Einführung in die Quantenphysik: Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und Mathematica-Notebooks

219 Pages·2013·5.4 MB·German

by  Peter Rennert

Einführung in die Quantenphysik
⋅ ⋅
Peter Rennert Angelika Chassé
Wolfram Hergert
Einführung in die
Quantenphysik
Experimentelle und theoretische
Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und
Mathematica-Notebooks
PeterRennert WolframHergert
Dresden,Deutschland AngelikaChassé
InstitutfürPhysik
Martin-Luther-UniversitätHalle-Wittenberg
Halle,Deutschland
ISBN978-3-658-00769-0 ISBN978-3-658-00770-6(eBook)
DOI10.1007/978-3-658-00770-6
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©SpringerFachmedienWiesbaden2013
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cherungundVerarbeitunginelektronischenSystemen.
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rechtigtauchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinneder
Warenzeichen-undMarkenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermann
benutztwerdendürften.
Reprintedfigure 1.28 withpermissionfromDavisson,C.,Germer,L.H.,Phys.Rev. 30,705(1927).Copy-
right(2012)bytheAmericanPhysicalSociety.
GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier.
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Vorwort
DieErgebnisseundVorstellungenderQuantenphysiksindheutefesterBestandteil
nicht nur der Physik, sondern aller Naturwissenschaften. Untersuchungsmethoden
wie Elektronenmikroskopie und Rastertunnelmikroskopie, die Informationen über
FestkörpermitatomarerAuflösungliefern,sindohneQuantenphysiknichtdenkbar.
Quanteneffekte wie der Riesenmagnetowiderstand (Nobelpreis Grünberg und Fert
2007)oderdasneueGebietderSpintronikrevolutionierendieInformationstechno-
logien,werdenzurDefinitiondesMasseinheitensystemsverwandtundsindgrund-
legendfürdieweitereEntwicklungderPhotovoltaikalsGrundlagederalternativen
Energiegewinnung.
Alle Betrachtungen, die von den elementaren Bausteinen der Natur ausgehen
oder die interessierenden Größen auf elementare Prozesse zurückzuführen versu-
chen,stützensichsomitmehroderwenigerstarkaufdieQuantenphysik,weileben
dieGleichungenderQuantenmechanikdieBewegungsgleichungendieserBaustei-
nedarstellen.
Esistdeshalbgünstig,wennPhysikstudenten,oderStudentenandererFachrich-
tungen, die Physik als Nebenfach, oder Physik im Rahmen eines Lehramtsstudi-
ums belegen, die Grundbegriffe und Grundgedanken der Quantenphysik in einem
möglichstfrühenStadiumihresStudiumskennenlernen.AuchSachverhalte,diein
anderenVorlesungenbehandeltwerden,werdendadurchleichterverständlich,und
lassensichbesserineinphysikalischesGesamtbildderErscheinungeneinordnen.
Auf Grund des breiten Raums, den die Quantenphysik heute bei der Diskus-
sion naturwissenschaftlicher Phänomene einnimmt soll auch interessierten Laien
oder Abiturienten, die über eine entsprechende mathematische Vorbildung verfü-
gen, ein hilfreiches Buch an die Hand gegeben werden. Gerade für diesen Leser-
kreissindLehrbücherderQuantentheorieaufGrunddesvorausgesetztenmathema-
tischenWissensunddesoftgeringenBezugszuExperimentenundderhistorischen
EntwicklungdesGebieteswenighilfreich.
Esistdabeivorteilhaft,dietheoretischeBeschreibunggleichüberdieSchrödin-
gergleichung und deren Lösungen kennen zu lernen. Einige Probleme lassen sich
zwar mit halbklassischen Modellen lösen. Die Unterschiede zwischen der klassi-
V
VI Vorwort
schenundQuantenmechanikwerdendabeiaberverwischt;damitwirddasVerständ-
nisderQuantenmechanikletztenEndeserschwert.
Das Buch beinhaltet die experimentellen und theoretischen Grundlagen der
Quantenphysik. Dabei wird nur das Einteilchenproblem behandelt. Die bei Mehr-
teilchensystemen auftretenden Besonderheiten, wie Ununterscheidbarkeit, Pauli-
prinzip,werdennichtbesprochen.DiemiteinemSternversehenenAbschnittekön-
nenbeimerstenLesenübergangenwerden.SieenthalteneinerseitsBeispieledafür,
dassgrundlegendeExperimente,dieeinstdiequantenmechanischenVorstellungen
entwickelnhalfen,auchindermodernenForschung-mitteilweiseandererZielstel-
lung - ihren Platz haben. Andererseits runden einige Abschnitte die Darlegungen
derTheorieab;siebrauchenabernichtdurchgearbeitetzuwerden,umdieHaupt-
aussagen der behandelten Probleme zu verstehen. In diesen Abschnitten begegnet
derLeserauchöftersBegriffenundBezeichnungen,derenErläuterunghierzuweit
führenwürde.
