Einführung in die Struktur- und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen

260 Pages·1990·12.36 MB·German

by  Wolfgang Hein (auth.)

Hochschultext
Wolfgang Hein
Einfiihrung in die
Struktur- und
Darstellungstheorie der
klassischen Gruppen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo Hong Kong
Wolfgang Hein
Fachbereich 6, Mathematik
Universitiit Gesamthochschule Siegen
Postfach 10 1240
5900 Siegen
Umschlagmotiv. Am Beispiel der einfach-zusammenhiingenden Gruppe SL(2,<C), ihrer
kompakten einfach-zusammenhiingenden reellen Form SU(2) und der zugeh6rigen
Lie-Algebren veranschaulicht das (kommutative) Diagramm das Konzept der Lieschen
Methode in der Darstellungstheorie der klassischen Gruppen. Die Bijektivitiit der Abbil
dungen (r bezeichnet jeweils die Restriktionsabbildung) ist die Grundlage des Weylschen
Unitiirtricks zum Beweis der vollstiindigen Reduzibilitiit der Gruppe SL(2,<C) und ihrer
Lie-Algebra. - Fiir Einzelheiten vgl. man IV §l.
Mathematics Subject Classification (1980):
29 G 20, 20G05, 22E45, 22E46, 22E60
Mit 4 Abbildungen
ISBN-13: 978-3-540-50617-1 e-ISBN-13: 978-3-642-74340-5
DOl: 10.1 007/978-3-642-74340-5
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Hein, Wolfgang:
Einflihrung in die Struktur-und Darstellungstheorie der klassischen Gruppen I
Wolfgang Hein.
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo; Hong Kong: Springer, 1990
(Hochschultext)
ISBN 3-540-50617-9 (Berlin ... )
ISBN 0-387-50617-9 (New York ... )
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1990
2144/3140-5432 \0 - Gedruckt auf siiurefreiem Papier
Vorwort
Der vorliegende Text ist aus Vorlesungen und Seminaren fiir Studenten der
Mathematik und Physik yom 4. Semester an hervorgegangen. Ziel dieser Lehr
veranstaltungen war, aufbauend auf den Grundvorlesungen uber Analysis und
lineare Algebra, eine griindliche Kenntnis der klassischen Gruppen zu vermit
teln, also der allgemeinen und der speziellen, der orthogonalen und der unitiiren
sowie der symplektischen Grupp en.
Diese Gruppen nehmen sowohl innerhalb als auch auBerhalb der Mathema
tik, insbesondere in physikalischen Anwendungen, eine wichtige Stellung ein. In
der Ausbildung der Studenten wie auch in der Literatur ist es aber heute weit
hin ublich - von beilaufigen Betrachtungen in der linearen Algebra abgesehen-,
die klassichen Gruppen als Beispiele am Rande einer allgemeinen Theorie Lie
scher Gruppen zu behandeln, was sicher dazu beigetragen hat, daB Mathmatik
wie Physikstudenten haufig nur rudimentiire Kenntnisse dieses wichtigen Ge
genstandes aus Theorie und Praxis - und nicht zuletzt aus der Geschichte -
der Mathematik sowie der damit verbundenen Methoden erlangen. Dieses Buch
mochte helfen, hier eine Lucke zu schlieBen und zu einem soliden Fundament fur
ein Studium der allgemeinen Theorie Liescher Gruppen und ihrer vielfaltigen
Anwendungen beitragen.
Dazu werden die Gruppen und ihre Darstellungen sowohl aus algebraischer
Sicht, niimlich - von den allgemeinen und speziellen Gruppen abgesehen - als
Isometriegruppen bilinearer und Hermitescher Raume (Kapitel I und III), wie
auch aus "infinitesimaler" (Liescher) Sicht behandelt, und zwar als abgeschlos
=
sene Untergruppen von GL(n,lK), lK lR, C, nI, die hier "lineare Gruppen"
genannt werden (Kapitel II und IV). Die Beschrankung auf lineare Gruppen
hat im ubrigen den Vorzug, daB man ganz auf den zeitraubenden Apparat der
differenzierbaren Mannigfaltigkeiten verzichten kann und nur die aus den ersten
Semestern bekannten Methoden der Differentialrechnung im lRm benotigt.
