Table Of ContentDIETER WAGNER
Einfiihrung in die
Theorie des Magnetismus
DIETER WAGNER
Einftihrung in die
Theorie des Magnetismus
Mit 23 Bildern und 15 TabeIIen
Illl
SPRINGER FACI [MEDlEN W1ESBADEN GMBII
Das Kuratorium des Preisausschreibens zum
175jiihrigen Bestehen des Verlages hat dem
Verfasser fUr dieses Werk einen Preis zuerkannt
ISBN 978-3-322-98239-1 ISBN 978-3-322-98930-7 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-98930-7
1966
Aile Rechte vorbehalten
©
1966 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Orspriinglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1966
Vorwort
Das vorliegende Bueh enthlHt im wesentliehen den Inhalt einer Vor
lesung tiber die Theorie des Magnetismus, die sich an Studierende der
Physik von mittleren Semestern an wandte. In seinem Aufbau folgt
das Bueh der nattirlichen Einteilung der magnetisehen Substanzen,
d. h. es werden zuerst der Diamagnetismus, dann der Paramagnetismus
und zum SehluB der Ferromagnetismus bzw. Antiferro- und Ferri
magnetismus behandelt. NaturgemaB bringt es der besehrankte Umfang
des Buehs mit sich, daB einige Teilgebiete des Magnetismus weniger
ausftihrlieh behandelt werden als andere. So liegt im ersten Teil des
Buehs der Akzent auf dem de Haas-van Alpheneffekt, der ftir das
Verhalten der Elektronen im Kristall auBerst instruktiv ist. 1m zweiten
Teil ist das Sehwergewieht auf dem EinfluB des Kristallfelds auf den
Paramagnetismus der Atome und den damit verbundenen Problemen
(Kramers-Theorem, adiabatisehe Entmagnetisierung, paramagnetisehe
Resonanz usw.) gelegt worden. Der tiberwiegende Teil des letzten
Absehnitts ist der Austausehweehselwirkung und dem resultierenden
Vielteilchenproblem fUr ein System atomarer Spins gewidmet. Die
Eigenschaften dieses Systems werden in ver~ehiedenen Naherungen
diskutiert. Auf die Darstellung der teehniseh interessanten Probleme
(Hysterese, Magnetostriktion usw.) muBte jedoeh in diesem Rahmen
verziehtet werden. Der interessierte Leser wird jedoeh keine Mtihe
haben, sich anhand der zitierten Literatur eingehend in die Materie
ei nzuarbei ten.
Herrn Dr. Ballensiefen bin ieh fUr seine Hilfe bei der Herstellung der
Abbildungen zu Dank verpfliehtet.
KOln, im November 1965
Dieter Wagner
v
Inhaltsverzeichnis
Seite
Einteilung der magnetischen Substanzen
I. Diamagnetismus
1. Das Bohr-van Leeuwen-Theorem 3
2. Der Diamagnetismus der Atome und lonen 5
3. Das Fermigas .......... . 13
4. Die Landau-Niveaus. . . . . . . . 17
5. Der Diamagnetismus der Elektronen. 21
6. Diamagnetische Resonanz 37
II. Paramagnetismus
1. Der Paramagnetismus der freien Elektronen 45
2. Die klassische Theorie des Paramagnetismus 53
3. Der Zeemaneffekt freier Atome ..... . 54
4. Der Paramagnetismus freier Atome; (Seltene Erden) 67
5. Der Paramagnetismus der Atome im Kristall 77
6. Die paramagnetische Resonanz . . . . . . . 101
III. Ferromagnetismus
1. Die Wechselwirkung . 120
2. Die Molekularfeldriaherung . 130
3. Spinwellen . . . . 142
4. Hohe Temperaturen . . . . 156
5. Das Bandermodell ..... 167
6. Ferromagnetische Resonanz 173
Literaturverzeichnis . 178
Sachregister . . . . 184
VII
Abkiirzuogeo uod Symbole
Bohrscher Radius p de Haas-van Alphen-
Vektorpotential Periode
p Permutationsoperator
Brillouinfunktion
p Projektionsoperator
Curiesche Konstante
s, S; s, S (Quantenzahl des) Spin
spezifische Warme
S' effektiver Spin