AlleGedankengängeundinsbesonderedieRechnungenwurdenausführlichdar-
gestellt,vieleSchrittederZwischenrechnungwerdenangegeben.DieseDarstellung
trägt der Tatsache Rechnung, dass die Quantenphysik - die neuartigen physikali-
schen Vorstellungen wie auch die geforderte Mathematik - für die Studenten und
insbesonderefürandereInteressierteeinschwierigesGebietsind.DieStudentenha-
benimAllgemeinendieklassischeMechaniknochnichtrichtigverarbeitet,dasStu-
diumderklassischenPhysikstehtimVordergrund,unddiemathematischenHilfs-
mittelsindnichtgefestigt.UmeinselbständigesintensivesArbeitenmitdemBuch
zuerleichtern,wurdeeineReihevonÜbungsaufgabeneingefügt.DieÜbungsaufga-
benhabendabeiunterschiedlichenSchwierigkeitsgrad.WeiterhinwirdimTextauf
Notebooks für das Computeralgebrasystem Mathematica hingewiesen, die durch
grafischeDarstellungenodereineweiterführendeAnalysebestimmterProblemedas
VerständnisderQuantenphysikerleichternsollen.
NotebooksunddieLösungenzudenÜbungensindunterfolgendemLink
http://www.springer.com/978-3-658-00769-0 zufinden.
FürdieÜberlassungneuerenexperimentellenMaterialsdankenwirProf.Dr.W.
Widdra(LEED-Bilder,STM-Bilder)sowiePrivatdozentDr.H.S.LeipnerundHerrn
F.Syrowatka(Mikrosondenergebnisse).UnserDankgiltebensoderArbeitsgruppe
vonHerrnProf.Dr.O.Brümmer(†)[1].
Herrn Sebastian Schenk danken wir für ein sorgfältiges Korrekturlesen. Herrn
PaulZechundFrauZechdankenwirfürdieHilfebeidenAbbildungen.
Halle,Oktober2012P.Rennert,A.Chassé,W.Hergert
Inhaltsverzeichnis
1 ExperimentelleundtheoretischeGrundlagenderQuantenphysik ... 1
1.1 DasTeilchenbild ........................................... 1
1.1.1 GrundgleichungenderPunktmechanik .................. 1
1.1.2 DerPhotoeffekt ..................................... 3
(cid:2)
1.1.3 Photoelektronenspektroskopie ........................ 7
1.1.4 DerComptoneffekt .................................. 10
(cid:2)
1.1.5 Comptonspektroskopie .............................. 13
1.1.6 Aufgaben .......................................... 17
1.2 DasWellenbild ............................................ 18
1.2.1 Wellengleichungen .................................. 18
1.2.2 ElektromagnetischeWellen ........................... 22
1.2.3 Beugung ........................................... 24
1.2.4 DasAuflösungsvermögendesGitterspektrographen ....... 25
1.2.5 Elektronenbeugung .................................. 27
(cid:2)
1.2.6 LEED ............................................ 32
1.2.7 WellenpaketmitGaußverteilung ....................... 34
1.2.8 Aufgaben .......................................... 37
1.3 DieHohlraumstrahlungundGitterschwingungen ................ 38
1.3.1 ThermodynamikderHohlraumstrahlung ................ 38
(cid:2)
1.3.2 DasEmissions-undAbsorptionsvermögeneinesDipols .. 42
1.3.3 DiePlanckscheStrahlungsformel ...................... 44
1.3.4 SpezifischeWärmefesterKörper ...................... 47
1.3.5 III.HauptsatzderThermodynamik ..................... 51
1.3.6 Aufgaben .......................................... 52
1.4 Atomspektren ............................................. 53
1.4.1 DasRitzscheKombinationsprinzip ..................... 53
1.4.2 DasBohrscheAtommodell ........................... 55
1.4.3 DerFranck-Hertz-Versuch ............................ 57
1.4.4 DieBohr-SommerfeldscheQuantenbedingung ........... 58
1.4.5 DasMoseleyscheGesetz ............................. 62
(cid:2)
1.4.6 Elektronenstrahlmikroanalyse ........................ 63
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
1.4.7 Aufgaben .......................................... 66
1.5 Teilchen-Wellen-Dualismus ................................. 67
1.5.1 VereinigungvonTeilchen-undWellenbild ............... 67
1.5.2 DieSchrödingergleichung ............................ 69
1.5.3 DieBedeutungderWellenfunktion ..................... 70
1.5.4 Die Beobachtbarkeit von Teilchen- und
Welleneigenschaften ................................. 72
1.5.5 Aufgaben .......................................... 74
2 StationäreZustände............................................ 77
2.1 DiezeitunabhängigeSchrödingergleichung..................... 77
2.1.1 Energieerhaltung .................................... 77
2.1.2 EindimensionaleProbleme ............................ 78
2.1.3 EigenschaftenderEigenfunktionen ..................... 79
2.1.4 HermitescheOperatoren .............................. 81
2.1.5 OrthogonalitätundVollständigkeit ..................... 81
2.1.6 Aufgaben .......................................... 83
2.2 GebundeneZustände ....................................... 84
2.2.1 RechteckigerPotentialtopf ............................ 84