In Kapitel I und II wird die Struktur der klassischen bzw. linearen Grup
pen behandelt. Bei der Fiille des Stoffes ist die Auswahl naturgemaBsubjek
tiv; als Leitfaden dienten solche Begriffe und Aussagen, die in den o.g. wei
terfuhrenden Gebieten eine wichtige Rolle spielen. (Fur Einzelheiten vgl. man
das ausfiihrliche Inhaltsverzeichnis und die Einleitungen zu den einzelnen Ka
piteln.)
Kapitel III und IV sind der Darstellungstheorie gewidmet. In III, § 1 wer
den zunachst die notwendigen Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie
VI Vorwort
von Gruppen bereitgestelltj spezielle Vorkenntnisse werden dabei nicht voraus
gesetzt. Uberdies werden die Hilfsmittel, die in III, § 2 fur die Brauer-Weylsche
Theorie der Zerlegung von Tensorpotenzen benotigt werden, hergeleitet. Hierzu
gehoren insbesondere die Darstellungen der assozlativen Algebra Enda(V), das
Schursche (Doppel-) Kommutatorlemma und die Beschreibung der Darstellun
gen der symmetrischen Gruppen durch Idempotente der Gruppenalgebra mit
Hilfe von Young-Tableaux.
Das letzte Kapitel beginnt mit einer ausfiihrlichen Diskussion des Zusam
menspiels der Darstellungstheorie linearer Gruppen und der ihrer Lie-Algebren.
1m ubrigen verfolgt es das Ziel der Charakterisierung der irreduziblen Darstel
lungen der einfachen komplexen Lie-Algebren, und damit auch derjenigen der
komplexen wie der reellen klassischen Gruppen, durch hochste Gewichte. Durch
die Ergebnisse aus III, § 2 erhalten wir zu allen ganzen Gewichten (die Spin
Gruppen und ihre Darstellungen werden nicht behandelt) "konkrete" Modelle
der zugehorigen irreduziblen Darstellungen. Die vollstandige Reduzibilitat der
klassischen Gruppen (aufier GL(n, IK)) und ihrer Lie-Algebren ergibt sich auf
Grund der Vorbereitungen in naturlicher Weise mit Hilfe des Weylschen Unitar
Tricks.
Allen, die mich bei der Abfassung oder Herstellung des Manuskriptes un
terstutzt haben, gilt mein aufrichtiger Dank, namentlich Herro U. Hirzebruch
und Frau K. Schutz, aber auch den Studentinnen und Studenten, ohne de
ren interessierte Mitarbeit in Vorlesungen und Seminaren der vorliegende Text
sicher nicht zustande gekommen ware.
Siegen, im September 1989 Wolfgang Hein
Lesehinweise. Wie oben bemerkt, sind die Kapitel I und III (bis auf den Begriff des
Zusammenhangs) rein algebraischer N aturj insbesondere kann Kapitel III unabhiingig
von Kapitel II gelesen werden. Leser, die vorwiegend an der Lieschen Theorie interes
siert sind, konnen unmittelbar mit Kapitel II beginnenj dagegen hiingt der Stoff von
Kapitel IV sehr von dem der Kapitei II und III abo
Ein Zitat wie II, § 3.4 ist in offensichtlicher Weise zu verstehenj beL Zitaten, die
sich auf das jeweilige Kapitel beziehen, wird die Kapitelnummer weggelassen, ent
sprechend bei Paragraphen und Abschnitten. Siitze sind innerhalb der Paragraphen,
Lemmata, Formeln u.a. innerhalb der Abschnitte durchnumeriert.
