Table Of ContentVerlag und Herausgeber danken Herrn Dr. H. ROHLANG, Aandschriftenabteilung der Niedersiichsischen
Staats- und Universitiitsbibliothek Gottingen, f1ir die Bereitstellung einer vollstiindigen Kopie der hand
schriftlichen Vorlesungsvorbereitung FELIX KLEINS (siehe auch die Seiten 140, 141, 142).
Das Foto auf Seite 4 stellte freundlicherweise das AIchiv flir Geschichte der N aturforschung und Medizin,
Deutsche Akademie der Naturforscher Leopoldina Halie/Saale, zur Verfligung (Matrikel-Mappe: 2581).
Der Verlag dankt au13erdem der Leipziger Universitiitsbibliothek (Au13enstelle an der Sektion Mathematik
der Leipziger Universitiit), insbesondere Frau I. LETZEL, flir vielfaltige Unterstiitzung.
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Ein1eitung in die analytische Mechanik : Vorlesung, gehalten in
Gottingen 1886/87 1 Felix Klein. Hrsg. und bearb. von
E. Dietzel und M. Geisler. Mit einem Beitr. von F. Konig. -
Stuttgart; Leipzig: Teubner, 1991
(Teubner-Archiv zur Mathematik; Bd. 15)
ISBN 978-3-8154-20l3-3 ISBN 978-3-322-92385-1 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-92385-1
NE: Klein, Felix; Konig, Fritz; Dietzel, Ernst [Bearb.); GT
TEUBNER-ARCH IV zur Mathematik· Band 15
ISSN 0233-0962
Das Werk einschlie13lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwertung au13erhalb der
engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzuliissig und strafbar. Das
gilt besonders f1ir Vervieifliltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ver
arbeitung in elektronischen Systemen.
© B. G. Teubner Verlagsgesellschaft mbA, Stuttgart· Leipzig 1991
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1991
Gesamtherstellung: INTERDRUCK Leipzig GmbH
Felix Klein
Einleitung
in die analytische Mechanik
Vorlesung, gehalten in Gottingen 1886/87
Herausgegeben und bearbeitet von E. DIETZEL und M. GEISLER
Mit einem Beitrag von F. KONIG
Der vorliegende Band enthiilt den Abdruck der bisher unveroffentlichten Vorlesung
"Einleitung in die analytische Mechanik", die FELIX KLEIN im Wintersemester
1886/87 gehalten hat. KLEIN, der immer auch Interesse fUr Physik zeigte, konnte
sich in seinem ersten Gottinger J ahr damit einen langgehegten Wunsch erfiillen.
Der Inhalt der Vorlesung entspricht etwa dem eines Anflingerkurses auf dem Ge
biet der theoretischen Mechanik. Der Text iiberzeugt auch heute noch durch seine
modeme und anschauliche DarsteHung und durch die vielen behandelten Bei
spiele. Als Quellen fUr die Herausgabe dieses Bandes dienten das Manuskript aus
dem N achlaB KLEINS und vor aHem eine handschriftliche Vorlesungsausarbeitung
seines Schiilers F. POCKELS.
B. G. Teubner Verlagsgesellschaft
Stuttgart· Leipzig 1991
The present volume is based on lectures with the title "Introduction to analytical
mechanics" given by FELIX KLEIN in the winter term 1886/87. KLEIN, who was also
interested in physics, was able in his fIrst year in G6ttingen to achieve his long
standing ambition to give such a course. Its content corresponds to a course for be
ginners in the fIeld of theoretical mechanics. The text also impresses us today by its
modem and clear representation and the many examples discussed. The manu
script of KLEIN and above all the notes of his pupil F. POCKELS serve as the basis for
this volume.
a
Le present volume contient la reproduction des cours intitules « Introduction la
mecanique analytique» donnes par FELIX KLEIN pendant Ie semestre d'hiver
1886/87. KLEIN, qui montrait toujours un interet particulier pour la physique, put
realiser avec ces cours un projet qu'il caressait depuis longtemps.
a a
Le contenu correspond peu pres un cours d'introduction sur la mecanique
theorique. Le texte est, aujourd'hui encore, tres convaincant de par une presenta
tion modeme et intuitive et de par de nombreux exemples traites. Le manuscript de
KLEIN et surtout les notes prises pendant les cours par son etudiant F. POCKELS sont
les sources qui ont ete utilisees pour ce volume.
