Einführung in die Zahlentheorie [Lecture notes]

126 Pages·2006·0.582 MB·German

by  Peter Hellekalek

6
Peter Hellekalek .
1
Einfu¨hrung in die Zahlentheorie

f
Skriptum
r
3. August 2006
u
w
t
n
E
6
.
1

f
r
u
w
t
n
E
6
Inhaltsverzeichnis
.
1
1 Teilbarkeit................................................ 1
1.1 Grundlagen............................................ 1

1.2 Division mit Rest....................................... 2
1.3 Gr¨oßter gemeinsamer Teiler.f............................. 4
1.4 Euklidischer Algorithmus................................ 9
1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie ....................... 13
1.6 Primzahlen ..........r.................................. 21
2 Zahlentheoretische Funktionen............................ 35
2.1 Das gr¨oßte Ganze u...................................... 35
2.2 Multiplikative Funktionen ............................... 36
2.3 Die M¨obiussche µ-Funktion .............................. 37
2.4 Die Eulersche ϕ-Funktion................................ 40
w
3 Kongruenzen ............................................. 45
3.1 Grundlegende Definitionen............................... 45
3.1.1 Ausflug in die Ringtheorie ......................... 50
3.2 Lineare Kongruenzen und der chinesische Restsatz.......... 67
3.3 Die S¨atze von Fermat und Euler.......................... 73
3t.3.1 Ausflug in die Kryptographie ...................... 76
3.3.2 Das RSA-Verfahren............................... 83
3.4 Algebraische Kongruenzen und ein Satz von Lagrange....... 86
n
3.5 Untergruppen und der Satz von Lagrange ................. 89
3.6 Zyklische Gruppen...................................... 91
3.7 Die Struktur der primen Restklassengruppe................ 95
E
6
VI Inhaltsverzeichnis
4 Diophantische Approximation ............................ 99
4.1 Die b-adische Entwicklung natu¨rlicher Zahlen .............. 101
4.1.1 Primzahlen mit vorgegebener Stellenanzahl .......... 103
.
4.2 Die b-adische Entwicklung reeller Zahlen................... 106
4.2.1 Die Cantormenge C .............................. 110
1
4.3 Kettenbru¨che .......................................... 112
Literatur ..................................................... 121

f
r
u
w
t
n
E
6
1 Teilbarkeit
.
1
1.1 Grundlagen

Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
N= 1,2,3,... fMenge der natu¨rlichen Zahlen
{ }
Z= ..., 1,0,1,... Menge der ganzen Zahlen
{ − }
p
Q= :p Z,q N Menge der rationalen Zahlen
q ∈ ∈
(cid:26) (cid:27) r
R= ? Menge der reellen Zahlen
{ }
C= a+ib:a,b R Menge der komplexen Zahlen
{ ∈ }
u
DieEigenschaftenvonNwerdenindieserVorlesungnichthinterfragt.Grund-
lage des Rechnens mit natu¨rlichen Zahlen bilden die Peano-Axiome.
Das Fragezeichenbei den reellen Zahlen steht zu Recht. Es ist nicht einfach,
die reellen Zahlen pr¨azise einzufu¨hren. Die Kl¨arung dieser Frage ist nicht
Gegenstand der Zahlentheorie.
w
Bemerkung 1.1 (Peano-Axiome)
Fu¨r Details wird auf das Buch von Forster[10] verwiesen.
Unter den natu¨rlichen Zahlen verstehen wir eine Menge N mit einem ausge-
zeichnetenElement1 NundeinerAbbildungν :N N,Nachfolgefunktion
∈ →
genannt, so daß folgende Axiome gelten:
1. ν ist injektiv
2. ν(N)=tN 1
\{ }
3. Axiom der vollst¨andigen Induktion:
SeinM N mit 1 M und x M ν(x) M, dann gilt M =N.
⊂ ∈ ∈ ⇒ ∈
Fu¨r natu¨rliche Zahlen x und y mit ν(x) = y sagen wir, y ist der Nachfolger
von x und x der Vorg¨anger von y.
Bemerkung 1.2 Esgiltdann(erstaunlicherweise,beisowenigenAxiomen!)
E
6
2 1 Teilbarkeit
1. Das Element 1 hat keinen Vorg¨anger.
2. Die natu¨rlichen Zahlen sind angeordnet, d.h. fu¨r beliebige x,y N gilt
∈
genau eine der folgenden Beziehungen:
.
x<y x=y x>y
wobei x<y“ folgendermaßen definiert ist:
” 1
t N: x+t=y
∃ ∈
3. EsfolgennochweitereEigenschaftenvonNausdenPeano-Axiomen,un-
ter anderem lassen sich Addition und Multiplikation in N erkl¨aren:

