Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie als Theorie der Typizität: Mit einer Analyse des Zufalls in Thermodynamik und Quantenmechanik

274 Pages·2017·4.42 MB·German

by  Detlef Dürr

Detlef Dürr
Anne Froemel
Martin Kolb
Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie
als Theorie der Typizität
Mit einer Analyse des Zufalls
in Thermodynamik
und Quantenmechanik
Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie
als Theorie der Typizität

Detlef Dürr (cid:129) Anne Froemel (cid:129) Martin Kolb
Einführung in die
Wahrscheinlichkeitstheorie
als Theorie der Typizität
Mit einer Analyse des Zufalls
in Thermodynamik und
Quantenmechanik
DetlefDürr MartinKolb
MathematischesInstitut FakultätfürMathematik
UniversitätMünchen UniversitätPaderborn
München,Deutschland Paderborn,Deutschland
AnneFroemel
MathematischesInstitut
UniversitätMünchen
München,Deutschland
ISBN:978-3-662-52960-7 ISBN:978-3-662-52961-4(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-52961-4
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Vorwort
Dieses Buch richtet sich an alle, die in ihrer wissenschaftlichen Arbeit, sei es
während des Studiums oder in einem anderen Arbeitsumfeld, mit dem Begriff
der Wahrscheinlichkeit hantieren müssen. Um diesem Anspruch gerecht zu wer-
den, beginnt das Buch mit schulischer Wahrscheinlichkeitsrechnung und geht die
notwendigen Schritte, die zu einem fortwährend tieferen Verständnis bis hin zur
sogenanntenAxiomatikderWahrscheinlichkeitstheoriedurchKolmogorovführen.
Im Vordergrund des Buches stehen also die Antworten auf die Fragen nach dem
„Warum“ und nicht die Fragen nach dem „Wie“. Über Letzteres gibt es Bücher
in Hülle und Fülle, wobei jedoch erfahrungsgemäß die ausreichende Klärung des
„Warum“genügt,ummitdem„Wie“zurechtzukommen.WesentlichfürdieGenesis
derWahrscheinlichkeitstheorieistdieEinsicht,dassZufallsexperimentetatsächlich
stattfinden. Sie unterliegen damit den deterministischen Gesetzen der Physik. Um
zueinerHarmoniezwischenDeterminismusundZufallzukommen,istderBegriff
derTypizitäthilfreich,wennnichtgarwesentlichundnotwendig.
Vorkenntnisse in Analysis werden in diesem Buch vorausgesetzt. Ebenso hilf-
reich ist eine physikalische Grundausbildung für das Verständnis der am Ende
stehendenPhysik-Kapitel.
Viele grundlegende Gedanken aus diesem Buch entwickelten sich aus der
gemeinsamen Arbeit von Detlef Dürr und seinen Koautoren und Freunden Jean
Bricmont,SheldonGoldstein,ReinhardLang,TimundVishnyaMaudlinundNino
Zanghì. Ihnen und vielen anderen, die ungenannt bleiben müssen, um nicht den
RahmeneinesVorworteszusprengen,gebührtderDankfürdiesteteBereitschaft,
zuzuhören,mitzudenkenundinsbesonderevorzudenken.
BeiderVorbereitungdesBuchesprofitiertenwirvonengagiertenStudierenden,
dieneugieriggenugwaren,umüberdenTellerrandeinerDefinition-Satz-Beispiel-
Vorlesung zu schauen, und mit uns der „genetischen“ Entwicklung der mathe-
matischen Disziplin „Wahrscheinlichkeitstheorie“ folgten. Aus dieser Anfangszeit
gebührtinsbesondereHerrnWalterFußederDank,derdasersteSkript,ausdemdas
Buchentstand,verfasste,sowieMonikaHamberger,diemitgroßemEiferdasSkript
weiterentwickelte.
Kein Buch, von Menschen geschrieben, ist ohne Fehler: manchmal schlimme
Fehler, manchmal peinliche Fehler, manchmal dumme Tippfehler. Dass dieses
v
vi Vorwort
Buch nur nochwenige davon enthält,verdanken wirnahezu ausschließlich Phillip
Grass, Günter Hinrichs und Nikolai Leopold, die uns akribisch und mit höchstem
SachverstandunsereGrenzenaufgezeigthaben.IhnengebührtgrößteAnerkennung
fürihreHilfe.
Unser Editor Andreas Rüdinger hat mit großer Bereitschaft mit uns über die
InhaltediskutiertundunsanvielenStellenzumNachdenkenundzuVerbesserungen
gebracht.Wirsindglücklich,ihnalsEditorzurSeitezuhaben,undunserDankgeht
anihnunddenSpringerSpektrumVerlag.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung .................................................... 1
1.1 Leitlinien................................................ 2
1.2 MathematischeBehandlung................................. 3
1.3 TypizitätundPhysik....................................... 7
2 Jedermanns-Wahrscheinlichkeit................................. 9
2.1 Laplace-Wahrscheinlichkeit................................. 9
2.2 UrnenmodelleundKombinatorik ............................ 13
2.2.1 m-Tupel ......................................... 13
2.2.2 m-Variationen..................................... 15
2.2.3 m-elementigeTeilmengen........................... 16
2.2.4 m-KombinationenmitWiederholungen................ 18
2.2.5 Anmerkungen..................................... 19
2.2.6 DerBinomialkoeffizient ............................ 20
2.3 Elementarereignisse–einschwierigesKonzept................. 24