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KOM <P. IIoKKeJIbcoM.
Geleitwort
In vergangenen Jahrhunderten war die enge Verbindung zwischen Mathematik und
Physik eine Selbstverstandlichkeit, gleichermaBen fUr Mathematiker und Physiker.
Erst zu Beginn unseres J ahrhunderts ging dieser innige Kontakt verloren, Mathe
matiker und Physiker wandelten auf getrennten Wegen. Natiirlich gab es riihmliche
Ausnahrnen, allen voran die Verwendung der (pseudo-)Riemannschen Geometrie
in der Allgemeinen Relativitatstheorie durch A. EINSTEIN und die Schaffung der ab
strakten Hilbertraumtheorie als Grundlage der Axiomatisierung der Quantenme
chanik durch J. v. NEUMANN.
Die normalen Mathematiker und Physiker betrachteten diese Geniestreiche ihrer
GroBen mit ehrfurchtsvoller Bewunderung und einer hieraus resultierenden ange
messenen Distanz. Erst in den letzten 20-30 Jahren iinderte sich das: Modeme
Hilfsmittel der Mathematik dringen in die Physik ein und pragen mehr und mehr
das Bild der heutigen theoretischen Physik. Parallel dazu setzte eine Riickbesin
nung ein, gemaB einer Bemerkung von A. N. KOLMoGORov, wonach die Alten
eigentlich schon Alles gewuBt haben. Besonderes Interesse findet hierbei F. KLEIN,
nicht nur wegen der Originalitat seiner Beitrage zur Mathematik, sondem auch we
gen seiner bis ins Detail ausgefeilten Vorlesungen. Seine hier vorgelegte Analyti
sche Mechanik ist dafUr ein gutes Beispiel. Sie zeigt aber auch die enge Verbin
dung von Mathematik und Physik, wie sie zu jener Zeit durchaus iiblich war.
Die Lektiire mathematischer Werke der Vergangenheit ist oft miihsam: Die Sym
bolik hat sich gelindert, die Gewichte innerhalb der Mathematik haben sich ver
schoben, und vieles ist einfach aus der Mode gekommen. Gelegentlich stellt man
aber auch mit einer gewissen Verbliiffung fest, wie aktuell und leicht verstandlich
Mathematik ist, die vor iiber 100 Jahren zu Papier gebracht wurde. Der hier vorge
legte Band ist dafUr ein bemerkenswertes Beispiel. Auch der heutige Mathematiker
und Physiker, nicht nur der historisch interessierte, kann der Darstellung leicht fol
gen und Wissen erwerben, das auch heute niitzlich ist. Weitere Einzelheiten zum
Buch und zur Einordnung in das Gesamtwerk von F. KLEIN kann man dem lesens
werten Vorwort der Herausgeber sowie dem Beitrag von F. KONIG entnehmen. Dem
Verlag gebiihrt der Dank, sich dem Werk von F. KLEIN in besonderer Weise ange
nommen zu haben.