Addition: n+ν(x):=ν(n+x)
n+1:=ν(n)
f
Multiplikation: n ν(x):=n x+n
· ·
n 1:=n
·
r
Satz 1.3 (Wohlordnungsprinzip)
SeiM einenichtleereTeilmengevonN.DannbesitztM einkleinstesElement.
u
1.2 Division mit Rest
Definition 1.4 (Teiler, Primzahl, zusammengesetzte Zahl)
Seien a,b,c Z.
∈
w
1. EinevonNullverschiedeneZahlbteilta(inKurzschreibweise:b a),wenn
|
eine Zahl c existiert, sodaß a = b c ist. Man sagt, b ist ein Teiler von a
·
und a ein Vielfaches von b.
b a : c mit a=b c
| ⇔ ∃ ·
2. Die Zahl b heißt ein echter Teiler von a, wenn b a und 1< b < a.
| | | | |
3. Einenattu¨rlicheZahlp>1heißteinePrimzahl,wenn1undpdieeinzigen
natu¨rlichen Zahlen sind, die p teilen.
4. Das Produkt zweier ganzer Zahlen, die dem Betrage nach gr¨oßer als 1
sindn, heißt eine zusammengesetzte Zahl.
Beispiel 1.5 Es gilt
1. Die Zahl 220996011 1 ist prim.
−
(Frage: Wie kommt man auf so ein Resultat?)
E
6
1.2 Division mit Rest 3
2. Die Zahl 2220996011 1 ist nicht prim.
−
(Gleiche Frage)
3. Die Zahl 101001000100001000001ist zusammengesetzt.
(Warum?) .
4. Die folgende Zahl
1
12301866845301177551304949583849627207728535695953
34792197322452151726400507263657518745202199786469
38995647494277406384592519255732630345373154826850
79170261221429134616704292143116022212404792747377
94080665351419597459856902143413

ist angeblich zusammengesetzt und soll nur zwei Primfaktoren besitzen.
Wie lauten diese?
Die Antwort ist zur Zeit noch USD 50.000,- wert, siehe den Link
f
www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html
Definition 1.6 Sei α R, dann bezeichnet
∈
r
[α]:=max g Z:g α
{ ∈ ≤ }
das gr¨oßteGanze vonα. Inder Informatikverwendetmanin diesemZusam-
menhang die Funktionen floor und ceiling:
u
α :=max g Z:g α
⌊ ⌋ { ∈ ≤ }
α :=min h Z:α h
⌈ ⌉ { ∈ ≤ }
Bemerkung 1.7
w
α R: [α] α<[α]+1
∀ ∈ ≤
Der folgende Satz ist einfach zu beweisen, jedoch von großer Bedeutung fu¨r
die Arithmetik ganzer Zahlen.
Satz 1.8 (Division mit Rest)
Fu¨r a Z und b N gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit
∈ ∈
ta=q b+r, 0 r <b.
· ≤
Beweis. Zur Existenz von q und r:
n
a a a
0 <1 0 a b<b.
≤ b − b ⇒ ≤ − b ·
h i h i
Wir w¨ahlen q = [a/b] und r = a [a/b] b. Damit ist die Existenz der
− ·
gewu¨nschten Darstellung gezeigt.
E
6
4 1 Teilbarkeit
Zur Eindeutigkeit von q und r:
SeienzweiZahlenpaareq,r undq ,r gegeben,diejeweilsdieobengenannten
′ ′
Eigenschaften besitzen. Dann gilt
a=bq+r =bq +r . .
′ ′
Es folgt unmittelbar:
1
b(q q )=r r.
′ ′
− −
Es gilt also: b teilt die Differenz r r. Da aber r r < b gilt (wegen
′ ′
− | − | | |
0 r <b und 0 r <b), erhalten wir die Gleichheit r =r . Es folgt q =q
′ ′ ′
un≤d damit die Ei≤ndeutigkeit der Darstellung. 2

