Elektrisitet og magnetisme 2 : Magnetostatikk og elektrodynamikk

313 Pages·1978·94.024 MB·Norwegian

by  Svaasand, Lars O.

Lars Othar Svaasand
ELEKTRISITET OG MAGNETISME
DEL II. MAGNETOSTATIKK OG ELEKTRODYNAMIKK
3. opplag
sentret - .a-A
sA-iwcrr
x___ V-D N!H BIS
TAPIR
1978
ISBN 82-519-0034-4
DEL II
Innhold
Kap^ 2r _LadningstransportJJdJcestrørn)____________________265
2.1. Ledere 265
Kap. _3.___Magnetostat.ikk___________________________________2 88
3.1. Innledning 288
3.2. Magnetostatiske potensialer 303
3.3. Magnetiske dipoler 315
3.4. Magnetisk kraftvirkning 322
3.5. Magnetiske materialer 337
3.6. Enkle magnetiske kretser 367
3.7. Resumée 374
Kap. 4. Tidsavhengige elektromagnetiske felter 377
4.1. Oversikt 377
Kap. 5. Elektromagnetisk induksjon; kvasistatisk
______________________________________ _
5.1. Innledning 382
5.2. Selvinduktivitet og gjensidig induktivitet 396
5.3. Energi 412
5.4. Felt- og strømfortrengning 435
5.5. Induksjon i bevegelige systemer 454
Kap. 6. Oppladning av kondensatorer; kvasistatisk
behandling 475
6.1. Oversikt 475
Kap. 7. Elektromagnetisk teori 481
7.1. Elektromagnetiske bølger i vacuum 481
7.2. Retarderte potensialer 489
7.3. Bølgeforplantning i kabler 493
Appendix 1. Maxwells spenningstensor 502
Appendix 2. Den spesielle relativitetsteori 527
Appendix 3. Målesystem 558
Index 562
Fremstillingen i denne del av boken er, med unntagelse av
appendix 1 og 2, basert på den vektoranalyse som ble presentert
i del. I. En forståelse av fremstillingen i appendix 1 og 2
krever litt kjennskap til tensoranalyse, og de nødvendige teorem
i tensoranalyse er derfor presentert i appendixene.
Analysen av det magnetiske felt er basert på B som den
primære felt-vektor. I overensstemmelse med dette kalles B for
det magnetiske felt. Det sekundære felt H kalles for H-felt.
Eldre litteratur er gjerne basert på H som den primære felt-
vektor, og i denne litteratur har H derfor ofte navnet magnetisk
felt.
Videre er fremstillingen basert på det generelt gyldige
vektorpotensial for B . Potensialer av begrenset gyldighet som
skalarpotensial for B og skalarpotensial for H , er ikke dis­
kutert fordi de, efter forfatterens mening, hverken forenkler
beregningene eller bidrar til forståelsen.
I tillegg til de medarbeidere som ble nevnt i forordet til
del I, vil forfatteren også takke Marit Thorsrud for tegning av
figurer.
L.O. Svaasand

