Table Of ContentErnst Kunz
Einffihrung in die
kommutative Algebra
und
algebraische Geometrie
vieweg stucIum
Aufbaukurs Mathematik
Herausgegeben von
Prof. Dr. Gerd Fischer
Ernst Kunz
Einfiihrung in die kommutative Algebra
und algebraische Geometrie
Wolfgang Fischer/lngo Lieb
Funktionentheorie
Grundkurs Mathematik
Gerd Fischer Ernst Kunz
Lineare Algebra Ebene Geometrie
Gerd Fischer R. Mennicken / E. Wagenfiihrer
Analytische Geometrie Numerische Mathematik 1
Otto Forster R. Mennicken / E. Wagenfiihrer
Analysis 1 Numerische Mathematik 2
Otto Forster Walter Schwarz
Analysis 2 Briicke zur Hoheren Mathematik
Ernst Kunz
E'infiihrung in die
kommutative Algebra
und
algebraische Geometrie
Mit 18 Figuren und 185 Obungsaufgaben
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig I Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Kunz, Ernst:
Einflihrung in die kommutative Algebra und
algebraische Geometrie I Ernst Kunz. - Braunschweig,
Wiesbaden: Vieweg, 1979.
(Vieweg-Studium; Bd. 46: Aufbaukurs Mathematik)
ISBN 978-3-528-07246-9 ISBN 978-3-322-85526-8 (eBook)
DOl 10.1007/978-3-322-85526-8
vieweg studium Bd. 46
Aufbaukurs Mathematik
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1980
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1980
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v
Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VII
Preface (David Mumford) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IX
Zur Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X
Kapitell. Algebraische Varietiiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 1. Affme algebraische Varietiiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§ 2. Der Hilbertsche Basissatz. Zerlegung einer Varietat in irreduzible Kompo-
nenten .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10
§ 3. Der Hilbertsche Nullstellensatz ................ . . . . . . . . . . . . .. 17
§ 4. Das Spektrum eines Rings ................................. 23
§ 5. Projektive Varietiiten und homogenes Spektrum ................. " 31
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40
Kapitel II. Dimension...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
§ 1. Krulldimension von topologischen Raumen und Ringen . . . . . . . . . . . . " 41
§ 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46
§ 3. Dimension affiner Algebren und affiner algebraischer Varietaten . . . . . . .. 51
§ 4. Dimension projektiver Varietaten ............................ 61
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64
Kapitel III. Reguliire und rationale Funktionen auf aigebraischen Varietiiten.
Lokalisation ...................................... 65
§ 1. Einige Eigenschaften der Zariski-Topologie ...................... 65
§ 2. Die Garbe der regularen Funktionen auf einer algebraischen Varietat ..... 68
§ 3. Quotientenrlnge und Quotientenmoduln. Beispiele .. . . . . . . . . . . . . . .. 77
§ 4. Eigenschaften von Quotientenringen und Quotientenmoduln .......... 81
§ 5. Fasersumme und Faserprodukt von Moduln. Verkleben von Moduln ..... 93
Literaturhinweise ......................................... " 97
Kapitel IV. Das Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra . . . . . . . . .. 98
§ 1. Der Obergang vom Lokalen zum Globalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
§ 2. Erzeugung von Moduln und Idealen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 109
§ 3. Projektive Moduln ...................................... 115
Literaturhlnweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 127
VI
Kapitel V. Ober die Anzahl der Gleichungen, die zur Beschreibung einer alge
braischen Varietiit notig sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
§ 1. Jede Varietiit im n-dimensionalen Raum ist Durchschnitt von n Hyper-
flachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 128
§ 2. Ringe und Moduln endlicher Lange ........................... 132
§ 3. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Durchschnitts zweier Varie-
taten ............................................... 136
§ 4. Anwendungen des Hauptidealsatzes in noetherschen Ringen. . . . . . . . . .. 146
§ 5. Der graduierte Ring und der Konormalenmodul eines Ideals. . . . . . . . . .. 153
Literaturhinweise ......................................... " 167
Kapitel VI. Reguliire und singuliire Punkte algebraischer Varietiiten . . . . . . . . .. 168
§ 1. Regulare Punkte algebraischer Varietaten. Regulare lokale Ringe. . . . . . .. 168
§ 2. Die Nullteiler eines Rings oder Moduls. Primiirzerlegung ............ " 181
§ 3. Regulare Folge. Cohen-Macaulay-Moduln und -Ringe. . . . . . . . . . . . . . .. 188
§ 4. Ein Zusammenhangssatz fUr mengentheoretische vollstandige Durchschnitte
im projektiven Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 197
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 200
Kapitel VII. Projektive Aufiosungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
§ 1. Projektive Dimension von Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201
§ 2. Homologische Charakterisierung regularer Ringe und lokal vollstiindiger
Durchschnitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 210
§ 3. Moduln der projektiven Dimension ~ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 215
§ 4. Algebraische Kurven in 8>..3, die lokal vollstiindige Durchschnitte sind, lassen
sich als Durchschnitt zweier algebraischer Flachen darstellen . . . . . . . . . .. 223
Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 226
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
A. Lehrblicher................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 227
B. Originalarbeiten.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 228
Liste der verwendeten Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 231
Sachwortverzeichnis ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 234
VII
Vorwort
Es wird geschiitzt, daf.\ man tiber kommutative Algebra und algebraische Geometrie
beim derzeitigen Stand des Wissens eine 200 Semester dauernde Vorlesung halten konnte,
in der man sich niemals wiederholen miiEte. Jede Einflihrung in eines dieser Gebiete muB
daher eine strenge Stoffauswahl treffen.