Jena, Juli 1990 HANS TRIEBEL
Inhalt
Vorwort der Herausgeber ............................. 6
F. Klein: Einleitung in die analytische Mechanik. Vorlesung, gehalten in Got-
tingen 1886/87 11
Literatur . 11
I. Statik . 12
II. Dynamik . 41
Il.a. Dynamik des Massenpunktes . 41
I1.b. Dynamik von Punktsystemen . 81
I1.c. Dynamik starrer Korper . 90
I1.d. Momentankriifte . .127
I1.e. Reibung . . . . . .133
I1.f. D' Alembertsches Prinzip . 138
Historische Notizen ..... . . 143
F. Konig: Felix Klein und die analytische Mechanik. Einige historische An-
merkungen . . . . . . . . . . 145
Namen-und Sachverzeichnis .154
Vorwort der Herausgeber
Erneut wird im "TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik" eine Vorlesung des bedeu
tend en Mathematikers FELIX KLEIN ediert. Standen bisher KLEINS funktionentheo
retische Arbeiten im Mittelpunkt, so solI hier eine weitere Seite seines Schaffens
aufgezeigt werden: die Physik.
Er selbst hat dazu rUckblickend geschrieben: "Ostern 1886 bin ich endgUltig
nach Gottingen zurUckgekehrt. Ich erfaBte wieder ein neues Arbeitsprogramm. Da
Schwarz neben mir den Hauptteil des Unterrichts bestritt, konnte ich die alten
Ideen meiner Bonner Studienzeit erneut aufnehmen und mich der Physik wieder
annlihern, indem ich allgemeine Vorlesungen uber Mechanik, Potentialtheorie
usw. hielt" (KLEIN, F.: Gesammelte mathematische Abhandlungen, 2. Band. Berlin:
Springer-Verlag 1922, S.259.)
KLEINS Vorlesung "Einleitung in die analytische Mechanik" stammt aus dem
Wintersemester 1886/87, also gleich aus seinem ersten Jahr an der Gottinger Uni
versitlit. Er behandelt darin wesentliche Inhalte der theoretischen Mechanik, wie
sie auch heute noch in allen einschlligigen Lehrbuchern zu finden sind. Dem Leser
wird deutlich, daB die "moderne" Forderung, fUr Mathematiker ein breites natur
wissenschaftliches Studium anzustreben, keineswegs erst in unseren Tagen erhoben
worden ist.
Zur Herausgabe dieses Bandes standen uns zwei Quellen zur Verftigung: die Ko
pie der Vorlesungsvorbereitung von FELIX KLEIN und eine sehr gewissenhaft abge
faBte, ebenfalls handschriftlich vorliegende Ausarbeitung dieser Vorlesung, die von
FRIEDRICH POCKELS, einem SchUler KLEINS, angefertigt wurde. Das Original der
Kleinschen Vorbereitung wird in der Handschriftenabteilung der Niederslichsi
schen Staats-und Universitlitsbibliothek in Gottingen aufbewahrt. Die handschrift
liche Ausarbeitung von F. POCKELS wurde der Universitlit Jena durch eine Schen
kung von Prof. Dr. ROBERT HAUSSNER, der bis 1934 Direktor des Mathematischen
Instituts war, zur Verftigung gestellt. Wir haben uns eng an diesen nahezu druckrei
fen Text von POCKELS gehalten, und es ist nicht auszuschlieBen, daB bereits damals
eine Veroffentlichung geplant war. Charakteristisch fUr KLEINS Wirken als Hoch
schullehrer war, daB er seine SchUler nachhaltig inspirierte: "Auf dem Gebiete der
Differentialgleichungen mogen neb en meinen weiteren Aufslitzen uber Lamesche
Funktionen, hypergeometrische Funktionen und Oszillationsfragen hier gleich fol
gende zwei Bucher genannt werden: Pockels, Uber die partielle Differentialglei
chung au + k2u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik (Leipzig
1891), und Bocher, Uber die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie (Leipzig
1894), welche beide aus von mir gehaltenen Vorlesungen entstanden sind, wie die
Verfasser im einzelnen belegen, und von denen ich das erste auBerdem mit eigenen
Bemerkungen versehen habe" (a. a. 0., S. 507f.).
Editionsprinzipien
Bei der Publikation von historischen Manuskripten stehen die Herausgeber natur
gemliB vor folgendem Problem: einerseits solI dem Leser der Zugang nicht durch
Vorwort der Herausgeber 7
Sprachhiirden in Gestalt heute ungebrauchlicher Orthographie und Ausdruckswei
sen verstellt werden, andererseits ist es ebenso reizvoll wie notwendig, den Zeitgeist
der Arbeiten zu erhalten.