265
Kap.2. Ladningstransport(Likestrøm)
2.1. Ledere
En del av ladningene i et ledende materiale er bevegelige,
og transporten av disse ladningene kan karakteriseres ved en
strømtetthetsvektor j . Fig. 2.1.1.
Fig. 2.1.1.
Den totale transport av ladning pr. tidsenhet gjennom flaten dA
i fig. 2.1.1a er lik det totale kvantum av bevegelige ladninger
innenfor volumet vdA . Dette kvantum er:
qNvdA = qNvndA = jndA (2.1.1)
hvor N er antall frie ladninger pr. volumenhet, q er verdien
av hver ladning, v er den midlere hastighet, n er positiv
flatenormal og Nqv er strømtettheten j .
Dersom flatenormalen n danner vinkelen 4> med hastigheten
v blir det transporterte kvantum av ladning pr. tidsenhet:
(Fig. 2.1.1b).
qNvdAcoscJ) = qNvndA = jndA. (2.1.2)
Følgelig blir den totale utstrømning av ladning pr. tidsenhet
gjennom en vilkårlig lukket flate gitt ved:
jndA (2.1.3)
266
hvor n er den utadrettede flatenormal. Fra prinsippet om
konservering av ladning vet vi at det totale kvantum av ladning
Q innenfor flaten bare kan forandres ved transport av ladning
gjennom flaten. Vi finner derfor:
ffjAdA = - $
(2.1.4)
Denne ligningen kalles kontinuitetsligningen for ladning. Ved
hjelp av Gauss sats kan vi uttrykke ligningen på differensiell
form:
t , 9 [[ f , [[ 9p ,
divj dv = - rr pdv = - T7 dv
i O L j j j j O L.
eller
(divj + -1^) dv = 0
0 u
Siden integrasjonsgrensen er vilkårlig valgt, kan denne ligning
Dare være generelt tilfredsstilt når integranden er lik null.
Kontinuitetsligningen for ladning på differensiell form blir der­
for:
divj +|f= 0 (2.1.5)
0 t
hvor p er den totale ladningstetthet i mediet. Ved substitu-
sjon av Maxwells ligning divD = p kan vi også uttrykke kon­
tinuitetsligningen på formen:
div(] + -|-|) = 0 (2.1.6)
0 t
->■
Leddet 4r har samme dimensjon som strømtettheten j . Vanligvis
OL
K
kalles dette leddet for forskyvningsstrømtettheten, mens j
kalles ladningsstrømtettheten. Vi skal illustrere disse ligninger
ved et enkelt eksempel. I fig. 2.1.2 antar vi at en plate-
kondensator lades opp ved å koble en spenningskilde u til
platene.
267
i den retning hvor de positive ladningbærere transporteres,og
tallverdien av I er lik tallverdien av integralet av strømtettheten
over tverrsnittet av lederne. Dersom vi velger integrasjonsflaten
finner vi fra ligning (2.1.4):
f f->-> 3Q _ A
= jndA + jndA = -1 + 1- a0- - 0
B1 B2 (2.1.7)
hvor Q er den totale ladning innenfor flaten a - Denne
ladningen er nu lik summen av ladningene på begge kondensator-
platene,og følgelig lik null.
Dersom vi velger integrasjonsflaten 3 i fig. 2.1.2,finner
lUndA = [hfidA = - I - -12 = (2.1.8)
J OL.
268
hvor cj er overflateladningen på den ene kondensatorplaten og
A er arealet av denne. Transporten av ladninger til platen
gjennom lederen medfører at ladningen på platen øker (I =
81
Økningen i ladning pr. tidsenhet setter opp en total forskyvnings-
strøm —A mellom platene. Når kondensatoren er fullt
opp-
ladet, er både strømmen I og forskyvningsstrømmen 22 A lik
at
null.
Den totale ladning som er tilført den ene plate ved tids-
punkt trblir iflg. lign. (2.1.8):
hvor innkoblingstidspunktet er satt til t — 0 . Spenningen over
platene blir nu:
t
U = | f Idt (2.1.9)
t=o
hvor vi har benyttet relasjonen C = ^ .
Vi skal nu betrakte sammenhengen mellom strømtettheten j
og det elektriske felt é . Når en ladning q i vacuum utsettes
for et homogent elektrisk felt E , vil den påvirkes av en kraft
? = qÉ . Denne kraften forårsaker en akselerasjon a = ^2
m
av ladningen. Hastigheten av ladningen blir nu:
t t
f c?
v = adt = it- dt = t (2.1.10)
J m m ' '
t=o t=o
hvor m er massen av ladningen. Ladningens hastighet v er
ikke en entydig funksjon av feltet É , men hastigheten er av­
hengig av hvor lang tid t partikkelen har vært under påvirkning
av feltet.
Situasjonen for en ladningsbærer i en leder er imidlertid en
ganske annen. Ladningen vil nu bare akselereres en ganske kort
tid t og kolliderer derefter med forurensninger, gitterfeil og
termiske eksitasjoner av gitterstrukturen i materialet. Ladningen
selv har en termisk eksitert hastighet som er vesentlig større enn
det bidrag til hastigheten som kommer fra akselerasjonen i det