el metodo de los elementos finitos en el registro de imagenes de resonancia magnetica

17 Pages·2003·0.49 MB·Spanish

EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS EN
EL REGISTRO DE IMAGENES DE RESONANCIA
MAGNETICA
S. Botello and J. L. Marroquín
Comunicación Técnica No I-03-08/7-04-2003
(CC/CIMAT)
El Método de los Elementos Finitos en el Registro de
Imágenes de Resonancia Magnética
S. Botello y J.L. Marroquín
[email protected] [email protected]
Centro de Investigaci(cid:243)n en MatemÆticas
Apdo. Postal 402 Guanajuato, Gto. 36000, MØxico.
Resumen : El registro de imÆgenes es un problema que no ha sido resuelto en
forma rigurosa, y tiene aplicaciones en diversos campos del procesamiento de imÆ-
genes en donde podr(cid:237)amos incluir el registro de imÆgenes MØdicas de Resonancia
MagnØtica. En el presente trabajo se muestran algunas ideas novedosas en la apli-
caci(cid:243)n del MØtodo de los Elementos Finitos que permiten mejorar los campos de
deformaciones(ya seanestospequeæos ograndes), pararegistrar de forma adecuada
unconjuntodeimÆgenes. ParaprobarelbuencomportamientodenuestromØtodode
registro presentamosalgunos resultadostantosobreimÆgenessintØticascomo reales.
Se incluyen algunas aplicaciones de registro de ImÆgenes en 3 Dimensiones, que uti-
lizan una tØcnica de correcci(cid:243)n de intensidades, la cual ha demostrado ser e(cid:222)ciente
en Resonancias MagnØticas Funcionales, en las que es muy importante localizar con
precisi(cid:243)n las zonas del cerebro que se activan bajo un est(cid:237)mulo.
1 Introducción
El problema de registro en imÆgenes consiste en encontrar la transformaci(cid:243)n geo-
mØtrica que ponga dos imÆgenes dadas en la mejor correspondencia posible. Este
problema dentro del campo de las imÆgenes MØdicas, ha tenido una gran impor-
tancia en los œltimos aæos. Una de sus aplicaciones mÆs inmediatas es realizar el
registrodeun cerebroespØcimenconeldeun atlasanat(cid:243)mico [1]en elqueseconoce
perfectamente a quØ corresponde cada uno de los voxeles que forman la imagen. El
aplicar una buena tØcnica de registro de imÆgenes entre el atlas y el espØcimen, nos
permitir(cid:237)a segmentar muy fÆcilmente cada una de las partes que integran el cere-
bro del espØcimen. Lamentablemente, hacer esto resulta una tarea muy compleja,
dado que aunque el espØcimen sea el de una persona normal y tenga el mismo tipo
de (cid:243)rganos que el atlas, el volumen y la forma de estos es muy variable. ExistirÆn
zonas dentro de las imÆgenes que requieran deformarse poco y otras que requieran
de grandes campos de deformaciones. AdemÆs dichas zonas pueden estar contiguas
lo que provocar(cid:237)a gradientes muy grandes del campo de deformaciones. Si tomamos
encuentaqueelnœmerodevoxelesquedebemosmanejaresmuygrande(decenasde
millones), eldiseæo dealgoritmos (cid:243)ptimos resulta en un sustancial ahorro detiempo
de c(cid:243)mputo. Existen otras muchas aplicaciones, como la inicializacion de algunos
procesos de segmentaci(cid:243)n automÆtica [15], en el que las tØcnicas de registro son em-
pleadas para obtener las zonas de la imagen que corresponden al cerebro y ademÆs,
inicializar la segmentaci(cid:243)n del mismo.
