El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal ANEXO 1 Algunas ...

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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
ANEXO 1

Algunas fechas significativas en la historia de los fractales. Gracias a los esfuerzos de
Mandelbrot, los objetos tales como el conjunto de Cantor, hallaron un marco general, la
Geometría Fractal, compartiendo ubicación con otros importantes modelos como el
movimiento browniano fraccionario y los atractores de ciertos sistemas dinámicos
deterministas, conceptos y estructuras aparentemente alejados de aquellos.

LOS MONSTRUOS
1872 El conjunto de Cantor
1875 La curva de Weierstrass
1890 La curva de Peano
1891 La curva de Hilbert
1900 Movimiento browniano (Bachelier)
1903 La curva de Takagi
1906 La isla de van Koch
1915 El triángulo de Sierpinski
1938 El dragón de Lévy
1968 Movimiento browniano fraccionario (Mandelbrot)

LA DIMENSIÓN
1919 Dimensión de Hausdorff

COMPORTAMIENTO RELACIONADO CON LA ESCALA
1951 Ley de Hurst (río Nilo)
1956 Ley de Gutenberg-Richter para la distribución de la magnitud de terremotos
1961 Leyes de escala de Richardson

LOS FRACTALES
1968 Aristid Lindenmayer describe los ahora denominados sistemas L
1975 Mandelbrot inventa el término ‘fractal’
1975 Publicación de "Fractals: Form, chance and dimension"
1980 Mandelbrot ofrece la primera gráfica del conjunto que lleva su nombre
1981 Sistemas de Funciones Iteradas (Hutchinson)
1982 Publicación de "The Fractal Geometry of Nature"
1988 Mandelbrot introduce el concepto de medidas multifractales
1988 Artículo de Barnsley y Sloan en BYTE

FRACTALES Y SISTEMAS DINÁMICOS
1981 Witten y Sanders introducen la agregación limitada por difusión
1983 Hentschel y Procaccia relacionan los fractales y los atractores extraños
1984 Autómatas celulares de Stephen Wolfram
1987 Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld elaboran el concepto de sistemas críticos
auto-organizados
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
ANEXO 2

Concepto de Estructura Fractal

En 1975, Benoit B. Mandelbrot publicó un ensayo titulado “Les objets fractales: Forme,
hasard et dimension” Editorial Flammarion. Paris. En la introducción de la citada
monografía se puede leer:
"El concepto que hace de hilo conductor será designado por uno de los dos neologismos
sinónimos “objeto fractal” y “fractal”, términos que he inventado, ..., a partir del adjetivo latino
“fractus”,..."
En 1982 publica un nuevo libro, con gráficos espectaculares creados con la tecnología
informática que, por aquel tiempo, estaba a su disposición: “The Fractal Geometry of
Nature” Editorial W.H. Freeman & Co. New York. En la página 15 de esta obra Mandelbrot
propone la siguiente definición:
“Un fractal es, por definición, un conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es
estrictamente mayor que su dimensión topológica.”
Este concepto no es definitivo - el mismo Mandelbrot reconoce que no incluye algunos
conjuntos que, por otras razones, deben incluirse en la categoría de fractales. Han sido
propuestas otras definiciones y, de hecho, estamos ante un concepto geométrico para el
que aún no existe un una definición precisa, ni una teoría única y comúnmente aceptada.

KENNETH FALCONER Kenneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry:
Mathematical Foundations and Applications”, John Wiley and Sons, 1990, describe un
concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades
siguientes:
(1).- “F” posee detalle a todas las escalas de observación;
(2).- No es posible describir “F” con Geometría Euclidiana, tanto local como globalmente;
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
(4).- La dimensión fractal de “F” es mayor que su dimensión topológica;
(5).- El algoritmo que sirve para describir “F” es muy simple, y posiblemente de carácter
recursivo.
En resumen, una técnica análoga a la que los biólogos aplican al concepto de vida.
La propiedad 1 se puede completar indicando que un fractal no tiene ninguna escala
característica: todas las escalas son “buenas” para representar un fractal. Como veremos a
continuación, esta afirmación tiene límites cuando abandonamos los modelos matemáticos
para entrar en la consideración de fractales físicos.