2.2.2 DerharmonischeOszillator ........................... 91
2.2.3 BewegungimbeliebigenPotentialtopf .................. 96
2.2.4 Aufgaben ..........................................100
2.3 Streuzustände .............................................101
2.3.1 FreieTeilchen ......................................101
2.3.2 DasStreuproblem ...................................104
2.3.3 StreuungamPotentialtopf ............................106
2.3.4 DerTunneleffekt ....................................110
(cid:2)
2.3.5 Streuphasen ........................................112
2.3.6 Aufgaben ..........................................116
2.4 Näherungsverfahren ........................................116
2.4.1 Extremaleigenschaften ...............................117
2.4.2 RitzschesVariationsverfahren .........................120
2.4.3 Störungsrechnung ...................................123
2.4.4 Aufgaben ..........................................124
3 DarstellungundZeitablaufphysikalischerGrößen ................125
3.1 DarstellungphysikalischerGrößen ...........................125
3.1.1 ErwartungswertdesOrtesunddesImpulses .............125
3.1.2 ErwartungswertephysikalischerGrößen ................127
3.1.3 EigenwerteundEigenzustände ........................128
3.1.4 Aufgaben ..........................................130
3.2 ZeitablaufphysikalischerGrößen .............................130
3.2.1 Allgemeine zeitabhängige Lösung der
Schrödingergleichung ................................130
3.2.2 ZeitlicheÄnderungvonErwartungswerten ..............131
x
Inhaltsverzeichnis I
3.2.3 Erhaltungsgrößen ...................................132
3.2.4 EhrenfestscheSätze ..................................134
3.2.5 DieHeisenbergscheUnbestimmtheitsrelation ............136
3.2.6 AusbreitungeinesWellenpaketes ......................138
3.2.7 DieEnergie-Zeit-Unschärfe ...........................140
3.2.8 Aufgaben ..........................................141
3.3 QuasistationäreZustände ....................................142
3.3.1 DieZerfallswahrscheinlichkeit ........................142
3.3.2 DieEnergie-Zeit-UnschärfebeimZerfall ................144
3.3.3 Derα-Zerfall .......................................146
3.3.4 Aufgaben ..........................................149
4 DasWasserstoffatom ...........................................151
4.1 DasWasserstoffspektrum ...................................151
4.1.1 DasNiveauschema...................................151
4.1.2 AtomareEinheiten ..................................155
4.1.3 DieMitbewegungdesKerns ..........................157
4.1.4 Aufgaben...........................................158
4.2 DerBahndrehimpuls .......................................159
4.2.1 ErhaltungsgrößenimZentralkraftfeld ...................159
4.2.2 Bahndrehimpulsoperatoren ...........................162
4.2.3 EigenfunktionenundEigenwertevonLˆ ................164
z
4.2.4 EigenfunktionenundEigenwertevonLˆ2 ................165
4.2.5 Aufgaben ..........................................167
4.3 DieradialeBewegung ......................................168
4.3.1 DieSchrödingergleichungfürdenRadialteil .............168
4.3.2 DerRadialteilderWellenfunktion ......................169
4.3.3 DerRadialteilderWellenfunktionbeimWasserstoffatom ..171
4.3.4 BewegungimZentralkraftfeld .........................176
4.3.5 Aufgaben ..........................................179
4.4 DerElektronenspin ........................................180
4.4.1 MagnetischesMomenteinerrotierendenLadung .........180
4.4.2 DerStern-Gerlach-Versuch ...........................181
4.4.3 DerEinstein-de-Haas-Effekt ..........................184
4.4.4 DrehimpulsundmagnetischeMomente .................186
4.4.5 Aufgaben ..........................................187
5 Drehimpulsoperatoren..........................................189
5.1 Drehoperator ..............................................189
5.2 DrehungeinesVektors ......................................191
5.3 DrehungeinesskalarenFeldes ...............................192
5.4 VertauschungvonDrehungen ................................194
5.5 Vertauschungsrelationen ....................................195
5.6 Drehimpuls-Eigenfunktionen ................................197
5.7 Umklapp-Operatoren .......................................198
x
Inhaltsverzeichnis
5.8 EigenwertevonJˆ2 .........................................199
5.9 Aufgaben .................................................200
6 Tabellenanhang................................................201
Sachverzeichnis ....................................................207
Literaturverzeichnis ................................................211