2 Antecedentes
Engeneral,podr(cid:237)amosclasi(cid:222)carlosmØtodosderegistroendosgrandesgrupos: MØto-
dos Directos y los de Detecci(cid:243)n de Rasgos. De(cid:222)niremos los MØtodos Directos como
aquellos que utilizan los datos crudos de las dos imÆgenes para estimar las transfor-
maciones que deberÆn realizarse para obtener el registro de ambas. Por otro lado
los MØtodos basados en la Detecci(cid:243)n de Rasgos toman caracter(cid:237)sticas globales de la
informaci(cid:243)n de las imÆgenes como contornos, super(cid:222)cies, etc., que ayudan a realizar
el registro [2]. En el presente trabajo se abordan los MØtodos Directos y de ellos
haremos una revisi(cid:243)n.
1
DentrodelosMØtodosDirectospodemosde(cid:222)nirdosformasderealizarelregistro,
unadenominadoRegistroParamØtricoenelcualpormediodeunospocosparÆmetros
se logra hacer una deformaci(cid:243)n de toda la imagen. El modelo Af(cid:237)n o el modelo
de transformaci(cid:243)n R(cid:237)gida de una imagen serÆn ejemplos t(cid:237)picos de estos modelos.
Por otro lado tenemos un modelo no-ParamØtrico en el cual tenemos un campo de
deformacionesqueaplicamosen formaindependienteacadapuntodelaimagen. En
amboscasostenemosqueresolverproblemasnolinealesquetienenm(cid:237)nimoslocalesy
obviamenteelutilizarelsegundomodeloelevalacomplejidadnumØricadelproblema
Un mØtodo e(cid:222)ciente para realizar el registro entre imÆgenes es el de maximizar
la Informaci(cid:243)n Mutua [3] ya sea utilizando una analog(cid:237)a estocÆstica del mØtodo
de descenso de gradiente[3] o bien mØtodos de computaci(cid:243)n evolutiva[22]. Se han
presentado aplicaciones de esta tØcnica para el Registro R(cid:237)gido y no R(cid:237)gido de
ImÆgenes[4, 5]. Si bien estas tØcnicas permiten considerar el efecto del cambio de
intensidadesentrelasimÆgenesqueseestÆnregistrando,tienen comoinconvenientes
su sensibilidad a la estimaci(cid:243)n inicial de la deformaci(cid:243)n y el que los tiempos que
requieren para convergencia son muy grandes.
Se han presentado tambiØn algunos modelos basados en el registro no r(cid:237)gido de
imÆgenes utilizando teor(cid:237)a de la elasticidad en s(cid:243)lidos [6]. Christensen[7] present(cid:243)
un modelo basado en (cid:223)uidos viscosos. En ambos casos se han resuelto Ecuaciones
Diferenciales Parciales No Lineales para modelar el comportamiento de s(cid:243)lidos y
(cid:223)uidos deformables. Los modelos de (cid:223)uidos viscosos han tenido un mejor desem-
peæo, apoyÆndose en tØcnicas de multimalla [23], pero los tiempos de computaci(cid:243)n
continœan siendo grandes.
Otra forma de abordar el problema es estimar el (cid:223)ujo (cid:243)ptico entre el par de
imÆgenes que se requiere registrar. Para poder estimar el (cid:223)ujo (cid:243)ptico es necesario
introducirrestriccionesenelcampodedeformacionespuesesteesunproblemadelos
denominados mal planteados [8]. Al introducir restricciones de suavidad se regular-
izanloscamposdedeformaciones,loscualesseobtienenminimizandounafunci(cid:243)nde
energ(cid:237)aquepenalizaladiferenciadeintensidadesalcuadradoentrelasdosimÆgenes,
lacualseresuelveutilizando diferentesmØtodosdeNewton modi(cid:222)cados. Estegrupo
de mØtodos en la literatura se los conoce como SSD (Sum of Square Diferences)[9].
