Elastizitätstheorie: Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme

335 Pages·1985·9.96 MB·German

by  Prof. Dr. rer. nat. habil. Hans Georg Hahn (auth.)

Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik
Hans Georg Hahn
Elastizitätstheorie
Grundlagen der linearen Theorie und
Anwendungen auf eindimensionale, ebene
und räumliche Probleme
Hans Georg Hahn
Elastizitätstheorie
Leitfäden der augewandten
Mathematik und Mechanik
Unter Mitwirkung von
Prof. Dr. E. Becker t Prof. Dr. G. Hotz, Saarbrücken
Prof. Dr. P. Kall, Zürieh Prof. Dr. Dr.-Ing. E. h. K. Magnus, München
Prof. Dr. E. Meister, Darmstadt Prof. Dr. Dr.h . c. F. K. G. Odqvist t
herausgegeben von
Prof. Dr. Dr. h. c. H. Görtler, Freiburg
Band 62
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Elastizitätstheorie
Grundlagen der linearen Theorie und Anwendungen
auf eindimensionale, ebene und räumliche Probleme
Von Dr. rer. nat. Hans Georg Hahn
o. Professor an der üniversität Kaiserslautern
Mit 109 Bildern
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 1985
Prof. Dr. rer. nat. habil. Hans Georg Hahn
Geboren 1929 in Augsburg. Studium der technischen Physik an der
TH Mlinchen, 1963 Promotion und 1970 Habilitation fUr Technische
Mechanik. Assistent, Oberingenieur und wissenschaftlicher Rat am
Mechanisch-Technischen Laboratorium der THjTU MUnchen. Seit
1965 Vorlesungstatigkeit Uber Spezialgebiete der Mechanik. Seit 1973
o. Professor fUr Technische ~echanik an der Universităt Kaisers1autern.
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Hahn, Hans Georg:
Elastizitătstheorie : Grundlagen d. linearen Theorie
u. Anwenduugen auf eindimensionale, ebene u.
răum!. Probleme / von Hans Georg Hahn.
(Leitfăden der angewandten Mathematik und
Mechanik ; Bd. 62)
ISBN 978-3-663-09895-9 ISBN 978-3-663-09894-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-09894-2
NE:GT
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§ 54 UrhG eine Vergiitung zu zahlen, deren Hiihe mit dem Verlag zu verein
baren ist.
© Springer Fachmcdicn Wicsbadcn 1985
Ursprunglich erschienen bei B. G. Teubner, Stuttgart 1985
Satz: Elsner & Behrens GmbH, Oftersheim
Zechnersche Buchdruckerei, Speyer
Vorwort
Die ,,klassische" lineare Elastizitätstheorie, wie sie in diesem Buch behandelt wird, stellt
nach wie vor die wichtigste Grundlage für die meisten festigkeitsmechanischen Berech
nungen in der Technik dar. Hierin liegt ihr unbestrittener Wert und auch die Veranlas
sung, sie heute noch zu lehren und zu lernen. Ausgehend davon ist dann der Weg frei fiir
Erweiterungen und Verbesserungen der Berechnungsrundlagen, wo dies wünschenswert
erscheint.
Der vorliegende Text fußt auf Vorlesungen, die ich seit langem vor Ingenieurstudenten
höherer Semester gehalten habe. Da es sich in diesem Buch um eine Einfuhrung handelt,
bin ich bemüht gewesen, stets die Anschaulichkeit vor dem mathematischen Apparat in
den Vordergrund zu stellen. Zum Verständnis genügen elementare Kenntnisse der Ana
lysis sowie der technischen Mechanik, wie sie im Grundstudium an Technischen Univer
sitäten vermittelt werden. Einige Bemerkungen über den Inhalt des Buchs sowie die Art
der Behandlung des Stoffs fmden sich in der Einleitung.
Bei der Fertigstellung des Manuskripts und der Abbildungen sowie bei der Korrektur
wurde ich von meinen Assistenten, insbesondere Herrn Priv.-Dozent Dr. H. A. Richard,
bestens unterstützt. Ihnen allen gebührt mein herzlicher Dank, ebenso wie Frau E. Jeblick
für die Schreib-und Kopierarbeiten, ferner dem Verlag für sein Eingehen auf meine
besonderen Wünsche.