Satz 1.9 (Division mit absolut kleinstem Rest)
Fu¨r a Z und b N gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r,
∈ ∈ f
sodaß a=q b+r und b/2 r<b/2 gilt.
· − ≤
Beweis. U¨bungsaufgabe 2
r
1.3 Gr¨oßter gemeinsamer Teiler
u
Definition 1.10 (Gr¨oßter gemeinsamer Teiler)
Seien a und b zwei von Null verschiedene ganze Zahlen. Dann heißt eine
natu¨rliche Zahl d ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler (ggT) von a und b, wenn
gilt:
w
1. d ist gemeinsamer Teiler von a und b, also d a und d b.
| |
2. Jeder andere gemeinsame Teiler von a und b teilt d.
(In Symbolen: e a e b e d)
| ∧ | ⇒ |
Frage 1.11
1. Gibt es u¨berhaupt eine solche Zahl (a,b)?
2. Wenn jta, ist diese eindeutig bestimmt?
Bemerkung 1.12 Wenn ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler von a und b exi-
stiert, dann ist er eindeutig bestimmt.
n
Denn: Seien d und d zwei gr¨oßte gemeinsame Teiler von a und b. Dann gilt
′
d aundd b.Dad eingr¨oßtergemeinsamerTeilervonaundbist,folgtd d.
′ ′
| | |
Auf analoge Weise erhalten wir d d. Da d und d natu¨rliche Zahlen sind,
′ ′
|
folgt d = d.
′
E
6
1.3 Gr¨oßter gemeinsamer Teiler 5
Bemerkung 1.13 (Bezeichnung)
Wirbezeichnendengr¨oßtengemeinsamenTeilervonaundbmitdemSymbol
(a,b).
Definition 1.14 (Modul) .
Eine nichtleere Teilmenge M vonZ, die bezu¨glich Addition und Subtraktion
abgeschlossenist, heißt ein Modul in Z. Die Menge 0 heißt Nullmodul.
1{ }
Bemerkung 1.15 Wir merken an:
1. Ein Modul in Z ist also eine Untergruppe der additiven Gruppe (Z,+).
2. Das Element 0 ist in jedem Modul enthalten.
3. Fu¨r a,b Z sind
∈
ma+nb:m,n Z
{ ∈ }
und insbesondere
f
ma:m Z
{ ∈ }
Moduln.
4. IstM einModulundgilta,b M,dannfolgtma+nb M fu¨rbeliebige
∈r∈
ganze Zahlen m und n.
Proposition 1.16 Zu jedem Modul M = 0 existiert eine eindeutig be-
6 { }
stimmte Zahl d N, sodaß
∈ u
M = kd:k Z .
{ ∈ }
Beweis. Existenz von d:
Sei d = min g N : g M . Fu¨r ein beliebiges Element n M gilt dann
{ ∈ ∈ } ∈
nach Satz 1.8 (Division mit Rest): es gibt ganze Zahlen q und r mit
w
n=qd+r und 0 r <d.
≤
Da M ein Modul ist, liegt qd und damit auch die Differenz n qd=r in M.
−
W¨are r 1, so stu¨nde dies im Widerspruch zur Minimalit¨at von d (wegen
≥
r <d). Somit ist r =0. Es folgt M = kd:k Z .
{ ∈ }
Eindeutigkeit:
Seien d und e zwei natu¨rliche Zahlen mit der Eigenschaft, daß beide den
gleichen Mtodul M erzeugen, M = kd:k Z = je:j Z . Dann gilt
{ ∈ } { ∈ }
d=min g N:g M =min je:j N =e.
{ ∈ ∈ } { ∈ }
n 2
Korollar 1.17 ZujezweiganzenZahlenaundb,dienichtbeidegleichNull
sind, existiert ein gr¨oßter gemeinsamer Teiler (a,b). Wie wir bereits wissen,
ist (a,b) dann eindeutig bestimmt.
E
6
6 1 Teilbarkeit
Beweis. Zu M = ma+nb : m,n Z = 0 gibt es laut vorangegangener
{ ∈ } 6 { }
Proposition eine eindeutig bestimmte natu¨rliche Zahl d, sodaß M = kd :
{
k Z . Da a und b selbst in M liegen, gibt es ganze Zahlen s und t mit
∈ }
a=sd und b=td. .
Folglichist d ein gemeinsamer Teiler vona und b. Sei nun e N ein weiterer
∈
gemeinsamer Teiler von a und b. Dann gilt e ma1+nb fu¨r alle m,n Z und
daher e d. Daraus folgt d=(a,b). | ∈ 2
|
Bemerkung 1.18 (Zusammenfassung zum ggT)
Fu¨r den gr¨oßten gemeinsamen Teiler (a,b) gilt:

1. Teilt e zwei Zahlen a und b, dann teilt e auch (a,b).
2. Fu¨r beliebige m,n Z gilt: (a,b) ma+nb.
∈ |
f
3. Es gibt m ,n Z, sodaß (a,b)=m a+n b.
0 0 0 0
∈
4. DividiertmanzweiZahlenaundbdurchihrenggT,sogiltfu¨rdiedaraus
resultierenden Quotienten a :=a/(a,b) und b :=b/(a,b) die Aussage
∗ ∗
r
(a ,b )=1.
∗ ∗
Definition 1.19 (Relativ prim, teilerfremd)
Zwei Zahlen heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn ihr gr¨oßter gemein-
u
samer Teiler gleich Eins ist.
Definition 1.20 (Lineare diophantische Gleichung)
Unter einer linearen diophantischen Gleichung in zwei Variablen verstehen
wir eine Gleichung der Form
wax+by =c
mit gegebenen ganzen Zahlen a, b und c.
Proposition 1.21 (L¨osbarkeitsbedingung)
Die lineare diophantische Gleichung ax+by = c mit Parametern a,b,c Z
∈
besitzt genau dann eine ganzzahlige L¨osung, wenn die folgende L¨osbarkeits-
bedingung erfu¨llt ist:
t(a,b) c.
|
Beweis. Wenn eine der beiden Zahlen a oder b (oder beide) gleich Null sein
sollte, dnann ist die Gleichung uninteressant. Seien daher beide Zahlen a und
b vonNull verschiedenund sei (x ,y ) eine ganzzahligeL¨osung der diophan-
0 0
tischen Gleichung. Wegen (a,b) ax +by gilt (a,b) c.
0 0
| |
Sei umgekehrt (a,b) c vorausgesetzt. Es gibt also g Z mit c = g (a,b).
| ∈ ·
Wir wissen, daß sich (a,b) fu¨r geeignete m ,n Z schreiben l¨aßt als
0 0
∈
E