Laevoluci(cid:243)ndeCurvas/Super(cid:222)ciessehautilizadoparaestimar elcampode(cid:223)ujo
(cid:243)ptico[10]. Estasideassehanutilizadoparagenerarunmodelobasadoenlaevoluci(cid:243)n
decurvasdenivelenelregistrodeimÆgenes(level-set)[11]. Laideaprincipalenestos
mØtodosesdeformarlaImagenFuentealolargodelasnormalesasuscurvasdenivel
de intensidad, con una velocidad de deformaci(cid:243)n que es proporcional a la diferencia
entre la Imagen Destino y la Imagen Fuente Transformada.
EnelpresentetrabajoseabordanlosproblemasderegistroutilizandotØcnicasde
deformaci(cid:243)n r(cid:237)gidas y no r(cid:237)gidas basÆndose en modelos dediferenciascuadrÆticasde
intensidad (SSD) ytambiØnenlosevoluci(cid:243)n decurvasdenivelpara realizar grandes
deformaciones. Cuando la distribuci(cid:243)n de las intensidades entre las imÆgenes que se
quieren registrar es diferente, los mØtodos descritos anteriormente fallan, dado que
estÆn basados en igualar las intensidades entre las mismas. En la penœltima secci(cid:243)n
del presente trabajo presentamos una propuesta que reduce signi(cid:222)cativamente este
problema y se presenta un ejemplo en donde se aplica al registro de ImÆgenes de
Resonancia MagnØtica Funcional sujeta a movimientos r(cid:237)gidos, que es el tipo de
fen(cid:243)meno que se presenta cuando son adquiridas las imÆgenes en la prÆctica [20], y
sise utilizan mØtodosderegistro tradicionales[3,9,18] sepueden presentar zonasde
activaci(cid:243)n espœreas.
2
3 Registro Paramétrico de Imágenes
Para elRegistroParamØtrico deImÆgenesde(cid:222)nimosunafunci(cid:243)n deenerg(cid:237)a[19]dela
forma:
U = (I (r) I (T(r)))2 (1)
1 2
−
r Ω
!∈
En donde r = (x,y,z) representa cada punto de la imagen en el dominio Ω (de
N XN XN voxeles). Notar que cuando la diferencia de intensidades es m(cid:237)nima, se
x y z
ha realizado el registro de las imÆgenes. I es la Imagen Destino e I es la Imagen
1 2
Fuente que se desea transformar mediante la aplicaci(cid:243)n de una transformaci(cid:243)n af(cid:237)n
que tiene la forma:
x θ θ θ x θ
1 2 3 4
T(r)=r= y = θ θ θ y + θ (2)
5 6 7 8
      
z θ θ θ z θ
" 9 10 11 12
" "     
La transformaci(cid:243)n en este caso depende de 12 parÆmetros (las θ ). Este es un
" i
problema no lineal dado que cada punto de la imagen sufre una transformaci(cid:243)n.
Las estrategias de soluci(cid:243)n en general son del tipo Newton o Cuasi-Newton[12, 13].
Para poder aplicar estos mØtodos necesitamos encontrar las matrices Hessiana y
Jacobiana de la funci(cid:243)n de energ(cid:237)a, las cuales se obtienen derivando con respecto a
los parÆmetros de la transformaci(cid:243)n af(cid:237)n, tendremos por ejemplo para θ :
i
∂U ∂I (r) ∂r
U = =2 (I (r) I (r)) 2 (3)
∇ i ∂θi 1 − 2 ∂r ∂θi
r Ω
!∈ " "
Y podemos de(cid:222)nir la matriz Jacobiana como: "
"
∂I2(T(0,0,0)) ∂I2(T(0,0,0)) J (0,0,0) ...
∂θ1 ••• ∂θ12 1
J=... ...... =... ... (4)
∂I2(T(N∂xθ,1Ny,Nz)) •••∂I2(T(N∂xθ,1N2y,Nz))) J1(Nx,Ny,Nz)...