2.4 BedingteWahrscheinlichkeit................................ 27
2.5 Unabhängigkeit .......................................... 28
2.5.1 Jedermanns-Unabhängigkeit......................... 28
2.5.2 Unabhängigkeit–einschwierigesKonzept ............. 32
3 Typizität ..................................................... 35
p
3.1 DasGesetzvomMittelunddas n-Gesetz.................... 35
3.1.1 0-1-Folgen ....................................... 36
3.1.2 Empirik.......................................... 41
3.1.3 BisherigeErkenntnisse ............................. 43
3.2 Anhang ................................................. 44
4 ElementareEreignisse,Vergröberungen,
InhaltundeinWörterbuch...................................... 51
4.1 ElementareEreignisse ..................................... 51
4.2 VergröberungenundInhalt ................................. 52
4.2.1 Inhalt............................................ 54
4.2.2 Unabhängigkeit ................................... 55
4.2.3 EineinstruktiveRechnung .......................... 57
vii
viii Inhaltsverzeichnis
4.3 Wörterbuch .............................................. 59
4.4 VonderelementarenEbenezurEmpirik ...................... 62
4.5 DeterminismusundZufall.................................. 66
4.6 Beispiel:DasGalton-Brett.................................. 72
5 DerLebesguescheInhalt ....................................... 81
5.1 DasLebesguescheMaß .................................... 84
5.2 DasLebesguescheMaßintegral.............................. 94
5.2.1 Konvergenzsätze .................................. 98
5.2.2 Anwendung:Normalzahlen.......................... 99
5.3 Anhang .................................................103
6 DieKolmogorov-Axiome .......................................107
6.1 VerallgemeinerungdesWörterbuchs..........................108
6.2 Axiome .................................................111
6.3 ZufallsvektorenundProzesse ...............................112
6.4 Anhang .................................................116
7 EmpirischeGrößenundtheoretischeVoraussagen .................117
7.1 DerErwartungwert........................................120
7.2 Verteilung ...............................................124
7.3 DieVarianz..............................................126
7.4 DieerzeugendeFunktion ..................................129
7.5 DiecharakteristischeFunktion ..............................130
8 DasGesetzdergroßenZahlen ..................................135
9 DerzentraleGrenzwertsatz .....................................143
9.1 ZurAnwendungdeszentralenGrenzwertsatzes.................151
9.2 Fehlerrechnung...........................................154
10 DieBinomialverteilungundihreApproximationen.................157
10.1 DieBinomialverteilung ....................................157
10.1.1 ApproximationnachdeMoivreundLaplace............161
10.1.2 Approximation:DiePoisson-Verteilung ...............162
10.2 DerPoisson-Prozess.......................................165
10.2.1 ExponentielleWartezeit.............................167
10.2.2 Beispiel:DasidealeGas ............................169
11 BrownscheBewegung ..........................................181
11.1 DerBrownscheProzess ....................................191
11.2 Wärmeleitungsgleichung ...................................195
11.3 DerMarkovscheProzess ...................................196
11.4 Anhang .................................................198
12 HamiltonscheMechanikundTypizität ...........................201
12.1 DynamischeSystemeundStationarität........................201
12.2 NewtonscheMechanik.....................................202
12.3 HamiltonscheFormulierung ................................203
Inhaltsverzeichnis ix
12.4 KontinuitätsgleichungundTypizitätsmaß .....................204
12.5 StatistischeHypotheseundihreBegründung...................209
13 IrreversibilitätundEntropie ....................................215
13.1 IrreversiblePhänomene ....................................215
13.2 DieKritikanderreinenVernunft ............................222
13.3 DasProblemderIrreversibilität..............................226
13.4 Anhang .................................................229
14 QuantenmechanikundTypizität.................................235
14.1 OrthodoxeQuantentheorie..................................236
14.2 BohmscheMechanik ......................................238
14.3 Typizitätsanalyse .........................................244
14.4 HeisenbergscheUnschärfe..................................253
14.5 ExponentiellerZerfall .....................................258
14.6 BellscheUngleichung .....................................261
Stichwortverzeichnis ...............................................267