Table Of ContentEinstein’s General Theory of Relativity
Øyvind Grøn Si gbjørn Hervik
Einstein’s General Theory
of Relativity
With Modern Applications in Cosmology
1 3
Øyvind Grøn Sigbjørn Hervik
Oslo University College Department of Mathematics & Statistics
Faculty of Engineering Dalhousie University
PO Box 4, St Olavs Pl. B3H 3J5 Halifax, NS
0130 Oslo Canada
Norway [email protected]
and
Institute of Physics
University of Oslo
PO Box 1048 Blindern
0136 Oslo
Norway
Library of Congress Control Number: 2007923152
ISBN-13: 978-0-387-69199-2 e-ISBN-13: 978-0-387-69200-5
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Contents
ListofProblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
List of Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi.x
I INTRODUCTION:
NEWTONIAN PHYSICS AND SPECIAL RELATIVITY . . . . . 1
1 RelativityPrinciplesandGravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Newtonianmechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Galilei–Newton’sprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 TheprincipleofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Newton’slawofGravitation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 LocalformofNewton’sGravitationallaw . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Tidalforces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.7 Theprincipleofequivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 Thecovarianceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Mach’sprinciple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 TheSpecialTheoryofRelativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 CoordinatesystemsandMinkowski-diagrams . . . . . . . . . 21
2.2 Synchronizationofclocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Relativistictime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Therelativityofsimultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 TheLorentz-contraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 TheLorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Lorentz-invariantinterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Hyperbolicmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Energyandmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.12 Relativisticincreaseofmass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.13 Tachyons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.14 Magnetismasarelativisticsecond-ordereffect . . . . . . . . . 40
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
vi Contents
II THE MATHEMATICS OF THE
GENERAL THEORY OF RELATIVITY . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Vectors,Tensors,andForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 One-forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.5 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 BasisVectorFieldsandtheMetricTensor . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.1 Manifoldsandtheircoordinate-systems . . . . . . . . . . . . . 63
4.2 Tangentvectorfieldsandthecoordinatebasisvectorfields . . 65
4.3 Structurecoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4 Generalbasistransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Themetrictensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Orthonormalbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.7 Spatialgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.8 Thetetradfieldofacomovingcoordinatesystem. . . . . . . . 80
4.9 Thevolumeform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.10 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 Non-inertialReferenceFrames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1 Spatialgeometryinrotatingreferenceframes . . . . . . . . . . 89
5.2 Ehrenfest’sparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 TheSagnaceffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4 Gravitationaltimedilatation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Uniformlyacceleratedreferenceframe . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 CovariantLagrangiandynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7 AgeneralequationfortheDopplereffect . . . . . . . . . . . . 103
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Differentiation,Connections,andIntegration . . . . . . . . . . . . . . 109
6.1 ExteriorDifferentiationofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.2 Electromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.3 Integrationofforms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.4 Covariantdifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Covariantdifferentiationofformsandtensors . . . . . . . . . 127
6.6 Exteriordifferentiationofvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.7 Covariantexteriorderivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.8 Geodesicnormalcoordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.9 One-parametergroupsofdiffeomorphisms . . . . . . . . . . . 137
6.10 TheLiederivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.11 KillingvectorsandSymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2 Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Contents vii
7.3 TheRiemannCurvatureTensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.4 ExtrinsicandIntrinsicCurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5 Theequationofgeodesicdeviation . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.6 Spacesofconstantcurvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
III EINSTEIN’S FIELD EQUATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
8 Einstein’sFieldEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1 FromNewton’slawofgravitationtoEinstein’s
fieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.2 DeductionofEinstein’svacuumfieldequationsfromHilbert’s
variationalprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Thefieldequationsinthepresenceofmatterandenergy . . . 183
8.4 Energy-momentumconservation . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.5 Someenergy-momentumtensors . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.6 Someparticularfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.7 Thepathsoffreepointparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9 TheLinearFieldApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.1 Thelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
9.2 TheNewtonianlimitofgeneralrelativity . . . . . . . . . . . . 198
9.3 Solutionsofthelinearisedfieldequations . . . . . . . . . . . . 199
9.4 Gravitoelectromagnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.5 Gravitationalwaves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.6 Gravitationalradiationfromsources . . . . . . . . . . . . . . . 206
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10 TheSchwarzschildSolutionandBlackHoles . . . . . . . . . . . . . . 215
10.1 TheSchwarzschildsolutionforemptyspace . . . . . . . . . . 215
10.2 RadialfreefallinSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . 220
10.3 Thelight-coneinaSchwarzschildspacetime . . . . . . . . . . 221
10.4 ParticletrajectoriesinSchwarzschildspacetime. . . . . . . . . 225
10.5 AnalyticalextensionoftheSchwarzschildspacetime. . . . . . 230
10.6 Chargedandrotatingblackholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.7 BlackHolethermodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.8 TheTolman-Oppenheimer-Volkoffequation. . . . . . . . . . . 252
10.9 TheinteriorSchwarzschildsolution . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.10 RelativisticgravitationversusNewtoniangravitation . . . . . 256
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
IV COSMOLOGY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11 HomogeneousandIsotropicUniverseModels . . . . . . . . . . . . . 267
11.1 Thecosmologicalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.2 Friedmann-Robertson-Walkermodels . . . . . . . . . . . . . . 268
11.3 DynamicsofHomogeneousandIsotropiccosmologies . . . . 271
viii Contents
11.4 CosmologicalredshiftandtheHubblelaw . . . . . . . . . . . 273
11.5 Radiationdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . 278
11.6 Matterdominateduniversemodels . . . . . . . . . . . . . . . . 281