   
J= J J (5)
1 12
•••
) *
∂U
U = =2 (I (r) I (r))J (6)
∇ i ∂θ 1 − 2 i
i
r Ω
!∈
LassegundasderivadastendrÆnlaformaparacadae"ntradadelamatrizHessiana
(H ) de una matriz de 12X12:
ij
∂2U ∂2I (r) ∂r ∂r ∂I (r) ∂r ∂I (r) ∂r
=2 (I (r) I (r)) 2 + 2 2 (7)
∂θ ∂θ 1 − 2 ∂r∂r ∂θ ∂θ ∂r ∂θ ∂r ∂θ
i j i j i j
r Ω+ ,
!∈ " " " " " " "
que podemos escribir como: "
" " " "
H=2(S+JTJ) (8)
Si se utiliza para el MØtodo de Newton para minimizar (1) un paso iterativo en
la soluci(cid:243)n al sistema de ecuaciones serÆ (9) :
θt+1 =θt H(θt) −1 Ut (9)
i i− ∇ i
) *
3
Figure 1: Registro A(cid:222)n. a) Imagen Destino, b) Imagen Fuente c) Imagen Fuente
Transformada.
Dentro de los mØtodos Cuasi-Newton se realizan diversas aproximaciones de la
matriz Hessiana. As(cid:237), por ejemplo, si se utilizan el MØtodo de Gauss-Newton [13]se
desprecianlostØrminosdesegundoordendelamatrizHessiana,esdecirH≈2(JTJ).
Si se utiliza el MØtodo BFGS[13] se realiza un cÆlculo incial de la matriz Hessiana
(por ejemplo Gauss-Newton) y despuØs se hacen aproximaciones incrementales de la
misma. El mØtodo BFGS ha demostrado ser el mÆs e(cid:222)ciente desdeel punto de vista
computacional.
Cuando las transformaciones son muy grandes es recomendable utilizar tØcni-
cas de multiescala[16] para hacer el registro, en donde las imÆgenes son suavizadas
y submuestreadas para obtener imÆgenes de menores dimensiones (a escalas mas
"gruesas"), donde las deformaciones tambiØn serÆn mÆs pequeæas, de tal suerte que
el mØtodo numØrico empleado convergerÆ mÆs rÆpido a una soluci(cid:243)n, la cual serÆ
colocada como punto de arranque en el siguiente nivel del mapeo (escala mas (cid:222)na).
Sinosencontramosenelespaciodeescalasenelnivelmasgrueso(K),podemospasar
a la escala mÆs (cid:222)na (K-1) mediante una interpolaci(cid:243)n, la cual puede realizarse, por
ejemplo, usando splines[17]. Debe notarse que al pasar del nivel (K) al nivel (K-1)
deberemosescalar exclusivamentelostØrminosdetraslaci(cid:243)n(θ ,θ ,θ ) aplicandoel
4 8 12
factor deproporci(cid:243)n adecuado,lo quepermitirÆ pasar de una escala a otra de forma
muy simple.
Un ejemplo de esta transformaci(cid:243)n af(cid:237)n es el presentado en la Figura 1, donde
se muestra el tipo de deformaciones que pueden obtenerse. Como puede verse el
registroentreesepardeimÆgenesnoesmuydetalladodadoqueelmodeloderegistro
trata exclusivamente de encontrar las deformaciones de escalamiento, cizalladura y
traslaci(cid:243)n de forma global entre ambas imÆgenes.
En esta tØcnica no se aplica directamente el MØtodo de los Elementos Finitos
para su soluci(cid:243)n, pero un nuevo modelo para correcci(cid:243)n de intensidades,en el que si
se aplica, se presenta al (cid:222)nal de este trabajo, y estÆ basado en el Registro R(cid:237)gido de
ImÆgenes, por lo que se present(cid:243) con todo detalle el mØtodo de soluci(cid:243)n af(cid:237)n.
4 Registro No-Paramétrico de Imágenes
EnestecasodeseamosrealizarunregistromÆsdetalladoentodaslasimÆgenesporlo
quede(cid:222)niremosuncampo vectorialquepuedevariarpuntoapuntoen lasimÆgenes.