FRACTALES MATEMÁTICOS Y FRACTALES FÍSICOS. “A
stone, when is examined, will be found a mountain in miniature”.
(J. Ruskin, Modern Painters, Vol. 5, chapter 18, 1860).

“The scale invariance of geological phenomena is one of the first
concepts taught to a student of geology. It is
pointed out an object that defines the scale, i.e. A
coin, a rock hammer, a person, must be included
whenever a photograph of a geological feature is
taken”. (Donald L. Turcotte, Fractals ans Chaos
in Geology and Geophysics, Cambridge
University Press, 1992).

Para incluir los fractales físicos en una categoría
comparable a la correspondiente a los fractales
matemáticos, la propiedad 1 debe limitarse a un
rango de escalas (una escala mínima y otra máxima) que depende del objeto en
consideración.
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal

Autosemejanza. En general, F es
una estructura autosemejante si
puede ser construida como una
reunión de estructuras, cada uno
de las cuales es una copia de F a
tamaño reducido (una imagen de F
mediante una semejanza
contractiva).
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
ANEXO 3

Dimensión
Cualquiera que sea el método de aproximación al concepto de fractal que utilicemos, hay un
concepto central, que es el de dimensión. Más precisamente, consideraremos varios
conceptos de dimensión; y el primero de ellos, el de
dimensión topológica.
En los “Elementos” de Euclides, ya se define,
implícitamente y de forma inductiva, el concepto de
dimensión. Se dice que una figura es unidimensional,
si su frontera está compuesta de puntos;
bidimensional, si su frontera está compuesta de
Dimensión topológica 0
curvas y tridimensional, si su frontera está compuesta
de superficies.

Dimensión topológica. Hermann Weyl ilustra el concepto de dimensión en los términos
siguientes:
“Decimos que el espacio es tridimensional porque los muros de una prisión son
bidimensionales.”
Gerald A. Edgar50 completa la imagen de Weyl en los términos que siguen:
"Si tenemos un punto en el espacio tridimensional, podemos usar un pequeño cubo como
prisión. El cubo está constituido por 6 caras planas. Necesitamos saber que estas caras son
bidimensionales. Un punto que vive en una de estas caras puede ser sometido a prisión
haciendo uso de una pequeña circunferencia. Así, decir que las caras del cubo son
bidimensionales, requiere saber que una circunferencia es unidimensional. Un punto que
vive en una de las circunferencias, puede ser aprisionado haciendo uso de dos puntos como
muros de la prisión. Necesitamos saber que un conjunto reducido a dos puntos es de
dimensión cero. Finalmente, un punto que vive en el conjunto de dos puntos es ya incapaz
de moverse. No necesitamos muros para aprisionarlo. Estamos, por definición, ante un
conjunto de dimensión 0."
La construcción de la dimensión topológica se puede basar en la idea de generalizar el
concepto de que la dimensión de una bola es tres mientras que la dimensión de la esfera
que la limita es dos: dimensión de un conjunto X a partir de la dimensión de su frontera ∂X.
Por otra parte, un objeto fractal es, ante todo, un subconjunto de Rn. En este contexto,
preferimos una definición equivalente de dimensión topológica basada en la dimensión de
recubrimiento, concepto que juega un papel importante en la definición de dimensión fractal.

Dimensión de recubrimiento. Consideremos un subconjunto S de Rn.
Un recubrimiento abierto de S es cualquier colección de conjuntos abiertos a cuya reunión
contiene al conjunto S.
Un refinamiento abierto a’ del recubrimiento abierto a
es otro recubrimiento tal que cada abierto A’∈a’está
incluido en algún abierto A∈a.
En algún sentido, un refinamiento abierto a’ de S,
proporciona un recubrimiento “más detallado” de S
Dimensión topológica 1 que a.