Das Buch möge dem Andenken meiner akademischen Lehrer
Ludwig Föppl (1887-1976)
Walther Kaufmann (1887-1965)
Winfried Otto Schumann (1888-1974)
gewidmet sein!
Kaiserslautern, im Herbst 1984 H. G. Hahn
Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1 Statische und kinematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 Kontinuum und Bewegungen des Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Spannungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1.1 Normal-und Tangentialspannungen. 1.2.2.2 Spannungs-
zustand in einem Punkt. 1.2.2.3 Eigenschaften des Spannungs-
tensors. 1.2.2.4 Transformation der Komponenten des
Spannungstensors
1.2.3 Gleichgewichtsbedingungen der Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3.1 Kräfte-und Momentengleichgewicht am infinitesimalen
Element. 1.2.3.2 Alternative Herleitung der Gleichgewichts
bedingungen. 1.2.3.3 Gleichgewichtsbedingungen am Rand
1.2.4 Hauptrichtungen und Rauptspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.4.1 Hauptnormalspannungen. 1.2.4.2 Hauptschubspannungen
1.2.4.3 Oktaederspannungen
1.3 Verschiebungen und Verzerrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.1 Bewegungen eines Kontinuums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.2 Lagrange sehe und Eu 1 er sehe Darstellung . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3 Verzerrungstensoren als Maß für die Verformung . . . . . . . . . . . . 38
1.3.3.1 Lagrange scher und Eu 1 er scher Verzerrungstensor.
1.3 .3 .2 Physikalische Deutung der Verzerrung. 1.3 .3 .3 Infinite-
simale Verzerrungen
1.3.4 Hauptrichtungen und Hauptdehnungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.3.5 Infmitesimale Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.3.6 Berechnung der Verschiebung aus .den Verzerrungen . . . . . . . . . . 48
1.3.6.1 Verträglichkeitsbedingungen. 1.3.6.2 Ces a r o -Integral.
1.3.6.3 Anzahl der Verträglichkeitsbedingungen
2 Stoffgesetz der Elastizitätstheorie (Beziehung zwischen Spannungen
und Verzerrungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1 Allgemeines über Stoffgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Elastisches Materialverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.1 Verzerrungsenergie und elastisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Linear-elastisches oder Ho o k e sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.1 Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Inhaltsverzeichnis
2.3.2 C 1 a p e y r o n sehe Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3 Alternative Herleitung des verallgemeinerten Ho o k e sehen
Gesetzes aus dem elastischen Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Verallgemeinertes Ho o k e sches Gesetz ftir isotropes Material . . . . . . . . . 62
2.4.1 Zusammenhang mit der Verzerrungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.2 Formulierung mit alternativen elastischen Konstanten . . . . . . . . . 65
2.4.3 Deviatorkomponenten von Spannung und Verzerrung . . . . . . . . . 66
2.5 Thermoelastisches Stoffgesetz flir isotropes Material . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Na vier sehe Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 B e 1 t r a mi-M ich e 11 sehe Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Formulierung der Grundgleichungen in krumm1inigen Koordinaten . . . . . 76
3.4.1 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.2 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Eindeutigkeit und Existenz der Lösungen elastischer Randwertprobleme . . 79
3.5.1 SatzvonClapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 .2 Eindeutigkeitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4 Energiebetrachtungen (Energiesätze der Elastizitätstheorie) . . . . . . . . . . 82
4.1 Thermodynamische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Verzerrungsenergie für linear-elastisches Material . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.1 Virtuelle Verschiebungen, virtuelle Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.2 Prinzip der virtuellen Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 .3 Prinzip der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.4 Bedeutung der Prinzipien der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 92
4.4 Folgerungen aus dem Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 Prinzip vom stationären Wert der potentiellen Energie . . . . . . . . . 95
4.4.2 Prinzip vom stationären Wert der Ergänzungsenergie . . . . . . . . . . 98
4.4.3 Sätze von Cast i g 1 i an o, Engesser und M e n ab r e a. . . 100
4.4.4 Reziprozitätssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4.4.1 Satz von B e t t i. 4.4.4.2 Satz von M a x w e1 1
5 Allgemeine Lösungsansätze für die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 105
5.1 Verschiebungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5 .1.1 Skalar-und Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
e
5 .1.2 L a m sches Dehnungspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Inhaltsverzeichnis 9
