Elektromagnetische Felder: Mathematische und physikalische Grundlagen Anwendungen in Physik und Technik

681 Pages·1980·14.34 MB·German

by  o. Prof. Dr. Kurt Meetz

Hochschultext
K Meetz · W L. Engl
Elektromagnetische
Felder
Mathematische und physikalische
Grundlagen
Anwendungen in Physik und
Technik
Mit 192 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin· Heidelberg· New York 1980
o. Prof. Dr. Kurt Meetz
Physikalisches Institut Universitilt Bonn
Endenicher Allee 11-13
5300 Bonn 1
o. Prof. Dr. Walter L. Engl
Institut fur Theoretische Elektrotechnik
RW Technische Hochschule
Kopemikusstr. 16
5100 Aachen
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Blbliothek:
Meetz, Kurt:
Elektromagnetische Felder: math. u. physikal. Grundlagen; Anwendungen In Physik u. Technlk 1
K Meetz; W. L. Engl. - Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1979.
(Hochschultext)
ISBN-13: 978-3-540-09597-2 e-ISBN-13: 978-3-642-86551-0
001: 10.1007/978-3-642-86551-0
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© Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1980
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2153/3020-543210
Va rwa rt
1m Jahre 1873 erschien Maxwell's TREATISE ON ELECTRICITY AND MAGNETISM,
die erste umfassende Beschreibung elektromagentischer Vorgange auf der Grundlage
des von Faraday eingefiihrten Feldbegriffs. Seitdem bilden die Maxwellschen Gleichun
gen den Kern der klassischen Theorie des elektromagnetischen Feldes. Sie sind, wie
sich spater zeigte, vertraglich mit den von Einstein formulierten Grundprinzipien der
speziellen Relativitiitstheorie und sollten im Bereich der klassischen Physik, in dem
Quanteneffekte keine Rolle spielen, uneingeschrankt giiltig sein. Eine kaum iiberseh
bare Fiille von Anwendungen der Maxwellschen Theorie in Physik und Technik beweist
diese Vermutung iiberzeugend. Ebenso uniibersehbar ist nach hundert Jahren Maxwell
scher Theorie die Zahl der Lehrbiicher und Traktate, die, h6chst verschieden zwar in
Umfang und Auswahl des behandelten Stoffes, doch stets in der Art der Darstellung
iibereinstimmen. Dennoch gibt es einen Gesichtspunkt, der nach unserer Meinung eine
weitere, moglichst breite Darstellung der klassischen Elektrodynamik rechtfertigt.
Die traditionellen mathematischen Hilfsmittel zur Darstellung der Maxwellschen Theo
rie sind Vektorrechnung und Vektoranalysis. Die Vektorrechnung ist eine auf die Be
schreibung physikalischer Vorgange im dreidimensionalen Raum zugeschnittene Mi
schung von algebraischen und geometrischen Konzepten, die im wesentlichen auf Gibbs
zuriickgeht. Ein typisches Beispiel dieser Mischung von verschiedenen Strukturen ist
das Vektorprodukt. Es enthalt als algebraisches Konzept ein nichtkommutatives Pro
dukt von Vektoren. Ein solches Produkt ist urn 1840 von Grassmann eingefiihrt worden.
Es wird auBeres Produkt genannt. Aus einem Vektorraum iiber IR entsteht mit dem
auBeren Produkt die Grassmannalgebra oder auBere Algebra der Multivektoren, deren
Elemente addiert und im Sinne des auBeren Produkte miteinander multipliziert werden
konnen. Durch auBere Multiplikation von zwei Vektoren erhalt man also einen 2-Vektor.
Diesem 2-Vektor kann man einen 1-Vektor, also einen gew6hnlichen Vektor, zuordnen,
wenn man von der Metrik des Euklidischen Raums Gebrauch macht. Der zugeordnete
1-Vektor hat den gleichen Betrag wie der 2-Vektor und ist zu letzterem orthogonal.
Auf diese Weise gelangt man zum Vektorprodukt.