Decimos que a es un recubrimiento abierto de orden k del conjunto S, si, cualquiera que sea
x∈S, x pertenece a un máximo de k abiertos del recubrimiento a.

50 “Measure, Topology and Fractal Geometry”, Springer, 1990.
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
Definición: El conjunto S tiene dimensión de recubrimiento (dimensión topológica) n, si
cualquier recubrimiento abierto a de S admite un refinamiento abierto de orden n+1, pero no
de orden n.

Dimensión topológica 1
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
ANEXO 4

Galería de fractales clásicos
Revisamos a continuación una serie de objetos, manejados por sus descubridores con
anterioridad a 1975, con intenciones e intereses muy diversos, muchas veces para proponer
contra-ejemplos. Todos tienen en común la actual denominación de objetos fractales.
En general, se trata de subconjuntos del plano R2, y para su construcción se utilizan técnicas
variadas: en algunos casos algoritmos geométricos, en otros son gráficas de funciones.
Muchos se pueden obtener construyendo aproximaciones de atractores de sistemas
dinámicos.
¿Por qué estos objetos tienen la consideración de fractales? Teóricamente, porque
satisfacen varios de los criterios vistos previamente (ver Anexo 1). Y desde un punto de vista
más práctico, porque si realizamos magnificaciones sucesivas de la vecindad de un punto,
reproducimos las ‘irregularidades’ de la vecindad inicial. Esto no ocurre con los conjuntos
‘euclidianos’ clásicos.

El Conjunto Triádico de Cantor. Posiblemente es el fractal clásico más importante y más
conocido, y muchos otros objetos fractales tienen alguna relación con él. Fue descrito en
1883 por Georg Cantor (1845-1918), pero fue mencionado en 1875 (posiblemente antes) por
el matemático irlandés Henry Smith.
El conjunto triádico de Cantor es un subconjunto de puntos del intervalo [0,1] para el que
definimos seguidamente un algoritmo recursivo de construcción. Este procedimeinto de
caracterización, facilita, por otra parte, le demostración de muchas de sus propiedades por
inducción.
Partimos del intervalo [0,1], que denominamos C . Obtenemos C removiendo el tercio
0 1
central de C , de forma que resulta C =[0,1/3]∪[2/3,1].
0 1
Sucesivamente, se continúa el proceso de remoción, suprimiendo el tercio central de cada
nuevo subintervalo generado.
De manera inductiva, definimos el elemento C de la sucesión como la reunión de un total de
k
2k subintervalos cerrados, cada uno de ellos de longitud 3-k.
La sucesión de conjuntos compactos {C } es monótona decreciente C ⊃ C ⊃ C ⊃ ... C ⊃
k 0 1 2 k
C ⊃ ...
k+1
∞
El límite de esta sucesión C = Ι C es el conjunto triádico de Cantor o, en palabras de
k
k=0
Mandelbrot es un “Cantor dust”, nombre que intenta transmitir la clase de conjunto que es.

¿Por qué la reproducción en la pantalla de la iteración 6 exhibe una baja calidad? Porque no
es posible la representación exacta sobre el dispositivo, la pantalla, en el sentido de que, a
partir de un tamaño de subconjunto, no es posible usar un conjunto equilibrado de pixels. El
conjunto de Cantor no se puede representar con un número finito de pixels.
Podemos representar los números reales de C =[0,1] en base 3, mediante una expresión de
0
la forma x=x 3-1+ x 3-2+ x 3-3+ ... siendo x=0, 1 o 2. Los elementos del conjunto de Cantor
1 2 3 i
están descritos para valores x=0 o x=2.
i i
80
El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
En efecto, cuando eliminamos el tercio central para pasar de C a C , suprimimos los
0 1
números x para los que x1=1. Cuando suprimimos los tercios centrales para pasar de C a
1
C ,eliminamos los números reales x para los que x=1, y así sucesivamente.
2 i

