Einführung in die Stochastik: Mit Elementen der Bayes–Statistik und der Analyse unscharfer Information

237 Pages·2003·19.97 MB·German

by  o. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techn. Reinhard Karl Wolfgang Viertl (auth.)

Springers Lehrbücher
der Informatik
Herausgegeben von
o. Univ.-Prof. Dr.-Ing. Gerhard H. Schildt
Technische Universität Wien
Springer-Verlag Wien GmbH
Reinhard Viertl
Einführung
in die Stochastik
Mit Elementen
der Bayes-Statistik
und der Analyse
unscharfer Information
Dritte, überarbeitete
und erweiterte Auflage
Springers Lehrbücher
der Informatik
Springer-Verlag Wien GmbH
o. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. techno Reinhard Kar! Wolfgang Viertl
Institut fur Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
Technische Universität Wien, Österreich
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ISSN 0938-9504
ISBN 978-3-211-00837-9 ISBN 978-3-7091-6080-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-7091-6080-0
Meiner Mutter in Dankbarkeitgewidmet
Vorwort zur dritten Auflage
SeitdemErscheinenderzweitenAuflagehaben sich einige Neuerungenergeben,diein
dieserAuflageberiicksichtigtsind.DadasBuchauchalsBegleittextzueinerVorlesung
"Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie" dient, sind jetzt Uberlegungen zurstatisti
schen Beschreibungvon Daten an den Beginngestellt.
UrndemThemaWahrscheinlichkeitstheorieentgegen zukommen,wurden unscharfe
Wahrscheinlichkeitsverteilungensowie der ExistenzsatzfurstochastischeProzessezu
satzlichaufgenommen.
Am Anfang werden einige Erganzungen zur klassischen Mathematik dargestellt,
diemanzurBeschreibungundAnalyseunscharferMessungenundunscharferA-priori
Informationbenotigt,
Im Kapitel iibcr die statistische Analyse bei unscharfer Information wurde der
GroBteil iiberarbeitet und die seit dem Erscheinen der zweiten Auflage erarbeiteten
Innovationeneingebaut.
Das Literaturverzeichnis wurde ebenfalls iiberarbeitet und altere Werke zum Teil
durch aktuellereersetzt.
Da esschwierig ist, ein Buch ohne Fehler zu produzieren, bin ich fiirKorrekturen
oder konstruktive Kritik dankbar. Dafiir ist eine elektronische Kontaktadresse einge
richtet:
[email protected]
Zu danken ist einigen Personen: Herrn Dipl.-Ing. Dr. Dietmar Hareter fur seinen
BeitragzuAbschnitt46 sowiefurdieAnfertigungder zum Teil neu gestaltetenAbbil
dungenunddie kritischeDurchsichtdesgesamtenBuches.Herrn ProfessorH.Schildt,
dem Herausgeberder Serie, inderdasBuch erscheint,flirseine konstruktiveKritik, die
zu einigen Verbesserungen gefiihrt hat, einigen Studierenden fur das Auffinden von
Druckfehlem und Anregungen zur Verbesserung, sowie Frau Ingrid Winkelhofer fur
dieErstellungeinigerschwierigerManuskriptteile.SchlieBlichhatesmeineFraudurch
ihren Einsatz moglichgemacht,das Manuskript zeitgcrcchtfertigzustellen.
Vorwort zur zweiten Auflage
Dieses Buch ist die zweite,iiberarbeiteteAuflage eines Buches,das aus Vorlesungen
entstand,die ander Technischen Universitat Wien als Einfiihrungindie Wahrschein
lichkeitsrechnungund Statistik gehalten wurden.Damit wird dem Wunschzahlreicher
Studierendernachgckommen,cin begleitendcsLchrbuchverfiigbarzuhaben.
DervorliegendeBand isteine Einfiihrungindie grundlegendenGedankenstochas
tischer Modellbildung, die heute aus vielen wissenschaftlichen Disziplinennicht mehr
wegzudenken ist. Damit solche Modellesinnvollangewendetwerden konnen, isteine
gewisse Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung unumganglich notwendig. Eine
EinfiihrungindiegrundlegendenElementederWahrscheinlichkeitstheoriebildetdaher
denersten Teil.
Sollen realePhanornenebeschriebenwerden,soistdieEntscheidungfiireinpassen
desModell aufderGrundlagebeobachteterDatenzentral. Diese ProblematikistInhalt
der schliel3endenStatistik.Der zweiteTeil des Buches gibt cine kleine Einfiihrung in
diese Probleme und Methoden.Dabei werden neben klassischen statistischenVerfah
renauch aktuelle BayesscheAnalysemethodenberiicksichtigt. Die BayesscheStatistik
wirdmeistvernachlassigt, bildet aber dieMoglichkeit,Vorinformationinquantitativer
Weise indie Analyse einzubringen.