Grassmann selbst war es nicht moglich, geometrische und algebraische Strukturen vol
lig zu trennen, weil ihm das Konzept der Dualitat fehlte, also der Begriff der Linear-
VI Vorwort
form tiber einem gegebenen Vektorraum. Die Dualitat erlaubt, die metrische Bilinear
form (das Skalarprodukt) durch die kanonische Bilinearform zu ersetzen. Uber die
auBere Algebra der mit dem Tang~ntenraum in einem Punkt assoziierten Multilinear
formen gelangt man zu den von Cartan eingeftihrten auBeren Differentialformen. Dif
ferentialformen sind Objekte, die ohne Bezugnahme auf geometrische Strukturen tiber
Kurven, Flachen etc. integriert werden konnen. E s ist deshalb naheliegend, die elek
tromagnetischen FeldgroBen als Differentialformen aufzufassen. Dabei ist es zweck
maBig,. sich an die von Mie eingeftihrte Unterscheidung von Intensitats- und Quantitats
groBen zu erinnern. Differentialformen im eigentlichen Sinn sind nur die Intensitats
groBen, also das elektrische Feld und das Feld der"magnetischen Induktion. Die elek
trische Verschiebungsdichte und die magnetische Feldstarke sind in dem von de Rham
eingeftihrten Sinn Stromformen, d.h. Differentialformen, deren Koeffizienten Distri
butionen sind. Letztere lassen sich jedoch durch ungerade Differentialformen mit pseu
doskalaren Koeffizienten darstellen.
Die Maxwellschen Gleichungen erscheinen bei dieser Betrachtung als Beziehungen zwi
schen Differentialformen, die keine geometrischen Strukturen mehr enthalten. Die geo
metrischen Eigenschaften des Raumes gehen in die Materialgleichungen des Vakuums
ein, die die .IntensitatsgroBen mit den QuantitatsgroBen verbinden. Die Zuordnung ge
schieht mit Hilfe des sogenannten *-Operators (Hodge-Dualitat), der ungerade (3-n)
Formen auf gerade n-Formen abbildet und umgekehrt. Die Euklidische Metrik ordnet
den FeldgroBen nattirliche Langendimensionen zu, so daB die Dimensionen der Koeffi
zienten durch Ladung, Wirkung und Geschwindigkeit ausgedrtickt werden konnen, deren
nattirliche Einheiten durch Naturkonstanten fixiert werden.
Die ersten beiden Kapitel des Buches, Geometrische Algebra und Geometrische Analy
sis, sind den mathematischen Grundlagen gewidmet. Sie treten an die Stelle der tra
ditionellen Vektorrechnung und Vektoranalysis. Die Bezeichnung Geometrische Algebra
kntipft an die Absicht Grassmanns an, geometrische Konzepte algebraisch darzustellen.
Um dem Leser entgegenzukommen, haben wir auf die in der Mathematik tibliche Schreib
weise der auBeren Differentialformen verzichtet und statt dessen eine algebraische
Version verwendet, die in ahnlicher Weise aus der auBeren Algebra hervorgeht wie die
Vektoranalysis aus der Vektorrechnung. Insbesondere wird die auBere Ableitung von
Multiformen durch auBere Multiplikation mit einem Nablaoperator gebildet, wie er aus
der Vektoranalysis bekannt ist. Wir sind uns dartiber klar, daB wir dam it nicht anders
handeln, wie jene "vulgarisateurs", von denen Bourbaki im Zusammenhang mit der
Vektorrechnung spricht+ ) •
In den Kapiteln 3 und 5 werden die elektromagnetischen FeldgroBen als alternierende
Multiformen eingeftihrt. An Hand von Gedankenexperimenten wird gezeigt, wie sich
+) Nicolas Bourbaki: ELEMENTS D 'HISTOIRE DES MATHEMATIQUES,
Hermann, Paris 1969, p. 85.
V or wort VII
die physikalischen Anordnungen zur Messung der FeldgroBen in den mathematischen
Eigenschaften der Multiformen widerspiegeln. Die Maxwellschen Gleichungen fur die
von ruhenden Ladungen und stationaren Stromen erzeugten Felder sind die einfachsten
Relationen, die zwischen Quellen und Feldern moglich sind, die Materialgleichungen
des Vakuums sind die einfachsten Beziehungen zwischen Intensitats- und Quantitats
graBen auf Grund der geometrischen Eigenschaften des Raumes. Statische bzw. sta
tionare Felder von einfachen Anordnungen werden an Hand von Symmetriebetrachtun
gen bestimmt.
Weitergehende Anwendungen der in den Kapiteln 3 und 5 dargestellten Grundprinzipien
fur statische elektrische und stationare magnetische Felder enthalten die Kapitel 4
und 6. Kapitel 4 ist den Potentialaufgaben in der Ebene und im Raum gewidmet, Ka
pitel 6 der Lasung von magnetischen Potentialaufgaben fUr das Vektorpotential bzw.
das skalare magnetische Potential. Am Beispiel der Stromdichte wird im Kapitel 6 der
Zusammenhang zwischen einer ungeraden 2-Form und einem i-Strom im Sinne von
de Rham erlautert. Gewohnliche Distributionen, wie sie im Zusammenhang mit Poten
tialen von singularen Ladungsverteilungen im Kapitel 4 auftreten, sind O-Strome.