En este caso la funci(cid:243)n de energ(cid:237)a tiene la forma:
4
Figure 2: De(cid:222)nici(cid:243)n del sistema coordenado para evaluar las Funciones de Forma
dentro de un elemento (cid:222)nito en 2D.
u(r)2dΩ
U = (I (r) I (r))2+ λ λ λ Ω|∇v(r)|2dΩ (10)
1 − 2 x y z -Ω|∇ | 
r Ω w(r)2dΩ
!∈ ) * -Ω|∇ |
"  
dondelascoordenadas actualizadas en la Imagen q-ue se esta transformando son:
x x+u(x,y,z) x+ m N (x,y,z)u
i=1 i i
r= y = y+v(x,y,z) = y+ m N (x,y,z)v (11)
z z+w(x,y,z) z+.mi=1Ni(x,y,z)wi 
" .i=1 i i
En donde"lasfu"nciones de Forma o de Interpo.laci(cid:243)n (Ni(x,y,z))son las tradi-
cionalmenteemplea"dasporelMØtododelosElementosFintosparaelementosrectangulares[14].En
general m es el nœmero de nodos totales que dependerÆ del nœmero de nodos del el-
emento y del nœmero de elementos. Dado que los dominios en las imÆgenes son
generalmente de lados paralelos, hemos utilizado elementos lagrangianos regulares
de 8 nodos para 3 Dimensiones y 4 nodos para 2 Dimensiones. Las funciones de
interpolaci(cid:243)n pueden escribirse fÆcilmente en funci(cid:243)n de las coordenadas espaciales
de la imagen; por simplicidad vamos a de(cid:222)nir el sistema coordenado en 2 Dimen-
siones dentro de un elemento cualquiera como se muestra en la Figura 2. Siguiendo
la misma idea, las funciones de forma para 3 Dimensiones serÆn:
N = X X2 Y Y4 Z Z5 ;N = X X2 Y Y4 Z Z1
1 L−x −Ly L−Z 5 L−x −Ly L−Z
N2 =/XL−xX101Y−LyY321ZL−ZZ62;N6 =/XL−xX101Y−LyY321ZL−ZZ22 (12)
N3 =/XL−xX401Y−LyY221ZL−ZZ72;N7 =/XL−xX401Y−LyY221ZL−ZZ72
N4 =/XL−xX301Y−LyY121ZL−ZZ82;N8 =/XL−xX301Y−LyY121ZL−ZZ12
1 21 2 1 21 2
Para 2 Dim/ensione0s serÆn exclusivamente 4/funcion0es de Forma en donde los
tØrminos en z serÆn iguales a 1. De(cid:222)niremos una malla de elementos (cid:222)nitos que
cubra todo el dominio de la imagen Ω, en donde para cada nodo tendremos como
5
Figure 3: Ejemplo de registro de imÆgenes sintØticas. a) Imagen Destino, b) Im-
agen Fuente, c) diferencias entre Imagen Fuente Transformada e Imagen Destino,
d)componente u del campo dedeformaciones, e) Componente v del campo de defor-
maciones, f) Imagen Fuente Transformada.
incognitastresvariablesquenospermitirÆnde(cid:222)nirelcampodedeformaci(cid:243)nconuna
variaci(cid:243)n suave en todo el dominio. Dicha suavidad dependerÆ de los parÆmetros de
control λ , λ y λ .