Schliel3lichwird im letzten Kapitel aufdasinden Anwendungeniiul3erstwichtige
Problem unscharfer Daten als Grundlage statistischer Analysen eingegangen. Dieser
Bereich fehIt in fast allen Einfiihrungen indie Stochastik- wie Wahrscheinlichkeits
rechnungund schlieBende Statistikauch genanntwerden- vollig.
Natiirlich sinddiehierbehandeltenThemenkreisenureinkleinerAusschnittausder
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, also eine erste Einfiihrung, die es dem
Leserermoglichen solI,stochastische Modelle und ihre statistischeAnalyseverstehen
zukonnen, VertiefendeundweiterfiihrendeLiteraturwirdangegeben,wobei derBlick
winkelinRichtungAnwendunggeht.DeminteressiertenLesermiissteesaufderGrund
lagedes hierbehandeltenStoffes moglichsein,statistischeAnalysenund stochastische
Modellbildungen im jeweiligen Anwendungsgebiet mit geringem zusatzlichem Auf
wanddurchzufiihren.
Fur die Verbesserung der Erstauflage istvielen zu danken:Studierenden fiirkriti
scheKommentareunddasAufspurenvonDruckfehlem,RezensentenundKollegenfiir
konstruktive Vorschlage, speziell Herm Ass.-Prof.Dr. W.Gurker, sowie Frau Univ.
Doz.Dr.S.Friihwirth-SchnatterfiirdieHilfebeider HerstellungvonAbbildungen,vor
allem aber meinerFrau fiirdie flotte und sorgfaltigeErstellungdes adaptierten Manu
skriptes.Dem Verlagdanke ich,trotzdes sehr engen Zeitrahmens zurBearbeitungder
zweiten Auflage, fiirdieguteZusammenarbeit. R.Viertl
Inhalt
Kapitel I. Einleitung .
I WasistStatistik?............................................ 2
1.1 Beschreibende Statistik ....................................... 2
1.2 Theoretische Statistik 3
1.3 Angewandte Statistik 4
1.4 Ubungen .................................................. 4
2 Wasist Wahrscheinlichkeit?................................... 5
2.1 Ubungen :................................................. 5
3 WasistStochastik? .......................................... 6
3.1 Stochastische Grollen 6
3.2 Begleitende Beispiele ........................................ 6
3.3 ZurGeschichte der Stochastik 7
3.4 Ubungen .................................................. 8
4 MathematischeErganzungen 9
4.1 Unscharfe Mengen 9
4.2 Zahlenund unscharfeZahlcn 9
4.3 Unscharfe Vektoren II
4.4 Funktionen von unscharfenArgumenten 12
4.5 Rechnen mitunscharfen Zahlen ................................ 14
4.6 Unscharfe Funktionen ........................................ 16
4.7 Obungcn .................................................. 17
Kapitel II. Grundlagen derWahrscheinlichkeitsrechnung 19
5 Wahrscheinlichkeiten . 20
5.1 Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition . 20
5.2 Gcometrische Wahrscheinlichkeiten . 20
5.3 HaufigkeitsinterprctationderWahrscheinlichkeiten . 20
5.4 AxiomatischeWahrscheinlichkeiten . 21
5.5 SubjektiveWahrscheinlichkeiten . 22
5.6 UnscharfeWahrscheinlichkeiten . 22
5.7 Ubungen . 23
x Inhalt
6 Wahrscheinlichkeitsrdume ..................................... 24
6.1 Ereignisfelder............................................... 24
6.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen................................ 26
6.3 Beispielevon Wahrscheinlichkeitsraumen 27
6.4 Ubungen................................................... 27
7 Strukturallgemeiner Wahrscheinlichkeitsrdume 28
7.1 Satz tiberWahrscheinlichkeitsraume ............................. 28
7.2 Boolesche Ungleichung ....................................... 28
7.3 Additionsthcorem furWahrschcinlichkcitcn ....................... 29
7.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten ................................. 30
7.5 Multiplikationstheoremfur Wahrscheinlichkeiten 30