Wahrend wir in den Kapiteln 3 und 5 versucht haben, die Feldgleichungen fur statische
elektrische und stationare magnetische Felder durch Gedankenexperimente zu begrun
den, gehen wir nach dem Vorbild von Sommerfeld im Kapitel 7 von den allgemeinen
Maxwellschen Gleichungen aus und diskutieren die Energie in statischen und quasista
tischen bzw. stationaren und quasistationaren Feldern. Auf die Losung der Maxwell
schen Gleichungen im quellfreien Raum durch Vberlagerung von ebenen Wellen folgt
die Losung der Maxwellschen Gleichungen mit Quellen mit Hilfe der retardierten elek
tromagnetischen Potentiale. Das elektromagnetische Feld eines schwingenden Dipols
wird nach dieser Methode bestimmt. An Hand der exakten Losungen wird ein systema
tisches Niiherungsverfahren entwickelt, das zu einer Prazisierung der fruher eingeftihr
ten Begriffe quasistatisch und quasistationar ftihrt.
Elektrische und magnetische Materialeigenschaften sind Gegenstand von Kapitel 8. We
gen ihrer besonderen Bedeutung wird zuniichst die Materialgleichung fUr metallische
Leiter mit konstanter Leitfiihigkeit behandelt. E s folgt eine Diskussion der Frequenz
abhangigkeit der Dielektrizitatskonstanten auf der Grundlage des klassischen Oszillator
modells. Die aus allgemeinen Annahmen folgenden analytischen Eigenschaften der Di
elektrizitiitskonstanten ftihren nach dem Vorbild von Kramers und Kronig zu Disper
sionsrelationen zwischen Real- und Imaginarteil. Nimmt man die Passivitatsbedingung
hinzu, so folgen weitere Einschriinkungen. Die elektrischen und magnetischen Feld
krafte werden aus den Maxwellschen Gleichungen fur langsam bewegte Medien und der
Forderung nach Invarianz des Vakuums abgeleitet.
Die nachsten beiden Kapitel enthalten Anwendungen der Maxwellschen Theorie. Kapitel 9
beschaftigt sich mit der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen unter den verschie-
VIII Vorwort
densten Bedingungen, wahrend in Kapitel 10 die Theorie der Gleichstrom- und Wechsel
strom-N etzwerke aus der Feldtheorie entwickelt und mit Hilfe von Methoden der alge
braischen Topologie behandelt wird.
Das Kapitel 11 ist den Grundlagen der speziellen Relativitatstheorie gewidmet. Erwei
tert man die mathematischen Konzepte der ersten beiden Kapitel auf die vierdimen
sionale Raum-Zeit, so laBt sich aus dem Einsteinschen Relativitatsprinzip auf die
pseudo-euklidische Metrik des Minkowskiraums schlieBen, deren Invarianztransfor
mationen die Lorentztransformationen sind. Die Lorentz-invariante Mechanik liefert
die relativistische Bewegungsgleichung fUr eine Punktladung im auBeren Feld. Durch
Abstrahlung und Selbstwechselwirkung bedingte Korrekturen der Bewegungsgleichung
werden in Kapitel 12 behandelt. AuBerdem werden die Compton-Streuung und die
Bremsstrahlung auf der Grundlage der klassischen Theorie diskutiert und mit den
Ergebnissen der Quantenelektrodynamik verglichen.
Das Buch wendet sich in gleicher Weise an Physiker und Elektrotechniker. Der mehr
an den physikalischen Grundlagen interessierte Leser kann sich auf die Kapitel 1, 2,
3, 5,7 und 11 konzentrieren und sie durch eine Auswahl von Anwendungen erganzen,
wahrend der mehr technisch orientierte Leser auf die letzten beiden Kapitel verzichten
und den mathematischen Aufwand reduzieren wird. Wir sind uns bewuBt, daB die unge
wohnte Formulierung fUr den Leser eine Schwelle bedeutet, die auch den Autoren nicht
fremd geblieben ist. Gerade aus diesem Grunde haben wir Wert auf eine Darstellung
gelegt, die moglichst viele Anwendungen miteinbezieht.
Ein Wort noch zu den Aufgaben. Sie sollen den Leser zu weiterer, aktiver Beschaftigung
mit dem Stoff anregen. Wir haben deshalb darauf verzichtet, vollstandige Losungen an
zugeben und uns auf mehr oder weniger ausfUhrliche Hinweise beschrankt.