Ubungsaufgaben zur Vertiefung (selten zur Ergiinzung) des Stoffes findet man
am Ende eines jeden Paragraphen. Am SchluB des Buches befindet sich ein Namen
verzeichnis mit Angabe des Geburts- und ggf. des Todesjahres der im Text genannten
Personen sowie ein Verzeichnis ausgewiihlter Symbole.
Inhalt sverzeichnis
Kapitel I. Die klassischen Gruppen ..................................... 1
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Gruppentheorie ....................... 2
1. Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Beispiele und Erganzungen ..................................... 5
3. Operationen von Gruppen auf Mengen .......................... 9
4. Beispiele und Erganzungen ..................................... 11
Aufgaben .......................................................... 15
§ 2 Die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe ..................... 16
1. Die Algebra Mat(n,K) ......................................... 16
2. Die Gruppen GL(n,K) und SL(n,K) ........................... 18
3. Die gewohnliche Operation von GL(n, K) ....................... 19
4. Jordan-Chevalley-Zerlegung in GL(n,K) ........................ 20
5. Erzeugung von SL( n, K) durch Elementarmatrizen .............. 22
6. Kommutatorgruppe von G L( n, K) und SL( n, K) ................ 24
7. Zentrum von GL(n,K) und SL(n,K), projektive Gruppen ...... 25
8. Normalteiler in SL(2, K) ........................................ 28
9. Zusammenhang ................................................. 29
10. Quaternionen, die Gruppen GL( n, IH) und SL( n, IH) ............. 31
Aufgaben ...................................................... ".... 36
§ 3 Symmetrische Bilinearformen und Hermitesche Formen ............ 37
1. Hermitesche Formen und Matrizen ............................. 37
2. Isometrien Hermitescher Raume ................................ 40
3. Orthogonalitat, Normalformen ................................. 41
4. Euklidische und unitiire Raume ................................ 45
5. Isometriegruppen Hermitescher Raume ........................ . 48
Aufgaben ........................................................ . 49
§ 4 Orthogonale und unitiire Gruppen ................................. 51
1. Die Gruppen SO(p,q), SO(n,C) und SU(p,q) .................. 51
2. Beispiele: Die Gruppen 0(2), 0(1,1), SO(3) und.SU(2) ......... 53
3. Konjugationsklassen, maximale Tori, Weyl-Gruppen ............ 58
VIII Inhaltsverzeichnis
4. Anwendung: Zentrum von U(n), SU(n) und SO(n) ............. 64
5. Normalteiler in SU(2) .......................................... 65
6. Spiegelungen, Transitivitat von O(V, h) auf Sphiiren ............ 66
7. Erzeugung von O(V, h) durch Spiegelungen ..................... 68
8. Erzeugung von U(V, h) durch Quasi-Spiegelungen .............. 68
9. Zusammenhang von SO(V, h) und U(V, h) ...................... 69
10. Bewegungsgruppe des lRn, Galilei-Gruppe ...................... 70
11. Iwasawa-Zerlegung ............................................. 72
12. Polar- und Cartan-Zerlegung ................................... 72
13. Lorentz-Gruppe und Minkowski-Raum .......................... 73
14. Isomorphie der Lorentz-Gruppe mit SL(2, C)j {E} und SO(3)
mit SU(2)j {E} ................................................. 76
15. Beschreibung von 0(4) (und 0(3» durch Quaternionen,
Nicht-Einfachheit von SO(4)j{E} ............................... 78
16. Hermitesche Formen auf lHn und die Gruppen U(p, q; IH) ........ 79
Au fgaben .......................................................... 80
§ 5 Symplektische Gruppen ............................................ 82
1. Grundbegriffe .................................................. 82
2. Zerlegung in hyperbolische Ebenen, Normalformensatz .......... 83