magnetischer Anteil der
spezifischen Warme S Entropie
e Ladung T Temperatur
eo Elementarladung Tc, TN Curie-, Neel-Temperatur
E Energie W, Wij Weissscher Faktor
frEY Fermiverteilung z Zahl der nachst benach
F freie Energie barten Atome
(effektive) Kernladungs
g spektroskopischer Auf-
zahl
spaltungsfaktor (-Ten
sor) Z Zustandssumme
g' magnetomechanischer Z(E) Zahl der Zustande mit
Faktor einer Energie L E
gJ Lande-Faktor f3 l/kT
H,H Magnetfeld y gyromagnetischer Faktor
o
HA Anisotropiefeld (x) a-Funktion
Hw Weisssches Feld i5n,n' Kronecker-Symbol
j, J; j, J (Quantenzahl des) Ge- C, Co Fermienergie
samtdrehimpuls t;, Cn,1 Spin-Bahn-Kopplungs-
J, Jij Austauschintegral konstante
paramagnetische Curie-
k Boltzmannkonstante
temperatur
k Wellenvektor
Stonerscher Parameter
ko Fermiimpuls
magnetisches Moment
K Knight-Shift-Konstante
(effektives) Bohrsches Mag-
K Zeitumkehroperator neton
K Anisotropieenergie Kernmagneton
I, L; I, L (Quantenzahl des) Bahn relative Magnetisierung
drehimpuls
Pauli-Matrizen
m*, m (effektive) Masse des Elek-
Kristallpotential
trons
Suszeptibilitat
m,i1lz, ms, mj{magnetische Quanten
ML, Ms, MJ zahlen (effektive) Larmorfrequenz
m, M; m, M Magnetisierung Zyklotronresonanzfre-
quenz
Pelf; P (effektives) magnetisches
Moment pro Atom in v Nablaoperator
Einheiten von angenahert gleich
VIII
Einteilung der magnetischen Substanzen
Bringt man eine Substanz in ein Magnetfeld H, so herrscht in ihr das
induzierte Feld B:
B = H+4nM= ftH.
Hier bedeuten M die Magnetisierung der Substanz und ft deren Per
meabiliHit. Die Magnetisierung wird durch das auBere FeldHverursacht;
erfahrungsgemaB ist der Zusammenhang zwischen M und H in guter
Naherung linear - von einigen SonderfiiIlen abgesehen - und man
setzt daher:
M=X·H
und nennt X die magnetische Suszeptibilitat. Die Suszeptibilitat ist eine
fur jeden Stoff charakteristische GroBe, die im allgemeinen von der
Temperatur abhiingt. Je nach dem Vorzeichen und der GroBenordnung
von X teilt man die Materie in drei groBe Klassen ein, die wie folgt
bezeichnet werden:
I. X < 0 Diamagnetische Substanzen
II. X> 0 Paramagnetische Substanzen
III. X = (Xl Ferromagnetische Substanzen.
Zu der ersten Klasse zahlen, da fast aIle organischen Molekiile dazu
gehoren, die meisten Substanzen. Dazu kommen aIle Edelgase, einige
Metalle wie die Edelmetalle Wismut, Zink, Quecksilber usw. und
Nichtmetalle wie Schwefel, Jod, Silicium usw. [1]. 1m Grunde zahlen
auch aIle Supraleiter in diese Klasse, da unterhalb der Sprungtemperatur
im Supraleiter B = 0 ist (Meissner-Effekt), so daB also X = - 4~ ist.
Da die physikalische Ursache fUr ein solches Verhalten jedoch vollig
anders ist, als die, die zum normalen Diamagnetismus fUhrt, fallt die
Gruppe der Supraleiter aus dem Rahmen dieses Buches. Es sei jedoch
erwiihnt, daB die "diamagnetische Auffass1,lng" des Supraleiters wichtig
fUr die Theorie der Supraleitfiihigkeit war [2]. Zur zweiten Klasse
gehoren aIle Stoffe, die ein permanentes magnetisches Moment besitzen,
also etwa die Obergangselemente der groBen Perioden des periodischen
Systems und deren Verbindungen, ferner die Seltenen Erden, die
Alkalimetalle usw.
1 Wagner, Magnetismus 1
Ein geringer Teil der zur zweiten Klasse zugehOrigen Stoffe ist unterhalb
einer ftir jede Substanz charakteristische Temperatur - der Curie
temperatur - ferromagnetisch, und dieser Teil bildet die dritte Klasse.