Unser besonderer Dank gilt Frau Edith Sachsenroder, Sekretarin am Physikalischen
Institut der Universitat Bonn, die in jahrelanger Arbeit mit nie versiegender Geduld
die zahlreichen Entwtirfe und die endgtiltige Fassung des Manuskripts geschrieben hat.
Bonn und Aachen im November 1979 K. Meetz W. L. Engl
In haltsve rze ich ni s
1. Geometrische Algebra • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • 1
1.1. Vektoren. •••• •••••• ••••••••••. •••.••• •••.••••••••• 1
1.1.1. Der Vektorraum V3 • • • . • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • . • • • 1
1.1.2. Ortsvektoren und Koordinatensysteme • • • • • • • . • • • • • • • • • 5
1. 1. 3. Physikalisch aquivalente Koordinatensysteme. • • • • • • . • • • • 9
1.2. Multivektoren • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • 13
1.2.1. AuBere Algebra. • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • 13
1 .2. 2. Innere Produkte. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 18
1.2.3. Skalarprodukte ••• • • • • • • • • • . • . • • • . • • • • • • • • • • • • • 23
1.2.4. Orientierung.................................. 27
1.2.5. Der *-Opera~or................................ 34
1.3. Tensoren. • • • • • • • • • • . • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • • • • . • • 39
1.3.1. Tensoralgebra. • • • • . • • • • . . • . • • • • • • • • • . • • • • • • • • • 39
1. 3.2. Verjiingung und Skalarprodukte •••.••••.•.••••.••••• 43
A ufgaben • • • • • . • • • • • • • • • • • • • . • . • • • • • • • • • . • . • • • . • • • . • • • 44
2. Geometrische Analysis. • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • 47
2. 1. Tangenten und Kotangenten. • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • 47
2.2. Multivektorfelder und Multiformen • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • . • 54
2.3. Differentiation von Multivektorfeldern und Multiformen •••••••••• 61
2.3.1. Affine lJbertragung und kovariante Ableitung.. • •• • •• • •• • • 61
2.3.2. AuBere A bleitung. • • • • • • . • • • • . • • • • • • . • • . • • • • • • • • 66
2.3.3. Innere A bleitung • • • • • • • • • • • • . . • • • . • • • • • • • • • • • • • 68
2.4. Integration von Multiformen und Multivektorfeldern • • . • • • • • • • • • • 71
2.4.1. Linienelement, Flachenelement und Volumenelement • •• . • •• 71
2.4.2. Integration von Multiformen ••••.•••.••••••••.••••• 76
2.4.3. Der Satz von Stokes ••.•••.•••••••••••.••••.••••• 79
A ufgaben • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • 83
3. Das elektrische Feld ruhender Ladungen • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • • 87
3. 1. E lektrische Ladung. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • 87
3.2. Die elektrische Feldstarke ••••••••••••••••.••••.••••••• 89
x Inhal tsverzeichnis
3.2.1. Definition der elektrischen Feldstarke im Vakuum und
in Materie • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • 89
3.2.2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingung fUr die elektrische
Feldstarke • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 93
3.2.3. D as elektrische Potential •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 97
3.3. Die elektrische Verschiebungsdichte. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 101
3.3.1. Definition der elektrischen Verschiebungsdichte im Vakuum
und in Materie •••••••••••••••••••••••••••••••• 101
3.3.2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingung fUr die elektrische
Verschiebungsdichte ••••••••••••••••••••••••.••• 104
3.4. Der Zusammenhang zwischen elektrischer Feldstarke und
Verschiebungsdichte. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 108
3.4. 1. Die Materialgleichung •••••••••.••••••••••••••••• 10 8
3,4.2. Die Poissongleichung und die Grenzbedingungen fUr das
Potential •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 111
3.4.3. Der Kondensator und seine Kapazitat ••••.•••••••••••• 114
Aufgaben • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 121
4. Randwertaufgaben fUr statische elektrische Felder • • • • • • • • • • • • • • • •• 124
4.1. Randwertprobleme.................. • • • • • • • • • • • • • • • •• 124
4.1.1. Eindeutigkeit der Losung. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 124
4. 1 .2. Grund16sung und Greensche Funktion ••••••••••••••••• 128
4.1. 3. SinguHire Funktionen und Distributionen ••••••.•••••.•• 132
4.1. 4. Die Maxwellschen Kapazitatskoeffizienten • • • • • • • • • • • • •• 136
4.2. Potentialaufgaben in der Ebene. • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • • • •• 141
4.2.1. Feldgleichungen in der Ebene •••••••••••••••••••••• 141
4.2.2. Holomorphe Funktionen •••••••••••.•••••••••••••• 143