nit
Ich will zunachst angeben, welche Gesichtspunkte im vorliegenden Buch die Wahl
des behandelten Materials maBgebend waren. Diese Einflihrung ist aus Vorlesungen fur
Studenten hervorgegangen, die schon einen Grundkurs in Algebra absolviert hatten, bei
denen daher Kenntnisse in linearer Algebra, Ring-, Korper-und Galoistheorie vorausge
setzt werden konnten. Mit sehr viel mehr soUte auch nicht begonnen werden.
Ich habe mir in der Vorlesung und imjetzigen Text vorgenommen, mit moglichst
geringen Hilfsmitteln zu einigen neueren Resultaten der kommutativen Algebra und alge
braischen Geometrie hinzuftihren, die sich mit der Darstellung algebraischer Varietiiten
als Durchschnitt von moglichst wenig Hyperf/iichen befassen und - damit eng gekoppelt -
mit der moglichst sparsamen Erzeugung von Idealen in noetherschen Ringen.
Die Frage nach der zur Beschreibung einer algebraischen Varietat notigen Gleichun
gen ist schon 1882 von Kronecker angesprochen worden. In den vierziger Jahren dieses
Jahrhunderts interessierte sich vor allem Perron flir diese Frage; seine mit Severi geftihr
ten Diskussionen machten das Problem bekannter und trugen zur Scharfung der relevan
ten Begriffe beL Dank des allgemeinen Fortschritts in der kommutativen Algebra sind in
jtingerer Zeit viele schone Resultate in diesem Fragenkreis erzielt worden, die sich vor
allem nach der Losung des Serreschen Problems iiber projektive Moduln einsteUten. Wegen
ihres verhiiltnismaBig elementaren Charakters sind sie fUr eine Einflihrung in die kommu
tative Algebra besonders geeignet.
Setzt man sich zum Ziel, zu diesen Ergebnissen (und einigen noch ungelosten Pro
blemen) hinzuleiten, so wird man von selbst dazu geftihrt, einen groBen Teil der Grund
begriffe der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie zu behandeln und viele
Tatsachen zu beweisen, die dann als Grundstock fUr ein weiteres Eindringen in diese Ge
biete dienen konnen. Durch die enge Koppelung von ringtheoretischen Problemen mit
solchen der algebraischen Geometrie wird die RoUe der kommutativen Algebra fUr die
algebraische Geometrie deutlich und umgekehrt werden die algebraischen Fragestellungen
durch solche geometrischen Ursprungs motiviert.
Da die ursprungliche Frage klassisch ist, wird auch mit den klassischen Begriffen der
algebraischen Geometrie begonnen: Varietaten im affinen und projektiven Raum. Es er
gibt sich aber ganz nattirlich Gelegenheit, zu den modemen Verallgemeinerungen (Spektren,
Schemata) hinzuflihren und deren Ntitzlichkeit vor Augen zu flihren. Wenn der Umweg
nicht zu gr06 ist, werden auch benachbarte Gebiete auf dem Weg zum Hauptziel durch
streift. Es bleiben allerdings auch elementare Themen der kommutativen Algebra giinzlich
unberucksichtigt, von denen ich die folgenden nenne: Flache Moduln, Komplettierung,
VIII
Derivationen und Differentiale, Hilbertpolynom und Multiplizitiitstheorie. Die homolo
gische Algebra wird auf die Verwendung der projektiven Aufiosungen und des Schlangen
lemmas reduziert. Es wurde nicht angestrebt,jeweils die allgemeinste bekannte Form
eines Satzes herzuleiten, wenn die Lesbarkeit des Textes zu leiden oder wenn der Auf
wand zu gro~ zu sein schien. Die Literaturhinweise am Ende jedes Kapitels und die vielen
Aufgaben, in denen manchmal Teile neuerer VerOffentlichungen enthalten sind, sollen
dem Leser helfen, sich eingehender zu informieren.
Der Schwerpunkt des Buches liegt mehr in der kommutativen Algebra als in der
algebraischen Geometrie. Fiir weiterfiihrende Studien in der algebraischen Geometrie sei
eines der ausgezeichneten Werke empfohlen, die in neuerer Zeit erschienen sind, und fur
die der vorliegende Text als Vorbereitung dienen kann.