PROPIEDADES NOTABLES. Este conjunto tiene una serie de propiedades notables
que vamos a analizar seguidamente:
(1).- El “polvo” de Cantor así definido no es el conjunto vacío.
Estos puntos, 0, 1, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, ... se denominan puntos de primer género del
conjunto de Cantor C. Los puntos restantes, que veremos que también existen, se
denominan de segundo género.
En efecto, contiene al menos los extremos de todos los subintervalos C . Además, es fácil
k
mostrar que el punto ¼ es un elemento del conjunto de Cantor, por ejemplo escribiéndolo en
base 3, y, por otra parte, no es extremo de ninguno de los subintervalos C .
k
(2).- La medida de Lebesgue del conjunto de Cantor es cero.
En efecto, la suma de las longitudes de los intervalos suprimidos es 1. Basta sumar la serie
geométrica obtenida, de razón 2/3.
(3).- El conjunto C tiene el cardinal del continuo. Es decir, tiene el mismo cardinal que el
intervalo original C =[0,1].
0
Esta propiedad se muestra fácilmente estableciendo una correspondencia entre los puntos
que se pueden representar en base 3 en la forma 0.x x x ..., con x=0 o x =2 y los que se
1 2 3 i i
escriben en binario en la forma 0.y y y ...
1 2 3
Puesto que los puntos de primer género constituyen un conjunto numerable, queda claro
que el conjunto de los puntos de segundo género no se reduce al punto ¼.
(4).- El conjunto C tiene dimensión topológica 0.

(5).- El conjunto C no contiene intervalos de longitud positiva ni puntos aislados.
(6).- El conjunto C es un conjunto cerrado y cada uno de sus puntos es un punto de
acumulación. Es, decir, es un conjunto perfecto.
(7).- El conjunto C es un conjunto compacto, es decir, cerrado y acotado.
(8).- El conjunto C es totalmente inconexo.
Así, C es un conjunto compacto, perfecto e inconexo. Además, C está caracterizado por
éstas tres propiedades: cualquier subconjunto de R compacto, perfecto e inconexo se puede
aplicar sobre C por medio de una transformación contínua reversible.
(9).- Finalmente, el conjunto C tiene una propiedad notable, pero nada evidente. Dado
cualquier número real x del intervalo [0,1] , existen dos elementos de C, y,z, tales que x=y-z.
En otras palabras, las sumas y+z de dos elementos y y z del conjunto C, llenan el intervalo
[0,2].
Analizando el conjunto de estas propiedades observamos el hecho sorprendente de que C,
a pesar de tener medida de Lebesgue y dimensión topológica nulas (igual que un conjunto
finito o numerable de puntos), tiene el cardinal del continuo (lo mismo que I =[0,1] o R).
0
Esta situación, un tanto paradójica, se puede resolver (y, de hecho, se resuelve)
argumentando que el conjunto de Cantor está incluido en una nueva categoría de conjuntos,
81
El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
los conjuntos fractales, asociándole en consecuencia un concepto nuevo de dimensión (que
no es un número entero), la dimensión fractal.
Existen razones adicionales para clasificar el conjunto de Cantor como objeto fractal. Si
consideramos el concepto de estructura fractal de Kenneth Falconer, observamos que el
conjunto de Cantor satisface cada una de las propiedades citadas en el Anexo 1. En
particular, la “propiedad”
(3).- “F” posee alguna clase de autosemejanza, posiblemente estadística;
se detecta en el conjunto C en los términos siguientes.
El conjunto C puede obtenerse como reunión de dos conjuntos: el primero se deduce de C
mediante una contracción de razón 1/3. El segundo se deduce mediante la misma
transformación seguida de una traslación de vector 2/3.
El conjunto C se puede obtener, además, como el atractor de un sistema de funciones
w (x)=x/3, w (x)=(x+2)/3, cuando se aplican en forma iterada, comenzando, por ejemplo, con
1 2
C =[0,1]. ¿Es el conjunto así definido el mismo que hemos definido en forma recursiva
0
anteriormente? En efecto, es fácil probar por inducción completa la siguiente propiedad del
conjunto de Cantor C= w (C)∪w (C).
1 2

AUTOSEMEJANZA. En este sentido, C es una estructura (un conjunto) autosemejante.