7.6 Satzvonder vollstandigenWahrscheinlichkeitund
BayesschcFormel 30
7.7 Obungen .. .. . .... .. . . 31
8 StochastischeUnabhdngigkeitundProduktwahrscheinlichkeitsriiume .. 32
8.1 StochastischcUnabhangigkeit .................................. 32
8.2 Produktwahrscheinlichkeitsraume ............................... 33
8.3 Ubungen................................................... 34
Kapitcl III. StochastischcGroDen und deren Wahrscheinlichkeits-
verteilungen 35
9 Stochastische Groj3en 36
9.1 Mathematisches Modell ....................................... 36
9.2 Wahrscheinlichkeitsverteilungeiner stochastischenGroBe 37
9.3 Ubungen ................................................... 38
10 VerteilungsfunktioneneindimensionalerstochastischerGrofien 39
10.1 Verteilungsfunktionen... ..................................... 40
10.2 Typen vonVerteilungsfunktionen ............................... 42
10.3 Obungen... ................................................ 43
II Diskreteeindimensionale Verteilungen ........................... 44
11.1 Dirac-Verteilung (j~ 44
11.2 DiskreteGleichverteilungD'; 45
11.3 AltemativverteilungAp• . •• • •• • • • • • • •• • • •• • •• • •. • . • • • • • • • • • • • • • 45
11.4 BinomialverteilungBn,p . . . . . .•. •••. ••. •••. . . . . . . . . . . . . . . . •. ••• 46
11.5 Hypergeometrischc VertcilungHN,A,n ... . ••••• ••. ••. ••••• •••••• •• 47
11.6 Poisson-VerteilungP~ .................... .............. 47
11.7 Geometrische VerteilungG, 48
11.8 Obungen .......... ................................ .... ... .. 48
12 Kontinuierliche eindimensionale Verteilungen 49
12.1 KontinuierlicheGleichverteilung Ua,b . •. . . . . ••••. ••. •••. . . . . . . . . . 49
12.2 ExponentialverteilungEXT ••. •. . .. . . . . . •••••••. ••. .. . . . . . . ••••• 50
12.3 Standard-NormalverteilungN(O,I) .... .............. ... ......... 51
12.4 Allgemeine NormalvertcilungN(/-l,d) ........................... 52
Inhalt XI
12.5 LogarithmischeNormalverteilungLN(/l-,d) . 53
12.6 t-Verteilungtn •• ••••••• ••• ••• •.•• ••• •• ••••••• .• .•• •••• ••• ••• 54
12.7 Chiquadrat-Verteilungx;' . 55
12.8 F-VerteilungFm.n ••••••••••••.. •••••.. •••••. •. ••. •. ••• . •• . •• 56
12.9 BetaverteilungBe(a,b) . 56
12.10 Gammaverteilungy(ex,(3) . 57
12.11 Weibullverteilung Weier,(3) . 57
12.12 Modus(=Modalwert)einer Verteilung . 58
12.13 Ubungen . 58
13 Gemischte eindimensionale Verteilungen . 59
13.1 Mischverteilungen . 61
13.2 Ubungcn . 61
14 Erwartungswerteinereindimensionalenstochastischen GrofJe . 62
14.1 DiskreteVerteilungen . 62
14.2 KontinuierlicheVerteilungen . 63
14.3 GemischteVerteilungen . 64
14.4 Ubungen . 64
15 Erwartungswerte von FunktionenstochastischerGrofJen . 65
15.1 Momentevon stochastischenGrollen bzw.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen . 66
15.2 VarianzeinerstochastischenGrol3c . 66
15.3 Ubungen . 68
16 Stochastische Vektorenundmehrdimensionale
Wahrscheinlichkeitsverteilungen . 69
16.1 Diskretem-dimensionale Verteilungen . 70
16.2 Kontinuierlichem-dimensionale Verteilungen . 71
16.3 Gemischtem-dimensionaleVerteilungen . 73
16.4 Randverteilungen . 73
16.5 Ubungen . 76
17 Kovarianz,KorrelationundUnabhiingigkeit
stochastischerGriflen . 77
17.1 Erwartungswertvon Funktionenvon stochastischenVektoren . 77
17.2 Kovarianz . 78
17.3 Korrelationskoeffizient . 80
17.4 StochastischeUnabhangigkeit . 81
17.5 Ubungen . 83
18 Bedingte Verteilungen undbedingteErwartung . 84
18.1 DiskreteVerteilungen . 84
18.2 KontinuierlicheVerteilungen . 85
18.3 Bedingte Erwartung . 86
18.4 Ubungen . 88
19 CharakteristischeFunktionen . 89
19.1 Satz tiber charakteristische Funktionen . 90
19.2 Ubungen . 91