Ich gebe nun genauer an, welche Kenntnisse das Buch voraussetzt:
a) Die gangigsten Tatsachen der Unearen und multilinel1ren Algebra flir Moduln fiber
kommutativen Ringen einschlie~lich des Tensorprodukts von Algebren und der Deter
minantentheorie tiber Ringen.
b) Die einfachsten Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie.
c) Die Grundtatsachen der Ring-und Idealtheorie bis hin zu den faktoriellen Ringen und
den Noetherschen Isomorphiesatzen ftir Ringe und Moduln.
d) Die Theorie der algebraischen K6rpererweiterungen, einschlie~lich Galoistheorie, femer
mit den Begriffen des Transzendenzgrades und der Transzendenzbasis zusammenhangende
Tatsachen.
Das meiste, was benotigt wird, dtirfte injeder Einftihrungsvorlesung tiber Algebra
vorkommen, so d~ das Buch im Anschl~ an eine solche Veranstaltung gelesen werden
kann.
Bei der Anfertigung des Textes haben mich die Herren H. Knebl, J. Koch, J. Rung,
Dr. R. Sacher und vor aHem Dr. R. Waldi mit kritischen Bemerkungen und vielen guten
Vorschlagen untersttitzt. Ihnen, sowie den Regensburger Studenten, die fieiliig Obungs
aufgaben bearbeitet haben, habe ich sehr zu danken. Mein besonderer Dank gilt auch
Fraulein Eva Weber fur ihre Geduld beim Tippen des Manuskripts.
Regensburg, November 1978 Ernst Kunz
IX
Preface
Dr. Peters, Boston, has suggested that I write a few words for readers in the United
States as a Preface to Professor Kunz's book. Although written in German, this book will
be particularly valuable to the American student because it covers material which is not
available in any other textbooks or monographs. The subject of the book is not restricted
to commutative algebra developed as a pure discipline for its own sake; nor is it aimed only
at algebraic geometry where the intrinsic geometry of a general n-dimensional variety plays
the central role. Instead this book is developed around the vital theme that certain areas
of both subjects are best understood together. This link between the two subjects, forged
in the 19th century, built further by Krull and Zariski, remains as active as ever. It deals
primarily with polynomial rings and affine algebraic geometry and with elementary and
natural questions such as: what are the minimal number of equations needed to define
affine varieties or what are the minimal number of elements needed to generate certain
modules over polynomial rings? Great progress has been made on these questions in the
last decade. In this book, the reader will find at the same time a leisurely and clear
exposition of the basic definitions and results in both algebra and geometry, as well as an
exposition of the important recent progress due to Quillen - Suslin, Evans - Eisenbud,
Szpiro, Mohan Kumar and others. The ample exercises are another excellent feature.
Professor Kunz has fIlled a longstanding need for an introduction to commutative algebra
and algebraic geometry which emphasizes the concrete elementary nature of the objects
with which both subjects began.
David Mumford
x
Zur Terminologie
Unter einem Ring solI im ganzen Buch immer ein kommutativer Ring mit Eins ver
standen werden. Von einem Ringhomomorphismus I{): R ~ S wird stillschweigend vor
ausgesetzt, dl£ er das Einselement von R auf das von S abbildet. Insbesondere haben bei
einer Ringerweiterung SIR die Ringe R und S dasselbe Einselement. Von einer multipli
kativabgeschlossenen Teilmenge Seines Rings R wird immer vorausgesetzt, dl£ 1 E S.
1st M ein Modul liber einem Ring R, so solI das Einselement von R trivial auf M operie
ren (1. m = m fUr aIle mE M). Flir einen Korper K bezeichnen wir mit An(K) den n
dimensionalen affinen Raum (n EN) liber K, d.h. die Menge Kn mit der lib lichen affinen
Struktur. Die affinen Unterraume von An (K) heiBen hier "lineare Varietiiten ". Ent
sprechendes gilt fUr den projektiven Raum IPn (K).
Wird nichts anderes gesagt, so sollen in einem Korollizr zu einem Satz dieselben
Voraussetzungen erftillt sein wie im Satz selbst. Wenn eine Aussage zitiert wird, so wird
ihre Nummer angegeben, wenn sie im gleichen Kapitel zu finden ist, andernfalls wird die
Nummer des Kapitels vorangesteIlt, in dem sie sich befindet (z.B. Satz von Quillen und
Suslin, Kap. IV, 3.14). Titel aus dem Lehrbuchverzeichnis am Ende des Buches werden
mit Buchstaben, Originalizrbeiten mit Nummern bezeichnet. Auf einige Arbeiten, die seit
der Fertigstellung des Manuskripts erschienen sind, wird an geeigneter Stelle in FuBnoten
hingewiesen werden.