Die Entscheidung iiber das "Wie" ist also stets ein KompromiB und zudem eine
Geschmacksfrage. Wir haben in der vorliegenden Ausgabe die Orthographie dem
heutigen Standard angepaBt, Satzbau und Wortwahl jedoch - bis auf wenige Aus
nahmen - nicht verlindert. Dieser "Weg der Mitte" bringt es mit sich, daB hier ei
nige der damals iiblichen Begriffe aus der theoretischen Mechanik verwendet wer
den, die inzwischen durch glinzlich andere ersetzt worden sind. So fmden sich
beispielsweise in vorliegendem Text lebendige Kraft flir kinetische Energie, Krafte
funktion flir potentielle Energie, Bewegungsquantitat flir Impuls, Impulsmoment
flir Drehimpuls, impulsives Paar flir Drehmoment usw. Eine "Ubersetzung" in die
gebrauchliche Terminologie findet der Leser im Sachwortverzeichnis, das auf dem
Originaltext basiert. Nur in einem Fall haben wir die heute miBverstlindliche Be
zeichnung Integralgleichung flir die LOsung einer Differentialgleichung durch den
Ausdruck "integrierte Gleichung" ersetzt.
Die instruktiven Skizzen, von POCKELS mei'st auf dem Rand plaziert, wurden an
den entsprechenden Stellen im Text untergebracht. Eine nachtragliche Numerie
rung erfolgte nicht, weil auf die Skizzen im Text nicht verwiesen wird. Die Gestal
tung der Abbildungen folgt ganz dem Original. Eine Modemisierung haben wir ver
mieden, auch wenn die Verwendung des Linkssystems flir Raumkoordinaten dem
akademischen Rechtshlinder ungewohnlich erscheinen mag. Ebenso ist die Nume
rierung der Formeln unverandert beibehalten worden. Die Schreibweise von For
meln und die Symbolik blieben ebenfalls ohne Anderung. Die gehaufte Mehrfach
benutzung von Symbolen - beispielsweise steht T, otIenbar ein Lieblingsbuchstabe
des Verfassers, flir kinetische Energie, Periodendauer, Tragheitsmoment und Span
nung - ist auch in modemen Fachtexten keine Seltenheit. AuBerdem haben wir
das Unterstreichen von einzelnen BegritIen im wesentlichen iibemommen. Weiter
hin geht die Hervorhebung wichtiger Aussagen durch Anflihrungsstriche auf
F. POCKELS zurUck. KLEINS bibliographische Angaben zu Beginn des Manuskriptes
wurden stillschweigend hinsichtlich Erscheinungsort und -jahr vervollstlindigt.
Inhaltliches und Stilistisches
Inhalt und Darstellung der theoretischen Mechanik in dieser Vorlesung FELIX
KLEINS weichen in mehreren Punkten von der heute in Physikerkreisen gebrauchli
chen, praktisch kanonisierten Form abo Beispielsweise fehlen der Lagrange 1- und
Lagrange II-Formalismus. Da die Vorlesung vor etwa 100 Jahren entstanden ist,
sucht man auch die Verwendung des heute nur bei Strafe verschweigbaren Varia
tionsprinzips und die damit eng verkniipfte Hamilton-Jacobi-Theorie vergebens.
Zwar hatten EULER, LAGRANGE, JACOBI und HAMILTON die Integralprinzipien der
Mechanik aufgespiirt, allgemeinen Einzug in das Bildungsprogramm von Physikem
und Mathematikem hielt dieses Konzept jedoch erst allmahlich um die Jahrhun
dertwende. Der daflir mitverantwortliche "Bestseller" von H. HERTZ "Die Prinzipien
der Mechanik" erschien 1894 in Leipzig. Auch ein Hinweis auf die mittlerweile zur
Selbstverstandlichkeit gewordene Beziehung zwischen Symmetrie der Lagrange
funktion und Erhaltungssatzen muB fehlen, weil die entscheidende Idee von EMMY
NOETIlER erst etwa zwei Jahrzehnte spater geliefert wurde.