3. Die symplektische Gruppe Sp(2n, IK) ........................... 84
4. Anwendung: Hamiltonsche Gleichungen und ihre Invarianten .... 85
5. Erzeugung von Sp(V, s) durch Transvektionen, die Inklusion
Sp(2n, lK) C SL(2n, lK), Zusammenhang ........................ 86
6. Die Gruppe Sp(2n) ............................................. 88
7. Konjugationsklassen, maximaler Torus und Weyl-Gruppe von
Sp(2n) ......................................................... 89
8. Eine anti-Hermitesche Form auf IHn und die Gruppe U",(n,IH) .. 91
9. Zusammenstellung der klassischen Gruppen ..................... 91
Aufgaben .......................................................... 93
Kapitel II. Abgeschlossene U ntergruppen von G L( n, lK) 95
§ 1 Die Matrix-Exponentialabbildung .................................. 96
O. Mat( n, lK) als metrischer Raum ................................ 96
1. Konvergenz und lokale Umkehrbarkeit der Exponentialabbildung 99
2. Rechenregeln .......................................... ,'....... 102
3. Einparametergruppen .......................................... 102
4. Die Gleichung expX exp Y = exp heX, Y) ...................... 104
Au fgaben .................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 105
§ 2 Lineare Gruppen und ihre Lie-Algebren ............................ 106
1. Definition, Beispiele ........................................... 106
Inhaltsverzeichnis IX
2. Die Lie-Algebren der klassischen Gruppen ...................... 108
3. Die Abbildung eXPa : CG -+ G fiir einige klassische Gruppen ... 110
4. Lineare Gruppen .............................................. 112
5. Die Lie-Algebren linearer Gruppen ............................. 113
6. Die Exponentialabbildung einer linearen Gruppe ............... 115
7. Die von eXPa(CG) erzeugte Untergruppe von G, Zusammenhang 116
8. CG als Tangentialraum ........................................ 119
9. Die Lie-Algebren der Poincare- und Galilei-Gruppe ............. 120
Aufgaben ......................................................... 122
§ 3 Homomorphismen linearer Gruppen und ihrer Lie-Algebren ........ 124
1. Die Gleichung f 0 eXPa = eXPH oCf ............................ 124
2. Funktorielle Eigenschaften ..................................... 126
3. Maximal-kompakte Untergruppen .............................. 129
4. Lokale Isomorphie ............................................. 131
5. Einfacher Zusammenhang und universelle Uberlagerungsgruppe . 134
Aufgaben ......................................................... 136
Kapitel III. Darstellungen der klassischen Gruppen ................... , 139
§ 1 Grundlagen der allgemeinen Darstellungstheorie von Gruppen ...... 140
1. Grundlegende Begriffe und Beispiele ........................... 140
2. Reduzibilitiit, direkte Summen ................................. 142
3. Unitiire Darstellungen ......................................... 144
4. Kontragrediente und konjugiert-komplexe Darstellung .......... 146
5. Morphismen, Lemma von Schur ................................ 148
6. Tensorprodukte ................................................ 151
7. Isotypische Zerlegung .......................................... 159
8. Die Algebra Enda(V) und ihre Darstellungen .................. 162
9. Gruppen mit invarianter Mittelbildung, Charaktere ............. 171
10. Invariante Bilinear- und Sesquilinearformen .................... 179
Aufgaben ......................................................... 182
§ 2 Darstellungstheorie der klassischen Gruppen (globale Methode) ..... 184
1. Darstellungen der symmetrischen Gruppen Sk .................. 184
2. Der Sk-Modul V®k und die Darstellungen von Endsk V®k ....... 189
3. Der GL(V)-Modul v®k, Darstellungen von GL(n, C) und
SL(n, C) ........................................................ 192