Zu dieser Klasse sollen auBerdem die antiferro- bzw. ferrimagnetischen
Substanzen gezlihlt werden. Die Eigenschaft ferromagnetisch (antiferro-,
ferrimagnetisch) zu sein, ist an ganz bestimmte Kristallstrukturen gebun
den; daher geh6ren zu dieser Klasse nur feste K6rper.
Die folgende Behandlung der Theorien tiber den Magnetismus folgt dem
Schema der Einteilung der Substanzen in diese drei Klassen.
2
I. Diamagnetismus
1. Das Bohr-van Leeuwen-Theorem
Man ist zuerst versucht, zum grundsatzlichen Verstandnis des Diamag
netismus ein klassisches Bild zu entwickeln, um daran an schlie Bend die
notigen quantenmechanischen Korrekturen anzubringen. Es zeigt sich
aber, daB sowohl der Dia- als auch der Paramagnetismus im Rahmen
einer genauen klassischen Theorie nicht zu verstehen sind, sofern man
diese auf den Magnetismus bewegter Ladungen zuriickfiihren will. Diese
Tatsache wird manchmal als Bohr-van Leeuwen-Theorem bezeichnet
[3]. LaBt man z.B. ein Elektron mit der Ladung e(e = - eo; eo =
4,8' 10-10 el. stat. c.g.s.-Einheiten) eine Kreisbahn durchlaufen, indem
man es etwa in ein konstantes Magnetfeld bringt, so entspricht dem
auf diese Weise entstandenen Kreisstrom j ein magnetisches Moment
m der GroBe
j e
m=~---F=-rxv. (1,1)
c 2c
c ist die Lichtgeschwindigkeit, r der Radiusvektor des Elektrons, v seine
Geschwindigkeit und F die yom Strom umschlossene im Rechtsschrau
bensinn orientierte Flache. Bewegt sich das Elektron in der x, y-Ebene,
so ist nur die z-Komponente des Moments m verschieden von Null:
e (. ')
mz = ~2c xy - yx .
Der wesentliche Punkt an dieser Formel ist hier nur, daB ein !inearer
Zusammenhang zwischen dem magnetischen Moment und der Geschwin
digkeit der Ladung besteht. Diese Linearitiit wird auch bei komplizier
teren Bahnen und vielen Elektronen nicht geiindert werden. Man habe
also ein System von N Elektronen, die durch ihre Koordinaten ql ... qSN
und den zugehOrigen kanonischen Impulsenp1 ... PSN beschrieben werden.
Flir die z-Komponente des magnetischen Moments dieses Systems gilt
dann offenbar:
3N
2;
m = af(ql ... qSN)ti;, (1,2)
z
j=1
I' 3
wobei af eine Funktion der Lagekoordinaten qi allein ist. Den thermi
schen Mittelwert von (1,2) erhalt man, wenn man (1,2) mit der Boltz
mannfunktion als Gewichtsfaktor versieht und tiber den ganzen Phasen
raum integriert:
- kT
M = ~ mz ~ dql ... dq3Ndpl ... dp3N' (1,3)
Jit bedeutet die Hamiltonfunktion des Systems, die allgemein gegeben ist
durch
m = Masse der Ladungstrager, A = Vektorpotential, V = Wech
selwirkungspotential. Z ist die klassische Zustandsfunktion =
Jf('
~ e- kT dql'" dp3N, k = Boltzmannkonstante, T = absolute Temperatur.
Setzt man (1,2) in (1,3) ein, so ist:
1
p=
kT'
Wegen der kanonischen Bewegungsgleichungen gilt:
. oJit . oJit
qi = p.=
-U~P-i , , --u~q-i ,
und damit wird durch Integration tiber die Impulse
3N
M -_ z1 2~.'. aZ (ql ... q3N) -o--Jait: e -pJft' dql ... dP3N
j
i=1 P.
3N
-_ - R1Z L~.J ajZ ( ql'" q3N ) ~0 e -PJft'dq l ... dP 3N
I-' i=1 'PI
dq3Ndpl ... dPi-1dpi+I ... dP3N = O.
Der Diamagnetismus ist daher kein klassischer, sondern ein quan
tenmechanischer Effekt und bei einer klassischen Ableitung der
4