VARIACIONES SOBRE EL CONJUNTO DE CANTOR. Podemos generar un conjunto de
Cantor diferente eliminando un abierto de longitud ½ , situado en posición central, dejando
los segmentos [0,1/4] y [3/4,1]. A continuación, se eliminan abiertos de longitud 1/8 de cada
uno de ellos. Y así sucesivamente. Queda el atractor del sistema w (x)=x/4, w (x)=(x+3)/4.
1 2
Otra construcción consiste en eliminar dos abiertos de longitud 1/3, quedando el conjunto
[0,1/9] ∪ [4/9,5/9] ∪ [8/9,1]. Se obtiene así el atractor del sistema w (x)=x/9, w (x)=(x+4)/9,
1 2
w (x)=(x+8)/9.
3

CURDLING. Consideramos ahora una construcción del conjunto de Cantor suponiendo que
repartimos una unidad de masa sobre el intervalo [0,1], con lo que tenemos una barra. Se
elimina el tercio central, pero la masa unidad se reparte entre los intervalos restantes, que
pasan así a poseer una
1
3
2
densidad igual a = .
1 2
3
La siguiente iteración suprime
los tercios centrales de los
dos intervalos, quedando
cuatro intervalos cerrados a
los que se adscribe la
totalidad de la masa,
repartiendo 0.25 a cada uno
de ellos. Quedan barras más
pequeñas de densidad
1
2
4 9 ⎛3⎞
= =⎜ ⎟ . En la n-sima
1 4 ⎝2⎠
9
generación tendremos 2n
barras, cada un de ellas de
longitud 3-n y con una adscripción de masa de valor 2-n, lo que conduce a densidades
crecientes que ascienden a (3/2)n.
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El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
Podemos generalizar el ‘curdling’ transformando la ‘barra’ inicial en dos nuevas: izquierda
con escala l y derecha con l , al tiempo que repartimos la masa unidad con las proporciones
0 1
p al segmento izquierdo y p al derecho, respectivamente. Suponemos, así, l +l <1,
0 1 0 1
p +p =1.
0 1

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS DE
CANTOR. La construcción original de Cantor se puede
generalizar a dimensión 2 (o superior) mediante diversos
mecanismos. Por ejemplo, se puede construir el producto
cartesiano de dos conjuntos triádicos de Cantor, dando
como resultado conjunto CxC con medida de Lebesgue
cero y con la potencia del continuo, igual que C.

CONJUNTO DE
CANTOR ALEATORIO.
Partimos, nuevamente, de C =[0,1] y seleccionamos dos
0
cantidades al azar r y r , de forma que r +r <1. Deducimos
1 2 1 2
así el conjunto reunión de dos intervalos, a cada uno de los
cuales se aplica una construcción semejante a la anterior.

LA APLICACIÓN DE LA TIENDA
DE CAMPAÑA Y EL CONJUNTO
DE CANTOR. La aplicación R→R definida por

⎧3x, x ≤1/2,
f(x) = ⎨
⎩3−3x, x >1/2

se suele denominar tienda de campaña (tent map), debido a la
forma de su gráfica. Estudiaremos algunos aspectos del sistema
dinámico con inicio en x y tal que x =f(x ).
0 n+1 n