x y z
Si aplicamos la misma estrategia de soluci(cid:243)n del apartado anterior tendr(cid:237)amos el
gradiente de energ(cid:237)a para las variables en el i-Øsimo punto de control ( U ) como:
i
∇
∂U 2 D(r)∂I2(r)N (r)+2λ ∂Ni(r) m ∂Nj(r)u dΩ
∂∂∂∂∂uvwUUiii=22..rrr∈∈∈ΩΩΩDD((rr))∂∂II∂∂∂22yxz""((rr""))NNiii((rr))++22λλxyz--ΩΩΩ∂∂NN∂∂∂iiyzx((rr))..mJmJJ===111∂∂NN∂∂∂jjzxy((rr))wvjjjddΩΩ (13)
"
Donde D(r) =.(I (r) I (r)), es decir la d-iferencia.entre las ImÆgenes Destino
1 2 "
−
y la Transformada. Las componentes de la matriz Hessiana (H ) que relaciona los
ij
puntos de control ij serÆ:
"
∂2U ∂2U ∂2U
∂ui∂uj ∂ui∂vj ∂ui∂wj Fxx+LxxFxy Fxz
∂v∂i2∂Uuj ∂∂vi2∂Uvj ∂v∂i2∂Uwj =Fyx Fyy+LyyFyz  (14)
∂2U ∂2U ∂2U Fzx Fzy Fzz+Lzz
∂wi∂uj ∂wi∂vj ∂wi∂wj   
dondedeformagenØricapuedende(cid:222)nirselostØrminosdelamatrizHessianacomo:
∂2I (r) ∂I (r)∂I (r)
F =2 (I (r) I (r)) 2 + 2 2 N (r)N (r) (15)
xy 1 − 2 ∂x∂y ∂x ∂y i j
r Ω3 4
!∈ " " "
Lxx ="2λx " "∂∂Nxi∂∂Nxj"dΩ " (16)
5Ω
De esta forma un paso iterativo en la soluci(cid:243)n al sistema de ecuaciones serÆ:
6
Figure4: EjemploderegistrodeimÆgenesdeResonanciaMagnØtica. a)ImagenDes-
tino,b) Imagen Fuente, c) Imagen FuenteTransformada, d)campode deformaciones
u, e) campo de deformaciones v, f) diferencias entre Imagen Fuente Transformada e
Imagen Destino.
ut+1 ut
i i
vt+1 = vt H(ut,vt,wt) −1 U(ut,vt,wt) (17)
wit+1 wit− ∇
i i ) *
   
En donde el gradiente que multiplica a la inversa de la matriz Hessiana, es el
correspondiente al punto de control i. Un inconveniente de esta estrategia es que
deberemosinvertir matricesmuygrandessi la discretizaci(cid:243)n del espacio la deseamos
realizar con un gran nœmero de puntos de control. En el caso en que la Matriz
Hessiana sea muy grande, es recomendable usar tØcnicas de Descenso de Gradiente
o Descenso de Gradiente Newtoniano [12, 13].
Conobjetodeprobarlascapacidadesdenuestroalgoritmorealizamosunaprueba
deregistrodeimÆgenessintØticasde(cid:222)gurasgeomØtricassimples. Elobjetivodeesta
prueba es registrar dos imÆgenes de 256X256 pixeles en donde la Imagen Fuente es
un c(cid:237)rculo y la Imagen Destino en un cuadrado(Figura 3), las intensidades de las
ImÆgenes Fuente y Destino son 100 para fondo y 200 para las (cid:222)guras.
Loscamposdedeformacionessonsuavesdadoqueparaladiscretizaci(cid:243)ndelespa-
cioseutilizaronmallasde16X16elementos,loquequieredecirqueencadaelemento
se cubre un Ærea de 16X16 pixeles. La constante de regularizaci(cid:243)n tiene un valor de
λ=1.
Las ImÆgenes Fuente Transformada tiene tres valores de intensidades, esto es
debido a que al aplicar la transformaci(cid:243)n, hay algunos lugares de la Imagen Fuente
que no existen y se les asigna un color diferente (0 para puntos que no existen, 100
para fondo y 200 para (cid:222)gura). Los campos de deformaciones tienen valores que
7
van desde 18.696 a 42.966 pixeles para u y -56.407 a -23.933 para v. El tiempo de
ejecuci(cid:243)n es de 90 seg. en una PC a 1.8 Ghrz.