5.1.3 Ga 1 er kinscher Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.1.4 Sonderfälle des Ga 1 er kinsehen Vektors,
Love sehe Verschiebungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.1.5 LösungsansatzvonPapkovich und Neuber .......... 114
5 .1.6 Rotationssymmetrische Probleme, Lösungsansatz von
Boussinesq .................................. 117
5.2 Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 .2.1 M a x w e 11 sehe Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.2 Morerasehe Spannungsfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.2.3 Allgemeiner Ansatz von Be 1 t r a m i, F in z i und Weber 120
6 Überblick über weitere Lösungsverfahren der Elastizitätstheorie . . . . . . . 122
6.1 Inverse und serni-inverse Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Methode der komplexen Spannungsfunktionen in der ebenen
Elastizi tät sthe orie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 Lösungen mit Integraltransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 .1 Allgemeines über Integraltransformationen .......... : . . . . . 125
6.3.2 Anwendungen auf Elastizitätsprobleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 Näherungs-und numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4.1 Analytische Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.4.1.1 Ritz sches Verfahren. 6.4.1.2 Erweiterungen und
Abwandlungen desRitz sehen Verfahrens
6.4.2 Methode der finiten Elemente (MFE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.4.2.1 Verschiebungsmethode der MFE. 6.4.2.2 Die MFE als
Variationsmethode
6 .4.3 Randintegralgleichungsverfahren ("Boundary Element Method",
kurz BEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 Eindimensionale Probleme: Axialbelastung, Biegung und Torsion
prismatischer Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.1 Problem von S t. V e n an t für homogene prismatische Körper (Zylinder) 144
7.2 Axialbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 7
7.3 Reine Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.3.1 Verformungen bei reiner Biegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.4 Torsion prismatischer Stäbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.4.1 Elementare Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7 .4.2 Nichtkreisförrnige Querschnitte, Verwölbungsfunktion . . . . . . . . 156
7 .4.3 Pr an d t 1 sehe Torsionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4.4 Zusammenhang zwischen Verwölbungsfunktion und
P r a n d t 1 scher Torsionsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 Inhaltsverzeichnis
7 .4.5 Beispiele für Lösungen des Torsionsproblems flir verschiedene
Querschnittsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7 .4.5 .1 Elliptischer Querschnitt. 7 .4.5 .2 Näherung für schmales
Rechteck. 7 .4.5 .3 Gleichseitiger Dreieckquerschnitt.
7.4 .5 .4 Rechteckquerschnitt
7.5 Formulierung des Torsionsproblems mit Funktionen komplexer
Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.5 .1 Komplexe Veränderliche und analytische Funktionen . . . . . . . . . 170
7.5 .2 Grundgleichungen der Torsion in komplexer Darstellung . . . . . . . 172
7.5 .3 Beispiele zur Ermittlung des komplexen Potentials . . . . . . . . . . . 173
7.6 Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.6.1 Allgemeine Formulierung des Biegeproblems und Berechnung
der Schubspannungsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7 .6.2 Schubmittelpunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.6.3 Verformungen bei Querkraftbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7 .6.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7 .6.4.1 Kreisquerschnitt. 7 .6.4.2 Ellipsenquerschnitt.
7 .6.4.3 Rechteckquerschnitt
8 Ebene (zweidimensionale) Probleme der Elastizitätstheorie. . . . . . . . . . . 192
8.1 Grundgleichungen der Elastizitätstheorie flir EVZ und ESZ . . . . . . . . . . 193
8 .1.1 Ebener Verzerrungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8 .1. 2 Ebener Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.1.3 Grundgleichungen flir EVZ und ESZ in ebenen Polarkoordinaten. . 198
8.2 A i r y sehe Spannungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.1 Darstellung in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.2.2 Darstellung in ebenen Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3.1 Darstellung in Kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.3.2 Darstellung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.4 Methode der komplexen Spannungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4.1 Grundgleichungen der ebenen Elastizitätstheorie in
komplexer Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4.1.1 Ho o k e sches Gesetz und Gleichgewichtsbedingungen.
8.4.1.2 K o 1 o s soff sehe Formeln. 8.4.1.3 Randbedingungen.
8.4.1.4 Drehung des Koordinatensystems. 8.4.1.5 Transforma-
tion auf Polarkoordinaten
8.4.2 Allgemeine Struktur der komplexen Spannungsfunktionen . . . . . . 215
8.4.2.1 Einfach zusammenhängender endlicher Bereich.
8.4.2.2 Mehrfach zusammenhängender endlicher Bereich.
8.4.2.3 Unendlicher Bereich