4. Darstellungen von O(n, C) und Sp(n, C) ........................ 198
5. Darstellungen von SOC n, C) ..................................... 203
6. Darstellungen der reellen klassischen Gruppen .................. 205
Aufgaben .......................................................... 206
x
Inhaltsverzeichnis
Kapitel IV. Halbeinfache komplexe Lie-Algebren ....................... 209
§ 1 Von der Darstellungstheorie linearer Gruppen zur Darstellungstheorie
von Lie-Algebren ................................................... 210
1. Die Ableitung Cp der Darstellung einer linearen Gruppe ........ 210
2. Beispiel: Die adjungierte Darstellung ............................ 213
3. Komplexifizierung von Lie-Algebren und Darstellungen .......... 215
4. Vollstiindige Reduzibilitat der klassischen Gruppen und Algebren 218
Aufgaben ................ :......................................... 219
§ 2 Halbeinfache Lie-Algebren .......................................... 220
1. Die Killing-Form ................................................ 220
2. Wurzelraumzerlegung .......................................... 223
3. Wurzelraum-Zerlegung von sl( n, (:), soC n, (:) und sp( n, (:) ...... 229
Au fgaben ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
§ 3 Darstellungen halbeinfacher Lie-Algebren ........................... 235
1. Zerlegung in Gewichtsraume .................................... 235
2. Die irreduziblen Darstellungen von sl(n, (:), so(n, (:) und sp(n, (:) 239
Aufgaben .......................................................... 242
Literatur .............................................................. 245
Symbolverzeichnis ..................................................... 247
N amenverzeichnis ...................................................... 249
Sachverzeichnis ........................................................ 251
Kapitel I. Die klassischen Gruppen
Den Hauptteil dieses Kapitels bilden die Paragraphen 2, 4 und 5, in denen
grundlegende Aussagen zur algebraischen Struktur der klassischen Gruppen
hergeleitet werden, also der allgemeinen und der speziellen linearen Gruppen
(§ 2), der orthogonalen und unitaren Gruppen (§ 4) und der symplektischen
Gruppen (§ 5). Der einzige topologische Begriff, der hier auft ritt, ist der des Zu
sammenhangs, da sich die diesbeziiglichen Aussagen leicht mit Hilfe der ange
gebenen Erzeugendensysteme gewinnen lassen (wird in II, § 2.7 weitergefiihrt).
Ausfiihrlich werden verschiedene Gruppen "niedriger Dimension" behandelt -
auch solche, die von indefiniten Formen herkommen wie z.B. Lorentz- und
Poincare-Gruppe.
Am SchluB der o.g. Paragraphen findet man Abschnitte iiber "quaternio
nale" Gruppenj diese lassen sich (bis auf Isomorphie) zwar als Durchschnitte
friiher behandelter Gruppen erhalten, der Gebrauch von Quaternionen fiihrt
aber (neben dem prinzipiellen Interesse und vielfiiltigen Anwendungen in an
deren Gebieten) zur Vereinfachung und Vereinheitlichung der Beschreibung und
Klassifikation der "reellen einfachen" Gruppen.
Die grundlegenden Begriffe und Aussagen der allgemeinen Gruppentheo
rie, die im folgenden stiindig benutzt werden, sind in § 1 in knapper Form (je
doch groBtenteils mit Beweisen) zusammengestellt, ebenso viele Beispiele, die
zur Illustration der abstrakten Begriffe, aber auch zur Vorbereitung spiiterer
Abschnitte dienen.
Urn den geometrischen Hintergrund der klassischen Gruppen zu verste
hen, werden die symmetrischen Bilinearformen und Hermiteschen Formen, die
ja die Geometrie der entsprechenden Riiume definieren, von Grund auf behan
delt (§ 3), und zwar bis zur Reduktion auf Diagonalgestalt (Hauptachsentrans
formation). Die schiefsymmetrischen (und anti-Hermiteschen) Formen werden
unmittelbar in Zusammenhang mit den symplektischen Gruppen in § 5 studiert.