EL CONJUNTO PRISIONERO. En primer lugar se observa que si x <0 o x >1, la sucesión
0 0
diverge hacia -∞. Y lo mismo sucede si cualquier x <0 o
n
x >1. Consideremos, pues, x ∈[0,1]. Nos planteamos la
n 0
cuestiones siguientes: ¿Existen puntos en [0,1] para los
que la sucesión no diverge? Si la respuesta es afirmativa
¿hay pocos o muchos puntos que se pueden considerar
‘prisioneros’?
Es fácil ver, mediante una ilustración gráfica, que la
construcción del conjunto de prisioneros P es la misma que
la correspondiente al conjunto triádico de Cantor. Así, P=C.
Esta conjetura responde también a la segunda pregunta.
Los puntos de C (y de P) son escasos en [0,1]. De hecho, si
seleccionamos un punto al azar en [0,1], la probabilidad de
que sea un prisionero es nula.

La Escalera del Diablo. En el escrito de Cantor titulado “On the Power of Perfect Sets of
Points”, extraído por los editores de Acta Mathematica partiendo de una carta dirigida a los
mismos en 1884, se describe el ya considerado Conjunto de Cantor y una función (de
Cantor) conocida como escalera del diablo. Se trata de la gráfica de una función (singular)
continua en [0,1], no constante, y con derivada nula en todos los puntos, excepto en un
83
El Infinito al alcance de la mano. Una introducción a la Geometría Fractal
subconjunto de [0,1] con medida de Lebesgue nula. Este
subconjunto es, precisamente, un conjunto de Cantor.
Repetimos la construcción del conjunto de Cantor suponiendo que
repartimos una unidad de masa sobre el intervalo [0,1] y que, en
cada operación de eliminación, se elimina también la masa
correspondiente. La escalera del diablo se obtiene como la
representación de la masa M(x), para cada abscisa x, situada a la
izquierda de la misma.

ALGORITMO PARA LA CONSTRUCCIÓN DE LA ESCALERA
DEL DIABLO.

(1).- En un cuadrado [0,1]x [0,1], trazamos el segmento O(0,0)-
U(1,1).
(2).- Sobre el tercio central de [0,1] (abscisas), elevamos un
segmento y=1/2, de extremos A(1/3,1/2) y B(2/3,1/2),
respectivamente. Seguidamente, trazamos la línea quebrada
(0,0)- (1/3,1/2)-(2/3,1/2)-(1,1), finalizando así la segunda etapa.
(3).- En la tercera etapa, se realiza una operación análoga con los
segmentos OA’ y B’U’. Se construye sobre el tercio medio de
cada uno de ellos un segmento, y=1/4 para OA’ e
y=3/4 para B’U’.
(4).- El algoritmo prosigue indefinidamente.

OTRAS PROPIEDADES. La escalera del
diablo tiene dimensión topológica 1 y longitud 2.
El área entre la curva y el eje de abscisas es igual
a ½.

LA ESCALERA DEL DIABLO Y LOS SISTEMAS
DINÁMICOS. La escalera del diablo no es,
simplemente, una construcción matemática con
propiedades más o menos notables. La
descripción de muchos sistemas físicos origina la
construcción de varias versiones de la curva mencionada.
El comportamiento dinámico de las ecuaciones (no lineales) de
un oscilador forzado o de un sistema de Van der Pol, por
ejemplo, se puede, bajo determinadas condiciones, simplificar
mediante la denominada aplicación del círculo (en si mismo)
k
θ = θ + sen(2πθ )+Ω.
n+1 n 2π n
Esta aplicación presenta dos parámetros, K, que corresponde
a la intensidad de la oscilación perturbadora, y,
simultáneamente, al grado de no linealidad del sistema, y Ω, que es la frecuencia del
sistema en ausencia de acoplamiento (K=0).
θ −θ
Se denomina número de rotación a la función ρ(Ω) = Lim n 0 . La gráfica de ρ frente a
n→∞ n
Ω tiene un curioso comportamiento: ρ es una función continua de Ω y presenta un conjunto
numerable de mesetas para valores racionales de ρ: son mesetas de acoplamiento o de
resonancia.