8 E. DIETZEUM. GEISLER
Statt des sen fmdet der Leser, gleichsam als ausgleichende Gerechtigkeit, sehr
viele durchgerechnete Anwendungsbeispiele in bemerkenswerter AusfUhrlichkeit.
Probleme der Planetenbewegung, der EinfluB der Erdrotation auf Bewegungen
nahe der Erdoberflache sowie das Kreiselproblem werden urnfassend erortert. Die
griindliche und praxisorientierte Darstellung der Statik ist fast eine Raritat und
wird heute keinem Physikstudenten mehr geboten.
KLEIN stellt den Stoff in streng induktiver Manier dar und arbeitet sich behutsam
bis zum d' Alembertschen Prinzip vor. Besondere Betonung verdient die geome
trisch-anschauliche Methode, mit der er den Leser mit der Materie vertraut Macht
und die didaktisch sehr iiberzeugend wirkt. Durch zahlreiche Wiederholungen, ins
besondere von Formeln, ist der Text ungewohnt, aber wohltuend redundant. Einer
miihevollen Suche nach friiher Hergeleitetem braucht sich der Leser auf keiner
Seite zu unterziehen.
Am zeitgenossischen Geschmack gemessen, erscheint die begriffiiche Strenge
gelegentlich unterentwickelt. Der Vektorbegriff wird z. B. nur grob anschaulich ein
gefUhrt, zum Teil findet man keine saubere Trennung zwischen Vektor, Betrag des
selben, Komponenten usw. Der Umgang mit Differentialen erschreckt den sensi
bIen Mathematiker gelegentlich, ist aber heute noch gangige Physikermanier (und
das nicht ohne Grund!). Haufig wird auch zwischen Summation diskreter GroBen
und Integration nicht unterschieden, ohne damit jedoch die Klarheit der Darstel
lung zu beeintrachtigen. Auch die Behandlung der virtuellen Verriickungen er
scheint mitunter etwas lax.
Mit einer zum Teil umstandlichen Formelschreibweise, etwa dem Verzicht auf
die kompakte Schreibweise mit Vektoren, Kreuzprodukt usw., fmdet man sich ge
wiB schnell abo Der vorgebildete Leser wird den Begriff des Tragheitstensors vermis
sen, lemt dafUr jedoch ungewohnlich viel iiber die Mysterien der Kreiselbewe
gung.
Bemerkungen zum potentiellen Leserkreis
Zum Verstandnis der vorliegenden Vorlesung sind im wesentlichen nur Grund
kenntnisse aus der Differential- und Integralrechnung, aus der analytischen Geo
metrie und iiber gewohnliche Differentialgleichungen erforderlich. Physikalische
Vorkenntnisse, die den Schulstoff iibersteigen, werden praktisch nicht benotigt.
Das Macht den Text fUr Mathematik- und Physikstudenten, aber auch fUr interes
sierte SchUler, zu einem lesbaren und interessanten Einstieg in die theoretische
Mechanik.
Moglich erscheint auch, daB angehende Ingenieure gem zu dieser Vorlesung
greifen, die in einem problemorientierten StH geschrieben ist und einen relativ um
fanglichen, heute noch sehr interessanten Statikpart enthalt. Auch der weniger wis
senschaftshistorisch interessierte Mathematiker oder Physiker findet in diesem Ma
nuskript zahlreiche liebevoll und griindlich durchgerechnete Beispiele, die in
modemen Darstellungen aus Platzgriinden oft nicht zu find en sind.
Jena, Juni 1990 ERNST DIETZEL
MICHAEL GEISLER
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Titelseite der handschriftlichen Ausarbeitung von F. POCKELS
