur Fermi-Flache .... . 154
4.3.2. Harrison-Methode zur Konstruktion der Fermi-Flache 157
4.4. Ergebnisse realer Bandstrukturberechnungen 16,2
4.4.1. Uberblick liber Festkorpertypen . . . . . . . . . . 162
4.4.2. Fermi-Flachen einiger Metalle . . . . . . . . . . . 163
4.4.3. Bindungsverhaltnisse und Bandstruktur von Halbleitern 176
l). Grundbeziehungen der Dynamik der Kristallelektronen (Quasiklassische
Beschreibung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1. Der Tensor der reziproken effektiven Masse . . . . . . . . . . . . 180
5.2. Bewegung der Kristallelektronen unter delI]. EinfluB der Lorentz-Kraft 187
5.2.1. Bewegungsgleichungen . . . . . . . . 187
5.2.2. Charakterisierung der Zyklotronbahnen . 190
5.3. Die effektive Zyklotronmasse 196
6. Die elektrische Leitfiihigkeit . 202
6.1. Das Ohmsche Gesetz . . . . 202
6.2. Die kinetische Boltzmann-Gleichung 206
6.3. Die elektrische Leitfahigkeit in Metallen 213
6.3.1. Berechnung des Leitmhigkeitstensors. . 213
6.3.2. EinfluB des Energiespektrums auf die elektrische Leitfahigkeit . 219
6.3.3. Temperaturabhangigkeit der elektrischen Leitfahigkeit 225
6.4. Galvanomagnetische Effekte in Metallen 230
6.4.1. Berechnung des Leitmhigkeitstenfilors . 231
6.4.2. Magnetowiderstand. 238
6.4.3. Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . 241
Inhaltsverzeichnis XI
Seite
6.5. Die elektrische Leitfahigkeit in Halbleitern . . . . . 245
6.5.1. Berechnung des Leitfahigkeitstensors. . . . . . . . 246
6.5.2. Temperaturabhangigkeit der elektrischen Leitfahigkeit 250
6.6. Galvanomagnetische Effekte in Halbleitern . 253
6.6.1. Berechnung des Leitfahigkeitstensors . ( . 254
6.6.2. Magnetowiderstand. 257
6.6.3. Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . 259
7. Ladungstrager im homogenen Magnetfeld (Quantenmechanische Beschrei-
bung). . . . . . . . . . . . . 262
7.1. Landau-Quantisierung . . . . . . . 262
7.1.1. Landau-Quantisierung in Metallen . 263
7.1.2. Landau-Quantisierung in Halbleitern . 275
7.2. Die Zustandsdichte. . . . . 279
7.3. Schubnikow-de-Haas-Effekt. . . . . 283
7.3.1. Vorbetrachtungen .......( . . 283
7.3.2. Oszillationen des transversalen Magnetowiderstandes . 285
7.3.3. Oszillationen des longitudinalen Magnetowiderstandes. 289
7.4. De-Haas-van-Alphen-Effekt. . . . . . . . . . . . 292
8. Verhalten der FestkOrper unter dem Einflu8 eines elektromagnetischen Wech-
selfeldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.1. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in homogenen isotropen Festkor-
pern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.1.1. Wellengleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.1.2. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in idealen Isolatoren 298
8.1.3. Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in Leitern. 301
8.2. Reflexion und Absorption. 306
8.2.1. Reflexion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.2.2. Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.3. Wechselwirkung elektromagnetischer Strahlung mit den Elektronen des
Festkorpers (Mikroskopisches Bild von Dispersion und Absorption) . 313
8.3.1. Wechselwirkung der Strahlung mit gebundenen Elektronen . 313
8.3.2. Wechselwirkung der Strahlung mit quasifreien Elektronen 320
8.4. Skineffekt in Metallen . . 321
8.4.1. Vorbetrachtungen . . . . 321
8.4.2. Die Oberflachenimpedanz . 323
8.4.3. Normaler Skineffekt 326
8.4.4. Anomaler Skineffekt . . . 328
9. Hochfrequenzphanomene von Festkorpern im iiu8eren (statischen) Magnet-
feld . . . . . . . . . . . 335
9.1. Zyklotronresonanz . . . . . . . . . . . 336
9.1.1. Wesen der Zyklotronresonanz . . . . . . 336
9.1.2. Diamagnetische Resonanz (in Halbleitern). 340
9.1.3. Asbel-Kaner-Zyklotronresonanz (in Metallen) 348
9.2. Magnetische Oberflachenzustande . . . . . 356
9.3. Anomales Eindringen eines hochfrequenten elektromagnetischen Feldes in
ein Metall. . . 360
9.4. Gro13eneffekte . . . . 362
10. Das Festkorperplasma. 367
10.1. Allgemeine Eigenschaften dt's Festkorperplasmas. 368