11.7 Thegravitationallenseffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.8 Redshift-luminosityrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.9 Cosmologicalhorizons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.10 BigBanginaninfiniteUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
12 UniverseModelswithVacuumEnergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.1 Einstein’sstaticuniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.2 deSitter’ssolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
12.3 ThedeSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
12.4 Thehorizonproblemandtheflatnessproblem . . . . . . . . . 310
12.5 Inflation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.6 TheFriedmann-Lemaîtremodel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.7 Universemodelswithquintessenceenergy . . . . . . . . . . . 325
12.8 Darkenergyexploredby meansof supernovaobservations
andthestatefinderdiagnostic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.9 Cosmicdensityperturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.10 Temperaturefluctuationsinthecosmicmicrowave
background(CMB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.11 Mach’sprinciple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
12.12 TheHistoryofourUniverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
13 AnisotropicandInhomogeneousUniverseModels . . . . . . . . . . 367
13.1 TheBianchitypeIuniversemodel . . . . . . . . . . . . . . . . 367
13.2 TheKasnersolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.3 Theenergy-momentumconservationlawinananisotropic
universe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4 Modelswithaperfectfluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
13.5 Inflationthroughbulkviscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
13.6 Auniversewithadissipativefluid . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.7 TheLemaître-Tolman-Bondiuniversemodels . . . . . . . . . . 379
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
V ADVANCED TOPICS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387
14 CovariantDecomposition,Singularities,andCanonicalCosmology 389
14.1 Covariantdecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
14.2 Equationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
14.3 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.4 LagrangianformulationofGeneralRelativity . . . . . . . . . . 399
14.5 Hamiltonianformulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
14.6 Canonicalformulationwithmatterandenergy . . . . . . . . . 404
Contents ix
14.7 Thespaceofthree-metrics:Superspace. . . . . . . . . . . . . . 406
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
15 SpatiallyHomogeneousUniverseModels . . . . . . . . . . . . . . . . 413
15.1 LiegroupsandLiealgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
15.2 Homogeneousspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
15.3 TheBianchimodels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
15.4 Theorthonormalframeapproachtothenon-tilted
Bianchimodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
15.5 The8modelgeometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15.6 Constructingcompactquotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
16 Israel’sFormalism:TheMetricJunctionMethod . . . . . . . . . . . . 439
16.1 Therelativistictheoryofsurfacelayers. . . . . . . . . . . . . . 439
16.2 Einstein’sfieldequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
16.3 Surfacelayersandboundarysurfaces . . . . . . . . . . . . . . 443
16.4 Sphericalshellofdustinvacuum . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
17 Brane-worlds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
17.1 Fieldequationsonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
17.2 Five-dimensionalbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . . 456
17.3 Solutionsinthebulk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
17.4 Towardsarealisticbranecosmology . . . . . . . . . . . . . . . 461
17.5 Inflationinthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
17.6 Dynamicsoftwobranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
17.7 Thehierarchyproblemandtheweaknessofgravity . . . . . . 469
17.8 TheRandall-Sundrummodels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
18 Kaluza-KleinTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
18.1 Afifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
18.2 TheKaluza-Kleinaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
18.3 Implicationsofafifthextradimension . . . . . . . . . . . . . . 485
18.4 Conformaltransformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
18.5 ConformaltransformationoftheKaluza-Kleinaction . . . . . 491
18.6 Kaluza-Kleincosmology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
VI APPENDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
A ConstantsofNature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
B PenroseDiagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
B.1 Conformaltransformationsandcausalstructure . . . . . . . . 505
B.2 Schwarzschildspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
B.3 deSitterspacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
C Anti-deSitterSpacetime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
C.1 Theanti-deSitterhyperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
x Contents
C.2 FoliationsofAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
n
C.3 GeodesicsinAdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
n
C.4 TheBTZblackhole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
C.5 AdS asthegroupSL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
3
D HowtoReadThisBook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
E SuggestedFurtherReading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
List of Problems
Chapter1
1.1 ThestrengthofgravitycomparedtotheCoulombforce . . . . 17
1.2 FallingobjectsinthegravitationalfieldoftheEarth . . . . . . . 17
1.3 Newtonianpotentialsforsphericallysymmetricbodies . . . . 17
1.4 TheEarth-Moonsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 TheRoche-limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 ANewtonianBlackHole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Non-relativisticKeplerorbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapter2
2.1 Twosuccessiveboostsindifferentdirections . . . . . . . . . . . 42
2.2 Length-contractionandtime-dilatation . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Fasterthanthespeedoflight? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Reflectionanglesofmovingmirrors . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Minkowski-diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6 Robb’sLorentzinvariantspacetimeintervalformula . . . . . . 44
2.7 TheDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.8 AbberationandDopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9 Atrafficproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.10 Thetwin-paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11 Workandrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.12 Muonexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.13 Cerenkovradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Chapter3
3.1 Thetensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Wedgeproductsofforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Contractionsoftensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Four-vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 TheLorentz-Abraham-Diracequation. . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapter4
4.1 Coordinate-transformations in a two-dimensional Euclidean
plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Covariantandcontravariantcomponents. . . . . . . . . . . . . 86
4.3 TheLevi-Civitásymbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4 Propertiesoftransformationsofabasis . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Dualforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.6 Wedgeproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