4.2.3. Konstruktion der Greenschen Funktion •••.•••••••••••• 148
4.2.4. Multipole.................................... 151
4.2.5. Separation der Variablen. Fourierentwicklung • • • • • • . • . •. 156
4.3. Potentialaufgaben im Raum • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 162
4.3.1. Potentiale singularer Ladungsverteilungen • • • • • • • • • • • • •• 162
4.3.2. Konstruktion der Greenschen Funktion durch Spiegel ung. • • •• 165
4.3.3. Multipole • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 172
4.3.4. Polarisation.................................. 176
4.3.5. Entwicklung nach Kugelfunktionen. •• •••••• •• • • •• • •• •• 179
A ufgaben • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 188
5. Das magnetische Feld stationarer Strome • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 195
5.1. Der stationare elektrische Strom •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 195
5.1.1. Die Stromverteilung. • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • •• 195
5. 1. 2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingung fUr die Stromdichte. 196
5.2. Die magnetische Induktion • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • •• 198
5.2.1. Definition der magnetischen Induktion im Vakuum und in
Materie • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 198
Inhaltsverzeichnis XI
5.2.2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingung fUr die
magnetische Induktion ••••••••••••••••••••••••••• 201
5.2.3. Das magnetische Potential •.•..•••••••••.••••••••• 204
5.3. Die magnetische Feldstarke • • . • • • • . • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 207
5.3.1. Definition der magnetischen Feldstarke im Vakuum und in
Materie • • • • • • • • • • • • . . • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • •• 207
5.3.2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingung fur die magnetische
Feldstarke • • • • . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • •• 209
5.4. Der Zusammenhang zwischen magnetischer Induktion und
magnetischer Feldstarke • • • • • • . • • • • • • • . • . • . • • . • • • • • • • •• 212
5.4.1. Die Materialgleichung •.••••.•••••••.•••••.•••••• 212
5.4.2. Die Feldgleichung und die Grenzbedingungen fUr das
magnetische Potential. • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 216
5.4.3. Beispiele einfacher magnetischer Felder. • . • . • • • • • • •• •• 218
Aufgaben • • • • • • • • • • • • • . • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 222
6. Randwertaufgaben fUr stationare magnetische Felder. • • • . • • • • • • • • • .• 226
6.1. Rand wertprobleme fur das Vektorpotential . • . • • • . • • • • • • • • • • .• 226
6.1.1. Eindeutigkeit der Lasung. Eichtransformationen • • • • • . • . •• 226
6.1.2. Grundlasungen und Strame. • . • • • . • • • • • . • • • • . • • • . • •• 229
6.1. 3. Die Induktivitatskoeffizienten. • . • . • • • • • . • • • • • . • • • • •• 234
6.2. Lasung magnetischer Potentialaufgaben • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 239
6.2.1. Singulare Stromverteilungen. Das skalare magnetische
Potential •• • • • • • . • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • • • • • •• 239
6.2.2. Multipole................ • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 248
6.2.3. Magnetisierung...... • • • • • • • • • . • • • . • . • • • • . • • • •• 251
6.2.4. Entwicklung nach vektoriellen Kugelfunktionen • • . . . • • • • •• 258
A ufgaben • . • • • • • • • • • • • . • • . • • • • . • • . . • • • . • • • • • • • • • • • • • •• 263
7. Das elektromagnetische Feld ••.•••.•.•••••••••••••••••••••• 268
7.1. Die Maxwellschen Gleichungen • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • . • • • •• 268
7.2. Die Energie des elektromagnetischen Feldes •••••.••••••••••• 271
7.2.1. Der Energiesatz und der Sommerfeldsche Eindeutigkeitsbeweis 271
7.2.2. Die Energie in statischen und quasistatischen Feldern • • • • •• 276
7.2.3. Die Energie in stationaren und quasistationaren Feldern •••• 282
7.3. Elektromagnetische Wellen • • • • • . • . • • • • • . • • . • . • • • • • • • • •• 289
7.3.1. Ebene Wellen • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • •• 289
7.3.2. Lasung des Anfangswertproblems fUr die Maxwellschen
Gleichungen • . . • • • . • • • • • • • • • . • . • • • . • • • . • • • • • •• 300
7.3.3. Die elektrodynamischen Potentiale • • • • • • • • • • • • • • • • • •• 303
7.3.4. Das elektromagnetische Feld eines schwingenden Dipols •••• 309
7.3.5. Das quasistationare Feld.......................... 319
Aufgaben • • • • . • • . . • • • • . • • • • • • • • . • • • . • . • • • . • • . • . • . • • • •• 323