Un ejemplo de aplicaci(cid:243)n con imÆgenes reales es el de registrar dos imÆgenes
que corresponden a Resonancias MagnØticas de diferentes sujetos. Son imÆgenes de
256X256 pixeles. El tiempo de registro es de 2 minutos en una PC a 1.8 Ghrz.. En
la Figura 4 se muestran resultados de la transformaci(cid:243)n.
5 Registro Con Grandes Deformaciones
Cuando la deformaci(cid:243)n entre imagen fuente y destino es muy grande, el mØtodo
anterior a menudo falla, debido a que el modelo de optimizaci(cid:243)n queda atrapado en
m(cid:237)nimos locales. En este caso, es mejor utilizar el mØtodo que describimos en esta
secci(cid:243)n.
Laidea fundamentalde estaaproximaci(cid:243)n esobtener elcampo de deformaciones
de la imagen basado en la evoluci(cid:243)n de curvas de nivel en el registro de imÆgenes
(level-set)[11], es decir obtener un campo de deformaciones intermedio que tiene
como direcci(cid:243)n el gradiente de la imagen y como magnitud el error en el registro de
la forma:
u(r) ∂I2(r)
(I (r) I (r)) ∂x
v(r) = 1 I−(r2) ∂I∂2y(r") (18)
w"(r) #∇ 2 # ∂I2"(r")
Este campo de deform"aciones intermedio"de"beser∂rz"e"gularizado para imponer la
" "
restricci(cid:243)n de suavidad, para lo cual ajustamos tres membranas desacopladas, las
cualesminimizanlafunci(cid:243)ndeenerg(cid:237)aquepuedeescribirseenformacompactacomo:
u(r) u(r) 2 λ T u(r)2dΩ
U = v(r) v(r) + λx Ω|∇v(r)|2dΩ (19)
 −   y -Ω|∇ | 
r!∈Ω w(r) w"(r) λz -Ω|∇w(r)|2dΩ
  "     
Las tres membranas independientes tienen una varia-ci(cid:243)n espacial suave de(cid:222)nida
"
por lasfunciones deinterpolaci(cid:243)n estÆndar delMØtodode losElementos Finitos[14]
que tienen la forma:
u(r) m N (r)u
i=1 i i
v(r) = m N (r)v
w(r) .im=1Ni(r)wi 
.i=1 i i
   
LascoordenadasactualizadasenlaIm.agen(r)vienendadasen(11). Alminimizar
la funci(cid:243)n de costo, o sea derivar con respecto a cada uno de los parÆmetros de
control e igualar a cero, tenemos que resolver tres sistemas lineales de ecuaciones,
"
cuyo tamaæo dependerÆ del nœmero de puntos de control que se deseen utilizar para
darlesuavidadalcampodedeformaciones. AdemÆstenemosparaajustarlasuavidad
de las membranas los parÆmetros λ , λ y λ .
x y z
Si este algoritmo lo aplicamos en forma incremental, es decir cada cierto nœmero
deiteracionescambiamoselsistemacoordenadodereferencia(inicializamoselcampo
de deformaciones a cero y nuestra Imagen Fuente es la Imagen Transformada hasta
elmomento),podemoslograr grandesdeformaciones, conservandola objetividad del
movimiento al poderse calcular una composici(cid:243)n de transformaciones de forma muy
simple.
Para probar la bondad de este algoritmo, realizamos dos ejemplos sintØticos.
En el primero, mostrado en la Figura 5 puede verse la deformaci(cid:243)n que sufre una
Figura Fuentepara formar unaC,mediante la aplicaci(cid:243)nde un campovectorialque
8
Figure 5: Ejemplo de registro de imÆgenes sintØticas. a) Imagen Destino, b) Imagen
Fuente, c) malla deformada, d) Imagen Fuente Transformada, e) diferencias entre
Imagen Fuente Transformada e Imagen Destino, f) campo vectorial.
9